Exercice 04 - XMaths

Exercice 04
Lorsque la mesure de l'angle n'est pas dans l'intervalle ]-π ; π], il faut, en faisant apparaître un multiple
entier de 2π, se ramener à une mesure dans ]-π ; π].
7π = 12π - 5π = 2π - 5π donc 7π = - 5π [2π] et -π < - 5π £ π
6
6
6
6
6
6
6
7π
5π
L'angle de mesure
a pour mesure principale .
6
6
8π = 6π + 2π = 2π + 2π donc 8π = 2π [2π] et -π < 2π £ π
3
3
3
3
3
3
3
8π
2π
L'angle de mesure
a pour mesure principale
.
3
3
donc
- 5π ∈ ]-π ; π].
6
2π ∈ ]-π ; π].
3
donc
- 3π = - 4π + π = -2π + π donc - 3π = π [2π] et -π < π £ π
2
2 2
2
2 2
2
3π
π
L'angle de mesure a pour mesure principale .
2
2
donc
π ∈ ]-π ; π].
2
15π = 16π - π = 2π - π donc 15π = - π [2π] et -π < - π £ π
8
8
8
8
8
8
8
15π
π
L'angle de mesure
a pour mesure principale - .
8
8
donc
- π ∈ ]-π ; π].
8
- 10π = - 12π + 2π = - 4π + 2π donc - 10π = 2π [2π]
3
3
3
3
3
3
10π
L'angle de mesure a pour mesure principale 2π .
3
3
et -π < 2π £ π
3
83π = 80π + 3π = 20π + 3π donc 83π = 3π [2π] et -π < 3π £ π
4
4
4
4
4
4
4
L'angle de mesure 83π a pour mesure principale 3π .
4
4
donc
131π = 132π - π = 22π - π donc 131π = - π [2π] et -π < - π £ π
6
6
6
6
6
6
6
131π
π
L'angle de mesure
a pour mesure principale - .
6
6
donc
2π ∈ ]-π ; π].
3
3π ∈ ]-π ; π].
4
donc
- π ∈ ]-π ; π].
6
253π = 264π - 11π = 22π - 11π donc 253π = - 11π [2π] et -π < - 11π £ π donc - 11π ∈ ]-π ; π].
12
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12
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12
253π
11π
L'angle de mesure
a pour mesure principale .
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Lorsqu'on ne sait pas trouver de façon simple le multiple entier de 2π permettant d'obtenir la mesure
principale, on pourra procéder en cherchant, par résolution d'inéquations, une autre mesure de l'angle
comprise entre -π et π .
Par exemple pour la mesure 253π, on sait que toutes les autres mesures de cet angle sont de la forme
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253π + k x 2π avec k ∈ ZZ .
On peut alors écrire :
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-π < 253π + k x 2π £ π ⇔ -π < 253π + 24kπ £ π ⇔ -12π < (253 + 24k)π £ 12π
12
12
12
⇔ -12 < 253 + 24k £ 12 ⇔ -12 - 253 < 24k £ 12 - 253
⇔ -265 < 24k £ -241 ⇔ - 265 < k £ - 241
24
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265
241
En notant que k est un entier et que ≈ -11,04 et ≈ -10,04, on en déduit que k = -11
24
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La mesure principale de l'angle est donc 253π - 11 x 2π = 253π - 22π = 253π - 264π = - 11π .
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La méthode est rigoureuse et elle aboutit de façon certaine, mais elle a l'inconvénient d'être longue.
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1ère S − Trigonométrie − Corrections