L`équation d`une ligne droite.

L’équation d’une ligne droite.
Soit une droite L qui n’est pas une droite verticale.
• Puisque L n’est pas verticale elle doit
1. nécessairement avoir une valeur pour sa pente, disons m,
2. elle doit nécessairement couper l’axe des ordonnées à un point quelconque, disons
au point (0, b)
On appelle la valeur b, l’ordonnée à l’origine. (Certains empruntent parfois l’expression
utilisée en anglais, soit b = y-intercept)
• Puisque la droite L a une pente m et passe par le point (0, b) on peut décrire L comme
suit:
y−b
L est l’ensemble de tous les points (x, y) tels que m = x−0
• On peut également écrire de façon un plus succincte:
y−b
L = (x, y) : m =
x−0
• Ordinairement on préfère écrire l’expression qui décrit une droite sous la forme d’une
fonction:
m=
y−b
x−0
⇔ mx = y − b
⇔ y = mx + b
Donc la droite L avec pente m et l’ordonnée à l’origine b peut être exprimée par
l’équation
y = mx + b
ou sous la forme d’une fonction (une fonction dite linéaire)
y = f (x) = mx + b
– Notez que f (x) = mx+b est un polynôme de degrée 1. (Les polynômes de degrée
1 sont précisément les fonctions linéaires.)
– Nous concluons que la pente m et l’ordonnée à l’origine b définissent de façon
unique une droite dans le plan cartésien.
1
Exemple 1: Trouver l’équation de la droite illustrée dans le graphique ci-dessous.
Figure 1: Graphique de la droite passant par (−2, 3) et (1, −1)
• La premiére étape est de déterminer la pente de cette droite.
– Puisque la droite contient les deux points (−2, 3) et (1, −1):
pente = m =
3 − (−1)
−4
=
−2 − 1
3
• La deuxiéme étape est de trouver l’ordonnée à l’origine, b.
– Il suffit de constater que la droite en question passe par les deux points (0, b) et
(−2, 3):
2
m=
−4
b−3
=
3
0 − (−2)
⇔
⇔
⇔
⇔
• Munis de la pente m =
de cette droite
−4
3
−4
b−3
=
3
2
−8
= b−3
3
−8
+3=b
3
1
=b
3
et l’ordonnée à l’origine b =
y=
1
3
nous obtenons l’équation
−4
1
x+
3
3
Exemple 2: Tracer le graphique de la droite L dont l’équation est y = 3x + 2.
y−2
• En ré-écrivant y = 3x + 2 sous la forme x−0
= 3 nous voyons que L est la droite avec
3
la pente 3 = 1 passant par le point (0, 2).
– En trouvant d’abord le point (0, 2) dans le plan cartésien on trouve un second
point on se déplaçant verticalement une distance de 3 unités et ensuite en se
déplaçant vers la droite une distance de 1 unité pour se rendre au point (1,5).
– À l’aide de ces deux points nous pouvons tracer la droite suivante:
c Club Pythagore, 2007
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