Feuille 5 : Crash course sur les surfaces.

Feuille 5 : Crash course sur les surfaces.
Géométrie - M2 Enseignement Spécialité Mathématiques
Les exercices 1 et 4 sont tirés de documents de Stella Krell.
la feuille, on considère
Dans toute
un espace affine euclidien E muni d’un repère orthonormé O;~i, ~j, ~k , et ainsi identifié à R3 .
Exercice 1. Exemples de déterminations de plan tangent
Soit la surface S définie par

u


 x = u2 + v 2



v
y= 2
pour (u, v) 6= (0, 0).
u + v2 ,




1

z =
2
u + v2
1. Donner une relation simple entre x(u, v), y(u, v) et z(u, v) : reconnaı̂tre la surface S, et la
représenter.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan tangent ΠM0 à S en un point régulier M0 .
3. Soit ∆ la droite d’équation x = y = z. Démontrer que l’ensemble des points M0 de S où
ΠM0 est parallèle à ∆ est l’intersection de S avec un plan que l’on déterminera.
Exercice 2. Cône
On rappelle qu’étant donné une courbe C ⊂ R3 et un point S, on appelle cône de sommet S et
de directrice S la réunion des droites passant par S et par un point de C.
On considère l’ellipse E d’équation cartésienne x2 + 4y 2 = 1 dans le plan d’équation z = 0.
1. Donner une équation paramétrée de E.
2. En déduire une équation paramétrée du cône C de sommet Ω de coordonnées (0, 0, 1) et de
directrice E.
3. En éliminant le paramètre, démontrer précisément1 que C admet une équation cartésienne.
Exercice 3. Paraboloı̈de hyperbolique.
On considère H la surface d’équation cartésienne
x2 − y 2 = z.
1. Pour tout a ∈ R on note Za le plan d’équation z = a. Etudier pour tout a ∈ R la courbe
d’équation H ∩ Za .
2. Pour tout a ∈ R on note Ya le plan d’équation y = a. Etudier pour tout a ∈ R la courbe
d’équation H ∩ Za . Préciser ses éléments caractéristiques. Que peut-on remarquer2 ?
3. Pour chaque point M0 ∈ H étudier les droites passant par M0 et contenues dans H.
4. Vérifier que la courbe M : R → R3 définie par ∀t ∈ R, M (t) = (cos(t), sin(t), cos(2t)) est
tracée sur H. Vérifier que pour tout t ∈ R la tangente à la courbe M en M (t) est incluse dans
le plan tangent à H en M (t).
1
2
A votre avis, quelle partie de la démonstration est souvent oubliée ?
Peut-on décrire H en terme de paraboles ?
2011/2012
Centre Toulon - La Seyne
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IUFM Célestin Freinet
Exercice 4. Soient les surfaces S1 et S2 d’équation x2 + y 2 = 1 et S2 : y 2 + 4z 2 = 1. On
considère les plans P1 et P2 d’équation 2z − x = 0 et 2z + x = 0, et on note C = S1 ∩ S2 .
1. Démontrer que
C = (S2 ∩ P1 ) ∪ (S2 ∩ P2 ).
√
√
√
2. Vérifier que A(1, 0, 12 ) et B( 22 , 22 , − 42 ) appartiennent à C.
3. Calculer les tangentes à C en A et B, puis la perpendiculaire commune aux deux tangentes.
2011/2012
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