Avril 2015

L G
L G
Avril 2015
A NALYSE M ATH ÉMATIQUE
É VALUATION FORMATIVE
Prof. Éric J.M.DELHEZ
Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d’Analyse
Mathématique. Il est purement facultatif. Les résultats, bons ou mauvais, ne seront en aucun cas pris en compte.
Pour que l’exercice vous soit réellement profitable, il vous est conseillé de vous placer autant que possible
dans les conditions d’une interrogation normale : répondez aux questions tout(e) seul(e), sans l’aide des notes,
sans interrompre votre travail, dans un délai maximum d’une heure et demie.
Pour faciliter le travail des correcteurs, répondez aux deux questions sur des feuilles séparées. Rendez une
feuille blanche avec votre nom et le numéro de la question pour les questions auxquelles vous ne répondez pas.
Consultez également les conseils pour une bonne présentation des copies disponibles sur
http://www.mmm.ulg.ac.be/enseignement/MATH0013/presentation
.
Les copies seront reprises lors du cours ex-cathedra d’analyse du 21 avril.
Question I
Calculez
Z 1 Z 1
0
4 x2 y
x e
y
dx dy
en justifiant les opérations effectuées.
Question II
Déterminez les valeurs de α et β (α, β ∈ R, α ≤ β,) pour lesquelles les intégrales suivantes
existent.
i.
Z +∞
0
ii.
dx
xα + xβ
Z +∞ −αx
e
− e−βx
0
x(1 − e−x )
dx
S OLUTION
Question I
L’expression
I=
Z 1 Z 1
0
4 x2 y
x e
y
dx dy
2
ne peut être calculée telle qu’elle car les primitives de x4 ex y ne peuvent s’exprimer en termes de
fonctions usuelles.
de
Pour progresser, on remarque que I peut être considérée comme la réduction de l’intégrale double Écriture
l’intégrale
double
ZZ
2
avec identification
x4 ex y dx dy
où
E = {(x, y) : 0 < y < 1, y < x < 1}
E
de E : 2 pts.
si cette dernière existe (Théorème de Fubini). Or, cette intégrale double existe puisque l’intégrand est Justification
de
l’intégrabilité
:
continu sur le compact Ē. Dès lors,
1 pt.
Z Z
ZZ
1
1
I=
0
2y
2
x4 ex
x4 ex y dx dy =
y
dx dy
E
y=x
y
1
E
x
1
Évaluons l’intégrale double en adoptant l’autre ordre d’intégration partielle. On note que E peut Renversement
être décrit par
de
l’ordre
E = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < x}
d’intégration
:
2 pts.
de sorte que l’intégrale devient
I=
Z 1
dx
0
Z x
2
x4 ex y dy
0
On calcule successivement
I=
Z 1
0
dx
Z x
2
x4 ex y dy =
Z 1
x4 dx
Z 1
"
=
4
x
0
=
Z 1
0
"
2
ex y
x2
#x
dx
0
3 x2 ex −1 dx
3
x3
ex
−
=
3
3
=
2
ex y dy
0
0
0
Z x
Calcul
des
intégrales
et
résultat : 5 pts.
#1
0
e −2
3
T OTAL QI : 10 PTS
2
Question II
i. Soit
Z +∞
0
dx
xα + xβ
Nous constatons d’abord que
1
∈ C0 (]0, +∞[)
α
x + xβ
Cette fonction est donc intégrable sur tout compact inclus dans ]0, +∞[.
Dès lors, l’existence de l’intégrale dépend uniquement de l’intégrabilité aux voisinages de 0 et
de +∞.
(a) Au voisinage de 0, on peut écrire
– Si α < β,
xα + xβ ∼ xα ,
et
1
xα + xβ
∼
+
(x → 0 )
1
,
xα
(x → 0+ )
Intégrabilité (justifiée) sur tout
compact
inclus
dans ]0, +∞[ : 1 pt
Comportement
asymptotique au
voisinage de 0 :
2 pts
– Si α = β,
1
Intégrabilité en 0
2xα
en fonction de α :
La fonction est donc intégrable au voisinage de 0 si α < 1 et n’est pas intégrable si α ≥ 1. 2 pts
1
xα + xβ
=
(b) Au voisinage de +∞, on peut écrire
– Si α < β,
xα + xβ ∼ xβ ,
et
1
xα + xβ
∼
(x → +∞)
1
,
xβ
Comportement
asymptotique au
voisinage de +∞ :
2 pts
(x → +∞)
– Si α = β,
1
1
Intégrabilité en +∞
=
xα + xβ 2xβ
en fonction de β :
La fonction est donc intégrable au voisinage de +∞ si β > 1 et n’est pas intégrable si 2 pts
β ≤ 1.
En conclusion, l’intégrale existe seulement si α < 1 et β > 1.
ii. Soit
Z +∞ −αx
e
− e−βx
0
x(1 − e−x )
dx
Quelles que soient les valeurs des paramètres α et β, on a
e−αx − e−βx
∈ C0 (]0, +∞[)
x(1 − e−x )
La fonction considérée est donc intégrable sur tout compact inclus dans ]0, +∞[. Dès lors,
l’existence de l’intégrale dépend uniquement de l’intégrabilité aux voisinages de 0 et de +∞.
Exploitant le résultat
eλx = 1 + λx + O(x2 ),
3
Synthèse
des
résultats : 1 pt.
Total i. : 10 pts
(x → 0+ )
Intégrabilité (justifiée) sur tout
compact
inclus
dans ]0, +∞[ : 1 pt
on a, au voisinage de 0,
h
i h
i
e−αx − e−βx = 1 − αx + O(x2 ) − 1 − βx + O(x2 )
= (β − α)x + O(x2 )
et
h
i
1 − e−x = 1 − 1 − x + O(x2 )
= x + O(x2 )
de sorte que, si α 6= β,
e−αx − e−βx (β − α)x β − α
∼
,
=
x(1 − e−x )
x2
x
(x → 0+ )
Comportement
asymptotique au
voisinage de 0 :
4 pts
On en déduit que la fonction considérée n’est pas intégrable au voisinage de l’origine si α 6= β. Non-intégrabilité si
α 6= β : 2 pts
Si α = β, l’intégrand s’annule identiquement. Dans ce cas, l’intégrale existe et est nulle.
En conclusion, l’intégrale existe seulement si α = β.
Remarque :
L’examen de l’intégrabilité au voisinage de +∞ conduirait aux conditions d’intégrabilité
Existence
de
l’intégrale
si
α = β : 2 pts.
Conclusion : 1 pt
Total ii. : 10 pts
T OTAL
QII
20 PTS
:
0<α≤β
En effet, si on exclut le cas trivial α = β, on a, tenant compte de α < β,
e−αx − e−βx e−αx
∼
,
x(1 − e−x )
x
On peut alors distinguer les cas suivants.
• Si α > 0, on a
1
e−αx
=o 2 ,
x
x
et donc
(x → +∞)
(x → +∞)
1
e−αx − e−βx
=o 2 ,
−x
x(1 − e )
x
(x → +∞)
La fonction est alors intégrable au voisinage de +∞.
• Si α ≤ 0, on a
−αx e
1
=O
, (x → +∞)
x
x
Les
erreurs
éventuelles dans
le
traitement
du
voisinage
de +∞ doivent
être signalées et
pénalisées en retirant de 1 à 2 points
sur la cote finale de
la sous-question ii.
La
nonintégrabilité
pour
1
,
(x
→
+∞)
=O
α ≤ 0 rapporte
x
x(1 − e−x )
3 pts si rien n’a
La fonction n’est alors pas intégrable.
été fait dans le
Il est aussi possible de raisonner dans le cas α ≤ 0 en traitant séparément les cas α = 0 et voisinage de zéro.
α < 0.
Pour α = 0, on a
et donc
"
e−αx − e−βx
#
e−αx 1
=
x
x
4
et donc
e−αx − e−βx 1
∼ ,
x(1 − e−x )
x
La fonction n’est alors pas intégrable.
Pour α < 0, on a
−αx e
1
=o
,
x
x
et donc
1
=o
x
e−αx − e−βx
x(1 − e−x )
de sorte que la fonction n’est pas intégrable.
5
(x → +∞)
(x → +∞)
!
,
(x → +∞)
E RREURS
LES PLUS FR ÉQUENTES
Question I
• Quand le calcul d’une suite d’intégrales partielles n’est pas faisable dans l’ordre proposé,
il ne suffit pas de renverser l’ordre d’intégration. Il est impératif de justifier l’existence de
l’intégrale double correspondante pour pouvoir affirmer que les deux ordres d’intégration
partielle conduisent au même résultat. Ce n’est qu’à cette condition que le résultat obtenu peut
être considéré comme la valeur demandée.
• La représentation graphique du domaine d’intégration est toujours fortement souhaitée, non
seulement pour vérifier si celui-ci est éventuellement compact, mais aussi pour pouvoir réduire
correctement l’intégrale ou, comme c’est le cas dans cet exercice, pour inverser l’ordre
d’intégration.
• Il faut justifier l’existence de toutes les intégrales que l’on est amené à calculer. Ici, il fallait
mentionner que l’intégrand était continu sur le compact d’intégration pour justifier cette
existence.
Question II
Les mêmes erreurs se rencontrent dans les réponses aux deux parties de cette question.
• Quand on examine l’intégrabilité d’une fonction, il ne suffit pas de déterminer le plus grand
intervalle I sur lequel cette fonction est continue sans autre conclusion. Il faut également en
déduire que la fonction est intégrable sur tout compact inclus dans I et, quand c’est nécessaire,
les voisinages des points où l’intégrabilité doit être justifiée par d’autres arguments que la
continuité.
• Deux paramètres intervenaient dans ces énoncés. La discussion ne devait pas être menée en
distinguant systématiquement les cas où ces paramètres prennent des valeurs positives, nulles
ou négatives. Les valeurs pivots utilisées dans toute discussion ne doivent pas être choisies
arbitrairement mais résulter de l’analyse de l’expression étudiée en identifiant les valeurs des
paramètres pour lesquelles cette expression présente des comportements qualitatifs différents.
Dans le cas de l’exercice proposé, il convenait, de plus, de respecter la relation α ≤ β donnée
dans l’énoncé.
• Lorsque, comme ici, on peut montrer que l’intégrand est asymptotique à une puissance de x
au voisinage des points où l’intégrabilité doit être justifiée spécifiquement, ce comportement
asymptotique permet de justifier simultanément les cas d’intégrabilité et de non-intégrabilité.
Les critères d’intégrabilité se basant sur le fait que l’intégrand est négligeable ou au plus de
l’ordre d’une fonction intégrable ne forment par contre que des conditions suffisantes. Il est
alors nécessaire de justifier autrement la non-intégrabilité lorsque ces conditions suffisantes ne
sont pas rencontrées.
• Rappelons qu’une fonction peut être intégrable dans le voisinage d’un point même si sa limite
√
y est infinie. Pensons, par exemple, à la fonction 1/ x qui est intégrable dans le voisinage de
zéro. Il ne faut cependant pas confondre la fonction et sa primitive. En vertu de la contraposée
du théorème fondamental du calcul intégral, cette dernière ne peut par contre pas avoir une
limite infinie en un point au voisinage duquel la fonction est intégrable.
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