Calcul de la position du point de Lagrange L1

Calcul de la position du point de Lagrange L1
On définit
vitesse angulaire
– r : distance Soleil-satellite
– d : distance Soleil-Terre (l’unité astronomique)
– Ms , Mt , m : masses du Soleil, de la Terre et
du satellite
On suppose par ailleurs que l’orbite terrestre
est circulaire (d est constant).
GMs
d3
Le terme d’accélération vaut donc
v2
r
−m = −mω 2 r = −GMs m 3
r
d
Finalement, l’équation 1 devient après simplification
ω2 =
Les forces et les accélérations sont toutes
orientées selon l’axe Soleil-Terre. On peut
donc se contenter de faire le bilan des forces
selon cet axe uniquement.
m
−
Ceci peut se mettre sous la forme adimensionnée
r2
r3
f (r) = −1 + µ
+
=0
(d − r)2 d3
d2 r X
=
F
dt2
avec µ = Mt /Ms = 3 · 10−6 . Finalement,
Les principales forces sont l’attraction gravitationnelle du Soleil et de la Terre. Nous
négligeons ici l’attraction des autres planètes,
qui est nettement plus faible et de plus varie
dans le temps. Comme le satellite suit une orbite circulaire, il subit une accélération en direction du Soleil. Son impact est comparable
celui de l’attraction terrestre et ne peut donc
pas être négligé. Ainsi
v2
Ms m
Mt m
−m = −G 2 + G
r
r
(d − r)2
f (x) = −1 + µ
x2
+ x3 = 0
(1 − x)2
x<1
(2)
avec la nouvelle variable sans dimension x =
r/d. Il suffit dès lors de résoudre en x, qui est
plus facile à manipuler que r. Comme µ ≪ 1,
on en déduit que x ≈ 1.
Notons qu’il existe un second point de Lagrange de l’autre côté de la Terre. Sa position
est racine de la même équation, après inversion du signe de la force d’attraction terrestre
(1)
Or le satellite reste sur l’axe Soleil-Terre, si
bien que sa vitesse angulaire
ω=
1
Mt
1
r
=− 2 +
3
d
r
Ms (d − r)2
g(x) = −1 − µ
2π
T
x2
+ x3 = 0
(1 − x)2
x>1
Estimation analytique de la racine de f(x)
doit être la même que celle de la Terre.
D’après la 3ème loi de Kepler, l’orbite terrestre obéit à la relation
Comme r ≈ d avec r < d, nous pouvons poser
que r = d − ǫ, avec 0 < ǫ ≪ d. Cela donne,
au premier ordre en ǫ
GMs
d3
=
2
T
4π 2
Le même résultat s’obtient en faisant le bilan des forces pour la Terre. On en déduit la
−1 + µ
1
d2 − 2dǫ d3 − 3d2 ǫ
+
=0
ǫ2
d3
0.5
0.4
0.3
0.2
f(x)
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
0.94
0.96
0.98
1
x
1.02
1.04
1.06
Fig. 1 – Les fonctions f (x) et g(x)
dont on tire que
ǫ=
1/3
µ
3
[0.9, 0.99999]. Cela donne les itérations suivantes
d = 0.01
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
etc
soit r = 0.99d.
Recherche de la racine de f(x)
La fonction f (x) possède une discontinuité en
x = 1. Ceci exclut le recours à la méthode de
la sécante, qui nécessite une fonction continue, et à la méthode de Newton, pour laquelle f (x) doit être continue et dérivable.
Seule la méthode de la bissection fonctionne
ici de manière sûre.
Notons
qu’on
pourrait
éliminer
le
dénominateur de l’équation 2 et s’affranchir ainsi des singularités. Même dans ce
cas, toutefois, il faut rester prudent, car une
discontinuité subsiste en x = 1 (passage de
f (x) à g(x)).
a
0.9000
0.9999
0.9999
0.9999
0.9874
0.9874
0.9905
0.9905
0.9898
0.9901
0.9899
b
0.9999
0.9500
0.9749
0.9874
0.9937
0.9905
0.9890
0.9898
0.9901
0.9899
0.9900
c
0.9500
0.9749
0.9874
0.9937
0.9905
0.9890
0.9898
0.9901
0.9899
0.9900
0.9900
f (c)
-0.1417
-0.0688
-0.0188
0.0547
0.0047
-0.0086
-0.0024
0.0010
-0.0007
0.0001
-0.0003
Une meilleure stratégie consiste à démarrer
avec la méthode de la bissection, pour ensuite
accélérer la convergence avec la méthode de
Newton.
La solution exacte est x = 0.990033, soit
r = 0.990033 d. Le point de Lagrange L1 se
trouve environ à 0.01 unités astronomiques
de la Terre.
Prenons donc la méthode de la bissection, avec comme intervalle initial [a, b] =
2