PUISSANCES

PUISSANCES
Puissances
Définitions
Il arrive que les facteurs d’un produit P soient tous égaux :
P=a×a×a×a;
Dans ce cas, on peut adopter l’écriture, plus simple, suivante :
a × a = a2 ,
a × a × a = a3 ,
a × a × a × a = a4 ,
qui consiste a écrire un seul facteur accompagné d’un nombre situé au-dessus et à
droite du facteur. Ce nombre, appelé exposant, indique le nombre de fois que le
facteur est répété dans le produit.
L’expression an s’appelle la puissance n du nombre algébrique a et
représente le produit de n facteurs égaux à a.
Lorsqu’il n’y a pas de confusion à craindre, les expressions a2, a3, a4, a5….etc….
s’énoncent plus simplement : a deux, a trois, a quatre, a cinq.
L’expression a2 et a3, respectivement, le carré et a3 s’énonce aussi : a au cube.
On appelle a2 et a3, respectivement le carré et le cube de a, ce qui est donc
synonyme de puissance 2 et puissance 3 de a.
Propriétés
Ce sont les mêmes que celles des puissances arithmétiques. Considérons le
produit :
a4 × a2 × a3
Cette écriture peut se traduire par le produit :
(a × a × a × a) × (a × a) × (a × a × a),
qui est une puissance de a exposants :
4+2+3=9
puisqu’il est formé de 9 facteurs égaux à a.
On peut donc écrire :
a4 × a2 × a3 = a4 + 2 + 3 = a9
ou plus généralement :
a n × a p × a m × a q……= a n+ p+ m+ q……..
et énoncer :
Le produit de plusieurs puissances d’un même nombre est une puissance de
ce nombre dont l’exposant s’obtient en faisant la somme des exposants des
facteurs.
Si l’on veut élever une puissance a3 à une puissance 4, par exemple, on peut
écrire, en appliquant la définition :
(a3)4 = a3 × a3 × a3 × a3
et en appliquant la règle précédente :
a3 × a3 × a3 × a3 = a 3 + 3 + 3 + 3 = a 12 a 3 × 4
il est clair que l’on peut généraliser :
(a n) p = a n p
et énoncer :
La puissance p d’une puissance n d’un nombre a est une puissance de a dont
l’exposant est le produit des exposants n et p.
Pour élever un produit a . b . c . d ou un rapport ab à une puissance, on peut
décomposer les opérations comme dans les exemples suivants :
(abcd)4 = (abcd) × (abcd) × (abcd) × (abcd)
= abcd × abcd × abcd × abcd
= (aaaa) . (bbbb) . (cccc) . (dddd)
4
(abcd) = a4. b4. c4. d4
(ab ) = (ba )× (ba )× (ba )= ab××ab××ba = ba
3
on peut généraliser :
(abcd) n = a n. b n. c n. d n,
3
3
( ba ) = ba
n
n
n
De là les règles :
Pour élever un produit de facteurs à une puissance n, on élève chaque facteur
à la puissance n.
Pour élever une fraction à une puissance n on élève le numérateur et le
dénominateur à la puissance n.
Quotient de a m par a p
a m = a m− p
, si m > p
ap
am = 1
a p a p−m , si m < p
Le quotient de a m par a p est égal à :
a m−p si m est plus grand que p,
1
si p est plus grand que m,
a p− m
1 si p est égal à m