Cauchy`s proof of the inequality of arithmetic and geometric means

Cauchy’s proof of the inequality of arithmetic and geometric means
Ref: Cauchy, Augustin-Louis (1821). Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique, première partie,
Analyse algébrique, pp 457-9.
Théorème. La moyenne géométrique entre
plusieurs nombres A, B, C, D, . . . est toujours
inférieure à leur moyenne arithmétique.
Theorem. The geometric mean between several numbers A, B, C, D, . . . is always less than
the arithmetic mean.
Démonstration. Soit n le nombre des lettres
A, B, C, D, . . .. Il suffira de prouver qu’on à
généralement
Demonstration. Let n be the number of letters A, B, C, D, . . .. It will suffice to prove that
in general
(35)
√
n
ABCD . . . <
ou, ce qui revient au meme,
(36)
ABCD . . . <
A + B + C + D + ...
n
or, what amounts to the same,
n
A + B + C + D + ...
.
n
Or, en premier lieu, on aura évidemment, pour
Now, in the first case, we obviously have, for
n = 2,
n = 2,
2 2 2
A−B
A+B
A+B
−
<
;
AB =
2
2
2
et l’on en conclura, en prenant successivement
and it can be concluded, taking successively
m
n = 4, n = 8, &c. . . , enfin n = 2 ,
n = 4, n = 8, &c. . . , up to n = 2m ,
2 2 4
A+B
C +D
A+B+C +D
ABCD <
<
,
2
2
4
4 4
A+B+C +D
E+F +G+H
ABCDEF GH <
4
4
8
A+B+C +D+E+F +G+H
,
<
8
&c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2m
A + B + C + D + ...
(37)
ABCD . . . <
.
2m
En second lieu, if n n’est pas un terme de la
progression geometrique,
2,
4,
on désignera par 2m un terme de cette progression superieur a n, et l’on fera,
K=
In the second case, if n is not a term of the
geometric progression
8,
16,
&c . . . ,
we denote by 2m a term of this progression
greater than n, and let,
A + B + C + D + ...
;
n
puis, en revenant à la formule (37) et supthen, returning to formula (37) and suppose in
posant dans le premier membre de cette forthe first term of this formula the last 2m − n
m
mule les 2 − n derniers facteurs égaux à K,
factors are equal to K, we find
on trouvera
2m
A + B + C + D + . . . + (2m − n)K
2m −n
,
ABCD . . . K
<
2m
ou, en d’autres terms,
or, in other terms,
m −n
ABCD . . . K 2
On aura donc par suite
m
< K2
There will therefore be a result
n
A + B + C + D + ...
n
ABCD . . . < K =
;
n
ce qu’il fallait démontrer.
that which was to be demonstrated.
Corollaire. On conclut généralement de la
formule (36)
(38)
Corollary. We can conclude in general from
the formula (36)
√
n
A + B + C + D . . . > n ABCD . . .,
quel que soit le nombre des
A, B, C, D, . . .. Ainsi, par exemple,
(39)
lettres


A + B
A+B+C


&c . . .
regardless of the number of the letters
A, B, C, D, . . .. Thus, e.g.
√
> 2 AB,
√
> 3 3 ABC,
Translated (if that’s the word) by David Ireland, DI Management Services Pty Ltd.
http://www.di-mgt.com.au/