ch6 phénomènes d`induction

ch6 régimes quasi-stationnaires
chapitre 6 phénomènes d'induction
introduction : importance des phénomènes d'induction : l'étude des champs statiques ne fait pas apparaître explicitement le
temps (sauf dans l'expression des courants i = dq/dt, mais ceux-ci sont constants).
nous aborderons les phénomènes dépendants du temps, en deux étapes :
-celle-ci (ch6), concernant les "régimes quasi-stationnaires ou lentement variables" dans laquelle nous commencerons à voir
l'importance du repère d'étude, et complèterons une des équations fondamentales de Maxwell, et ensuite (ch8) l'étude des
régimes variables quelconques, avec notamment les phénomènes de propagation des ondes électromagnétiques.
-ces notions sont à la base des principes de fonctionnement de très nombreux dispositifs (transformateur, moteur ou
générateur à courant continu, moteur ou générateur asynchrone, etc...).
1 cas d'un circuit mobile dans un champ permanent
1.1 observation : cette expérience permet de mettre en évidence la loi de Lenz :
lorsqu'on déplace une spire (en fait une bobine, pour que l'effet soit plus visible)dans un champ magnétique
extérieur permanent, il apparaît un courant induit, dont le sens est donné par la loi de Lenz :
le courant induit qui prend naissance dans un circuit a pour effet
de s'opposer à la cause qui lui a donné naissance
flux initial important
S
le flux à travers la spire a diminué
S
N
N
position finale
position initiale
sens de déplacement du circuit
champ créé pour s'opposer à la
diminution du flux
S
N
S
N
le courant induit s'oppose
à la diminution du flux
sens du courant induit
le sens du courant induit est tel, que le flux du champ Binduit créé par ce courant s'oppose à la
diminution du flux de Baimant à travers le circuit
dans cet autre exemple, où le champ est uniforme,
il n'apparaît pas de courant induit, car il n'y a pas de
modification de flux à travers le circuit.
r
B
Si par contre au cours du mouvement la spire explore
des zones où le champ varie, on observe un freinage
par courants induits (principe du ralentisseur électrique)
spire suspendue
à un pendule
une étude quantitative de ces phénomènes (par exemple en modifiant le nombre de spires, l'orientation du
champ, etc...) permet de montrer que c'est la variation de flux à travers le circuit qui provoque l'apparition d'un
courant induit.
applications diverses :
machines électriques, (moteur à courant continu, alternateur),
freinage par courants induits (ralentisseurs), étude du haut-parleur électrodynamique
1
ch6 régimes quasi-stationnaires
1.2 interprétation: loi de Faraday
A
description des phénomènes :
envisageons le déplacement de porteurs de charges positives dans une portion de
conducteur se déplaçant à vitesse ve constante dans un champ magnétique
r
permanent, sous l'action d'une force Fop appliquée par un opérateur :
r
Fop
r
Les porteurs de charge sont entrainés à vitesse v e (vitesse locale dans le
r
r
r
vr
référentiel d'étude) et ils sont soumis à la force de Lorentz qv e ∧ B qui les fait se
déplacer à vitesse vr (vitesse relative par rapport au conducteur) :
c'est le courant induit par le déplacement du circuit
(nous envisagerons plus loin la signification de l'autre force
r
ve
r
r
qv r ∧ B
(par exemple une barre conductrice AB glissant sur les rails de Laplace)
r
B
r
r
qv e ∧ B
r
r
qv r ∧ B )
expression de la force électromotrice induite :
ce calcul sera fait pour les rails de Laplace, et généralisé ensuite.
on choisit d'orienter arbitrairement le circuit de A vers B
B
r r
r r
et on pose AB = l et d r = v e dt
r
dr
-une charge passant de A à B reçoit le travail :
r
rr
r
r
r r
r r
r
dr r r
l ∧ dr r
dr ∧ l r
dS.B
dΦ
WAB = (qv e ∧ B). l = (q
∧ B). l = q
.B = − q
.B = −q
. = −q
dt
dt
dt
dt
dt
r r r
(d r ∧ l). B représente le flux à travers la surface balayée, orientée par le sens
de AB, c'est aussi la variation du flux à travers le circuit, entre t et t+dt
dΦ
on obtient donc : WAB = q( −
)
dt
A
r
n
r
B
R
B
-dans le schéma équivalent ci-contre, la partie "électromotrice" du circuit est
assimilée à un générateur de f.e.m. e, orienté comme le circuit de A vers B
et la charge passant de A à B dans un générateur reçoit le travail:
I
r
B
R
A
e
B
WAB = q(VB - VA) = qe
schéma équivalent
dΦ
loi de Faraday (1831)
dt
(associée à la loi de Lenz précédemment énoncée, elle prend le nom de Faraday-Lenz)
-en identifiant avec l'expression précédente, il vient : e = −
B
r r
r r
r
r
on voit également que e = VB − VA = ( v e ∧ B). l = ( v e ∧ B).d l =
B
∫
∫
A
A
r
r
r
r
r
E m .d l avec E m = v e ∧ B
la force électromotrice induite est donnée par la circulation du champ électromoteur le long de la portion de circuit
r
E m est appelé "champ électromoteur de Lorentz";
(dans cet exemple, e est positive, et le sens du courant serait de A vers B)
remarque 1 : dans un récepteur les charges cèdent de l'énergie, leur
énergie potentielle diminue sous l'action du champ électrique:
récepteur
r
E
B
r r
VB − VA = − E.d l
∫
A
dans un générateur ( ou "électromoteur"), les charges reçoivent de
l'énergie . Leur énergie potentielle augmente sous l'action d'un "champ
r
électromoteur" E m et cette fois:
r
Em
B
r
r
VB − VA = + E m .d l
∫
B
A
B
donc, pour calculer e = VB − VA il faut calculer
∫
r
r
E m .d l
attention aux bornes !
A
2
générateur
A
ch6 régimes quasi-stationnaires
remarque 2 :le sens choisi pour le parcours du circuit (ici de A vers B) détermine le sens de la surface s'appuyant
sur le circuit, donc le signe du flux, mais aussi le sens du générateur équivalent. On peut donc le choisir comme
on veut, mais le sens réel du courant que l'on mesure, reste bien sûr le même;pour s'en convaincre, reprenons
les rails de Laplace en choisissant l'autre sens de circulation :
r
B
R
A
r
B
r
v
r
n
e
B
schéma équivalent
sens de circulation choisi
dΦ
dans ce cas, le flux à travers le circuit est positif, donc e = −
< 0 ; le courant débité dans une résistance, de
dt
sens opposé à celui choisi pour le calcul, a bien le même sens que précédemment. On retrouve bien sûr ce
r
r r
résultat avec le champ électromoteur Em = v ∧B puisque, en calculant la circulation dans le sens choisi pour le
A
circuit, on obtient :
r r r
VA − VB = e = ( v ∧ B).d l = − Blv
∫
i = − Blv / R
et
B
remarque 3 :bilan des forces exercées sur le conducteur :
r
r
la force qv r ∧ B s'oppose à celle de l'opérateur ; en tenant compte du nombre volumique de porteurs n, la force
r
r
r
r
r
exercée sur un élément dτ s'écrirait : dF = nqv r ∧ Bdτ = j dτ ∧ B et on retrouve la force de Laplace
r r
r
dF = Id l ∧ B ,qui interviendra dans les équations de la dynamique:
mcond
r
r
r
∂v e r
= Fop + FLaplace + Fautres
∂t
ces résultats seront généralisés pour tout circuit se déplaçant dans un champ magnétique permanent :
r r r
Em = v ∧B
A
r
r
r r
r
e = VA − VB = E m .d l = ( v e ∧ B).d l
dΦ
e=−
dt
∫
∫
B
il sera en général plus simple de prendre la direction du champ électromoteur pour orienter le circuit. La
f.e.m. e que l'on calcule ensuite, est celle d'un générateur qui serait orienté dans le même sens. On calcule
r
ensuite le courant au moyen des lois de l'électrocinétique.
v e dt
R
1.3 bilan d'énergie:
pour le système précédent, on peut écrire:
une équation "électrique" :
Ri = e = − Blv
une équation "mécanique" : m
∂v
= Bil
∂t
ce qui permet d'établir un bilan de puissance :
Ar
r
B
ve
d'où la puissance de la f.e.m.:
Pfem
d'où la puissance cinétique :
Pc =
B
= ei = − Blvi = Ri ² = PJoule
∂ mv²
(
) = Bilv = PLaplace
∂t 2
∂ mv ²
(
) = Bilv = − Ri ²
∂t 2
on remarque sur cet exemple simple, que la puissance de la f.e.m. induite, est opposée à la puissance de la force
de Laplace; on a conversion électromécanique de l'énergie.ce résultat se retrouvera dans les systèmes plus
complexes mettant en jeu d'autres formes d'énergie (condensateurs, ressorts, etc...)
1.4 exemples, systèmes électromécaniques (voir exercices de travaux dirigés)
r
démarche générale à suivre: 1ère méthode :choisir un sens positif pour le circuit (en général celui de E m )
calculer ensuite le flux, en tenant compte du sens choisi, puis e=-dΦ/dt
r
r r
2ème méthode : calculer Em = v ∧B puis sa circulation pour obtenir e
appliquer enfin la loi des mailles pour trouver le courant ; il peut être nécessaire
d'écrire d'abord l'équation "mécanique" si i dépend de v.
3
ch6 régimes quasi-stationnaires
2 cas d'un circuit immobile dans un champ B variable, équation de Maxwell-Faraday
2.1 résultats d' expériences :
On considère cette fois un circuit fixe traversé par un
champ magnétique variable au cours du temps
il apparaît également une f.e.m. et un courant induits dont
les effets s'opposent encore aux variations du flux
traversant le circuit au cours du temps.
on peut montrer expérimentalement que
oscilloscope
∂Φ
e=−
∂t
cette fois il s'agit de la dérivée partielle de Φ(t), puisque
r
B dépend explicitement du temps.
générateur B.F.
2.2 expression du champ électromoteur :
la force électromotrice induite, s'exprime toujours comme la circulation d'un "champ électromoteur":
r r
E
∫ m .d l
r v
∂Φ
∂
= −
B.d ² s d'où :
∫∫
∂t
∂t
r
r
r r
r
r
r
r ∂A
∂
∂
∂A r
v
v
v
e = E m . d l = − ∫∫ B.d ² s = − ∫∫ ro tA.d ² s = ∫∫ ro t (− ).d ² s = ∫ (− ).d l
∂t
∂t
∂t
∂t
r
r
r r
r
r
∂A
E m . d l = ∫ (− ∂A ).d l
on en retient la solution : E m = −
soit : e =
∂t
∂t
e=
mais on a aussi
e=−
∫
∫
r
( E m est appelé "champ de Neumann")
2.3 équation de Maxwell-Faraday
repartons de l'expression de e qu'on transforme avec le théorême de Stokes-Ampère :
r
r
r
r
r r
e = E m .d l = rotE m .d ² vs = − ∂ B.d ² vs = ( − ∂ B).d ² sv
∂t
∂t
r
r r
∂B
ce qui permet d'écrire : r o t E m = −
équation locale, reliant les dérivées partielles d'espace de Em aux
∂t
variations de B au cours du temps :
un champ magnétique variable au cours du temps pourra être la source d'un champ électrique
∫
∫∫
∫∫
∫∫
vérifions que l'équation de Maxwell-Gauss est toujours satisfaite en présence de Em :
r
r
r
r
r
r
r
∂A
∂
E tot = −gradV −
donne divE tot = −div gradV − div A = − ∆V car divA = 0
∂t
∂t
r
donc divE tot = − ∆V =
ρ
ε0
r
r
r r
r r
r r
∂B
∂ r r
par ailleurs rot E tot = − rot gradV − rot A = −
car rot gradV = 0
∂t
∂t
r
r r
∂B
on pourra donc écrire de manière générale r o t E = −
(équation de Maxwell-Faraday)
∂t
c'est une des équations fondamentales de l'électromagnétisme.
4
ch6 régimes quasi-stationnaires
2.4 applications, conséquences
2.4.1 courants de Foucault
une plaque métallique placé dans un champ magnétique variable en fonction du temps s'échauffe: c'est l'effet
dP
Joule provoqué par les courants induits, de puissance volumique
= γE 2m . (voir exercice )
dτ
2.4.2. principe du transformateur idéal
(C)
soit Φ le flux à travers une section du circuit
magnétique :
∂Φ
∂Φ
e1 = − N1
et e 2 = − N 2
∂t
∂t
e2 N 2
d'où
=
si les enroulements sont de
e1 N1
même sens. (voir cours d'électrotechnique)
i1(t)
i2(t)
v1(t)
v2(t)
2.4.3 auto-induction et induction mutuelle (voir ch4)
auto-induction :
r
soit Φ le "flux propre" du circuit (flux crée par le circuit à travers lui-même ). Le sens de B , et le sens de la
normale à la surface du circuit étant les mêmes (imposés par le sens du courant), ce flux est toujours positif;
r
B étant proportionnel au courant, on peut poser Φ = LI où L est le coefficient d'auto-induction (ou inductance) en
Henry. si le courant varie au cours du temps, il apparaît une force électromotrice d'auto-induction
∂Φ
∂i
e=−
= −L
(loi de Faraday-Lenz)
i
i
∂t
∂t
schéma équivalent : (e est dans le même sens que i)
e=-Ldi/dt
e=-Ldi/dt
induction mutuelle
i1
R1
pour deux circuits en
situation d'induction
mutuelle :
L1
u1
i2
R2
M
L2
u2
(le signe de M dépend
de l'orientation des
circuits)
le flux total à travers le circuit 1 s'écrit : Φ 1 = Φ 11 + Φ 12 = L 1I1 + M 21I 2
le flux total à travers le circuit 2 s'écrit : Φ 2 = Φ 22 + Φ 21 = L 2I2 + M12I1
soit en régime variable:
schéma équivalent :
∂i
∂i
u1 = R1i1 + L1 1 + M 2
∂t
∂t
e1 = −
∂Φ 1
∂i
∂i
= − L1 1 − M 2
∂t
∂t
∂t
i1
R1
u1
-Mdi2/dt
5
e2 = −
∂Φ 2
∂i
∂i
= −L2 2 − M 1
∂t
∂t
∂t
R2
-L1di1/dt
∂i
∂i
u 2 = R 2i 2 + L 2 2 + M 1
∂t
∂t
et
-L2di2/dt
-Mdi1/dt
i2
u2
ch6 régimes quasi-stationnaires
en régime sinusoïdal, les expressions précédentes deviennent (avec les grandeurs complexes) :
u1 = R1i1 + jL1ωi1 + jMωi 2
et
u 2 = R 2i 2 + jL 2ωi 2 + jMωi1
3. généralisation : cas d'un circuit mobile dans un champ variable
l'effet observé est la somme des deux effets précédents :
∂Φ d Φ
−
∂t
dt
r
∂A r r
=−
+v∧B
∂t
-force électromotrice totale :
e=−
-champ électromoteur total :
r
Em
résumons ces résultats dans un tableau :
circuit mobile dans un champ B
permanent
circuit fixe dans un
champ B variable
circuit mobile dans un champ B
variable
r r r
Em = v ∧B
r
r
∂A
Em = −
∂t
r
r
∂A r r
Em = −
+v∧B
∂t
r
r
e = E m .d l
∫
e=−
dΦ
dt
la circulation de Em n'est pas
conservative
e=
∫
r
r
E m .d l
e=−
∂Φ
∂t
r
r r
∂B
r o tE = −
∂t
____________________________
6
e=
∫
e=−
r
r
E m .d l
∂Φ dΦ
−
∂t
dt
r
r r
∂B
ro tE = −
∂t