Retour sur l`équation AM=MB

Retour sur l'équation AM=MB
par Patrick Teller
Résumé
Etant données deux matrices (A; B) 2 Mn (K)2 il est bien T
connu que l'équation AM=MB ne
possède de solution non nulle que si et seulement si Spec(A) Spec(B) =
/ ? et le théorème de
Cecioni-Frobenius ([1]) détermine exactement la dimension de l'espace vectoriel des solutions en
fonction des facteurs invariants des deux matrices A et B; nous allons retrouver ce résultat de
manière élémentaire au moyen de la forme de Jordan dans le cas où les polynômes caractéristiques sont scindés et déterminer le rang maximal des solutions; nos résultats s'appliquent aussi
au cas où A 2 Mm(K) et B 2 Mn(K), avec (m,n) quelconques.
Dans la première partie nous allons réduire le problème de manière tout à fait classique au
cas de matrices qui sont des sommes de matrices (pas forcément de même taille) de Jordan associées à une seule valeur propre en rappelant des résultats classiques; la démarche étant similaire
à celle de [2].
Dans la deuxième nous allons étudier le noyau de l'application linéaire : M 7¡! AM-MB où
A 2 Mm(K) et B 2 Mn(K) (on notera que 2 L(Mm;n(K)) au moyen du produit tensoriel de
matrices, ce qui donne plus de rapidité et de clarté que dans [2], puis nous appliquerons dans la
troisième partie la technique développée pour déterminer la dimension de l'espace vectoriel des
solutions de l'équation AM=MB et le rang maximal des solutions.
1 Réduction du problème, notations et résultats classiques
Remarque 1. Dans tout ce qui suit les matrices seront considérées comme possédant un polynôme caractéristique scindé.
Proposition 2. Soient deux matrices (A; B) 2 Mn (K)2 et les matrices régulières (P ; Q) 2
Gln (K)2 l'espace vectoriel des solutions de l'équation AM=MB est isomorphe à l'espace vectoriel
des solutions de l'équation P ¡1APM=MQ ¡1BQ.
Démonstration. Il s'agit d'un simple calcul.
Proposition 3. Soient deux matrices (A,B)2Mn(K)2 et une matrice M telle que AM=MB
alors, quels que soient le scalaire et l'entier u, M(Ker (B ¡ In)u)Ker(A ¡ In)u.
Démonstration. De l'égalité AM=MB on déduit que 8P 2 K[X]; P (A)M = MP(B) soit alors
X 2 Kn, tel que (B ¡ In)uX = 0 on en déduit que M(B ¡ In)uX = 0 , d'où (A ¡ In)uMX = 0
M(Ker(B ¡ In)u)Ker(A ¡ Im)u.
Proposition
matrices (A,B)2Mm(K) Mn(K) de polynômes caractéristiques
Q r 4. Soient mdeux
Q
s
nj
i
respectifs
(X
¡
)
et
et une matrice M telle que AM=MB alors
i
i=1
i=1 (X ¡ j )
L
L
r
s
m
mi
n
i) K = i=1 Ker(A-iIm) et K = i=1 Ker(B- jIn)nj
ii) Si j 2
/ Spec(A), M(Ker (B ¡ jIn)n j= f0g
. Patrick Teller, Cpge Lycee Charlemagne, Paris 75004, France, ([email protected])
1
2
Section 2
iii) Si j = i0 2 Spec(A), M(Ker (B ¡ jIn)nj Ker(A ¡ i0Im)mi0.
Démonstration. i) découle immédiatement du théorème de Cayley-Hamilton.
ii) d'après la proposition précédente M(Ker(B ¡ jIn)n j)Ker(A ¡ jIm)nj et si j 2
/ Spec(A)
alors Ker(A ¡ jIm)n j = f0g.
Lr
iii) Km =
Ker(A-iIm)mi et chacun de ces sous-espaces vectoriels est stable par A,
L r i=1
P
donc si y 2 i=1 Ker(A-iIm)mi s'écrit y = ri=1 yi , où 8i 2 f1; :::; rg; yi 2 Ker(A-iIm)mi alors
P
r
ni0
pour que (A ¡ i0Im)ni0(y) =
(yi) soit nul il est nécessaire que 8i 2 f1; :::;
i=1 (A ¡ i0Im)
ni0
ni0
rg(A ¡ i0Im) (yi) = 0; or si i =
/ i0 (X ¡ i0) ^ (X ¡ i)ni = 1 et donc (A ¡ i0Im)ni0(yi) =
L
n
0 () yi = 0; donc Ker(A ¡ i0Im) ij \ ri=1 Ker(A-iIm)miKer(A ¡ i0Im)mi0 .
Qr
ni
Proposition 5. Soit P 2 Mn (K) et son polynôme caractéristique
alors P est
i=1 (X ¡ i)
Lr
semblable à la matrice diagonale par blocs
P
,
où
pour
chaque
i=1,..,r
P
¡
i
iI est une
i=1 i
somme de blocs de Jordan nilpotents.
Démonstration. Ceci est un résultat classique.
Ceci nous permet de
l' étude de l'espace vectoriel des solutions de l'équation
L rnous limiter à L
s
AX=XB lorsque A =
A
et
B
=
i=1 i
j=1 B j , où pour chaque i=1,..,r Ai ¡ iI et B j ¡ jI
sont des sommes de blocs de Jordan nilpotents.
Proposition
6. L
Soient deux matrices (A,B)2Mm(K) Mn(K) comme au-dessus où A =
Lr
s
A
et
B
=
chaque i=1,..,r
Ai ¡ 0
iI et B j ¡ jI sont
des sommes de
i
i=1
j=1 B j, où pour
0
1
1
blocs de Jordan nilpotents, A
A1 0
B 0 A2
B
=B
0
B 0
@ ::: :::
0
0
:::
:::
:::
:::
:::
::: 0
::: ::: C
C
::: ::: C
C
::: 0 A
::: Ar
et B
B1 0
B 0 B2
B
=B
0
B 0
@ ::: :::
0
0
:::
:::
:::
:::
:::
::: 0
::: ::: C
C
::: ::: C
C;
::: 0 A
::: Bs
nous supposerons
qu'il existe un indice tel que 8i 2 f1; :::; g; i = i et fi+1; :::; r g \ Spec(B) = ? et fi+1; :::;
s g \ Spec(A) = ?.
Soit une matrice de Mm;n(K), écrite sous forme de blocs rectangulaires M =
(Mij)(i;j)2f1;:::;rgf1;:;sg , qui vérie la relation AM=MB.
0
1
Alors i) M est la matrice diagonale par blocs M
ii) 8(i; j) 2 f1; :::; g2 , AiMii = MiiBii:
B
B
B
=B
B
B
@
M11
0
0
M22
:::
0
:::
:::
0
0
0
0
::: :::
::: :::
::: :::
::: M
::: :::
0
:::
0
:::
:::
0
0
:::
0
:::
0
:::
0
0
C
C
C
C
C
C
A
Démonstration. i) Il sut de remarquer que Mij représente la projection sur Ker(A-iIm)mi
de la restriction à Ker(B- jIn)nj et d'appliquer le résultat de la proposition 4.
ii) Découle de la multiplication des matrices par blocs.
Par suite et comme toute matrice commute avec les matrices scalaires, il sura
le
Ld'étudier
p
cas L
de deux matrices nilpotentes A et B, sommes de blocs de Jordan: A=
J(i
)et
k
k=1
q
B= t=1 J(jt).
2 Le résultat principal
Il est bien connu que la matrice (dans la base canonique de Mm;n(K)) de l'endomorphisme
M 7! AM-MB est A In ¡ Im tB , d'où l'intérêt de la proposition suivante:
Le résultat principal
3
Lp
0
Proposition 7. Soient deux matrices nilpotentes A=
k=1 J (ik) 2 Mm(K)et B, telle que B =
Lq
J (jt) 2 Mn(K) alors la dimension du noyau de A In ¡ Im B' est égale à
P t=1
min (ik ; jl).
(ik ;jt)
Démonstration. Soient
0
0 a1 0
B
0 0 a2
A=B
B
@ ::: ::: :::
0 0 :::
:::
0
:::
:::
::: am ¡1
:::
0
1
C
C
C
A
et B 0 =
0
0 b1
B
B 0 0
B
@ ::: :::
0 0
0
b2
:::
:::
:::
0
:::
:::
::: bn ¡1
:::
0
ai et bj sont égaux à 0 ou 1 (suivant les tailles des blocs de Jordan).
Alors
0
B0 0
B
B 0 B0
B
B 0 0
B
@ ::: :::
0 0
0
0
:::
0
:::
A
In
¡
Im
1 0
B 0 ¡a1In
0n
::: 0
C B
B0
¡a2In
::: ::: C B 0r
C B
0r
:::
::: ::: C=B :::
C B
:::
:::
::: 0 A @ :::
::: B 0
0r
:::
:::
::::
0n
0n
:::
:::
0r
::: ¡am¡1In
:::
B0
B0
1 0
C B
C B
C B
C; B
C @
A
=
0
1
C
C
C,
A
0n a1In :::
B 0
0n a2In
B
:::
:::
¡B
B 0
B
:::
:::
@ :::
0
:::
:::
B 0 ¡a1In
0r
0r
B0
¡a2In
:::
0r
:::
:::
:::
:::
0r
:::
:::
où les complexes
:::
:::
:::
:::
:::
:::
::: aam¡1In
0
0n
1
::::
0r
0n
:::
:::
0r
::: ¡am ¡1In
:::
B0
C
C
CX
C
A
1
C
C
C
C
C
A
+
= 0 ()
8
B 0X1 = a1X2
>
>
0
1
>
>
X1
< B 0X2 = a2X3
B X2 C
C
, where X =B
::::::
@ :::: A.(*)
>
0
>
B
X
=
a
X
>
Xm
m¡1 m
>
: 0 m¡1
B Xm = 0
Lp
Nous supposerons que A =
), où i1 > i2 > ::: > i p , et donc ai1 = ai1 +i2 = ::: =
k=1 J(ik
ai1 +:::+ip ¡1 = 0 et que 8i 2 f1; ::::; m ¡ 1g fi1; i1 + i2; :::; i1 + :::ip¡1g; ai = 1 et de même suppoLq
sons que B 0 = t=1
J(jt) où j1 > j2 > ::: > j q que b j 1 = b j1 + j 2 = ::: = bj1 +:::+j q = br = 0 et 8j 2
f1; ::::; n ¡ 1g fj1; j1 + j2; :::; j q g; bj = 1; alors (*) est équivalent à
8
i
>
>
8i 2 f1; ::::; i1 ¡ 1g; Xi+1 = B 0 X1
>
>
>
i
1
0
>
B X1 = 0
>
>
>
>
i
>
< 8i 2 f0; :::; i2 ¡ 1g; Xi1 +i+1 = B 0 Xi1 +1
i
2
. (**)
B 0 Xi1 +1 = 0
>
>
>
::::::
>
>
>
0i
>
>
> 8i 2 f0; i p ¡ 1g; Xi1 +:::+ip ¡1 +i+1 = B Xi1 +:::+ip ¡1 +1
>
0
>
: B ipXi +:::+i +1 = 0
1
Comme B 0 =
p ¡1
0
1
J(j1)
0
0 :::
0
C
0
J(j2) 0 :::
::: C
C alors
A
:::
:::
::: :::
0
0
0
::: ::: J(j q)
Pq
l=1 min (u; jl), et par suite le
B
B
B
@
0
B
B 0u = B
B
@
J (j1)u
0
0
J(j2)u
:::
:::
0
0
0
0
:::
:::
:::
0
:::
:::
:::
0
::: J(j q)u
0
1
C
C
C,
A
son noyau
est de dimension
noyau de A Ir ¡ Ir B a pour dimension
P
min
(i
;
j
);
il
est
immédiat
que
les
partitions
I = (i1; :::; i p) et J = (j1; :::; j q) ont des
k
l
(ik ;jt)
rôles symétriques, nous désignerons cet entier par (I ; J ).
Lp
Lq
Théorème 8. Soient deux matrices nilpotentes A=
k=1 J(ik)et B=
t=1 J(jt) comme audesssus, l'ensemble des matrices M telles que AM=MB est un espace vectoriel de dimension (I ;
J), où I = (i1; :::; i p) et J = (j1; :::; j q).
Démonstration. Comme la matrice dans la base canonique de Mm;n(K) de l'endomorphisme
M 7! AM-MB est A In ¡ Im tB il sut d'appliquer le résultat précédent à A et à B 0 = tB ; les
vecteurs X1; :::; Xm représentent les lignes successives de M.
Ce qui démontre (dans un cadre plus général quant aux tailles des matrices mais sous la
condition que les polynômes caractéristiques soient scindés) le théorème de Cecioni-Frobenius:
4
Section 3
Théorème 9. Soient deux matrices (A,B)2Mm(K) Mn(K) l'ensemble des matrices M telles
P
que AM=MB est un espace vectoriel de dimension
i=1 (Ii ; Ji), où désigne, comme dans la
proposition 6. le nombre de valeurs propres communes , et pour chaque i 2f1; :::; g I i et Ji sont
les partitions associées respectivement pour A et pour B aux différentes valeurs propres communes i.
La formulation du théorème de Cecioni-Frobenius ([1]) est équivalente, les entiers min (ik ; jl)
apparaissant comme degrés des pgcd de facteurs invariants de A et B.
Exemple 10. Soient A = J (3) J(2)
0
0
0
0
0
0
B
B
=B
B
@
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
C
C
C
C
A
et B = J(4) J (1)
0
0 1 0
B 0 0 1
B
=B
B 0 0 0
@ 0 0 0
0 0 0
l'ensemble des matrices M telle que AM=MB est un espace vectoriel de dimension 7.
0
B
B
t 3
B =B
B
@
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
vérie
bien que AM=MB.
0
0
0
0
0
1
C
C
C
C
A
et
0
B
B
t 2
B =B
B
@
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
C
C
C
C
A
d'où M est de la
0
0 a b
B 0 0 a
B
B
formeB 0 0 0
@ 0 0 e
0 0 0
c
b
a
f
e
d
0
0
g
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
C
C
C;
C
A
1
C
C
C,
C
A
on
Exemple 11. Appliquons notre démarche
au cas du commutant d'une matrice nilpotente, c'est
!
à dire posons A = B =
et
0
0 0 1
B 0 0 0
tB 2=B
B 0 0 0
B
@ 0 0 0
0 0 0
([3]).
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
C
C
C
C
A
J(3)
0
0
J (2)
, alors la dimension du commutant de A est égale à 9; tB 3 = 0
d'où M est de la forme
0
a b c
B 0 a b
B
B 0 0 a
B
@ f g 0
0 f g
d
0
0
h
0
e
d
0
i
h
1
C
C
C,
C
A
on reconnait le résultat classique
3 Le maximum des rangs des solutions de l'équation
AX=XB
Dans la suite nous considérerons un couple de matrices (A,B)2Mn(K)2 dont les polynômes
caractéristiques sont scindés, de spectres respectifs f1; :::; r g et f1; :::; s g, un indice tel que
8i 2 f1; :::; g; i = i et fi+1; :::; r g \ Spec(B) = ? et fi+1; :::; s g \ Spec(A) = ? et pour
chaque i2f1; :::; g Ii et Ji les partitions ordonnées (décroissantes) associées respectivement pour
A et pour B aux diérentes valeurs propres i = i; l'objet de cette partie est de déterminer le
maximum des rangs des solutions de l'équation AX=XB.
Remarque 12. Si I =
/ J les matrices A et B ne sont pas semblables et il ne peut donc exister
de matrice inversible M telle que AM=MB, ce que l'on retrouve en remarquant que, soit il existe
k tel que 8t; ik > jt auquel cas l'une des lignes de M est nulle, soit il existe t tel que 8k; jt > ik et
on applique le même raisonnement à l'équation tBtM = tMtA.
Tandis que si I = J les matrices A et B sont semblables et notre méthode fournit une famille
libre (X1; :; Xn), donc une matrice inversible P telle que AP=PB.
Lp
Lq
Théorème 13. Soient deux matrices nilpotentes A=
k=1 J(ik) 2 Mm(K)et B=
t=1 J (jt) 2
Mn(K) , où on suppose que I = (i1; :::; ip) et J = (j1; :::; j q) sont décroissantes. Le maximum des
P
rangs des solutions de l'équation AM=MB est égal à u=1 min (iu ; ju).
Le maximum des rangs des solutions de l'équation AX=XB
5
Démonstration. Nous allons décrire les matrices solutions en détaillant la résolution du système (**) de la proposition 7. dans le cas où0B' est une matrice blocs1 dont les blocs sont des
B
B
B
@
J 0(j1)
0
0
J 0(j2)
:::
:::
0
0
0 :::
0
C
C
0 :::
:::
blocs de Jordan
C; la résolution des dié8 triangulaires inférieurs B =
A
::: :::
0
0
>
::: ::: J (jq)
>
>
>
<
i
8i 2 f0; :::; it ¡ 1g; Xi1 +:::+it¡1 +i+1 = B 0 Xi1 +:::+it ¡1 +1
rentes parties
permet de déterminer les
i
t
0
>
B
X
=
0
>
i
+:::+i
+1
1
t¡1
>
0
1
>
:
0 0 0 ::: 0
0
B 1
B
0
@ :::
0
lignes i1 + ::: + it¡1 + 1 jusqu'à i1 + ::: + it de la matrice M; comme J 0(jk)=B
B
alors
0
0 0 0
B 0 0 :::
B
J 0(jk)it=B
B 1 0 :::
@ ::: 1 :::
0 0 :::
:::
:::
:::
:::
1
0
:::
:::
0
0
1
C
C
C
C
A
diagonale principale, par suite
1
0
0
0
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
1
0
C
C
C
C
A
où les 1 sont au 0
nombre
de max (0; jk ¡ it), sur une parallèle à la
1
B
B
B
B
Xi1 +:::+it ¡1 +1 = B
B
B
B
@
0
0
:::
:::
:::
C
C
C
C
C,
C
C
C
A
les max (0; jk ¡ it) premières coordonnées
étant nécessairement nulles, ce qui décrit la ligne i1 + ::: + it¡1 + 1 de M; les vecteurs suivants
Xi1 +:::+it¡1 +i+1 pour i 2 f1; :::; it ¡ 1g s'en déduisent
par multiplication par
0
1
0
0 0 0
B 1 0 :::
B
0
B
J (jk)=B 0 1 :::
@ ::: 0 :::
0 0 :::
:::
:::
:::
:::
1
0
:::
:::
0
0
1
C
C
C,
C
A
donc sont de la forme
B
B
B
B
Xi1 +:::+it ¡1 +i+1 = B
B
B
B
@
0
0
:::
:::
:::
C
C
C
C
C,
C
C
C
A
les max (0; jk ¡ it) +i
premières coordonnées étant nécessairement nulles.
Donc le bloc formé par les lignes i1 + ::: + it¡1 + 1 jusqu'à i1 + ::: + it de la matrice M est de
la forme
¡
¡
où chaque rectangle Rt;k est de la forme 0 Tt;k si it 6 jk ou
Rt;1 ::: :::: Rt;k ::: Rt; q
¡
si jk 6 it, les termes arbitraires formant le triangle rectangle Tt ;k dont l'hypothénuse
0 Tt;k
est parallèle à la diagonale principale de M et le côté vertical est de longueur min (jk ; it); par
ailleurs la relation1 de récurrence sur les Xi entraine la forme suivante pour Tt ;k
0
B
B
B
B
B
B
@
a b c d
a b c
a b
:::
::::
:::
:::
:::
:::
w
:::
:::
:::
:::
x
w
v
:::
:::
a
C
C
C
C,
C
C
A
d'où on voit qu'un bon choix des éléments rend les lignes de Tt ;k linéaire-
ment indépendantes.
On remarquera que pour tout k le support du triangle Tt ;k est inclus dans celui du triangle
Tt¡1;k de même que dans celui de Tt ;k ¡1; ces matrices étant à lignes échelonnées on déduit au
moyen d'un raisonnement de type pivot que le rang de M est inférieur ou égal au maximum de
P
la somme des rangs des blocs diagonaux T11, ...,Tmin(p;q), c'est à dire min(p;q)
min (ik ; jk) et
k=1
que cette valeur
est
atteinte,
donc
le
maximum
des
rangs
des
matrices
M
telles
que
AM=MB est
P
exactement min(p;q)
min
(i
;
j
).
k
k
k=1
Notation 14. Si I = (i1; :::; ip) et J = (j1; :::; j q) sont deux suites d'entiers (strictement positifs)
Pmin(p;q)
décroissantes, !(I ; J) désignera k=1
min (ik ; jk).
Dans le cas de l'exemple 10. on vérie qu'une matrice de rang maximal
0
0 1 1
B 0 0 1
B
sera B
B 0 0 0
@ 0 0 1
0 0 0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
C
C
C.
C
A
Comme la condition AM=MB induit que la matrice M est diagonale par blocs, où les blocs
vérient le résultat du Théorème 14, on en déduit le
Théorème 15. Soient deux matrices (A,B)2 Mm(K) Mn(K),où désigne, comme dans le
Théorème 9., le nombre de valeurs propres communes , et pour chaque i 2f1; :::; g I i et Ji sont
les partitions associées respectivement pour A et pour B aux différentes valeurs propres comP
munes i. Le maximum des rangs des matrices M telles que AM=MB est égal à i=1 !(Ii ; Ji),
6
Section 4
Dans le cas de matrices semblables on retrouve
P
i=1 !(Ii ; Ji) = n.
4 Le degré de similitude de deux matrices carrées
Dénition 16. Degré de similitude de deux matrices carrées de même taille
Soient deux matrices (A,B)2Mn(K)2 on appellera degré de similitude le maximum des rangs
des matrices M 2Mn(K) telles que AM=MB.
On désignera cet entier par s(A,B).
Proposition 17.
i) il est évident que s(A,B)=s(B,A)
ii) mais s(A,B)=s(B,C)=r n'entraîne pas s(A,C)=r.
iii) il est évident que si A et A' sont semblables s(A,B)=s(A',B).
Démonstration.
Les points i et iii étant évidents, nous nous contenterons d'un contre-exemple pour établir le
point ii.
0
1
0
1
0
1
0
B 1
0
0
Considérons les trois matrices A =B
@
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0 C
C,
0 A
0
0
B 1
0
0
B =B
@
voir que s(A,B)=3, s(B,C)=2+1=3 mais s(A,C)=2.
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 C
C,C
0 A
0
0
B 1
0
0
=B
@
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 C
C;
0 A
0
il est aisé de
Remarque 18.
Il y a certainement plus a sur ce degre de similitude
Bibliographie:
[1] C.C. Mac Duee, The Theory of Matrices, Chelsea Publishing Company,New-York, 1956,
p. 89-91. (les textes originaux de F.G. Frobenius et de F. Cecioni sont diciles à rencontrer).
[2] F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Chelsea Publishing Company,New-York,
1959, Volume 1, p.215-220.
[3] H.W. Turnbull and A.C. Aitken, An introduction to the Theory of Canonical Matrices,
Dover, New-York, 1961.Mac