$ D $-modules arithm\`etiques, distributions et localisation

Transcription

D-modules arithmétiques, distributions et localisation
Christine Huyghe et Tobias Schmidt
arXiv:1401.6901v2 [math.RT] 29 Sep 2014
September 30, 2014
Abstract
Let p be a prime number, V a complete discrete valuation ring of unequal caracteristics (0, p), G a smooth affine algebraic group over Spec V . Using partial divided
powers techniques of Berthelot, we construct arithmetic distribution algebras, with level
m, generalizing the classical construction of the distribution algebra. We also construct
the weak completion of the classical distribution algebra. We then show that these
distribution algebras can be identified with invariant arithmetic differential operators
over G. We apply these constructions in the case of a reductive group and obtain a
localization theorem for the sheaf of arithmetic differential operators on the formal flag
variety obtained by p-adic completion. We give an application to the rigid cohomology
of open subsets in the characteristic p flag variety.
Résumé
Soient p un nombre premier, V un anneau de valuation discrète complet d’inégales
caractéristiques (0, p), G un groupe algébrique affine lisse sur Spec V . En utilisant les
techniques de puissances divisées de niveau m de Berthelot, nous construisons dans
ce cadre des algèbres de distributions arithmétiques, avec des niveaux m, généralisant
la construction classique. Nous construisons aussi la complétion faible de l’algèbre des
distributions classique. Nous montrons alors que ces algèbres de distribution s’identifient
aux opérateurs différentiels arithmétiques invariants sur G. Nous appliquons finalement
ces constructions au cas d’un groupe réductif, pour obtenir un théorème de localisation
pour le faisceau des opérateurs différentiels arithmétiques sur la variété de drapeaux formelle obtenue par complétion p-adique. Nous donnons une application à la cohomologie
rigide pour des ouverts dans la variéte de drapeaux en charactéristique p.
MSC classification 2010 : 20G05, 20G25, 13N10, 16S32
1
Table des matières
1 Introduction
3
2 Rappels sur les opérateurs différentiels arithmétiques
7
2.1 Enveloppes à puissances divisées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.2
Enveloppes à puissances divisées d’un faisceau d’idéaux . . . . . . . . .
9
2.2 Faisceaux d’opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.1
Faisceaux gradués de parties principales . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.2
Faisceaux de parties principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.3
Faisceaux d’opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.4
Faisceaux d’opérateurs différentiels twistés . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2.5
Compléments sur les faisceaux d’opérateurs différentiels twistés
17
. . . .
3 Faisceaux équivariants
20
3.1 Notations-Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.2 Lemmes techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.3 Faisceaux G-équivariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3.2
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3.3
Structures G-équivariantes à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.4 Action de G sur les faisceaux de parties principales . . . . . . . . . . . . . . .
25
4 Algèbres de distributions arithmétiques à un niveau fini
26
4.1 Définition, propriétés à un niveau fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2 PD-stratifications de niveau m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.3 Liens avec les faisceaux différentiels sur G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.4 Opérateurs différentiels sur des G-schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.4.7
Etude du gradué de Qm,X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.4.8
Opérateurs différentiels invariants sur G . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.5 Opérateurs différentiels twistés sur des G-schémas . . . . . . . . . . . . . . . .
59
5 Algèbres de distributions arithmétiques (faiblement) complétées
62
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.2 Distributions analytiques rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.3 Représentations analytiques rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.4 Le cas réductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2
5.4.1
Décomposition triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.4.2
Cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.4.7
Cohomologie rigide et cohomologie des algèbres de Lie . . . . . . . . .
73
5.5 Liens avec les faisceaux différentiels sur un G-schéma . . . . . . . . . . . . . .
75
A Appendice : calculs de sections globales (par Christine Huyghe)
1
77
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
A.2 Opérateurs différentiels sur la variété de drapeaux . . . . . . . . . . . . . . . .
77
A.2.1 Rappels du cas classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
A.2.2 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
A.2.4 Enoncé du théorème dans le cas twisté . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
A.2.6 Démonstration du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Introduction
Soient p un nombre premier, V une Z(p) -algèbre noetherienne, S = Spec V , G un schéma en
groupes affine et lisse sur S.
En utilisant les techniques de puissances divisées de niveau m de Berthelot [Ber96], nous
construisons dans ce cadre des algèbres de distributions arithmétiques D (m) (G), de niveau
m, généralisant la construction classique de l’algèbre de distributions sur G. Rappelons
que l’algèbre des distributions classiques Dist(G) joue un rôle central dans la théorie des
représentations de G et est définie en dualisant les fonctions sur les voisinages infinitésimaux
de la section unité de G [DG70]. En suivant la construction de Berthelot des opérateurs
différentiels arithmétiques, nous définissons D (m) (G) en dualisant les fonctions sur les m-PD
voisinages infinitésimaux de la section unité de G. En particulier, on a Dist(G) = ∪m D (m) (G).
Nous montrons de plus que si X est un schéma lisse sur S avec une action de G, alors l’algèbre
D (m) (G) agit sur X par des opérateurs différentiels arithmétiques globaux de niveau m.
La principale motivation pour l’introduction des algèbres D (m) (G) réside dans le cas où V
est un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques (0, p) et G un groupe
réductif connexe déployé sur V . Dans ce contexte, nous utilisons ces algèbres pour montrer
une version arithmétique, i.e. une version pour les D-modules arithmétiques de Berthelot, du
théorème de localisation classique de Beilinson-Bernstein [BB81]. Rappelons plus précisément
de quoi il s’agit. Soient XK la fibre générique de la variété de drapeaux de G et DXK le
faisceau des opérateurs différentiels sur XK . Soient gK l’algèbre de Lie de GK , U(gK ) son
+
algèbre enveloppante et ZK
la partie positive du centre de U(gK ).
3
Le théorème de localisation de loc. cit. se décompose en deux parties1 : premièrement,
l’action naturelle de GK sur XK induit un isomorphisme d’algèbres QK entre la réduction
+
centrale U(gK )/hZK
i et les opérateurs différentiels globaux sur XK . Deuxièmement, l’exten-
sion des scalaires par QK et le passage aux sections globales induisent des équivalences de
+
catégories quasi-inverses entre les DXK -modules sur XK et les modules sur U(gK )/hZK
i. Dans
cette équivalence, les DXK -modules cohérents correspondent aux modules de type fini. En
réalité, ces énoncés sont démontrés dans loc. cit. dans le contexte plus général des opérateurs
différentiels twistés et des caractères centraux arbitraires de U(gK ).
Pour décrire la version arithmétique de ces résultats de localisation, nous introduisons la
b (m) (G)Q des algèbres
complétion formelle G de G le long de sa fibre spéciale, les complétions D
de distributions D (m) (G), ainsi que leur limite inductive sur m, D † (G)Q . Nous travaillons
d’autre part sur la variété de drapeaux formelle X de G. On dispose sur cet espace des faisceaux
b (m) , obtenus par complétion à partir des opérateurs différentiels de niveau fini m sur X et
D
X ,Q
de DX† ,Q
obtenu par passage à la limite sur m de ces faisceaux. Rappelons que la cohomologie
rigide ou cristalline des schémas sur un corps de caractéristique finie fournit naturellement des
coefficients qui sont des DX† ,Q-modules cohérents [Ber89]. Le principal résultat de cet article
+
(A.2.3) est qu’il existe un isomorphisme Q entre la réduction centrale D † (G)Q /hZK
i et les
sections globales de DX† ,Q, tel que le diagramme suivant soit commutatif
_
QK
≃
+
(G)Q /hZK
i
Q
≃
+
U(gK )/hZ
Ki

D
†
Γ(XK , DXK )
/
_
/
Γ(X , DX† ,Q).
Les flèches verticales de ce diagramme sont des injections plates et l’isomorphisme Q peut être
vu comme une complétion faible, au sens de Monsky-Washnitzer [MW68], de l’isomorphisme
classique QK . Ces résultats, joints avec le résultat de D-affinité de [Huy97] impliquent que les
foncteurs sections globales et l’extension des scalaires via Q sont des équivalences de catégories
+
quasi-inverses entre les DX† ,Q -modules cohérents et les D † (G)Q /hZK
i-modules de présentation
finie. En fait, tous les énoncés sont vrais à chaque niveau m fixé et dans le contexte plus
général des opérateurs différentiels twistés et de caractères centraux arbitraires.
Une conséquence importante de ce théorème concerne la cohomologie rigide des ouverts de
la variété de drapeaux obtenus comme complémentaires de diviseurs à croisements normaux.
Soit Z ⊂ Xk un diviseur à croisements normaux dans la fibre spéciale Xk de X . Soient Y l’ou•
vert complémentaire, v : Y ֒→ Xk l’immersion correspondante et Hrig
(Y /K) la cohomologie
rigide de Y . Soient X rig l’espace analytique rigide associé à X , v † OX rig le faisceau des fonctions
1
Dans loc.cit. le théorème est formulé pour le corps des nombres complexes mais il est bien connu qu’il se
généralise à n’importe quel corps de caractéristique zéro sur lequel l’algèbre de Lie réductive est scindée.
4
+
surconvergentes le long de Z. L’action de G sur X induit une action de U(gK )/hZK
i sur v † OX rig
•
par des opérateurs différentiels. Notons en outre Hres
(gK , .) := Ext•U (gK )/hZ + i (K, .) les foncteurs
K
+
dérivés de M → M gK sur la catégorie des U(gK )/hZK
i-modules. Ces groupes de cohomologie
peuvent être vus comme un analogue en caractéristique zéro de la cohomologie d’algèbre
de Lie restreinte en caractéristique positive [Jan87]. Nous démontrons alors en 5.4.10 que le
foncteur sections globales induit un isomorphisme canonique des algèbres de cohomologie
≃
•
•
Hrig
(Y /K) −→ Hres
(gK , Γ(X rig , v † OX rig )).
Après cette présentation de nos principaux résultats, indiquons maintenant brièvement la
structure de notre article.
Dans la section 2, nous rappelons la théorie des puissances divisées partielles et la construction des opérateurs différentiels arithmétiques. Nous expliquons le formalisme des opérateurs
différentiels twistés par un faisceau inversible dans le cadre des D-modules arithmétiques de
Berthelot et donnons quelques propriétés de base.
Dans la section 3, nous rappelons quelques généralités sur les faisceaux équivariants sur les
schémas munis d’une action du schéma en groupes G, qui sont éparpillées dans la littérature.
Nous appliquons ces considérations aux versions arithmétiques des faisceaux de parties principales, aux algèbres symétriques et aux opérateurs différentiels dans le cas d’un schéma en
groupes G lisse sur S. Nous montrons en particulier que ces faisceaux sont G-équivariants.
Dans la section 4, nous étudions systématiquement les algèbres de distributions D (m) (G),
ainsi que les modules sur ces algèbres, en toute généralité, c’est-à-dire pour un schéma en
groupes affine et lisse sur S = Spec V où V est une Z(p) -algèbre. Dans ce cadre, il nous faut
introduire des faisceaux de distributions de niveau m, D (m) (G), qui sont des OS -modules localement libres, et dont les sections globales constituent les algèbres de distributions de niveau
m, D (m) (G). Nous montrons ainsi que la construction des algèbres D (m) (G) est fonctorielle
en G. D’autre part, ces algèbres sont filtrées par la filtration par l’ordre et le gradué associé
à cette filtration s’identifie à l’algèbre symétrique de niveau m de Lie(G), l’algèbre de Lie
du groupe G. On dispose en particulier d’un théorème du type Poincaré-Birkhoff-Witt pour
D (m) (G) en termes d’une V -base de Lie(G). De plus, les anneaux D (m) (G) sont noetheriens
à gauche et à droite. Nous donnons une description explicite de ces algèbres dans le cas du
groupe additif et du groupe multiplicatif, et introduisons la notion de PD stratification de
niveau m en 4.2, permettant de décrire plus facilement les D (m) (G)-modules.
En outre, si X est un S-schéma muni d’une action de G (à droite), nous donnons une
interprétation géométrique des algèbres D (m) (G) en montrant (4.3 et 4.4) qu’il existe un anti(m)
homomorphisme d’anneaux de D (m) (G) vers l’algèbre des sections globales sur X de DX .
Dans le cas où X = G, ceci nous permet d’identifier D (m) (G) avec les opérateurs différentiels
5
sur G, G-invariants. Insistons enfin sur le fait que tous ces résultats sont aussi valables en
caractéristique finie, ou si V possède de la torsion.
Dans la section 5, nous nous plaçons dans le cas où V est un anneau de valuation discrète
complet (AVDC) d’inégales caractéristiques (0, p). Soit alors G un schéma formel en groupes
b (m) (G), ainsi que leur
sur S = Spf V . Nous construisons des algèbres complétées de niveau m, D
limite D † (G)Q , tensorisée par Q. Cette algèbre peut être vue comme la complétée faible, en
sens noncommutatif de Monsky-Washnitzer [MW68], de l’algèbre des distributions classiques
Dist(G) et elle joue un rôle central dans notre application aux D-modules arithmétiques.
En 5.2 et 5.3, nous relions ces constructions à la théorie des représentations p-adiques
et introduisons le groupe analytique rigide G◦ . Le groupe des points rationnels G◦ (K) est
égal au ’premier groupe de congruence’ de G(V ). Si V est l’anneau des entiers d’un corps
local p-adique, ce groupe donne lieu à différentes théories des représentations intéressantes
(analytique-rigides, localement analytiques, Banach, etc ...). Dans notre cas, la théorie des
représentations analytiques rigides fournira le lien avec l’algèbre de distributions D † (G)Q .
A cette fin, nous introduisons l’algèbre des distributions analytiques rigides D an (G◦ ) qui
est le dual continu de l’espace des sections globales de G◦ , et qui est munie du produit de
convolution. Nous montrons que l’inclusion de Lie(G◦ ) dans D an (G◦ ) s’étend naturellement
en un isomorphisme entre D † (G)Q et D an (G◦ ), ce qui généralise [PSS13, 2.3.3.] dans le cas
V = Zp and GL(2). Nous introduisons ensuite les catégories des représentations analytiques
rigides des groupes de Lie G◦ (K) et G(V ) ainsi que leurs sous-catégories de représentations
admissibles. Par construction, ces dernières sont anti-équivalentes aux catégories de modules
de présentation finie sur D an (G◦ ).
En 5.4, nous analysons en détail la structure des anneaux D (m) (G) dans le cas où G est
égal à un groupe réductif connexe déployé sur V . En utilisant la grosse cellule de G, nous
en déduisons une décomposition triangulaire des algèbres D (m) (G) et D † (G)Q . En utilisant
cette description et en reprenant des arguments de Berthelot et de Emerton, nous démontrons
que l’anneau D † (G)Q est cohérent. Nous espérons que ce résultat reste vrai pour un groupe
G général [Em04, 5.3.12]. Nous terminons par l’application à la cohomologie rigide décrite
ci-dessus. En 5.5 nous étendons les résultats obtenus à un niveau fini au cas suivant. Soit X
un S-schéma formel muni d’une action à droite de G, alors on dispose d’un morphisme de
D † (G)Q vers l’algèbre des sections globales Γ(X , DX† ,Q). Dans le cas particulier où X = G,
ceci nous permet d’identifier l’algèbre de distributions D † (G)Q avec les opérateurs différentiels
†
Γ(G, DG,Q
) qui sont G-invariants. Nous donnons aussi une version twistée de ces résultats.
Toutes ces constructions sont utilisées dans l’appendice dans le cas où G est un groupe
réductif connexe deployé sur S où nous calculons les sections globales du faisceau des algèbres
d’opérateurs différentiels arithmétiques sur le complété formel X de la variété de drapeaux de
6
G. Elles sont obtenues, en niveau m, comme quotient de D̂ (m) (G)Q par des éléments de la partie
positive de son centre. Ce résultat, joint au résultat d’acyclicité de [NH09], donne le théorème
de localisation en sens de Beilinson-Bernstein [BB81] pour les algèbres de distributions padiques associées aux D-modules arithmétiques sur X .
Remarquons que pour le niveau m = 0, dans le cas où le groupe G est semi-simple, et pour
p ’très bon’ (condition liée au système de racines de G), le théorème de localisation etait établi
par Ardakov et Wadsley dans [AW13]. D’autre part, les algèbres D (m) (G) avaient été définies
ad hoc par Kaneda et Ye ([KY07]), sans utiliser un formalisme conceptuel et fonctoriel comme
ici, et qui ne les ont pas étudiées systématiquement. Remarquons aussi que, dans le cas GL(2)
et V = Zp , les algèbres D (m) (G) sont définies ad hoc par Patel, Schmidt et Strauch [PSS13]
pour calculer des sections globales des opérateurs log-différentiels arithmétiques sur certains
modèles formels semistables de la droite projective. Notons aussi que Le Stum et Quiros ont
introduit les m-PD-enveloppes de la section unité d’un groupe G dans [LSQ08].
Le premier auteur remercie Michel Gros, et Adriano Marmora pour leurs encouragements
à rédiger ce travail, ainsi que King Fai Lai pour l’avoir initiée à ces problèmes. Nous remercions
d’autre part Pierre Berthelot pour ses réponses à nos questions.
Le second auteur remercie Deepam Patel et Matthias Strauch pour quelques conversations
intéressantes sur certains points de ce travail.
Le second auteur a accompli une partie de ce travail alors qu’il était lauréat d’une bourse
Heisenberg attribuée par la Deutsche Forschungsgemeinschaft. Il tient à remercier cette institution pour son soutien.
Notations :
V désigne toujours une Z(p) -algèbre noetherienne et S = Spec V . Si, plus
particulièrement, V est un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques
(0, p) (noté AVDC dans la suite), nous noterons π une uniformisante de V , K = F rac(V ) et
k le corps résiduel de V . Si V est un AVDC, on écrit S = Spf V . Un S-schéma formel est
un schéma formel localement noethérien X sur S, tel que πOX soit un idéal de definition.
Si X est un S-schéma formel, alors Xi sera le S-schéma X ×S Spec(V /π i+1V ). Si X est un
S-schéma quelconque, le S-schéma formel obtenu par compléter X le long de l’idéal πOX ,
sera toujours noté X .
Tous les schémas considérés dans cet article sont localement noetheriens.
2
2.1
Rappels sur les opérateurs différentiels arithmétiques
Enveloppes à puissances divisées partielles
Nous utiliserons dans la suite le formulaire (1.1.3 de [Ber96]).
7
2.1.1
Définitions
Fixons un entier m. Pour un entier k ∈ N, qk est le quotient de la division euclidienne de k
par pm . Berthelot introduit les coefficients suivants pour deux entiers k, k ′ avec k ≥ k ′
qk !
k
=
∈ N,
′
k
qk′ !qk′′ !
−1
k
k
k
∈ Zp
=
′
′
k′
k
k
où k ′′ = k − k ′ . On peut généraliser ces coefficients pour des multi-indices en posant pour
k = (k1 , . . . , kN ) ∈ NN ,
qk ! = qk1 ! · · · qkN !,
et
qk !
k
∈ N,
=
′
k
qk′ !qk′′ !
−1
k
k
k
=
∈ Zp .
′
′
k
k
k′
S’il y a lieu, on précisera dans ces notations le niveau m en indice.
On se réfère ici à 1.3.5 de [Ber96]. Soit A une Z(p) -algèbre, (I, J, γ) un m-PD-idéal. Par
définition, cela signifie que (J, γ) est un idéal à puissances divisées (un PD-idéal) et que I est
muni de puissances divisées partielles, c’est-à-dire que, pour tout entier k qui se décompose
k = pm qk + r (avec r < pm ), il existe une opération définie pour tout x de I par
m
x{k} = xr γk (xp ).
(m)
Quand nous voudrons préciser le niveau m, nous noterons qk
l’entier qk que nous venons de
définir. On a ainsi la relation
qk !x{k} = xk ,
et le formulaire
∀x ∈ I, x{0} = 1, x{1} = x, ∀k ≥ 1,
x{k} ∈ I, ∀k ≥ pm , x{k} ∈ J
(ax){k} = ak x{k} ,
X k ′
′′
{k}
x{k } y {k } ,
∀x, y ∈ I, ∀k ∈ N, (x + y) =
′
k
k ′ +k ′′ =k
′
k + k ′′ {k′ +k′′ }
′
′′
{k ′ } {k ′′ }
x
.
∀x ∈ I, ∀k , k ∈ N, x x
=
k′
∀x ∈ I, ∀a ∈ A, ∀k ∈ N,
Un homomorphisme d’algèbres ϕ entre deux m-PD-algèbres (A, I, J, γ) et (A′ , I ′ , J ′ , γ ′ ) est
un m-PD-morphisme si ϕ(I) ⊂ I ′ et si ϕ : (A, J, γ) → (A′ , J ′ , γ ′ ) est un P D-morphisme,
autrement dit γ ′ (ϕ(x)) = ϕ(γ(x)) pour tout x de J. Dans cette situation, on a donc, pour
tout x ∈ I,
ϕ x{k} = (ϕ(x)){k} .
8
Ces notations seront aussi utilisées avec des multi-indices k = (k1 , . . . , kN ) ∈ NN et les
conventions habituelles, pour des multi-indices k et k ′ de longueur N avec k ≥ k ′
Y
N k
ki
,
=
′
ki′
k
i=1
Y
N k
ki
.
=
′
ki′
k
i=1
Enfin, on notera |k| = k1 + · · · + kN .
2.1.2
Enveloppes à puissances divisées d’un faisceau d’idéaux
Avec ce formalisme, les m-PD-enveloppes à puissances divisées sont construites de façon
analogue aux PD-enveloppes à puissances divisées (1.4.2 de [Ber96]). Ces constructions se
faisceautisent. Suivant 1.5.3 de [Ber96] (que nous appliquons avec R = V et A/I = V ), si I
est un idéal régulier d’une V -algèbre A et (t1 , . . . , tN ) est une suite régulière de paramètres de
I, alors la m-PD-enveloppe de I, notée P(m) (I), est un V -module libre de base les éléments
{k1 }
t{k} = t1
{ki }
où qi !ti
{k }
· · · tN N ,
= tki i . Sous ces hypothèses, ces algèbres sont indépendantes du choix de la m-PD-
structure compatible sur la base V . Ces algèbres sont munies d’une filtration décroissante par
les idéaux I {n} , tels que
I {n} =
M
V · t{k} .
|k|≥n
n
Les quotients P(m)
(I) := P(m) (I)/I {n+1} sont donc engendrés comme V -module par les
éléments t{k} pour |k| ≤ n.
Une base duale des t{k} sera notée η hki . Ces éléments vérifient formellement
η hki =
Y
hki i
ηi
, où
i
ki ! hki i
η
= ηiki .
qki ! i
2.2
Faisceaux d’opérateurs différentiels
2.2.1
Faisceaux gradués de parties principales
(1)
Nous reprenons ici des constructions de [Huy97]. Soient Y un S-schéma, E un faisceau localement libre sur Y , SY (E) l’algèbre symétrique associée au faisceau E, I l’idéal des éléments
homogènes de degré 1 de cette algèbre, on définit
ΓY,(m) (E) = PSY (E) (I),
(2)
ΓnY,(m) (E) = ΓY,(m) (E)/I {n+1} .
(3)
9
Ces algèbres sont graduées
ΓnY,(m) (E) =
M
ΓY,(m),n′ (E).
(4)
n′ ≤n
Si E admet localement pour base ξ1 , . . . , ξN , on a la description locale suivante
M
{k }
ΓY,(m),n′ (E) ≃
OY ξ {k} , où qi !ξi i = ξiki .
(5)
|k|=n′
Définissons maintenant par dualité
[
(m)
SY (E) =
HomOY (ΓnY,(m) (E ∨ ), OY ).
(6)
n
On obtient ainsi une algèbre commutative graduée
M (m)
(m)
SY (E) =
SY,n (E).
n
Soient ξ1 , . . . , ξN une base locale de E, ξ hki la base duale des éléments ξ {k} de 5. On a alors la
description suivante
(m)
SY,n (E) ≃
M
OY ξ hki , où
|k|=n
ki ! hki i
ξ
= ξ ki .
qki !
(7)
Appliquons maitenant la définition d’enveloppe à puissances divisées partielles dans le cas
des faisceaux de parties principales (1.5.3 et 2.1 [Ber96]) de niveau m sur un S-schéma lisse
Y.
2.2.2
Faisceaux de parties principales
n
On note PY,(m)
le faisceau des parties principales de niveau m et d’ordre n de Y relativement à
S : ce sont les enveloppes à puissance divisées partielles de niveau m de l’idéal I de l’immersion
diagonale Y ֒→ Y × Y . Par construction, il existe un morphisme canonique de OS -algèbres
n
rm : OY ×Y → PY,(m)
.
(8)
On dispose de 2 morphismes canoniques induits par a 7→ a⊗1, noté OY,g et par a 7→ 1⊗a noté
n
OY,d sur PY,(m)
, qui munissent ce faisceau d’algèbres de 2 structures de OY -module. Lorsque
le contexte sera clair les mentions d et g ne figureront pas dans les notations. L’application
n
rm est OY -linéaire pour la structure de OY,g -module de PY,(m)
.
Si (y1 , . . . , yN ) est un système de coordonnées locales sur Y , et si τi = 1⊗yi −yi ⊗1 ∈ OY ×Y ,
on dispose localement d’un isomorphisme de OY -modules
M
{u }
{u }
{k }
n
PY,(m)
≃
OY τ1 1 · · · τN N , où qi !τi i = τiki .
|k|≤n
10
(9)
L’idéal I {k} est l’idéal engendré par les éléments τ {u} avec |u| ≥ k.
n
Ces définitions ont un sens pour m = ∞ où l’on trouve que PY,(∞)
= OY /I n+1 . Le cas
m = 0 correspond à l’algèbre à puissances divisées classique de l’idéal d’une V -algèbre A.
En appliquant les résultats de 1.1.5 de [Huy97], on voit que l’algèbre graduée associée
à la filtration m-PD-adique de PY,(m) , s’identifie à la m-PD-algèbre graduée ΓY,(m) (I/I 2 ) =
ΓY,(m) (Ω1Y ) (cf 2.2.1). Plus précisément, on dispose d’un isomorphisme canonique de m-PDalgèbres
∼
d∗m : ΓY,(m) (Ω1Y ) → gr• PY,(m) .
(10)
Donnons maintenant une description en coordonnées locales de ces algèbres. Avec les
notations précédentes, notons ξi la classe de τi dans I/I 2 , alors localement les faisceaux
P
{u }
{u }
ΓnY,(m) sont des OY -modules libres de base les éléments ξ {u} = ξ1 1 · · · ξN N avec
ui ≤ n.
Soit f un morphisme de S-schémas lisses : Y → X, alors il existe un homomorphisme
n
n
canonique OY -linéaire noté df : f ∗ PX,(m)
→ PY,(m)
(2.1.4 de [Ber96]). De plus, on a df (1 ⊗
h − h ⊗ 1) = 1 ⊗ f −1 (h) − f −1 (h) ⊗ 1 si h est une section locale de OX . On peut ainsi
vérifier que si g est un morphisme de S-schémas lisses : Z → Y , alors le morphisme d(f ◦ g) :
n
n
(f ◦ g)∗PX,(m)
→ PZ,(m)
coı̈ncide avec dg ◦ g ∗ df . Considérons le cas où Y = Z × X et où
p1 et p2 sont les deux projections. On dispose aussi d’une projection r2 : Y × Y → X × X.
L’application canonique r2−1 OX×X → OY ×Y , envoie l’idéal diagonal de X vers l’idéal diagonal
de Y . Par la propriété universelle des m-PD enveloppes, on a donc un morphisme canonique,
pour tout n
n
n
dp2 : p∗2 PX,(m)
→ PY,(m)
.
n
n
De même on dispose de dp1 : p∗1 PZ,(m)
→ PY,(m)
, et si JZ est le m-PD-idéal de la m-PD-algèbre
n
PZ,(m)
, on dispose d’un m-PD-morphisme
n
n
s2 : PY,(m)
։ PY,(m)
/p∗1 (JZ ).
(11)
Décrivons localement ces morphismes. Supposons que t′1 , . . . , t′M , t1 , . . . , tN soient des coordonnées locales sur Z et X respectivement, notons τi′ = 1⊗t′i −t′i ⊗1, resp. τi = 1⊗ti −ti ⊗1, de
sorte que les élements p∗1 (t′1 ), . . . , p∗1 (t′M ), p∗2 (t1 ), . . . , p∗2 (tN ) forment un système de coordonnées
locales de Y . Localement, on peut donc identifier
{l }
{l }
n
≃ ⊕|l1 |+|l2 |≤n OY p∗1 (τ ′ 1 1 )p∗2 (τ 2 2 ),
PY,(m)
{l }
{l }
et p∗1 (JZ ) avec le sous OX -module engendré par les éléments p∗1 (τ ′ 1 1 )p∗2 (τ 2 2 ) pour lesquels
|l1 | ≥ 1, ce qui donne
{l }
n
PY,(m)
/p∗1 (JZ ) ≃ ⊕|l2 |≤n OY p∗2 (τ 2 2 ).
11
Or, avec ce choix de coordonnées locales, on a aussi
{l }
n
PX,(m)
≃ ⊕|l2 |≤n OX τ 2 2 ,
en d’autres termes, s2 ◦ dp2 est un m-PD-isomorphisme d’algèbres, noté λ2 . On pose donc
n
∗ n
q2 = λ−1
2 ◦ s2 : PY,(m) → p2 PX,(m) .
(12)
Avec les identifications précédentes, on a


X
X
{l }
{l }
{l }
q2 
al1 ,l2 p∗1 (τ ′ 1 1 )p∗2 (τ 2 2 ) =
a0,l2 p∗2 (τ 2 2 ).
l1 ,l2
l2
On vérifie ainsi localement que q2 est une section canonique de dp2 .
Le raisonnement qui précède peut aussi s’appliquer aux faisceaux d’algèbres ΓnX,(m) et ΓnY,(m)
L ∗ 1
si Y = Z × X. Comme on a un isomorphisme Ω1Y ≃ p∗1 Ω1Z
p2 ΩX , la proposition 1.2.2 de
[Huy97], implique que l’on a un isomorphisme canonique ΓZ×X,(m) ≃ p∗1 ΓZ,(m) ⊗OY p∗2 ΓX,(m) . En
procédant exactement comme ci-dessus, on voit qu’il existe un m-PD-morphisme canonique
p∗2 ΓnX,(m) → ΓnY,(m) ,
et une section à ce morphisme, qui est aussi un m-PD-morphisme
q2′ : ΓnY,(m) → p∗2 ΓnX,(m) .
En coordonnées locales, et avec les notations précédentes, notons ξi′ la classe de 1 ⊗ t′i − t′i ⊗ 1
dans ∈ ΓZ,(m) (resp. ξi la classe de 1 ⊗ ti − ti ⊗ 1 dans ΓX,(m) ). On peut alors identifier
{l }
),
ΓnY,(m) ≃ ⊕|l1 |+|l2 |≤n OY p∗1 (ξ ′ 1 1 )p∗2 (ξ 2{l2 } ), ΓnX,(m) ≃ ⊕|l|≤n OX ξ {l}
2
et avec ces identifications

X
al
q2′ 
l1 ,l2
2.2.3

{l }
2 } ) =
p∗ (ξ ′ 1 1 )p∗2 (ξ {l
1 ,l2 1
2
X
2 } ).
a0,l2 p∗2 (ξ {l
2
l2
Faisceaux d’opérateurs différentiels
(m)
Soit X un S-schéma lisse, on définit le faisceau DX,n des opérateurs différentiels d’ordre n et
de niveau m, comme
(m)
n
DX,n = HomOX (PX,(m)
, OX ),
n
le dual étant pris pour la structure gauche de OX -module sur le faisceau PX,(m)
. Le faisceau
(m)
(m)
des opérateurs différentiels de niveau m est DX = limn DX,n .
−→
12
(m)
Le faisceau DX est muni d’une structure d’anneau de la façon suivante (2.2.1 de [Ber96]).
L’application OX×X → OX×X ⊗OX OX×X , qui envoie a ⊗ b sur a ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ b, induit un unique
m-PD morphisme de m-PD-algèbres
′
′
′
δn,n
′
n
n
n+n
→ PX,(m)
⊗OX PX,(m)
,
δ n,n : PX,(m)
(13)
′
n
où le produit tensoriel est donné par la structure de OX -module à gauche de PX,(m)
et par la
n
structure de OX -module à droite de PX,(m)
.
(m)
(m)
Soient P ∈ DX,n , P ′ ∈ DX,n′ , l’opérateur P P ′ est obtenu comme composé
′
′
δn,n
Id⊗P ′
′
P
n
n
n
n+n
→ PX,(m)
⊗ PX,(m)
→ PX,(m)
→ OX .
PX,(m)
(14)
Nous renvoyons à 2.3 de [Ber96] pour le fait que se donner sur un OX -module E une
(m)
structure de DX -module revient à se donner une m-PD stratification. En dualisant, on
déduit facilement de l’isomorphisme d∗m de 10, comme en 1.3.7.3 de [Huy97], l’isomorphisme
canonique d’algèbres commutatives
(m) ∼
dm : gr• DX → S(m) (TX )
(15)
(m)
où TX désigne le faisceau tangent de X. En particulier, l’algèbre gr• DX (U) est noetherienne
(m)
sur les ouverts affines U de X, et donc aussi DX (U) par un argument classique.
Sur X le complété formel de X, nous introduirons
b (m) = lim D (m) /π i+1 D (m) , et D † = lim D
b (m) .
D
X
X
X ,Q
←− X
−→ X ,Q
i
m
Si x1 , . . . , xN est un système de coordonnées locales sur X sur un ouvert U, τi = 1 ⊗ xi −
[ki ]
hki i
= ∂iki /ki !. Alors, ∂i
xi ⊗ 1, on note ∂ hki la base duale des τ {k} de 9, et ∂i
[k ]
= qki !∂i i . On a
la description locale suivante sur l’ouvert U
(m)
DX
|U
≃ ⊕k OU ∂ hki
(16)
(m)
La structure de DX -module de OX est donné par le composé suivant, pour P une section
(m)
locale de DX,n ,
OX
f
ud
n
PX,(m)
/
/
✤
P
/
OX
(17)
1 ⊗ f.
(m)
Pour les opérations cohomologiques pour les DX
b (m) , D † )-modules cohérents,
(resp. D
X
X ,Q
nous nous référons aux chapitres 2 et 4 de [Ber02]. Nous utiliserons ces opérations pour des
(m)
complexes de la catégorie dérivée des DX -modules, à cohomologie bornée et cohérente, que
(m)
nous noterons Dcb (DX ). Notons que si f : Y → X est un morphisme de S-schémas lisses, le
(m)
(m)
foncteur image inverse f ! va de la catégorie dérivée Dcb (DX ) vers Dcb (DY ).
13
(m)
Soit E un DX -module cohérent (vu comme complexe en degré 0), alors, comme OY module, f ! E s’identifie à OY ⊗Lf −1 OX f −1 E (4.2 de chap.VI de [Bor87]). Mais comme f est
plat, la cohomologie de ce complexe est concentrée en degré 0, où il est isomorphe à f ∗ E.
(m)
Dans la suite de ce texte la notation H0 f ! E désignera donc, si f est lisse et E est un DX (m)
module cohérent, un DY -module cohérent isomorphe, comme OY -module, à f ∗ E.
Nous aurons aussi besoin du fait suivant. Soit I l’idéal de l’immersion diagonale X ×X ×X,
alors, on a une suite exacte
0 → I {1} /I {2} → OX×X /I {2} → OX ,
0
où on identifie OX à l’algèbre PX,(m)
. Or, comme I 2 ⊂ I {2} , on a une flèche canonique
I/I 2 → I {1} /I {2} , dont on vérifie en coordonnées locales que c’est un isomorphisme. D’autre
1
part, l’application canonique OX → PX,(m)
donne un scindage de la suite exacte ci-dessus,
qui fournit un isomorphisme
∼
1
PX,(m)
← OX
En dualisant, on trouve donc des isomorphismes
(m) ∼
Bm : DX,1 → OX
∗
M
(m)
M
Ω1X .
(18)
∗
(m) ∼
∼
TX , et B m : DX,1 /DX,0 → TX et B m : I/I 2 → gr1 PX,(m) ,
(19)
où B m est obtenu en dualisant B m .
Si V est un AVDC, S = Spf V et si X est un schéma formel lisse sur S, nous introduirons
b (m) = lim D (m) , et D † = lim D
b (m) .
D
X
X ,Q
←− Xi
−→ X ,Q
m
i
Si x1 , . . . , xN est un système de coordonnées locales sur X sur un ouvert formel U, τi =
[ki ]
1 ⊗ xi − xi ⊗ 1, on note ∂ hki la base duale des τ {k} de 9, et ∂i
hki i
= ∂iki /ki !. Alors, ∂i
[k ]
= qki !∂i i .
On a la description locale suivante sur l’ouvert affine U


X

hki
b (m) ) =
,
a
Γ(U, D
a
∂
∈
O
(U)
|
v
(a
)
→
+∞
si
|k|
→
+∞
(20)
k
X
p k
X
 N k

k∈N


X

Γ(U, DX† ,Q) =
ak ∂ [k] , ak ∈ OX ,Q (U) | ∃c ∈ R, η > 0, tels que vp (ak ) > η|k| + c .
 N

k∈N
(21)
Ici, vp designe la valuation p-adique sur V -algèbre plat OX (U) et aussi la valuation induit sur
Q-algèbre OX ,Q (U) = OX (U) ⊗ Q.
14
2.2.4
Faisceaux d’opérateurs différentiels twistés
Nous aurons besoin d’une version twistée par un faisceau inversible des constructions
précédentes. Nous commencerons par définir les faisceaux de parties principales twistés. Reprenons ici les hypothèses de la sous-section précédente 2.2.3. Soit L un OX -module inversible
sur X. Introduisons le faisceau twisté des parties principales
t
n
n
PX,(m)
= L−1 ⊗OX,g PX,(m)
⊗OX,d L.
La notation OX,d (resp. OX,g ) signifie que l’on prend la structure de OX -module à droite (resp.
n
à gauche) sur PX,(m)
décrite en 2.2.2.
n
Remarque : les faisceaux t PX,(m)
ne sont pas des faisceaux d’algèbres, sauf si L est trivial.
(m)
Définissons sur X les faisceaux d’opérateurs différentiels twistés d’ordre inférieur à n t DX,n
par
t
(m)
n
DX,n = HomOX,g (t PX,(m)
, OX )
n
≃ HomOX,g (PX,(m)
⊗OX,d L, L).
Identifions L−1 à HomOX (L, OX ). Alors on dispose d’un isomorphisme canonique
n
HomOX,g (PX,(m)
, OX ) ⊗OX,d L−1
∼
Q⊗ϕ✤
/
n
HomOX,g (PX,(m)
⊗OX,d L, OX ) ,
/
(T ⊗ l 7→ Q(T · (1 ⊗ ϕ(l)))
qui nous donne finalement, après tensorisation sur OX,g par L un isomorphisme canonique
(m)
n
HomOX,g (PX,(m)
⊗OX,d L, L) ≃ L ⊗OX,g DX,n ⊗OX,d L−1 ,
et donc
(m)
(m)
t
DX,n ≃ L ⊗OX,g DX,n ⊗OX,d L−1 .
t
DX = lim t DX,n
−→
(22)
On définit aussi
(m)
(m)
n
(m)
≃ L ⊗OX,g DX ⊗OX,d L−1 .
′
Observons que le m-PD-morphisme δ n,n de 13 est OX,g × OX,d -linéaire pour la structure
′
′
n+n
n
n
), et la structure de OX,g -module sur PX,(m)
(resp.
de OX,d -module sur PX,(m)
(resp. PX,(m)
′
n+n
), de sorte que l’on peut considérer l’application
PX,(m)
t n,n′
δ
′
n+n
⊗OX,d L
: L−1 ⊗OX,g PX,(m)
/
15
′
n
n
L−1 ⊗OX,g PX,(m)
⊗ PX,(m)
⊗OX,d L
′
defini par Id ⊗ δ n,n ⊗ Id. Autrement dit, on dispose d’un m-PD-morphisme
t n,n′
δ
(m)
Le faisceau t DX
t
(m)
DX,n ,
′
P ∈
t
:
t
′
′ t δ n,n
n+n
PX,(m)
/
t
′
n
n
PX,(m)
⊗ t PX,(m)
.
(23)
est alors un faisceau d’anneaux comme dans le cas classique. Soient P ∈
(m)
DX,n′ ,
l’opérateur P P ′ est obtenu comme composé
t
′
n+n
PX,(m)
t δ n,n′
/
t
′
n
n
PX,(m)
⊗ t PX,(m)
Id⊗P ′/ t
n
PX,(m)
P
/
OX .
(24)
Soient a une section locale de OX , τ une section locale de l’idéal diagonal I, alors (a ⊗ 1)τ =
τ (1 ⊗ a) et donc les structures de OX,g et OX,d -modules coı̈ncident sur I/I 2 . En particulier,
on dispose d’un isomorphisme
L−1 ⊗OX,g ΓX,(m) (Ω1X ) ⊗OX,d L ≃ ΓX,(m) (Ω1X ).
n
D’après 10, l’algèbre graduée pour la filtration I-adique de t PX,(m)
s’identifie à
n
L−1 ⊗OX,g ΓX,(m) (Ω1X ) ⊗OX,d L ≃ grt• PX,(m)
,
ce qui, compte tenu de la remarque précédente, donne un isomorphisme canonique
∼
ΓX,(m) (Ω1X ) → gr• t PX,(m) .
(25)
En dualisant, cet isomorphisme donne un isomorphisme canonique pour l’algèbre graduée des
opérateurs différentiels twistés
∼
gr• t DX,(m) → S(m) (TX ).
(26)
De ce fait le gradué associé à la filtration par l’ordre des opérateurs différentiels est commutatif
et noetherien sur les ouverts affines. Comme dans le cas classique, on en déduit que le faisceau
t
(m)
DX est cohérent et à sections noethériennes sur les ouverts affines.
Soient x1 , . . . , xN un système de coordonnées locales sur un ouvert U de X, τi = 1 ⊗ xi −
xi ⊗ 1. On suppose de plus que L|U est engendré par un élément u. En reprenant les notations
de 9 et 16, on dispose des isomorphismes suivants sur cet ouvert U
M
t n
OX u−1 ⊗ τ {k} ⊗ u,
PX,(m) ≃
(27)
|k|≤n
t
DX,(m) ≃
M
OX u ⊗ ∂ hki ⊗ u−1 .
(28)
|k|
De plus, les éléments u ⊗ ∂ hki ⊗ u−1 forment la base duale de la base constituée des éléments
u−1 ⊗ τ {k} ⊗ u.
Si V est un AVDC, S = Spf V , X un schéma formel lisse sur S, nous introduisons
t
b (m) .
b (m) = lim t D (m) , et t D † = lim t D
D
X
X ,Q
−→ X ,Q
←− Xi
m
i
On dispose alors de la
16
Proposition 2.2.4.1.
(i) Les faisceaux complétés
noethériennes sur les ouverts affines.
t
b (m) sont cohérents, à sections
D
X
(ii) Le faisceau t DX† ,Q est cohérent.
Démonstration. Le (i) se démontre comme dans le cas classique, à partir du fait que les
faisceaux t DX,(m) sont à sections noetheriennes sur les ouverts affines, et des propriétés du
passage au complété p-adique.
Pour le (ii), on peut en outre remarquer que si u est un générateur local de L sur un ouvert
affine U, on dispose d’un isomorphisme d’algèbres défini localement sur U par
DX† ,Q|U
/
P✤
L ⊗ DX† ,Q ⊗ L−1
|U
/
(29)
u ⊗ P ⊗ u−1 .
De cette façon, on voit que t DX† ,Q est cohérent puisque c’est le cas de DX† ,Q . Nous aurions
aussi pu utiliser un argument du même type pour le (i).
2.2.5
Compléments sur les faisceaux d’opérateurs différentiels twistés
Reprenons les notations et hypothèses de la sous-section précédente 2.2.4. Définissons en
suivant les notations de 2.2.1 le fibré vectoriel associé à L
Y = Spec SX (L),
n
et q le morphisme canonique : Y → X. Nous identifierons dans la suite PX,(m)
⊗OX,d L au
n
n
sous-PX,(m)
-module de q∗ PY,(m)
engendré par 1 ⊗ L via T ⊗ f 7→ T · (1 ⊗ f ), pour f ∈ L et
n
T ∈ PX,(m)
.
(m)
Introduisons aussi DY (L), le sous-faisceau de OX -modules constitué des opérateurs
différentiels sur Y qui se restreignent en des opérateurs différentiels agissant sur X et L,
c’est-à-dire
(m)
(m)
DY,n (L) = {P ∈ q∗ DY
n
n
| P (PX,(m)
) ⊂ OX et P (PX,(m)
⊗OX,d L) ⊂ L},
(30)
et
(m)
(m)
DY (L) = lim DY,n (L).
−→
n
(m)
Si P ∈ DY,n (L), on définit
(m)
t
n
rL (P ) = idL−1 ⊗ P|PX,(m)
⊗L ∈ DX,n ,
qu’on appelle morphisme de restriction à L.
Soient x1 , . . . , xN des coordonnées locales sur un ouvert U de X, tel que L|U soit un
OU -module libre engendré par u. Alors x1 , . . . , xN , u forment un système de coordonnées
17
sur l’ouvert q −1 (U) ⊂ Y . Notons ∂ hki
x les opérateurs sur U correspondant aux coordonnées
hl i
(m)
x1 , . . . , xN sur X, et ∂u u les opérateurs de DY
correspondant à la coordonnée u sur q −1 (U).
(m)
Reprenons les notations de 27. Le faisceau DY
est muni de la filtration par l’ordre des
(m)
opérateurs différentiels. On dispose alors d’isomorphismes canoniques 15 gr• DY
≃ S(m) (TY )
(resp. sur X). Comme Y est un fibré vectoriel sur X, on a un projecteur q∗ TY → TX , qui est
une section du morphisme canonique TX → q∗ TY . On en déduit un projecteur q∗ S(m) (TY ) →
(m)
S(m) (TX ), et donc via les isomorphismes canoniques précédents un projecteur λq : gr• DY
(m)
gr• DX .
→
On a la description locale suivante
(m)
(i) P est dans DY (L)(U) si et seulement si il existe ak , bk ∈
OX (U), ck,lu ∈ q∗ OY (U) tels que
P =
X
ak ∂ hki
x +
k∈NN
X
bk ∂ hki
x u∂u +
k∈NN
X
hlu i
ck,lu ∂ hki
x ∂u .
k∈NN ,lu ≥2
(m)
(ii) Si P est dans DY (L)(U) et s’écrit comme précédemment, alors
rL (P ) =
X
−1
+
ak u ⊗ ∂ hki
x ⊗u
k∈NN
X
−1
bk u ⊗ ∂ hki
x ⊗u .
k∈NN
(iii) L’application rL est filtrée, surjective, et n’est pas injective.
(m)
(iv) L’application graduée gr• rL induite par rL sur gr• DY (L) est égale au projecteur λq
(m)
(restreint à gr• DY (L)).
Démonstration. Soient τi = 1 ⊗ xi − xi ⊗ 1, τu = 1 ⊗ u − u ⊗ 1. Nous utilisons les notations
(m)
de 2.2.2. Soit P ∈ q∗ DY (L). Nous avons alors le
(m)
Lemme 2.2.5.2. P est dans DY (L)(U) si et seulement si
n
P (PX,(m)
) ⊂ OX et ∀l ∈ NN , P (τ {l} τu ) ∈ L.
Démontrons ce lemme. Soient a ∈ OX (U), l ∈ NN et P vérifiant les conditions du lemme.
Comme P est q∗ OY -linéaire à gauche, la condition du lemme implique
n
P (PX,(m)
τu ) ∈ L.
n
, alors
Notons T = τ {l} (1 ⊗ a) ∈ PX,(m)
P (τ {l} (1 ⊗ a)) = P (T (1 ⊗ u))
= P ((u ⊗ 1)T + T τu )
= P (T )u + P (T τu ) ∈ L,
18
(m)
(m)
de sorte que P ∈ DY (L). Réciproquement, si P ∈ DY (L), alors
P (τ {l} τu ) = P (τ {l} (1 ⊗ u)) − P (τ {l} )u ∈ L,
de sorte que P vérifie les conditions du lemme.
(m)
Revenons à la démonstration de la proposition. Soit P ∈ q∗ DY . Ecrivons
X
hlui
P =
dk,lu ∂ hki
x ∂u ,
k,lu
avec dk,lu ∈ OY . Alors dk,0 = P (τ {k} ) ∈ OX et dk,1 = P (τ {k} τu ) ∈ L, ce qui donne le (i).
n
Pour le (ii), il suffit d’utiliser la base locale de t PX,(m)
constituée des éléments u−1 ⊗τ {k} ⊗u
donnée en 27. Or, on a
{l}
{l}
∂ hki
⊗ u) = ∂ hki
τu + (u ⊗ 1)τ {l} )
x (τ
x (τ
{l}
)
= u∂ hki
x (τ
= uδk,l ,
où δk,l désigne le symbôle de Kronecker. De façon analogue,
{l}
{l}
u∂ hki
⊗ u) = u∂ hki
τu + (u ⊗ 1)τ {l} )
x ∂u (τ
x ∂u (τ
= uδk,l ,
d’où le (ii) du lemme. Passons à (iii). L’application rL est filtrée par définition. Le reste se
(m)
vérifie localement. Or on a une section locale de rL en posant, pour P ∈ DX (U), rL (u ⊗ P ⊗
(m)
h2i
u−1 ) = P ∈ DY (L)(U). De plus rL (∂u ) = 0, de sorte que rL n’est pas injectif. L’affirmation
(iv) est une conséquence immédiate de (ii) .
(m)
Sur la description locale de DY (L), on voit que c’est un sous-faisceau de OS -algèbres (et
(m)
de OX -modules) de q∗ DY . On a plus précisément la
(m)
(i) Le faisceau DY (L) est un sous-faisceau d’algèbres du faisceau
(m)
q∗ DY .
(m)
(m)
(ii) La flèche de restriction rL : DY (L) → t DX
est un homomorphisme surjectif de
faisceaux d’algèbres.
(m)
Démonstration. Commençons par (i). Soient P, P ′ ∈ DY (L). Rappelons que le produit P P ′
est donné par le composé suivant 14
′
′
q∗ δn,n
′
Id⊗P ′
P
n+n
n
n
n
q∗ PY,(m)
→ q∗ PY,(m)
⊗ q∗ PY,(m)
→ q∗ PY,(m)
→ q∗ OY ,
′
′
où δ n,n est induit par a ⊗ b 7→ a ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ b. Ainsi, on a q∗ δ n,n (1 ⊗ L) ⊂ 1 ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ L,
et (id ⊗ P ′ )(1 ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ L) ⊂ 1 ⊗ L, si bien que P P ′(1 ⊗ L) ⊂ L. De plus, les faisceaux
19
′
′
n
n
n
n
PX,(m)
⊗ PX,(m)
⊗OX,d L sont des sous-faisceaux de q∗ (PY,(m)
⊗ PY,(m)
), et les morphismes δ n,n
′
sont des m-PD-morphismes. Le fait que P P ′(1 ⊗ L) ⊂ L entraı̂ne donc formellement que
n
n
P P ′(PX,(m)
⊗OX,d L) ⊂ L. Il est d’autre part clair que P P ′(PX,(m)
) ⊂ OX et ceci montre (i).
D’après le (i), le composé P P ′ est donné en restriction à (1 ⊗ L) par
′
′
δn,n
Id⊗P ′
′
P
n
n
n
n+n
⊗OX,d L → L.
⊗ PX,(m)
⊗OX,d L → PX,(m)
⊗OX,d L → PX,(m)
PX,(m)
En tensorisant ce diagramme à gauche (sur OX,g ) par L−1 , on retrouve exactement le dia(m)
gramme 24 définissant le produit dans t DX , ce qui montre que rL est un homomorphisme
d’anneaux. La surjectivité a été établie dans la proposition précédente 2.2.5.1.
3
Faisceaux équivariants
3.1
Notations-Rappels
Soient D une V -algèbre commutative, A, B des D-modules, C une D-algèbre, u (resp. v) un
homomorphisme D-linéaire : A → C, (resp. v :B → C), m l’application produit : C ⊗D C → C
telle que m(a ⊗ b) = ab. On note alors u⊗v = m ◦ (u ⊗ v) : A ⊗D B → C.
Soient G un schéma en groupes affine et lisse sur S, µ : G × G → G l’application produit,
e : S ֒→ G l’élément neutre. Les applications déduites de µ et e au niveau des faisceaux
structuraux seront notées µ♯ et εG .
Si H est un sous-groupe fermé plat de G, le quotient X = G/H existe alors dans
la catégorie des S-schémas. On dispose du morphisme structural stX : X → S. Nous
considérerons le quotient comme l’ensemble des H-classes à droite dans G. En outre, l’application canonique π : G → X = G/H est affine, fppf, et ouverte. De plus, le quotient X est
lisse. Le groupe G agit donc à gauche sur X. On utilisera l’isomorphisme classique suivant (I
5.6 de [Jan03]) G × H ≃ G ×X G, correspondant à (g, h) 7→ (g, gh). Ce morphisme induit un
isomorphisme de faisceaux
σ : OG ⊗π−1 OX OG ≃ OG ⊗OS OH .
Dans le cas plus simple où G = H est affine, on notera σH l’homomorphisme d’algèbres
obtenu, i.e. σH : V [H] ⊗V V [H] ≃ V [H] ⊗V V [H].
En général, et sauf mention du contraire, les actions d’un schéma en groupes G sur un
schéma X seront des actions à gauche.
Un G-comodule M est un V -module M muni d’une action à droite de G, c’est-à-dire que
pour toute V -algèbre R, R ⊗V M est un G(R)-module à droite. Comme G est affine, cela
revient à se donner une application de comodule dual ∆M : M → V [G] ⊗V M, vérifiant les
20
deux égalités suivantes :
(idV [G] ⊗ ∆M ) ◦ ∆M = (µ♯ ⊗ idM ) ◦ ∆M
(31)
(εG ⊗idM ) ◦ ∆M = idM .
(32)
Notons que cette définition diffère de celle de G-module de Jantzen (I 2.8 de [Jan03]) qui décrit
la relation de comodule sur un V -module M, pour laquelle M ⊗V R est un G(R)-module à
gauche pour toute R-algèbre V .
On considérera aussi l’action d’un schéma en groupes G lisse, sur un schéma lisse X,
donnée par un homomorphisme de schémas σ : G ×S X → X. En général il s’agira d’actions
à gauche, i.e. l’application σ ♯ : σ −1 OX → OG×X vérifie deux égalités analogues aux égalités
31 et 32 ci-dessus. Autrement dit, le faisceau OX est alors un faisceau de G-comodules. Nous
utiliserons le résultat bien connu suivant, pour X un quotient de G par un sous-groupe fermé
plat H.
Proposition 3.1.1. Le morphisme σ : G ×S X → X est lisse.
Démonstration. Il suffit d’appliquer le corollaire 17.5.2 de [Gro67], puis le corollaire 6.7.8
de [Gro65] pour voir que la lissité se teste sur les fibres géométriques de σ qui sont toutes
isomorphes sur une extension algébriquement close l de k ou de K, à H ×S Spec l et sont
donc toutes régulières. Comme les fibres géométriques de σ sont régulières, le morphisme σ
est lisse.
Nous aurons besoin de petits lemmes techniques qui font l’objet de la sous-section suivante.
3.2
Lemmes techniques
On rappelle quelques faits classiques.
Lemme 3.2.1. Soient f, g deux morphismes de OX -modules cohérents F → G sur un Sschéma X localement noethérien. Pour x un point fermé de X, on note ix l’immersion :
{x} ֒→ X. On suppose que pour tout point fermé de X, les morphismes induits f (x), g(x) :
i∗x F → i∗x G coı̈ncident. Alors f = g.
Démonstration. On peut supposer que X est affine et noethérien. Soit H est un OX -module
cohérent sur X tel que i∗x H = 0 pour tout point fermé x de X. Alors le support de H est
fermé et s’il est non vide, il correspond à un sous-schéma fermé reduit de X contenant un
point fermé x. Par hypothèse, i∗x H est nul, donc Hx est nul par le lemme de Nakayama, ce
qui est absurde : cela montre que H est nul. Soit I le faisceau cohérent image de f − g. La
remarque précédente appliquée à I donne le résultat.
21
Si on applique cette même remarque aux faisceaux cohérents Ker(f ) et G/Im(f ) on
obtient aussi le résultat suivant.
Lemme 3.2.2. Sous les hypothèses et notations précédentes, soit f un morphisme de OX modules cohérents : F → G. Alors f est surjectif (resp. un isomorphisme, resp. injectif ) si
et seulement si en tout point fermé x de X, l’homorphisme induit f (x) est surjectif (resp. un
isomorphisme, resp. injectif ).
3.3
Faisceaux G-équivariants
Il s’agit ici essentiellement de faire quelques rappels.
3.3.1
Définitions
Dans cette section, X est un S-schéma, muni d’une action à gauche σX : G ×S X → X. On
note σ ♯ : σ −1 OX → OG×X l’application qu’on en déduit au niveau des faisceaux structuraux.
L’application σX sera tout simplement notée σ lorsqu’il n’y aura pas ambiguité. De plus, le
produit fibré ×S sera notée ×. On note p2 la deuxième projection : G × X → X, t1 , t2 , t3 :
G×G×X → G×X définies respectivement par t1 (g1 , g2 , x) = (g1 , g2 x), t2 (g1 , g2 , x) = (g1 g2 , x),
t3 (g1 , g2 , x) = (g2 , x). Suivant [MFK94], un faisceau de OX -modules E est G-équivariant, s’il
existe un isomorphisme Φ : σ ∗ E ≃ p∗2 E, qui vérifie les conditions de cocycles (cf [Kas89]),
c’est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :
t∗2 (Φ)
t∗2 σ ∗ E
/
t∗2 p∗2 E
≀
≀
t∗1 σ ∗ E
(33)
t∗1 (Φ)
/
t∗1 p∗2 E = t∗3 σ ∗ E
t∗3 (Φ)
/
t∗3 p∗2 E.
Par exemple, le faisceau OX est G-équivariant, ainsi que tous les faisceaux “différentiels”
sur X, comme nous le vérifierons en 3. Si L est un faisceau de OX -modules localement libres,
L est G-équivariant si et seulement si le fibré vectoriel associé à L est muni d’une action de
G compatible à l’action de G sur X.
3.3.2
Propriétés
On a la description suivante des faisceaux de OX -modules G-équivariants. Soient R une V algèbre, g, g ′ ∈ G(R), XR = Spec(R) × X, σR l’application déduite de σ par ce changement
de base, LR le tiré en arrière de L sur XR . L’opérateur de translation Tg : XR → X donné
par Tg = σ ◦ (g × idX ) s’étend canoniquement en un opérateur toujours noté Tg : XR →
XR . On dispose d’une famille d’isomorphismes OX -linéaires Φg : Tg∗ LR ≃ LR , vérifiant la
condition Φgg′ = Φg′ ◦Tg∗′ (Φg ), provenant de la condition de cocycle. Ces applications induisent
22
pour tout ouvert U des applications Φg,U : LR (gU) → LR (U), semi-linéaires par rapport aux
applications : Tg−1 : OXR (gU) ≃ OXR (U). Par définition, on a l’égalité Tg∗′ (Φg,U ) = Φg,g′ U , de
sorte que la relation de cocyle se traduit par Φgg′ ,U = Φg′ ,U ◦ Φg,g′ U . Si U est le schéma XR ,
notons Φg = Φg,XR , pour e ∈ Γ(XR , LR ), on définit une action à droite de G(R) sur Γ(XR , LR )
en posant g · e = Φg (e), grâce à la relation Φgg′ = Φg ◦ Φg′ . Nous verrons en 4.4 que cette
action à droite correspond à une structure de comodule dual sur Γ(XR , LR ).
Enfin, nous aurons besoin des propositions classiques suivantes.
Proposition 3.3.2.1. Soit L un faisceau de OX -modules localement libres de rang fini Géquivariant, alors HomOX (L, OX ) est un faisceau de OX -modules localement libres de rang
fini G-équivariant.
Démonstration. Il suffit d’utiliser le fait que pour un faisceau localement libre de rang fini,
on a un isomorphisme canonique et fonctoriel :
∼
σ ∗ HomOX (L, OX ) → HomOG×X (σ ∗ L, OG×X ),
de sorte que t Φ−1 , c’est-à-dire l’application transposée de l’isomorphisme Φ−1 , définit la
structure G-équivariante sur HomOX (L, OX ). L’action à droite de G(R) sur les sections
globales de HomOXR (LR , OXR ) est donc aussi donnée par t Φ−1
g et donc, si e est une section
globale de LR , ϕ une section locale de HomOXR (LR , OXR ), alors pour tout g de G(R) on a
(ϕ · g)(e) = ϕ(e · g −1).
Proposition 3.3.2.2. Soient L et L′ deux faisceaux de OX -modules quasi-cohérents, Géquivariant, alors L ⊗OX L′ est un faisceau de OX -modules quasi-cohérent, G-équivariant.
Démonstration. On a un isomorphisme fonctoriel : σ ∗ (L ⊗OX L′ ) → σ ∗ L ⊗OG×X σ ∗ L′ .
Considérons maintenant un schéma formel X tel que pour tout i ∈ N, le schéma Xi soit
muni d’une action du schéma en groupes Gi . Nous poserons alors αi : Xi ֒→ X , γi : Gi ×Xi ֒→
Gi+1 × Xi+1 .
Définition 3.3.2.3. Un faisceau E de OX -modules complets pour la topologie p-adique sera
dit G-équivariant si, pour tout i ∈ N, le faisceau Ei = αi∗ E est un faisceau de OXi -modules
G-équivariants tel que les diagrammes suivants soient commutatifs
∼
Φi
p∗2,i Ei
O
/
∗
σ2,i
Ei
O
≀
≀
∼ / ∗ ∗
γ σ
Ei+1 ,
γi∗ (Φi+1 ) i 2,i+1
γi∗ p∗2,i+1 Ei+1
23
.
Dans le cas où E est un faisceau de OX -modules cohérents, cette définition équivaut au
fait que l’on se donne un isomorphisme Φ : σ ∗ E ≃ p∗2 E vérifiant les conditions de cocycles
énoncées en 33, ce qui nous amène à
Définition 3.3.2.4. Un faisceau E de OX ,Q -modules cohérents sera dit G-équivariant s’il
existe un isomorphisme Φ : σ ∗ E ≃ p∗2 E vérifiant les conditions de cocycles énoncées en 33.
Si E est un faisceau de OX -modules cohérents G-équivariant, alors EQ := E ⊗ Q est un
faisceau de OX ,Q -modules cohérents G-équivariant.
Pour les faisceaux équivariants de D-modules nous demandons en outre que les applications
soient compatibles avec la structure de D-module, ce qui nous amène à la définition suivante,
pour laquelle nous remplaçons les morphismes images inverses au sens des faisceaux de OG×X (m)
modules par les images inverses au sens des DG×X , suivant les explications qui seront données
en 2.2.3.
b (m) -modules cohérents (resp. D † -modules) sera dit
Définition 3.3.2.5. Un faisceau E de D
X ,Q
X ,Q
G-équivariant s’il existe un isomorphisme Φ : σ ! E ≃ p!2 E vérifiant les conditions de cocycles
énoncées en 33 (où l’on remplace tous les morphismes s∗ par H0 s! , s! étant l’image inverse
au sens des D-modules).
3.3.3
Structures G-équivariantes à droite
On considère ici un S-schéma X muni d’une action à droite d’un schéma en groupes G donnée
par un morphisme de schémas τ : X × G → X. Une structure G-équivariante à droite sur
un faisceau de OX -modules E consiste en la donnée d’un isomorphisme de OX×G -modules
∼
Φ :τ ∗ E → p∗1 E, vérifiant la condition de cocyle suivante. Soient t1 , t2 , t3 : X × G × G → X × G
définis par t1 (x, g1 , g2 ) = (xg1 , g2 ), t2 (x, g1 , g2 ) = (x, g1 g2 ), t3 (x, g1 , g2) = (x, g1 ). On demande
que Ψ vérifie t∗2 (Ψ) = t∗3 (Ψ)◦t∗1 (Ψ). Ainsi, pour toute V -algèbre R, pour tout g ∈ G(R) on a un
opérateur de translation Tg :XR → XR . Pour tout ouvert U de XR , on dispose d’applications
ΨU,g : ER (Ug) → ER (U) semi-linéaires par rapport aux applications Tg−1 : OXR (Ug) → OXR (U)
telles que ΨU,g1 g2 = Ψg1 ◦ Ψg2 ,U g1 . Ainsi, l’application g ∈ G(S) 7→ Ψg définit une action à
gauche de G(S) sur Γ(X, E) pour tout faisceau G-équivariant. Soit enfin l’involution inv×idX :
G × X → G × X, où inv est l’application de passage à l’inverse G → G. L’application
σ = inv × idX ◦ τ définit une action à gauche de G sur X. Un faisceau E est G-équivariant
(pour τ ) si et seulement si E est G-équivariant pour σ. L’isomorphisme Φ définissant cette
équivariance est alors donné par Φ = (inv × idX )∗ (Ψ) (et Ψ = (inv × idX )∗ (Φ)).
24
3.4
Action de G sur les faisceaux de parties principales
Dans cette partie, on suppose que X est un S-schéma lisse, muni d’une action à gauche
n
de G. Nous allons montrer d’abord que les faisceaux de parties principales PX,(m)
sont G(m)
équivariants, puis par dualité, que les faisceaux DX,n sont G-équivariants comme en 3.3.1, et
b (m) sont G-équivariants.
enfin que les faisceaux complétés D
X
(m)
Enonçons à présent le résultat de cette sous-section. Pour l’algèbre symétrique SX
de
niveau m et les propriétés de base de cette algèbre, nous nous référons à [Huy97].
Proposition 3.4.1.
n
(i) Les faisceaux PX,(m)
et ΓnX,(m) sont des faisceaux de OX -modules G-équivariants.
(m)
(m)
(ii) Les faisceaux DX,n et SX sont des faisceaux de OX -modules G-équivariants.
b (m) sont des faisceaux de OX -modules G-équivariants.
(iii) Les faisceaux D
X
Démonstration. L’assertion (ii) provient de (i) par passage à la dualité. Ensuite, par (ii) les
(m)
faisceaux DXi sont G-équivariants de façon compatible pour différentes valeurs de i, de sorte
b (m) sont G-équivariants par passage à la limite projective sur i. Donc (ii)
que les faisceaux D
X
entraı̂ne (iii). Dans la suite nous montrons donc (i). Le cas des algèbres graduées ΓnX,(m) se
n
traitera comme celui des faisceaux PX,(m)
(en utilisant q2′ au lieu de q2 ) ou encore la structure
de G-equivariance de Ω1X . Dans la suite, on se restreint donc à la G-linéarité des faisceaux
n
PX,(m)
.
n
n
. On définit alors
→ PG×X,(m)
Soit dσ le morphisme obtenu par fonctorialité : σ ∗ PX,(m)
n
n
Φ = q2 ◦ dσ : σ ∗ PX,(m)
→ p∗2 PX,(m)
. Le morphisme Φ est un m-PD-morphisme. L’algèbre
0
est isomorphe à OX . Pour voir que Φ est un isomorphisme, il suffit de le vérifier en les
PX,(m)
points fermés de G × X d’après 3.2.
Soient g un point de G, de corps résiduel k(g), eg l’évaluation : OG → k(g) (qui à l ∈ OG
associe l(g)), ig l’immersion fermée : g × X ֒→ G × X, σg = σ ◦ ig , p2,g = p2 ◦ ig . Le morphisme
i∗g Φ est obtenu comme morphisme composé
i∗g q2
i∗g dσ
n
n
n
n
→ p∗2,g PX,(m)
≃ k(g) ⊗V PX,(m)
.
→ i∗g PG×X,(m)
σg∗ PX,(m)
Il suffit alors de constater que le morphisme i∗g Φ coı̈ncide avec le morphisme dσg , qui est un
isomorphisme d’inverse dσg−1 . Vérifions pour cela que le diagramme ci-dessous est commutatif
n
σg∗ PX,(m)
n
σg∗ PX,(m)
i∗g dσ
/
n
i∗g PG×X,(m)
dσg
25
i∗g q2
/
/
n
i∗g q2∗ PX,(m)
n
PX,(m)
⊗V k(g).
n
Soient u ∈ OX , τ = 1 ⊗ u − u ⊗ 1 ∈ PX,(m)
. Ecrivons σ ♯ (u) =
−1
fl ∈ σ OX . Alors
dσg (1 ⊗ τ ) =
X
P
l
kl ⊗ fl , avec kl ∈ OG et
kl (g)(1 ⊗ fl − fl ⊗ 1),
l
et
dσ(1 ⊗ τ ) =
X
(1 ⊗ fl )(1 ⊗ kl − kl ⊗ 1) +
l
i∗g dσ(1
⊗ τ) =
X
fl (1 ⊗ kl − kl ⊗ 1) +
l
i∗g q2
◦
i∗g dσ(1
⊗ τ) =
X
X
X
n
(kl ⊗ 1)(1 ⊗ fl − fl ⊗ 1) ∈ PG×X,(m)
,
l
kl (g)(1 ⊗ fl − fl ⊗ 1),
l
kl (g)(1 ⊗ fl − fl ⊗ 1)
l
= dσg (1 ⊗ τ ).
Les morphismes dσg et i∗g q2 ◦ i∗g dσ sont des m-PD-morphismes OX ⊗V k(g)-linéaires qui
n
coı̈ncident sur les éléments 1 ⊗ τ . Comme les éléments 1 ⊗ τ engendrent σg∗ PX,(m)
comme
m-PD-algèbre, on voit ainsi que dσg et i∗g q2 ◦ i∗g dσ sont égaux.
La condition de cocycle t∗2 (Φ) = t∗3 (Φ) ◦ t∗1 (Φ) se vérifie aussi sur les fibres g1 × g2 × X
où g1 , g2 sont deux points de G, définis sur une certaine algèbre A, et revient à montrer que
Φg1 g2 = Φg2 ◦σg∗2 Φg1 , ce qui résulte de la fonctorialité rappelée en 2.2.2 puisque Φg1 = dσg1 .
4
Algèbres de distributions arithmétiques à un niveau
fini
4.1
Définition, propriétés à un niveau fini
Reprenons les notations de l’introduction : V est une Z(p) -algèbre noetherienne et G est un
schéma en groupes affine et lisse sur S = Spec V de dimension relative N. Notons I le faisceau
n
d’idéaux noyau du morphisme de V -algèbres εG : OG → e∗ OS , et I = Γ(G, I). Soient P(m)
(G)
2
le faisceau de m-PD-enveloppes à puissances divisées partielles de niveau m et d’ordre n, du
faisceau d’idéaux I ⊂ OG . Comme G est lisse sur S, l’idéal I est localement régulier sur S
n
et les faisceaux P(m)
(G) sont à support dans S (1.5.3 de [Ber96]). Dans la suite, on considère
ces faisceaux comme des faisceaux de OS -modules quasi-cohérents.
Définition 4.1.1. On définit le m-PD voisinage de l’élément neutre de G comme
n
n
P(m)
(G) = Γ(S, P(m)
(G)).
2
Nous insistons ici sur la différence de notation avec la partie 3.3 : le εG indique que l’idéal par rapport
auquel on prend les puissances divisées partielles est celui de l’immersion fermée εG .
26
n+1
En particulier, comme S est affine, on dispose de surjections canoniques P(m)
(G) ։
n
P(m)
(G). D’autre part, du fait que la formation des m-PD-enveloppes commute aux extensions
n
plates de la base, on voit que P(m)
(G) est la m-PD-enveloppe de l’idéal I de V [G].
n
Par 1.5.3 de [Ber96], les faisceaux d’algèbres P(m)
(G) sont localement libres sur S Soient
t1 , . . . , tN une suite régulière de paramètres de I sur un ouvert U de G, et reprenons les
T
notations de 2.1.1. On dispose alors au-dessus de U S d’un isomorphisme
n
P(m)
(G) ≃
M
OS t{k} .
(34)
|k|=n
n
(G) sont des V -modules libres
Dans le cas d’un AVCD (ou d’un quotient), les algèbres P(m)
de rang fini. Précisément, on dispose de la
Proposition 4.1.2. Si V est un AVDC, ou un quotient d’un AVDC, de point fermé κ, alors
n
l’algèbre P(m)
(G) est la m-PD-enveloppe de Iκ ⊂ OG,κ . En particulier ces algèbres sont des
V -modules libres et en utilisant des paramètres t1 , . . . , tN de Iκ , on retrouve la description
de 34.
Démonstration. Comme l’algèbre Γ(U, OG ) est une V -algèbre formellement lisse et que V est
complet, tout ouvert affine contenant κ contient e(S). Cette propriété reste vraie si V est un
quotient d’un AVDC. L’énoncé provient alors du fait que la formation des m-PD-enveloppes
commute aux changements de base plats (1.4.6 de [Ber96]).
n
(G)
Soit V S le faisceau constant égal à V sur S. La description locale des faisceaux P(m)
montre l’isomorphisme canonique
0
(G).
V S ≃ P(m)
Si c(S) est le nombre de composantes connexes de S, on dispose donc d’un isomorphisme
canonique
∼
0
V c(S) → P(m)
(G).
Dans la suite, on écrit plus simplement V au lieu de V S . On note le faisceau sur S, Lie(G) =
HomV (I/I 2 , V ), et son module de sections globales, Lie(G) = HomV (I/I 2 , V ). Sur un ouvert
de S sur lequel I admet une suite régulière de générateurs t1 , . . . , tN , le faisceau Lie(G) est
libre de base ξ1 , . . . , ξN , que l’on définit comme la base duale des t1 , . . . , tN .
En particulier dans le cas où V est un AVCD (ou un quotient), l’algèbre Lie(G) est un
V -module libre de base ξ1 , . . . , ξN .
En procédant comme pour 18, on voit qu’on a des isomorphismes
∼
1
P(m)
(G) ← V
∼
1
P(m)
(G) ← V
27
M
M
I/I 2 .
(35)
I/I 2 .
(36)
En effet, le premier isomorphisme se montre par un calcul local sur un ouvert sur lequel I
est muni d’une suite régulière de générateurs. Le deuxième s’obtient par passage aux sections
globales sur S.
Nous introduirons le niveau m en indice de l’exposant dans cette notation, lorsque nous
voudrons préciser le niveau.
Enfin, on note ρm l’application canonique
n
ρm : OG → e∗ P(m)
(G),
(37)
(on notera aussi ρm les applications canoniques obtenues en passant aux sections globales :
n
n
ρm : V [G] → P(m)
(G)). Cette application ρm munit P(m)
(G) d’une structure de V [G]-module.
Pour m′ ≥ m, d’après la propriété universelle des algèbres à puissances divisées, il existe
des homomorphismes de faisceaux d’algèbres filtrées
ψm,m′ : P(m′ ) (G) → P(m) (G),
(38)
qui donnent par passage au quotient des homomorphismes d’algèbre
n
n
n
ψm,m
′ : P(m′ ) (G) → P(m) (G).
En coordonnées locales, on a :
(m)
{k}(m′ )
n
ψm,m
)
′ (t
=
qk !
(m′ )
qk !
t{k}(m) .
Par passage aux sections globales, on trouve des homomorphismes d’algèbres filtrées toujours
notés ψm,m′
ψm,m′ : P(m′ ) (G) → P(m) (G),
(39)
qui donnent par passage au quotient des homomorphismes d’algèbre
n
n
n
ψm,m
′ : P(m′ ) (G) → P(m) (G).
n
Dans le cas où V est un AVCD ou un quotient, les applications ψm,m
′ sont décrites par les
formules ci-dessus sur un système de paramètres régulier de I au voisinage de e(S).
On définit maintenant les algèbres de distributions de niveau m : la structure d’algèbre
est expliquée après la définition et provient, comme dans le cas classique, de la structure de
groupe. Commençons par définir les faisceaux de distributions sur S.
Définition 4.1.3. Les faisceaux de distributions de niveau m et d’ordre n de G sont :
n
Dn(m) (G) := HomV (P(m)
(G), V )
et le faisceau des distributions de niveau m est :
D (m) (G) := lim Dn(m) (G).
−→
n
28
Définition 4.1.4. Les distributions de niveau m et d’ordre n de G sont :
n
Dn(m) (G) := HomV (P(m)
(G), V )
et le V -module des distributions de niveau m est :
D (m) (G) := lim Dn(m) (G).
−→
n
(m)
(m)
Comme S est affine, il est clair que Dn (G) = Γ(S, Dn (G)) (resp. D (m) (G) =
Γ(S, D (m) (G))). Remarquons que la relation 36 nous donne les isomorphismes
(m)
∼
Am : D1 (G) → V
M
∼
Lie(G), Am : gr1 D (m) (G) → Lie(G),
(40)
obtenue par dualité à partir de Am . Ces isomorphismes proviennent par ailleurs d’isomorphismes analogues au niveau des algèbres de distributions que nous n’explicitons pas.
On dispose en outre d’une action de D (m) (G) sur OG . Si P ∈ D (m) (G), l’action de P est
définie par
OG
ρm
/
P
n
P(m)
(G)
f✤
/
/V
(41)
P (ρm (f )).
En passant aux sections globales, on a une action de D (m) (G) sur V [G].
n
Pour un entier m′ ≥ m, les morphismes d’algèbres ψm,m
′ de 39 donnent par passage à la
(m′ )
(m)
dualité des applications linéaires Φnm,m′ : Dn (G) → Dn
(G) et
′
Φm,m′ : D (m) (G) → D (m ) (G).
On a Φm′ ,m′′ ◦ Φm,m′ = Φm,m′′ pour m′′ ≥ m′ ≥ m. Pour comparer les algèbres D (m) (G) avec
des distributions classiques on définit
Distn (G) := Dn(∞) (G) := HomV (Γ(S, OG /I n+1 ), V ),
(42)
Distn (G) := Dn(∞) (G) := HomV (Γ(S, OG /I n+1 ), V ).
(43)
Alors,
Dist(G) := lim Distn (G)
−→
n
est l’algèbre de distributions classiques d’un schéma en groupes sur S, définie en II.§4.6.1
de [DG70] et Distn (G) est l’espace de distributions d’ordre n. De plus Distn (G) =
Γ(S, Distn (G)). Il sera commode dans la suite d’introduire le faisceau des distributions de
G, Dist(G) := limn Distn (G).
−→
On voit, en procédant comme en 40 qu’on a l’isomorphisme
29
Dist1 (G) ≃ Lie(G)
M
V et Dist(G) ⊗ K ≃ U(Lie(G) ⊗ K)
où U(Lie(G) ⊗ K) est l’algèbre enveloppante universelle de Lie(G) ⊗ K. L’application canon
nique OG /I n+1 → P(m)
(G) induit une application linéaire
Φm,∞ : D (m) (G) → Dist(G)
compatible avec les applications Φm,m′ .
Etant donnée une suite régulière t1 , . . . , tN de générateurs de I sur un ouvert U contenant
{k1 }
e(S), et en notant ξ hki les éléments de la base duale de la famille t{k} = t1
{k }
· · · tN N , |k| ≤ N,
on obtient par construction la proposition suivante. Nous posons ξ [k] := ξ hki∞ , i.e. les éléments
ξ [k] forment la base duale de la famille tk11 · · · tkNN , |k| ≤ N. Soit m ∈ N ∪ {∞}.
Proposition 4.1.5.
(i) Comme V -module, en restriction à U
base les éléments ξ hki avec |k| ≤ n.
T
(m)
S, Dn (G) est libre de
(ii) On a les relations
k!ξ [k] = ξ hki0
ξ hkim =
(44)
(m)
qk ! hkim+1
ξ
(m+1)
qk
!
(45)
si k = (k1 , . . . , kN ), et,∀i ≤ N, ki ≤ pm , ξ hkim = ξ [k] .
[1]
h1im
On notera tout simplement ξl = ξl = ξl
(46)
.
En particulier, si I admet une suite régulière de générateurs sur un ouvert U contenant
e(S) (ce qui est le cas d’un AVCD ou d’un quotient d’un AVCD), on a la
(m)
Proposition 4.1.6. Sous l’hypothèse ci-dessus, le module Dn (G) est libre de base les
éléments ξ hki avec |k| ≤ n. Ces éléments satisfont la relation (ii) de la proposition précédente.
On déduit de la dernière formule de (ii) que les applications Φm,∞ induisent un isomorphisme linéaire
≃
lim D (m) (G) −→ Dist(G).
−→
m
En passant aux sections globales, on trouve donc un isomorphisme linéaire
≃
lim D (m) (G) −→ Dist(G).
−→
m
Il existe un morphisme canonique D (0) (G) → Dist(G). Sur un ouvert U sur lequel I
(m)
admet une suite régulière de paramètres t1 , . . . , tN , ce morphisme envoie ξ hkim sur qk !ξ [k] .
30
Comme Lie(G) = HomV (I/I 2 , V ) les éléments ξl forment une V -base de Lie(G) sur U
(0)
T
S.
Il suit de la première formule de (ii) de 4.1.6 que D (G) ⊗ K = Dist(G) ⊗ K et donc
D (m) (G) ⊗ K = Dist(G) ⊗ K pour tout m. En passant aux sections globales, on obtient donc
D (m) (G) ⊗ K = Dist(G) ⊗ K pour tout m et donc que D (m) (G) est une forme entière de
Dist(G) ⊗ K = U(Lie(G) ⊗ K).
′
Sur l’ouvert U, sur lequel I est muni d’une suite régulière de paramètres, la base des ξ hk i
′
est duale de celle des t{k } , et par définition de l’action de D (m) (G) sur OG , on a la
Proposition 4.1.7. Soit f ∈ OG , on a la formule de Taylor
X
ξ hki (f ) ⊗ t{k} .
ρm (f ) =
(47)
|k|≤n
Dans le cas où I admet une suite régulière de paramètres sur un ouvert contenant e(S),
on dispose alors d’une formule analogue pour f ∈ V [G].
Nous donnons maintenant un énoncé de changement de base. Soient V ′ un anneau de
Dedekind, qui est une V -algèbre, S ′ = Spec V ′ , GS ′ = G ×S S ′ . Alors on a la
Proposition 4.1.8. On dispose d’isomorphismes canoniques
(m)
(m)
(m)
(m)
(i) Dn (GS ′ ) ≃ Dn (G) ⊗V V ′ , resp. D (m) (GS ′ ) ≃ D (m) (G) ⊗V V ′ .
(ii) Dn (GS ′ ) ≃ Dn (G) ⊗V V ′ , resp. D (m) (GS ′ ) ≃ D (m) (G) ⊗V V ′ .
Démonstration. Le (ii) s’obtient par passage aux sections globales à partir de (i). Montrons
n
donc (i). Sous nos hypothèses, d’après 1.5.3 de [Ber96], la formation des algèbres P(m)
(G)
commute aux changements de base S et sont des V -modules localement libres de rang fini.
(m)
En passant au dual on en déduit la même chose pour les algèbres Dn (G) et donc aussi pour
les algèbres D (m) (G) par passage à la limite inductive.
Proposition 4.1.9.
(i) Le faisceau D (m) (G) est un faisceau d’algèbres filtrés par les mo-
(m)
dules Dn (G). L’algèbre graduée associée à cette filtration est commutative.
(m)
(ii) Le module D (m) (G) est une V -algèbre filtrée par les sous-modules Dn (G). L’algèbre
graduée associée à cette filtration est commutative.
Démonstration. Le (ii) s’obtient à partir du (i) par passage aux sections globales. Il nous suffit
donc de montrer (i).
L’application µ♯ induit une application OG → OG ⊗V OG , qui envoie l’idéal I dans I ⊗OG +
OG ⊗V I d’après I 7.7 de [Jan03]. D’autre part, en procédant comme en 2.1.3 de [Ber96], on voit
′
′
n
n
n
n
qu’il existe une unique m-PD-structure sur P(m)
(G)⊗P(m)
(G) telle que I ⊗P(m)
(G)+P(m)
⊗I
soit un m-PD-idéal. On considère alors l’application δ ◦ µ♯ :
µ♯
δ
′
n
n
OG → OG ⊗V OG → P(m)
(G) ⊗V P(m)
(G),
31
′
n
n
où δ est l’application canonique ρm ⊗ ρm : OG ⊗V OG → P(m)
(G) ⊗V P(m)
(G).
Comme µ♯ applique tout élement de I dans un m-PD-idéal, cette application se factorise
d’une unique façon par un m-PD-morphisme
′
δn,n
′
′
n
n
(G) ⊗ P(m)
δ n,n : P(m) (G) → P(m)
(G),
(48)
′
n,n
lorsqu’on voudra préciser le niveau m de ce morphisme.
qu’on notera éventuellement δ(m)
′
On notera aussi δ n,n l’application induite par δ sur les sections globales sur S des faisceaux
précédents
′
δn,n
′
′
n
n
(G) ⊗ P(m)
δ n,n : P(m) (G) → P(m)
(G).
(m)
(49)
(m)
Soient (u, v) ∈ Dn (G) × Dn′ (G), on définit u · v comme la composée
′
δn,n
u⊗v
′
n
n
(G) ⊗ P(m)
u · v : P(m) (G) → P(m)
(G) → V.
′
Il nous reste à montrer que u · v s’annule sur I {n+n +1} et définit donc une application :
′
n+n
(G) → V . La vérification est locale et nous nous plaçons pour la démonstration sur
P(m)
un ouvert U sur lequel l’idéal I est muni d’une suite régulière de générateurs t1 , . . . , tN en
′
adoptant les notations de 4.1.5. Il nous faut montrer que δ n,n s’annule sur les éléments t{k} =
{k1 }
t1
{kr }
· · · tr
avec |k| ≥ n + n′ + 1, en utilisant les notations 2.1.2, et passe au quotient en
′
′
n+n
n
n
(G) → P(m)
(G) ⊗ P(m)
une application : P(m)
(G). Toujours d’après I 7.7 de [Jan03], on peut
écrire
♯
µ (ti ) = 1 ⊗ ti + ti ⊗ 1 +
hi
X
ai,s ⊗ bi,s ,
s=1
avec ai,s et bi,s des éléments de I. Dans le cas du groupe additif Ga , on a µ♯ (ti ) = 1⊗ti +ti ⊗1.
En appliquant les formules 2.1.1, on trouve
δ
n,n′
{k }
(ti i )
=
ki X
ki
αi =0
αi
{αi }
ti
{ki −αi }
⊗ ti
+ γ ki
avec γki ∈
X
I {s} ⊗ I {t} .
s+t≥ki +1
Dans cette somme, les termes correspondant à des αi ≥ n + 1 ou tel que ki − αi ≥ n′ + 1 ou
à des éléments γki de I {s} ⊗ I {t} avec s ≥ n + 1 ou t ≥ n′ + 1 sont en fait nuls. De plus, la
première somme est un tenseur symétrique. En effectuant le produit, cela donne
X k X
n,n′ {k}
δ (t ) =
I {s} ⊗ I {t} .
t{α} ⊗ t{k−α} + γk avec γk ∈
α
α≤k
s+t≥|k|+1
Dans cette somme, les termes correspondant à des |α| ≥ n + 1 ou tels que |k − α| ≥ n′ + 1 ou
à des éléments γk de I {s} ⊗ I {t} avec (s ≥ n + 1 ou t ≥ n′ + 1) sont nuls.
Montrons maintenant que uv est d’ordre ≤ n + n′ . Il suffit pour cela de montrer que
′
uv(t{k} ) = (u ⊗ v) ◦ δ n,n (t{k} ) = 0 pour tout k tel que |k| = n + n′ + 1. Reprenons la formule
32
′
précédente. L’élément δ n,n (t{k} ) s’écrit comme somme d’éléments des idéaux I {s} ⊗ I {t} avec
s + t ≥ n + n′ + 1, i.e. s ≥ n + 1 ou t ≥ n′ + 1. Le résultat est donc bien nul puisque u s’annule
′
sur I {n+1} et v sur I {n +1} .
Montrons que uv − vu est d’ordre ≤ n + n′ − 1. Il faut montrer que le résultat du calcul
suivant est nul pour un k fixé tel que |k| = n + n′ ,
′
′
(uv − vu)(t{k} ) = (u ⊗ v) ◦ δ n,n (t{k} ) − (v ⊗ u) ◦ δ n ,n (t{k} )




X k
X k
t{α} ⊗ t{k−α} + γk′  . (50)
= (u ⊗ v) 
t{α} ⊗ t{k−α} + γk  − (v ⊗ u) 
α
α
α≤k
α≤k
On remarque que tous les éléments (u ⊗ v)(γk ), = (u ⊗ v)(γk′ ) sont nuls pour tous les multi-
indices k et k ′ intervenant dans les sommes précédentes car chaque élément γk ou γk′ est dans
un idéal du type I {s} ⊗ I {t} , avec s ≥ n + 1 ou t ≥ n′ + 1. Il vient donc finalement
X k {k}
u t{k} v t{k}−{α} − v t{α} u t{k}−{α} = 0.
(uv − vu)(t ) =
α
α≤k
L’associativité du produit provient, comme dans le cas classique, de l’associativité de la
loi de groupe et de la propriété universelle des algèbres à puissances divisées.
Proposition 4.1.10.
′
(i) L’application Φm,m′ : D (m) (G) → D (m ) (G) est un homomor-
phisme de faisceaux d’algèbres filtrées pour m, m′ ∈ N ∪ {∞}. De plus, on a l’égalité
limm D (m) (G) = Dist(G) comme faisceaux d’algèbres filtrées.
−→
′
(ii) L’application Φm,m′ : D (m) (G) → D (m ) (G) est un homomorphisme d’algèbres filtrées
pour m, m′ ∈ N ∪ {∞}. De plus, on a l’égalité limm D (m) (G) = Dist(G) comme algèbres
−→
filtrées.
Démonstration. Le (ii) provient de (i) par passage aux sections globales. Montrons donc
(i). Par la propriété universelle des m-PD-enveloppes d’un idéal, il existe une unique flèche
P(m′ ) (G) → P(m) (G) pour m′ ≥ m qui rend commutatif le diagramme suivant
′
P(m′ ) (G)
P(m) (G)
n,n
δ(m
′)
/
′
n
n
P(m
′ ) (G) ⊗ P(m′ ) (G)
′
n,n
δ(m)
/
′
n
n
P(m)
(G) ⊗ P(m)
(G).
On en tire formellement la proposition.
Dans l’énoncé suivant nous donnons quelques propriétés de fonctorialité de D (m) et de
D (m) (·).
33
Proposition 4.1.11. Soient H, G deux schémas en groupes sur S.
(i) Soit f : H → G un morphisme de S-schémas qui est compatible avec les sections
unité εH , εG . Il induit un homomorphisme D (m) (f ) (resp. D (m) (f )) de V -modules filtrés
D (m) (H) → D (m) (G) (resp. D (m) (H) → D (m) (G)). Si f est un morphisme de schémas
en groupes, alors D (m) (f ) (resp. D (m) (f )) est multiplicatif.
(ii) Il existe un isomorphisme de V -algèbres filtrées D (m) (H) ⊗V D (m) (G) ≃ D (m) (H × G)
(resp. D (m) (H) ⊗V D (m) (G) ≃ D (m) (H × G)) où le terme de gauche est muni de la
filtration produit tensoriel.
Démonstration. L’énoncé respé s’obtient par composition avec le foncteur section globale. Il
suffit donc de montrer la partie non respée de l’énoncé. Soit f ♯ : f −1 OG → OH le morphisme
n
n
de faisceaux associé. Il induit un morphisme f −1 P(m)
(G) → P(m)
(H). En passant aux sections
(m)
(m)
sur S et en dualisant on trouve une application V -lineaire Dn (H) → Dn (G). On obtient
D (m) (f ) en passant à la limite sur n. Cela montre (i). Maintenant, d’après (i), les morphismes
H × εG and εH × G induisent des homomorphismes D (m) (G) → D (m) (H × G) et D (m) (H) →
D (m) (H × G). Ces derniers homomorphismes induisent un homomorphisme h : D (m) (H) ⊗S
D (m) (G) → D (m) (H ×G). La question de savoir si ce morphisme est un isomorphisme filtré est
locale. Plaçons-nous sur un ouvert U × V où U est tel que IG restreint à U est engendré par
une suite régulière de paramètres (resp. IH est engendré par une suité régulière de paramètres
sur H). Choisissons une suite régulière de générateurs t1 , ..., tN de l’ideal IH×G constituée de
suites regulières pour les idéaux IH et IG . Alors la proposition 4.1.6 implique que h est un
isomorphisme filtré.
Donnons maintenant deux exemples. D’abord dans le cas du groupe additif GN
a , muni des
coordonnées t1 , . . . , tN , dont la loi de groupe est définie par µ♯ (ti ) = 1 ⊗ ti + ti ⊗ 1, pour tout
1 ≤ i ≤ N. On note ∂ hki les opérateurs différentiels relatifs au choix des ti . On a alors
Proposition 4.1.12. Dans D (m) (GN
a ), on a la relation
′
k + k ′′ hk′ +k′′ i
hk ′ i
hk ′′ i
ξ ·ξ
ξ
=
.
k′
Démonstration. Il nous faut en effet calculer
(ξ
′
hk i
·ξ
′′
hk i
{r}
)(t
) = (ξ
′
hk i
⊗ξ
′′
hk i
)
X r α≤r
α
ce qui donne l’énoncé recherché.
34
{α}
t
{r−α}
⊗t
!
= δr,k′ +k′′
k ′ + k ′′
, (51)
k′
Dans le cas N = 1 on en déduit les formules suivantes pour un entier k ≥ 1
si k 6= 0 [pm ], kξ hki = ξξ hk−1i
si k = 0 [pm ], pm ξ hki = ξξ hk−1i,
dont on déduit la formule suivante pour tout k ≥ 0
k! hki
ξ = ξk.
qk !
On vérifie au passage, que si f ∈ V [T1 , . . . , TN ],
ξ hki (f ) = ∂ hki (f )(0).
(52)
En particulier, dans le case m = 0, on a ξ hki(0) = ξ k pour tout k.
Maintenant, dans Gm , qu’on identifie à Spec V [T, T −1 ], le faisceau d’idéaux I est engendré
par τ = T − 1. La loi de groupe est donnée par µ♯ (τ ) = τ ⊗ 1 + 1 ⊗ τ + τ ⊗ τ.
Proposition 4.1.13. Dans D (m) (Gm ), on a les relations
X
qk′ ! qk′′ ! l!
′
′′
ξ hk i · ξ hk i =
ξ hli .
′ + k ′′ − l)! (l − k ′ )! (l − k ′′ )!
q
!
(k
′ ′′
′
′′ l
max{k ,k }≤l≤k +k
Démonstration. Calculons, en appliquant 2.1.1,
l X
l
♯ (l)
(τ ⊗ 1 + 1 ⊗ τ ){r} τ {l−r} ⊗ τ l−r
µ (τ ) =
r
r=0
r
l X
X
l−s
s+l−r
r
l
.
ql−r !
=
r
−
s
s
s
r
r=0 s=0
′
′′
′
′′
Cela nous permet de calculer ξ hk i ⊗ ξ hk i δ k ,k (µ♯ (τ (l) )) et nous donne l’énoncé.
On en déduit les formules suivantes pour un entier k ≥ 1
si k 6= 0 [pm ], kξ hki = (ξ − k + 1)ξ hk−1i
si k = 0 [pm ], pm ξ hki = (ξ − k + 1)ξ hk−1i ,
dont on déduit la formule suivante pour tout k ≥ 0
k! hki
ξ = (ξ − k + 1)(ξ − k + 2) · · · (ξ − 1)ξ.
qk !
(53)
En particulier, dans le cas m = 0, on a ξ hki(0) = (ξ − k + 1)(ξ − k + 2) · · · (ξ − 1)ξ pour tout k
et alors ξ hki(0) 6= ξ k pour k ≥ 2. On constate aussi dans ce cas pour f ∈ V [T, T −1 ]
hki
ξ hki (f ) = ∂T (f )(1).
(54)
Revenons maintenant au cas d’un schéma en groupes général G, et rappelons que
Lie(G)∗ := I/I 2 .
35
Proposition 4.1.14.
(i) Il existe un isomorphisme canonique de faisceaux de V -algèbres
graduées
(m)
cm : gr• D (m) (G) ≃ SV (Lie(G)).
(ii) Les faisceaux d’algèbres gr• D (m) (G) et D (m) (G) sont à sections noetheriennes sur les
affines.
(iii) Etant donnée une suite régulière de paramètres t1 , . . . , tN de I sur un ouvert U, l’algèbre
T
i
D (m) (G) est engendrée sur U S par les éléments ξ hp i pour i ≤ m. On a la relation
suivante
ξ
hk ′ i
Proposition 4.1.15.
·ξ
hk ′ i
=
k ′ + k ′′ hk′ +k′′ i
+ termes d’ordre < |k ′ | + |k ′′ |.
ξ
′
k
(i) Il existe un isomorphisme canonique de V -algèbres graduées
(m)
cm : gr• D (m) (G) ≃ SV (Lie(G)).
(ii) Les algèbres gr• D (m) (G) et D (m) (G) sont noetheriennes.
(iii) Dans le cas où I est engendré par une suite régulière de paramètres sur un ouvert
i
contenant e(S), alors l’algèbre D (m) (G) est engendrée par les éléments ξ hp i pour i ≤ m,
qui vérifient les relations données par le (iii) de la proposition précédente.
Démonstration. Montrons la première proposition. La deuxième s’en déduit par passage aux
sections globales sur le schéma affine S. La filtration décroissante de l’algèbre P (m) (G) par les
idéaux I {n} permet de considérer l’algèbre graduée
M
gr• P (m) (G) =
I {n} /I {n+1} ,
n≥0
dont l’idéal I/I 2 est muni d’une m-PD-structure. En reprenant la description donnée en 2.1.2,
on voit que cette algèbre graduée est un V -module libre de base les éléments t{r} sur un ouvert
U sur lequel I est engendré par une suite régulière de paramètres t1 , . . . , tN .
Le module Lie(G)∗ = I/I 2 = gr1 P (∞) (G) s’envoie vers gr1 P (m) (G) pour tout entier m
(36). On dispose donc d’une flèche Lie(G)∗ → gr• P (m) (G) et, par la propriété universelle des
algèbres symétriques, d’un morphisme d’algèbres commutatives SV (Lie(G)∗ ) → gr• P (m) (G),
qui envoie Lie(G)∗ dans un m-PD-idéal, de sorte que cette application se factorise d’une
unique façon en un homomorphisme de m-PD-algèbres :
c∗m : ΓV,(m) (Lie(G)∗ ) → gr• P (m) (G),
qui est un isomorphisme V -linéaire envoyant l’élément noté t{r} de ΓV,(m) (Lie(G)(U)∗ ) (Thm.
3.9 in [BO78]) sur l’élément noté de la même façon de gr• P (m) (G)(U).
36
En dualisant, cette application donne un isomorphisme V -linéaire
(m)
cm : HomV (gr• P (m) (G), V ) → SV (Lie(G)).
Or, le V -module I {n} /I {n+1} localement libre de rang fini s’identifie au noyau de la surjection :
P (m) (G)n+1 → P (m) (G)n , et donc le dual V -linéaire de gr• P (m) (G) s’identifie à l’algèbre
graduée gr• D (m) (G), puisque le faisceau P (m) (G)n est un faisceau de V -modules libres de
rang fini. Vérifions maintenant que cette application est un homomorphisme d’algèbres. Cette
vérification se fait localement sur un ouvert U muni d’une suite régulière de paramètres. Les
deux modules sont libres sur U de base les éléments ξ hki . Dans l’algèbre symétrique de niveau
m, on a l’égalité
ξ
hk ′ i
·ξ
′
k + k ′′ hk′ +k′′ i
ξ
=
.
k′
hk ′′ i
′
′′
Effectuons le calcul dans l’algèbre gr• D (m) (G)(U). Le produit ξ hk i ·ξ hk i est d’ordre ≤ |k ′ |+|k ′′ |.
Il suffit donc de calculer, pour |r| = |k ′ | + |k ′′ |
(ξ
hk ′ i
·ξ
hk ′′ i
{r}
)(t
) = (ξ
hk ′ i
⊗ξ
hk ′′ i
)
X r
α≤r
puisque l’élément γk′ +k′′ est dans
P
α
{α}
t
s+s′ ≥|k′ +k′′ |+1 I
{r−α}
⊗t
{s}
!
+ γr = δr,k′ +k′′
′
k ′ + k ′′
, (55)
k′
′
′′
⊗I {s } (U) de sorte que (ξ hk i ⊗ξ hk i )(γr ) =
0. On voit ainsi que la formule du produit est exactement la même pour les deux algèbres
considérées et donc qu’on a l’isomorphisme d’algèbres annoncé.
L’assertion (iii) provient de l’isomorphisme précédent et de l’observation (1.3.6 de [Huy03])
hpi i
(m)
que l’algèbre symétrique de niveau m, SV (Lie(G)(U)), est engendrée par les éléments ξl
avec i ≤ m et ξl les éléments d’une base de Lie(G)(U). Finalement, gr• D (m) (G)(U) ≃
(m)
SV (Lie(G)(U)) est un anneau noetherien, car c’est une V -algèbre de type fini. Par un
argument standard, on en déduit que D (m) (G)(U) est noetherien (e.g. [MR87], Thm. 1.6.9).
Cela montre (ii). Comme S est noetherien, cela implique la noetherianité de D (m) (G).
Proposition 4.1.16.
(i) Le faisceau d’algèbres sur S, D (m) (G), est cohérent.
(ii) Le foncteur Γ(S, .) établit une équivalence de catégories entre la catégorie des D (m) (G)modules à gauche cohérents et celle des D (m) (G)-modules à gauche de type fini. Le
foncteur quasi-inverse est donné par
M 7→ D (m) (G) ⊗D(m) (G) M.
L’énoncé reste vrai pour les modules à droite.
37
Démonstration. Ce résultat provient d’une part de la noetherianité des faisceaux d’algèbres
graduées associées à gr• D (m) (G) par (i) de 4.1.14. D’autre part, il suit de (iii) de loc. cit. que,
si I est muni d’une suite régulière de paramètres sur un ouvert U, alors, pour tout U ′ ⊂ U,
on a un isomorphisme d’algèbres
D (m) (G)(U ′ ) ≃ OU ′ ⊗OU D (m) (G)(U),
et donc D (m) (G)(U ′ ) est plat à gauche et à droite sur D (m) (G)(U). On obtient alors le résultat
cherché en procédant comme pour 3.1.1 et 3.1.3 de [Ber96].
4.2
PD-stratifications de niveau m
Nous retournons au cas où G est un schéma en groupes quelconque affine et lisse sur S. Grâce
au formalisme présenté ici, nous pouvons décrire la donnée d’une structure de D (m) (G)-module
(resp. D (m) (G)) de façon analogue au cas classique en utilisant la notion de stratification. Il
s’agit essentiellement de reproduire le 2.3 de [Ber96]. Voici les énoncés qu’on obtient formulés
dans le cadre des faisceaux de D (m) (G)-modules. En passant aux sections globales et en
utilisant l’équivalence précédente 4.1.16, on peut procéder exactement de la même façon pour
les D (m) (G)-modules. Nous n’expliciterons pas toujours les énoncés obtenus dans le cadre des
D (m) (G)-modules.
Définition 4.2.1. Soit E un OS -module. On appelle G-m-PD-stratification sur E la donnée
n
d’une famille compatible d’isomorphismes, P(m)
(G)-linéaires,
εn :
∼
n
n
P(m)
(G) ⊗OS E → E ⊗OS P(m)
(G),
tels que
(i) ε0 = IdE ,
(ii) pour tous n, n′ , le diagramme suivant
′
n
(G)
P(m)
⊗OS
n′
P(m)
(G)
δn,n ∗ (εn+n′ )
⊗OS E
❲❲❲❲❲
❲❲❲❲∼
❲❲❲❲
❲❲❲❲
n,n′ ∗
❲❲+
q1
(εn+n′ )
/
′
n
n
E ⊗OS P(m)
(G) ⊗OS P(m)
(G)
❣❣❣3
❣
❣
❣❣❣❣ ′
❣❣❣❣ q0n,n ∗ (εn+n′ )
∼❣❣❣❣❣❣
′
n
n
P(m)
(G) ⊗OS E ⊗OS P(m)
(G),
dont les flèches sont obtenues par extension des scalaires à partir des applications δ n,n
(49) et des applications
′
′
′
n
n
n
n+n
(G) ։ P(m)
(G) → P(m)
(G) ⊗OS P(m)
(G),
q0n,n : P(m)
38
′
et
′
′
′
′
n
n+n
n
n
(G) ։ P(m)
q1n,n : P(m)
(G) → P(m)
(G) ⊗OS P(m)
(G),
est commutatif.
On définit de façon tout à fait analogue la notion de G-m-PD-stratification globale comme
n
la donnée d’une famille compatible d’isomorphismes P(m)
(G)-linéaires. Pour alléger ce texte
nous ne formulons pas l’énoncé suivant pour les D (m) (G)-modules.
On dispose de la caractérisation suivante de la structure de D (m) (G)-module.
Proposition 4.2.2. Soit E un OS -module. Il y a équivalence entre
(i) se donner une structure de D (m) (G)-module sur E prolongeant sa structure de OS module,
(ii) se donner une famille compatible d’homomorphismes OS -linéaires
θn :
n
E → E ⊗OS P(m)
(G),
telle que θ0 = IdE , et pour tous n, n′ le diagramme suivant soit commutatif
′
n+n
(G)
E ⊗ P(m)
O
′
Id⊗δn,n
/
′
n
n
E ⊗ P(m)
(G) ⊗ P(m)
(G)
O
θn+n′
θn ⊗Id
E
θn′
/E
′
n
⊗ P(m)
(G),
(iii) se donner une G-m-PD-stratification sur E.
De plus, un homomorphisme OS -linéaire λ : E → F entre deux D (m) (G)-modules à gauche
est D (m) (G)-linéaire si et seulement s’il commute aux homomorphismes θn (resp. aux isomorphismes εn ). Dans ce cas, on dit qu’il est horizontal.
(iv) Nous avons un énoncé analogue pour les D (m) (G)-modules. Dans ce cas, se donner une
G-m-PD-stratification sur un D (m) (G)-module M revient à se donner une famille compatible
d’homomorphismes V -linéaires θn :
n
M → M ⊗V P(m)
(G), tels que les diagrammes analogues
à ceux ci-dessus soient commutatifs.
La démonstration de ces résultats est rigoureusement identique à celle de Grothendieck
dans le cas des opérateurs différentiels usuels (cf. proposition 2.3.2 de [Ber96]) et nous ne la
donnons pas. Signalons seulement comment sont définis les θn . Si E est un D (m) (G)-module,
l’homomorphisme θn est obtenu comme le composé
θn :
∼
n
E → HomOS (D (m) (G), E) → E ⊗ P(m)
(G).
39
La commutativité du diagramme imposée dans la proposition précédente correspond alors à
l’associativité de l’action de D (m) (G) sur E.
Etant donnée une suite régulière d’éléments de générateurs de I sur un ouvert U de G, en
reprenant les notations de 4.1.6, on voit que si x ∈ E,
θn (x) =
X
ξ hki x ⊗ t{k} ,
|k|≤n
et que les isomorphismes εn obtenus par extension des scalaires ont un inverse défini par
ε−1
n (x ⊗ 1) =
X
(−1)|k| t{k} ⊗ ξ hki .
|k|≤n
Cette description en termes de G-m-PD-stratification pour les D (m) (G)-modules nous
donne le corollaire suivant comme en 1.2.3.3 de [Ber96].
Corollaire 4.2.3. Soient E, F deux D (m) (G)-modules à gauche et U un ouvert de G sur
lequel I est muni d’une suite régulière de paramètres. Alors
(i) Il existe sur E ⊗OS F une unique structure de D (m) (G)-module à gauche telle que, pour
tout k et x ∈ E, y ∈ F , on ait
ξ
hki
· (x ⊗ y) =
X k l≤k
l
ξ hli x ⊗ ξ hk−li y.
(ii) Il existe sur HomOS (E, F ) une unique structure de D (m) (G)-module à gauche telle que,
pour tout k, tout morphisme ϕ : E → F , tout x ∈ E, on ait
X
hki
|l| k
(ξ ϕ)(x) =
(−1)
ξ hk−li (ϕ(ξ hli x)).
l
l≤k
On déduit de cet énoncé, en appliquant l’équivalence de catégories 4.1.16 que l’on peut
donner les définitions suivantes
Définition 4.2.4. Soient E, F deux D (m) (G)-modules à gauche, E et F les D (m) (G)-modules
associés. Alors on définit le produit tensoriel et le foncteur Hom comme les D (m) (G)-modules
à gauche suivants
E ⊗V F = Γ(S, E ⊗OS F ),
(56)
HomV (E, F ) = Γ(S, HomOS (E, F )).
(57)
Si l’idéal I peut-être muni d’une suite régulière de paramètres sur un ouvert U de G
contenant e(S), alors les formules données dans le corollaire précédent 4.2.3 s’appliquent.
40
Corollaire 4.2.5. Sous les hypothèses 3.1, on dispose d’un foncteur de la catégorie des Gmodules vers la catégorie des D (m) (G)-modules.
Démonstration. Soit M un G-module dont la structure est définie par une application ∆M
M → M ⊗ V [G] vérifiant 31. Il suffit de montrer que l’on peut munir M d’une G-m-PDstratification. Pour cela on vérifie le critère de la proposition 4.2.2 (pour les D (m) (G)-modules),
en posant
n
θn = (IdM ⊗ ρm ) ◦ ∆M : M → M ⊗ P(m)
(G).
n
Pour n = 0, l’algèbre P(m)
(G) est égale à V et on vérifie comme dans le cas classique que
θ0 = IdM en utilisant les relations 31. Nous vérifions à présent que le diagramme donné en
(ii) de la proposition 4.2.2 commute, en utilisant la commutation du diagramme ci-dessous
′
(par définition de l’application δ n,n 49)
µ♯
V [G]
/
V [G] × V [G]
ρm
ρm ⊗ρm
′
n+n
(G)
P(m)
′
δn,n
′
n
n
P(m)
(G) ⊗ P(m)
(G),
/
et les égalités qui suivent, lesquelles font intervenir les relations vérifiées par l’application ∆M
′
Id ⊗ δ n,n ◦ (IdM ⊗ ρm ) ◦ ∆M = (IdM ⊗ (ρm ⊗ ρm ) ◦ µ♯ ) ◦ ∆M
= (IdM ⊗ (ρm ⊗ ρm )) ◦ (∆M ⊗ idV [G] ) ◦ ∆M
′
= (IdM ⊗ ρm ) ◦ ∆M ⊗ IdP n (G) ◦ (IdM ⊗ ρm ) ◦ ∆M .
(m)
Toutes les constructions sont fonctorielles.
Remarque : de façon analogue aux stratifications, nous pouvons donner une description des
D (m) (G)-modules à droite en définissant la notion de costratification comme dans le chapitre
1 de [Ber00]. Nous n’entrerons pas dans ces détails ici.
4.3
Liens avec les faisceaux différentiels sur G.
Soient G un schéma en groupes lisse sur S, ∆ l’immersion diagonale G ֒→ G × G, définie par
l’idéal I∆ , eG = e × idG , c’est-à-dire
eG : G g✤

/
/
41
G×G
(e, g).
Alors on a pour t ∈ OG , (εG ⊗ Id)(1 ⊗ t − t ⊗ 1) = t − εG (t) ∈ I, si bien que (eG )∗ (I∆ ) = I,
et le diagramme suivant est cartésien
S _

e
e
/
∆

G
eG
(58)
G _
/
G × G.
n
Considérons la m-PD-enveloppe de OG pour l’idéal I définissant e, P(m)
(G) introduite au
n
début de 4. Le faisceau d’algèbres e∗G ∆∗ PG,(m)
est le faisceau de m-PD-enveloppes de l’idéal
e∗G I∆ = I, puisque I∆ est un idéal régulier, et par la propriété de changement de base
dans le cas régulier de 1.5.3 de [Ber96]. Par la propriété universelle des m-PD-enveloppes,
n
n
on dispose d’un m-PD-morphisme canonique αm : e∗G ∆∗ PG,(m)
→ e∗ P(m)
(G), ou encore β̃m :
n
n
e∗ PG,(m)
→ P(m)
(G). Plus précisément, on a la
Proposition 4.3.1.
(i) Les morphismes β̃m sont des m-PD-isomorphismes.
(ii) Ces morphismes induisent des isomorphismes canoniques de m-PD-algèbres
n
n
β̃m : Γ(S, e∗ PG,(m)
) ≃ P(m)
(G).
Démonstration. Le (ii) se déduit de (i) par passage aux sections globales sur S. Montrons (i).
Fixons un entier m. L’assertion est locale et l’isomorphisme provient du fait que I∆ et I sont
localement réguliers. En effet, soient x1 , . . . , xN des coordonnées locales de G sur un ouvert
U de G, et τi = 1 ⊗ xi − xi ⊗ 1, de sorte que les éléments ti = αm (τi ), i.e. ti = xi − εG (xi )
forment une suite régulière de I sur U. De plus,
e∗G (OG×G /I∆ ) ≃ OG /I.
On peut alors identifier :
n
e∗G ∆∗ PG,(m)
≃
M
n
(G) ≃
e∗ OS τ {k} , e∗ P(m)
|k|≤n
M
e∗ OS t{k} .
|k|≤n
Le m-PD-morphisme αm entre ces deux algèbres est donné par αm (τ {k} ) = t{k} , qui est
clairement un isomorphisme, et donc aussi β̃m .
n
n
De la surjection canonique PG,(m)
։ e∗ e∗ PG,(m)
, et la proposition précédente on déduit
qu’il existe une surjection
n
n
sm : PG,(m)
։ e∗ P(m)
(G),
(59)
qui est un m-PD-morphisme comme composé de m-PD-morphismes car l’idéal I∆ est localen
ment régulier. Soit can le morphisme canonique OG×G → PG,(m)
, d1 : OG → OG×G donné par
d1 (f ) = 1 ⊗ f , ud = can ◦ d1 , et reprenons ρm de 37. L’énoncé se complète de l’observation
suivante.
42
Proposition 4.3.2. Le diagramme suivant de faisceaux de OG -modules est commutatif
ud
/ Pn
G,(m)
r
r
r
r
ρm
rrrsm
yry rr
OG
n
e∗ P(m)
(G).
Démonstration. Il suffit de montrer que le diagramme est commutatif sur les ouverts affines
T
de G munis de coordonnées et tels que U e(S) 6= ∅. Supposons donc que U vérifie des deux
conditions. On considère le diagramme suivant
OG (U)
d1
/
OG×G (U)
εG ⊗idG
//
OG (U)
ρm
can
n
PG,(m)
(U)
sm/ /
n
e∗ P(m)
(G)(U).
Le morphisme ρm ◦ (ε∗G ⊗ idG ) envoie I∆ (U) sur un m-PD-idéal, donc par la propriété universelle des m-PD-enveloppes, il existe un unique homomorphisme de m-PD-algèbres s′m :
n
n
PG,(m)
(U) → e∗ P(m)
(G)(U) tel que s′m ◦ can = ρm ◦ (εG ⊗ idG ). Montrons que les m-PD-
morphismes sm et s′m coı̈ncident. On a sm (τi ) = ti . D’autre part s′m (1⊗xi −xi ⊗1) = ρm (ti ) = ti .
Cela montre que sm et s′m coı̈ncident sur une famille génératrice de I∆ . Comme sm et s′m sont
des m-PD-morphismes, ils sont égaux. La proposition en découle car (εG ⊗idG )◦d1 = IdG .
Fixons un entier m. En appliquant HomOS (·, OS ) aux morphismes β̃m de la proposition 4.3.1, on obtient la
Proposition 4.3.3.
(i) Il existe un isomorphisme de OS -modules
(m)
(m)
βm : Dn(m) (G) ≃ e∗ DG,n , resp. D (m) (G) ≃ e∗ DG .
(ii) Il existe un isomorphismes de V -modules
(m)
(m)
βm : Dn(m) (G) ≃ Γ(S, e∗ DG,n ), resp. D (m) (G) ≃ Γ(S, e∗ DG ).
Remarque : ce morphisme n’est pas un morphisme d’anneaux. Par exemple, dans le cas
où m = 0, p 6= 2, G = Gm = Spec V [T, T −1 ], T − 1 est une coordonnée locale au voisinage
de 1, et aussi un générateur de Iκ . Ainsi, τ = 1 ⊗ T − T ⊗ 1, et e∗ (τ ) = T − 1, ce qui donne
h2i
h2i
e∗ (∂T ) = ξ h1i = ξ. Dans ce cas, ∂T = ∂T2 . Or, on a aussi e∗ (∂T ) = ξ h2i . Et on calcule
e∗ (∂T2 ) = ξ h2i 6= ξ 2 ,
d’après la formule 53.
43
(m)
Soient P une section locale de DG , f une section locale de OG . Dans la suite de cet
article, on notera
−1 ∗
f (e) = εG (f ) ∈ e∗ OS et P (e) la distribution βm
(e (P )) ∈ Dn(m) (G)
(60)
n
induite par P , P (e) : PG,(m)
→ OS . Sur un ouvert U de G muni de coordonnées locales
T
x1 , . . . , xN , tel que e(S) U soit non vide. On dispose des opérateurs différentiels ∂ hki de
(m)
DG (U), relatifs au choix des xi , ainsi que des éléments ti = xi − ε(xi ) ∈ I(U), et ξ hki ∈
(m)
e∗ Dn (G)(U) relatifs au choix des ti . Comme le morphisme β̃m de 4.3.1 satisfait β̃m (τ hki ) =
thki , on obtient
∀k ∈ NN , ∂ hki (e) = ξ hki .
(61)
Pour la suite, reprenons les notations de 4.3.2. Nous avons rappelé en 17 l’action d’un opérateur
(m)
différentiel P ∈ DG (U) sur OG (U). Cette action est donnée par la première ligne du diagramme suivant,
OG ▲▲
ud
/
n
PG,(m)
▲▲▲ρm
▲▲▲
&
P
/
OG
sm
P (e)
n
P(m)
(G)
/
εG
OS .
Par définition de P (e), le carré de droite est commutatif. Enfin, d’après 4.3.2, sm ◦ ud = ρm .
Comme P (e) ◦ ρm décrit l’action de P (e) sur OG , cf. 41, on voit que εG ◦ P ◦ ud = P (e) ◦ ρm ,
ce qui nous donne la
(m)
Proposition 4.3.4. Soient f une section locale de OG et P ∈ DG . Alors
(P (e))(f ) = (P (f ))(e).
(m)
Ceci s’applique en particulier si f ∈ V [G] et si P ∈ DG .
4.4
Opérateurs différentiels sur des G-schémas
Nous nous plaçons toujours sous les hypothèses 3.1. Le but est de montrer le théorème 4.4.8.3.
On commence par construire, dans le cas où un schéma en groupes G agit à gauche sur un
S-schéma lisse X, un anti-homomorphisme du faisceau d’algèbres des distributions de G,
(m)
D (m) (G) vers le faisceau d’algèbres stX∗ DX , où stX est le morphisme structural X → S. On
en déduit un anti-homomorphisme d’algèbres de l’algèbre des distributions de G, D (m) (G),
vers l’algèbre des opérateurs différentiels globales de niveau m sur X.3
Proposition 4.4.1. Soient X un S-schéma lisse sur lequel G agit à gauche, et m un entier.
3
Dans le cas d’une action à droite, la construction analogue fournit un homomorphisme entre ces deux
algèbres, cf. II.§4. No.4.5 de [DG70].
44
(i) Il existe un anti-homomorphisme de faisceaux d’algèbres filtrées Qm de l’algèbre D (m) (G)
(m)
vers stX∗ DX .
(ii) Il existe un anti-homomorphisme d’algèbres filtrées Qm de l’algèbre D (m) (G) vers
(m)
l’algèbre des sections globales sur X du faisceau DX .
Démonstration. Le (ii) est une conséquence immédiate de (i) par passage aux sections globales. Montrons (i). Soit σ : G × X → X l’action de G sur X. Nous allons construire un
(m)
(m)
morphisme OS -linéaire Dn (G) → stX∗ DX,n . Pour cela on décompose
idX : X x✤

eX
/
G×X
/ (e, x).
σ
/
X
Rappelons que d’après 12, on dispose d’un projecteur q1 , qui est un m-PD-morphisme, q1 :
n
n
PG×X,(m)
։ p∗1 PG,(m)
. Considérons le composé
n
n
n
q1 ◦ dσ : σ ∗ PX,(m)
→ PG×X,(m)
։ p∗1 PG,(m)
(62)
où dσ est le m-PD morphisme qui apparaı̂t dans la preuve de Prop. 3.4.1. Comme idX = σ◦eX ,
on trouve en appliquant e∗X au morphisme précédent un morphisme de faisceaux d’algèbres
n
n
PX,(m)
→ e∗X p∗1 PG,(m)
. Si stX est le morphisme structural X → S, on voit que p1 ◦eX = e◦stX ,
de sorte que
n
n
e∗X p∗1 PG,(m)
≃ st∗X e∗ PG,(m)
n
≃ st∗X P(m)
(G) d’après 4.3.1.
Avec cette identification, et en remarquant qu’on a un isomorphisme canonique
n
n
n
n
eX∗ st∗X P(m)
(G) ≃ p∗1 e∗ P(m)
(G), on voit que la flèche p∗1 PG,(m)
→ eX∗ st∗X P(m)
(G) est la flèche
(n)
p∗1 sm où sm est donnée en 59. Finalement, on définit σm = e∗X (q1 ◦ dσ) :
(n)
n
n
σm
: PX,(m)
→ st∗X P(m)
(G).
n
n
(G), on obtient finalement
(G) s’identifie à OX ⊗V P(m)
Comme le faisceau st∗X P(m)
(n)
n
n
σm
: PX,(m)
→ OX ⊗V P(m)
(G).
(63)
La remarque suivante sera utile dans la suite.
n
Proposition 4.4.2. Le faisceau OX ⊗V P(m)
(G) est un faisceau de OX -modules localement
libres.
n
Cette remarque est évidente car ce faisceau est égal au faisceau st∗X P(m)
(G). Plus
précisément, soit U un ouvert de G sur lequel I est muni d’une suite régulière de paramètres
45
t1 , . . . , tN et S ′ = spec V ′ un ouvert affine de e−1 (U) ⊂ S. Restreignons les constructions
précédentes à S ′ . Alors PGnS ′ ,(m) est libre de base les éléments t{k} pour |k| ≤ n et le faisceau
n
OX ⊗V P(m)
(G) est un OX -module libre au-dessus de XS ′ = S ′ ×S X de base les éléments
1 ⊗ t{k} , tels que |k| ≤ n.
(64)
Introduisons ρm (resp. rm ) est l’application canonique de 37 (resp. 8). Dans ce qui suit, on
(n)
n
utilisera e−1 ρm : e−1 OG → PG,(m)
. Les propriétés de σm sont décrites par la
Proposition 4.4.3.
n
(i) Si on munit l’algèbre st∗X P(m)
(G) de la m-PD-structure de m-PD(n)
idéal st∗X I, alors σm est un m-PD-morphisme.
(n)
n
(ii) Le morphisme σm est OX -linéaire pour la structure de OX -module à gauche de PX,(m)
.
(iii) Soit b ∈ OX , tel que σ ♯ (σ −1 b) =
(n)
σm
(rm (b)) =
P
i ci
X
⊗ di , avec ci ∈ OG , et di ∈ OX , alors
n
e−1 ρm (ci ) ⊗ di ∈ P(m)
(G) ⊗ OX ,
i
où ρm (resp. rm ) est l’application canonique de 37 (resp. 8).
(n)
(iv) Les applications σm sont compatibles entre elles pour n variable, et m variables.
Démonstration. Le (i) provient du fait que l’application q1 ◦ dσ, defini dans la preuve de
la proposition précédente, est un m-PD morphisme et du fait que la formation des m-PDenveloppes commute aux extensions de base dans le cas où on considère des idéaux réguliers.
La OX -linéarité de (ii) est automatique car q1 et dσ sont OG×X -linéaires. Montrons (iii). Dans
n
, on identifie OG×X , dont les éléments sont
la suite, grâce à la section canonique 1 de PX,(m)
−1
∗ n
notés comme des éléments de p−1
1 OG ⊗ p2 OX , à un sous-faisceau de σ PX,(m) . Notons les
−1 n
n
comme des éléments de (p1−1 OG ⊗ p−1
éléments de σ ∗ PX,(m)
2 OX ) ⊗ σ PX,(m) , on a
dσ(1 ⊗ 1 ⊗ rm (1 ⊗ σ −1 (b)) =
X
rm (ci ⊗ 1) · rm (1 ⊗ di ).
i
Calculons maintenant le projecteur q1 sur les éléments du type 1 ⊗ di . Soient x1 , . . . , xM
un système de coordonnées locales sur X, x′1 , . . . , x′N des coordonnées locales sur G, τi =
1⊗xi −xi ⊗1, τj′ = 1⊗x′j −x′j ⊗1. Les opérateurs différentiels relatifs à ce choix de coordonnées
′
′
n
sont alors notés ∂ hk i ∂ hki tandis que les éléments τ {k } τ {k} forment une base locale de PG×X,(m)
pour |k| + [k ′ | ≤ n. Reprenons les notations de l’énoncé, on trouve
rm (1 ⊗ di ) =
X
n
∂ hki (di )τ {k} ∈ PG×X,(m)
,
|k|≤n
n
de sorte que q1 (1⊗di ) = 1⊗di ∈ p∗1 PG,(m)
et donc par les propriétés de linéarité de l’application
n
. Dans la suite, nous utilisons l’injection
rm , q1 (rm (ci ⊗ di )) = [rm (ci ⊗ 1)](1 ⊗ di ) ∈ p∗1 PG,(m)
46
n
∗ n
∗ n
canonique p−1
1 PG,(m) ֒→ p1 PG,(m) . Comme on a l’égalité rm (ci ⊗ 1) = ud (ci ) ∈ p1 PG,(m) , il
résulte de 4.3.2, que (e−1 sm ⊗ idX )(ud(ci ) · (1 ⊗ di )) = e−1 ρm (ci ) ⊗ di , ce qui démontre la
formule de (iii). L’assertion (iv) est claire.
Dans la situation (iii) de la proposition, on notera dans la suite plus simplement
X
(n)
σm
(1 ⊗ b) =
ci ⊗ d i .
i
(n)
Indiquons maintenant comment calculer la première pièce de l’application graduée de σm
pour sa filtration m-PD-adique. Soient gr1 q1 et gr1 dσ les premières pièces graduées des m-PD
morphismes q1 et dσ. Donc, on dispose de
gr1 q1 ◦ gr1 dσ = gr1 (q1 ◦ dσ) : σ ∗ Ω1X → Ω1G×X → p∗1 Ω1G .
(n)
Alors l’application gr1 σm est obtenue comme la composée :
e∗ gr1 dσ
e∗ gr1 q1
(n)
gr1 σm
: Ω1X X−→ e∗X Ω1G×X X−→ e∗X p∗1 Ω1G ։ I/I 2 ⊗OS OX ,
(65)
où la dernière flèche est la surjection naturelle.
(m)
(m)
Soit maintenant u une section locale de Dn (G) (resp. u ∈ Dn (G)), on lui associe
(m)
l’opérateur différentiel Qm,n (u) ∈ DX,n suivant
σ
(n)
m
n
n
Qm,n (u) : PX,(m)
→
st−1
X P(m) (G) ⊗ OX
st−1
X u⊗Id
→
OX ,
(m)
resp. l’opérateur différentiel Qm,n (u) ∈ DX,n suivant
σ
(n)
u⊗Id
m
n
n
→
P(m)
(G) ⊗ OX → OX .
Qm,n (u) : PX,(m)
Ces applications Qm,n passent à la limite inductive sur m pour m variable en un morphisme
filtré de OS -modules quasi-cohérents
(m)
(66)
(m)
(67)
Qm : D (m) (G) → stX∗ DX
resp. un morphisme V -linéaire
Qm : D (m) (G) → Γ(X, DX ).
(0)
Constatons enfin que Qm (1) = 1. En effet, PG0 ≃ OS et σm : OX → OX est OX -linéaire et
unitaire, donc vaut idOX . Ainsi Qm (1) = 1. Par construction, on obtient Qm au niveau des
faisceaux, qui sont des OS -modules quasi-cohérents, en localisant sur S l’application Qm au
gl
niveau des sectins globales, c’est-à-dire Qm = idOS ⊗ Qgl
m , où on a provisoirement noté Qm
l’application obtenue au niveau des sections globales 67.
Pour compléter la preuve de la proposition 4.4.1, il nous reste à vérifier le lemme :
47
(m)
(m)
Lemme 4.4.4. L’application Qm : D (m) (G) → stX∗ DX , resp. Qm : D (m) (G) → Γ(X, DX )
est un anti-homomorphisme d’algèbres, i.e. Qm (uv) = Qm (v)Qm (u).
(m)
(m)
Soient u ∈ Dn (G), v ∈ Dn′ (G), les applications Qm (uv) et Qm (v)Qm (u) vus comme
′
n+n
n
, OX ) sont OX -linéaires (pour l’action à gauche sur PX,(m)
). Pour
éléments de HomOX (PX,(m)
les comparer, nous calculons d’abord Qm (uv)(1 ⊗ b) pour b ∈ OX . Décomposons σ ♯ (b) =
P
i ci ⊗ di , avec ci ∈ OG , di ∈ OX .
′
Rappelons que δ n,n est définie en 49. Afin d’alléger les notations, nous ne noterons pas
le préfixe st−1
X dans les diagrammes suivants. Pour calculer Qm (uv)(1 ⊗ b), nous considérons
l’application Rm , obtenue comme le composé suivant
(n+n′ )
n+n′ σm
PX,(m)
/
1⊗b ✤
′
δn,n ⊗Id
/ P n (G)
(m)
′
n+n
(G) ⊗OS OX
P(m)
P
✤
/
i ci ⊗ d i
′
n
⊗OS P(m)
(G) ⊗OS OX
P
♯
/
i µ (ci ) ⊗ di ,
qui est un m-PD-morphisme comme composé de m-PD-morphismes.
Reprenons la définition du produit des opérateurs différentiels de 14, qui fait intervenir
δ
n′ ,n
′
′
′
n+n
n
n
→ PX,(m)
⊗OX PX,(m)
, tel que δ n ,n (a ⊗ b) = a ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ b.
: PX,(m)
′
n
Si PX,(m)
est muni de la structure de OX donnée par la multiplication à droite, nous
′
′
n
n
n
n
identifions dans le diagramme qui suit PX,(m)
⊗OX P(m)
(G) ⊗OS OX à P(m)
(G) ⊗OS PX,(m)
en
envoyant (a ⊗ b) ⊗ (c ⊗ d) sur c ⊗ (a ⊗ db). Pour calculer Qm (v)Qm (u) notons Sm le composé
′
n+n
PX,(m)
1⊗b ✤
′ ,n
δn
/ P n′
n
X,(m) ⊗OX PX,(m)
/
1⊗1⊗1⊗b ✤
qui est un m-PD-morphisme.
(n)
Id⊗σm
/
′
n
n
P(m)
(G) ⊗V PX,(m)
P
✤
/
i ci ⊗ (1 ⊗ di )
(n′ )
Id⊗σm
/
′
n
n
P(m)
(G) ⊗V P(m)
(G) ⊗V OX
P
♯
/
i ci ⊗ σ (di ),
La relation de comodule 31 appliquée à OX dit exactement que Rm (1⊗b) = Sm (1⊗b) pour
tout b de OX , et par OX -linéarité, on voit que Rm (1 ⊗ b − b ⊗ 1) = Sm (1 ⊗ b − b ⊗ 1). Comme
Rm et Sm sont des m-PD-morphismes, ils coı̈ncident donc pour tout élément x = 1 ⊗ b − b ⊗ 1,
n
sur les éléments x{q} , pour tout entier q. Ces éléments engendrent PX,(m)
comme OX -algèbre
(1.4.4 de [Ber96]) de sorte que les m-PD-morphismes Rm et Sm sont égaux.
Soient u, v deux éléments de D (m) (G), et Φu,v = Id⊗u⊗v l’homomorphisme d’évaluation
′
n
n
OX ⊗V P(m)
(G) ⊗V P(m)
(G) → OX . L’opérateur différentiel Qm (uv) est égal à Φu,v ◦ Rm et
Qm (v)Qm (u) est égal à Φu,v ◦ Sm , d’où l’égalité Qm (uv) = Qm (v)Qm (u).
Reprenons maintenant les notations de 4.1.6 et de 2.2.2. Si x1 , . . . , xN est un système de
coordonnées locales sur X, τi = 1 ⊗ xi − xi ⊗ 1.
Corollaire 4.4.5.
(i) Le faisceau stX∗ OX , resp. OX , est un D (m) (G)-module, resp. un
(m)
D (m) (G)-module, dont la structure est compatible avec sa structure de DX -module.
48
(ii) Soit U un ouvert de G sur lequel I est muni d’une suite régulière de paramètres
T
t1 , . . . , tN . On se place alors sur un ouvert affine S ′ = spec V ′ de S de U e(S), et
on restreint les constructions précédentes à S ′ . Alors D (m) (GS ′ ) est libre de base les
éléments ξ hli
et on peut considérer ξ hki
= Qm (ξ hki ). On dispose du formulaire suivant
X
X
pour k tel que |k| ≤ n, et i tel que |i| ≤ n,
(n)
∀f ∈ OX , σm
(1 ⊗ f ) =
X
′
′
i
(f ) ⊗ t{k } (Formule de Taylor),
ξ hk
X
(68)
′
|k |≤n
X
(n) {i}
σm
(τ ) =
(τ {i} ) ⊗ t{l} ,
ξ hli
X
(69)
|l|≤n
X k ′
(m)
hki
hk i
hk ′′ i
ξX f =
∈ DX .
′ ξ X (f )ξ X
k
′
′′
(70)
k +k =k
Démonstration. Commençons par (i). Il suffit de montrer l’assertion non respée. La structure
de D (m) (G)-module sur stX∗ OX est donnée par le morphisme composé, pour u ∈ D (m) (G),
OX
f
/
Qm (u)
n
PX,(m)
/
OX ,
/1⊗f
✤
et est donc par définition compatible avec l’anti-homomorphisme de faisceaux d’algèbres
(m)
D (m) (G) → stX∗ DX .
Pour (ii), nous nous plaçons au-dessus de S ′ . Comme ξ hki est la base duale de t{k} , on a
(n)
σm
(1 ⊗ f ) =
X
Qm (ξ hki )(f ) ⊗ t{k} ,
|k|≤n
ce qui donne 68. C’est exactement la même chose pour la formule suivante. Pour la dernière
formule, remarquons que
(n)
(ξ hki
f )(τ {i} ) = (Id ⊗ ξ hki ) σm
(1 ⊗ f )τ {i}
X
Or, on a
(n)
σm
(1 ⊗ f )τ {i}
.
(n)
(n) {i}
= σm
(1 ⊗ f )σm
(τ )
X
X
′
′′
′′
i
i {i}
{k′ }
=
ξ hk
ξ hk
(f
)
⊗
t
(τ ) ⊗ t{k } d’après 68
X
X
′
(71)
(72)
′′
|k |≤n
|k |≤n
et donc
(Id ⊗ ξ
hki
)
(n)
σm
(1 ⊗ f )τ
{i}
X k ′
hk i
hk ′′ i {i}
=
),
′ ξ X (f )ξ X (τ
k
′
′′
k +k =k
ce qui montre la dernière formule.
49
(73)
Soit D (m) (G)op l’algèbre opposée à D (m) (G) (i.e munie du produit P Q = QP dans
(m)
D (m) (G)). Considérons AX
= OX ⊗V D (m) (G)op . L’application Qm qui est un homomor(m)
phisme d’algèbres D (m) (G)op → DX , s’étend par OX -linéarité en une application Qm,X :
(m)
AX
(m)
→ DX . Dans la suite, nous utilisons la notion de OX -anneau en sens de Beilinson
[Beil84]. Nous utilisons toujours les notations de 4.1.6. Nous tirons de la proposition 4.4.1 et
du corollaire précédent le
(m)
(i) Le faisceau AX est un faisceau de OX -modules localement libres.
Corollaire 4.4.6.
(m)
(ii) Il existe une unique structure de OX -anneau filtrée sur AX compatible avec la structure
d’algèbre de D (m) (G)op et telle que au-dessus de tout ouvert S ′ de S défini comme en
(ii) de 4.4.5, on ait, pour f ∈ OX ,
(1 ⊗ ξ
hki
X k ′
hk i
hk ′′ i
)(f ⊗ 1) =
.
′ ξ X (f ) ⊗ ξ
k
′
′′
k +k =k
(m)
(m)
De plus, Qm,X : AX → DX
est un homomorphisme de OX -anneaux filtrés.
(iii) Il existe un isomorphisme canonique de OX -algèbres graduées
(m)
(m)
c∗m,X : gr• AX ≃ OX ⊗V SV (Lie(G)).
(m)
En outre, les faisceaux AX
(m)
resp. gr• AX
sont des faisceaux de OX -anneaux resp. de
OX -algèbres cohérents, à sections noethériennes sur les ouverts affines.
Démonstration. Le (i) vient du fait que
(m)
AX = OX ⊗OS D (m) (G).
(m)
Passons au (ii). On définit une multiplication twistée sur le produit tensoriel AX par utilisant
(m)
l’application Qm et l’action naturelle de DX
(m)
sur OX . Cette multiplication induit sur AX
une structure de OX -anneau. En particulier, on peut former les produits (1 ⊗ ξ hki )(f ⊗ 1) pour
f ∈ OX . Et puisque, par définition, ξ hki
= Qm (ξ hki ), la formule de l’énoncé implique que
X
hki
Qm,X (1 ⊗ ξ )(f ⊗ 1) =
(m)
Le OX -anneau AX
X k ′
hk i
hk ′′ i
′ ξ X (f ) ⊗ ξ X
k
′
′′
(74)
k +k =k
f d’après 70
= ξ hki
X
(75)
= Qm,X (1 ⊗ ξ hki )Qm,X (f ⊗ 1)
(76)
(m)
(m)
est filtrée par les sous-OX -modules AX,n = OX ⊗V Dn (G), et, par
définition du produit, la structure de OX -anneau est compatible à cette filtration. D’autre
part, l’application Qm étant filtrée, c’est aussi le cas de Qm,X . Comme OX est plat sur V ,
50
(m)
on voit que gr• AX ≃ OX ⊗ gr• D (m) (G) et l’isomorphisme cherché suit alors de 4.1.15. Il en
(m)
résulte que gr• AX est une OX -algèbre de type fini, donc noetherienne sur les ouverts affines
(m)
car X est noetherien, de sorte que AX
est aussi noetherien sur les ouverts affines par un
argument standard. De plus, pour tout couple d’ouverts affines U, V de X tels que V ⊂ U,
(m)
(m)
OX (V ) est plat sur OX (U), si bien que AX (V ) est plat à droite et à gauche sur AX (U).
(m)
Les deux conditions du critère 3.1.1 de [Ber96] sont donc remplies, ce qui montre que AX
(m)
est un faisceau cohérent sur X. Le même raisonnement s’applique au faisceau gr• AX .
4.4.7
Etude du gradué de Qm,X
Comme le morphisme Qm,X est filtré, il induit par passage aux gradués un morphisme
(m)
(m)
gr• Qm,X : gr• AX → gr• DX .
(m)
En particulier, on dispose de gr1 Qm,X : OX ⊗V gr1 Dm (G) → gr1 DX . On en déduit via les
identifications Am de 40 et B m de 19 que gr1 Qm,X induit une unique application Qm,1 faisant
commuter le diagramme suivant
OX ⊗V gr1 D (m) (G)
gr1 Qm,X
/
(m)
gr1 DX
≀ id⊗Am
OX ⊗V Lie(G)
≀ Bm
Qm,1
/
TX .
Nous avons alors le
Lemme 4.4.7.1. Pour tout m, les applications Qm,1 coı̈ncident en une même application
Q1 : OX ⊗V Lie(G) → TX .
∗−1
Démonstration. Notons IX l’idéal diagonal de X, Am
la flèche obtenue par dualité à partir
2
de Am de 40 et Sm,1 : IX /IX
→ OX ⊗V I/I 2 , obtenu comme le composé, après les identifica-
tions 19,
∗
2
Sm,1 : IX /IX
Bm
/
n
gr1 PX,(m)
∗−1
(n)
Id⊗Am
gr1 σm
/
n
OX ⊗V gr1 P(m)
(G)
/
OX ⊗V I/I 2 .
Alors l’application Qm,1 est donnée par le diagramme suivant
OX ⊗V (Lie(G))
u✤
TX
/ u ◦ Sm,1 .
/
Il suffit donc de montrer que ces applications Sm,1 sont égales à une même application S1 , ce
qui provient du fait que les morphismes σm sont compatibles pour m variable, de sorte que
les gr1 σm sont tous égaux.
51
(m) ∼
Reprenons l’isomorphisme dm de 15 : gr• DX → S(m) (TX ), construit de façon analogue à
cm en 4.1.15 et qui provient par dualité de l’isomorphisme canonique de m-PD-algèbres d∗m :
∼
ΓX,(m) (I/I 2 ) → gr• PX,(m) de 10. On a alors la
(i) Le diagramme suivant est commutatif.
gr• Qm,X
(m)
gr• AX
/
(m)
gr• DX
≀ cm,X
(m)
OX ⊗V S
≀ dm
(Lie(G))
/
(m)
S
(TX ),
où la seconde flèche horizontale est l’application S(m) (Qm,1 ).
(ii) Si X est un espace homogène sous l’action de G, alors gr• Qm,X est surjectif.
Démonstration. On a les égalités
(m)
gr• DX = HomOX
M
{n}
{n+1}
IX /IX
, OX
n
!
(m)
et gr• AX = HomV
M
n
I {n} /I {n+1} , V
!
.
(n)
Les applications σm induisent une application
gr• σm :
M
{n}
{n+1}
IX /IX
M
→ OX ⊗V
n
I {n} /I {n+1} ,
n
de sorte que l’application gr• Qm,X est donnée par le diagramme suivant
(m)
gr• AX
/
(m)
gr• DX
u ◦ gr• σm .
u✤
/
De même l’application gr1 Qm,X est donnée par le diagramme suivant
(m)
gr1 AX
/
u✤
/
(m)
gr1 DX
u ◦ gr1 σm .
La commutativité du diagramme de l’énoncé revient donc à la commutativité du diagramme suivant
L
{n}
{n+1} gr• σm
n IX /IX
O
/
OX ⊗V
id⊗c∗m ≀
2
ΓX,(m) (IX /IX
)
L
nO I
{n}
/I {n+1}
d∗m ≀
Γ(m) (S1 )
/
OX ⊗V Γ(m) (I/I 2 ).
Nous devons comparer d∗m ◦Γ(m) (S1 ) et gr• σm ◦(id⊗c∗m ), qui sont des m-PD-morphismes de m∗
∗
PD-algèbres graduées. En degré 1, d∗m = B m (resp. c∗m = Am ), si bien que ces morphismes sont
égaux en degré 1 par définition de S1 . Comme la m-PD-algèbre ΓX,(m) (I/I 2 ) est engendrée
52
par les éléments de degré 1, on voit ainsi que les morphismes d∗m ◦ Γ(m) (S1 ) et gr• σm ◦ (id ⊗ c∗m )
sont égaux.
Observons pour (ii) que Q1 est l’application habituelle OX ⊗V Lie(G) → TX , qui est
surjective si X est un G-espace homogène, par un argument classique refait en 1.6 de [NH09].
Ceci montre par (i) que l’application gr• Qm,X est surjective.
4.4.8
Opérateurs différentiels invariants sur G
On suppose ici que G est un schéma en groupes affine et lisse sur S. On rappelle les définitions
pour le cas d’une action à droite X × G → X. Ces définitions s’adaptent de façon évidente
pour le cas d’une action à gauche.
Comme G est plat, le morphisme de projection p1 : X × G → X est affine et plat. Soit E
∼
un faisceau de OX -modules G-équivariant par un isomorphisme Φ : σ ∗ E → p∗1 E. La formule
de Künneth donne un isomorphisme pour tout k ∈ N
H k (X × G, p∗1 E) ≃ H k (X, E) ⊗V V [G].
L’application composée suivante ukG (Φ), seulement notée uG pour k = 0 :
H k (Φ)
H k (X, E) → H k (X × G, σ ∗ E) → H k (X × G, p∗1 E)
donne donc finalement un morphisme ∆k , seulement notée ∆ pour k = 0 :
∆k : H k (X, E) → H k (X, E) ⊗V V [G],
dont le lecteur pourra vérifier qu’il définit une structure de G-module (à gauche) sur H k (X, E).
Les relations de co-module viennent des relations de cocycles.
Définition 4.4.8.1. Les éléments G-invariants de Γ(X, E) sont les éléments P de Γ(X, E)
tels que ∆(P ) = P ⊗ 1. Le sous-espace de Γ(X, E) formé par des éléments G-invariants est
noté Γ(X, E)G .
(m)
(m)
n
)G , Γ(X, DX )G et Γ(X, DX,n )G etc.
En particulier, on dispose des espaces Γ(X, PX,(m)
Si X est égal à G, l’action des translations à droite de G sur lui-même (g ∈ G opére par
(m)
h 7→ hg) va donner une action à gauche sur Γ(G, DG ) et Qm est alors à valeurs dans les
opérateurs différentiels invariants pour cette action, ce qui étend la proposition classique (II,
par. 4, no 6 de [DG70]) suivante. Pour énoncer cette proposition, on considère les applications
(m)
Qm de 4.4.1, ainsi que l’application d’évaluation (e) : Γ(G, DG )G → D (m) (G) qui est définie
par P 7→ P (e), cf. 60.
D’autre part, cette définition est valable sur n’importe quel schéma affine S vérifiant les
conditions de l’introduction. Elle se généralise donc aux ouverts affines S ′ = spec V ′ de S.
53
Pour un tel schéma S ′ , notons XS ′ = S ′ × X, pS ′ la projection XS ′ → X et ES ′ = p∗S ′ E,
∆kS ′ : ∆k : H k (XS ′ , ES ′ ) → H k (XS ′ , ES ′ ) ⊗V ′ V ′ [G]. Cela nous permet de donner la définition
suivante
Définition 4.4.8.2. On note stX∗ E G le sous-faisceau de OS -modules de stX∗ E associé au
préfaisceau S ′ 7→ Γ(XS ′ , ES ′ )G . C’est le sous-faisceau des éléments invariants de stX∗ E.
Soit resV ′ le morphisme canonique et plat V → V ′ . Comme ∆S ′ = resV ′ ⊗V ∆, le faisceau
E G est un faisceau de OS -modules quasi-cohérents et Γ(S, stX∗ E G ) = Γ(X, E)G . Il revient
au même de travailler avec ce faisceau ou ses sections globales sur S. Dans la suite de cette
sous-section nous travaillerons plutôt avec les sections globales.
Si X est égal à G, l’action des translations à droite de G sur lui-même (g ∈ G opére par
(m)
h 7→ hg) va donner une action à gauche sur Γ(G, DG ) et Qm est alors à valeurs dans les
opérateurs différentiels invariants pour cette action, ce qui étend la proposition classique (II,
par. 4, no 6 de [DG70]) suivante. Pour énoncer cette proposition, on considère les applications
(m)
Qm de 4.4.1, ainsi que l’application d’évaluation (e) : Γ(G, DG )G → D (m) (G) qui est définie
par P 7→ P (e), cf. 60.
Théorème 4.4.8.3. Les applications canoniques Qm et (e) sont des anti-isomorphismes
(m)
d’algèbres filtrées, inverses l’un de l’autre entre Γ(G, DG )G et D (m) (G). Ces applications
(m)
(m)
induisent des bijections canoniques entre Γ(G, DG,n )G et Dn (G).
Démonstration. Montrons d’abord l’énoncé à un ordre n fixé, le cas de D (m) (G) s’en déduit
(m)
par passage à la limite. Observons d’abord que si u ∈ Dn (G), alors Qm (u) est invariant.
(m)
n
n
Soit P ∈ Γ(G, DG,n ), et Φ : µ∗ PG,(m)
→ p∗1 PG,(m)
l’isomorphisme donnant la Gn
pour l’action des translations à droite de G sur G. La
équivariance des faisceaux PG,(m)
condition d’invariance de P s’écrit
n
∀τ ∈ µ−1 PG,(m)
,
P (τ ) ⊗µ−1 OX 1 ⊗ 1 = (P ⊗p1 −1 OX 1 ⊗ 1)(Φ(τ ⊗ 1 ⊗ 1)) ∈ OG×G ,
n
ou encore pour tout τ ∈ µ−1 PG,(m)
µ♯ (P (τ )) = (P ⊗p1 −1 OX 1 ⊗ 1)(Φ(τ ⊗ 1 ⊗ 1)) ∈ OG×G .
Considérons le m-PD-morphisme composé U m
n
µ−1 PG,(m)
(n)
µ−1 µm
→
Id⊗µ♯
n
n
P(m)
(G) ⊗V µ−1 OG → P(m)
(G) ⊗V OG×G ,
que nous étendons par µ−1 OG linéarité en un m-PD-morphisme
n
n
Um : µ∗ PG,(m)
→ P(m)
(G) ⊗V OG×G .
54
(n)
Ici, l’application µm est définie en 63 pour X := G et σ := µ. Considérons à présent le
m-PD-morphisme composé V m
(n)
µ
−1
Φ
n
PG,(m)
/
p−1
1 µm ⊗p−1 O IdG×G
G
1
∗ n
/ P n (G)
p1 PG,(m)
(m)
⊗V OG×G ,
que nous étendons par µ−1 OG linéarité en un m-PD-morphisme
n
n
Vm : µ∗ PG,(m)
→ P(m)
(G) ⊗V OG×G .
n
Nous observons que pour tout τ ∈ µ−1 PG,(m)
, et P = Qm (u)
Qm (u)(τ ) ⊗µ−1 OX 1 ⊗ 1 = (u ⊗ Id ⊗ Id) ◦ Um ,
et
(Qm (u) ⊗p1 −1 OX ⊗1 ⊗ 1)(Φ(τ ⊗ 1 ⊗ 1)) = (u ⊗ Id ⊗ Id) ◦ Vm .
Nous sommes donc ramenés à montrer que Um et Vm coı̈ncident, et, comme ce sont des mPD-morphismes OG×G -linéaires, à montrer que Um (τ ⊗ 1 ⊗ 1) = Vm (τ ⊗ 1 ⊗ 1) pour tout
τ = 1 ⊗ t − t ⊗ 1, où t ∈ OG . Dans ce cas le calcul provient en fait d’un calcul à valeurs dans
n
OG ⊗V OG×G et on compose avec ρm ⊗ IdG×G pour l’avoir à valeurs dans P(m)
(G) ⊗V OG×G .
P
Posons µ♯ (t) = i ai ⊗ bi , si bien que
Φ(τ ⊗ 1 ⊗ 1) =
X
n
(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1)(1 ⊗ bi ) ∈ p∗1 PG,(m)
,
i
Um (τ ⊗ 1 ⊗ 1) = (ρm ⊗ IdG×G ) ◦ (Id ⊗ µ♯ )
X
ai ⊗ bi − 1 ⊗ t
i
X
= (ρm ⊗ IdG×G )
!
bi ⊗ µ♯ (ai ) − 1 ⊗ µ♯ (t) ,
i
Vm (τ ⊗ 1 ⊗ 1) =
X
!
(1 ⊗ bi )
µm (1 ⊗ ai − ai ⊗ 1) ⊗p−1
1 OG
i
= (ρm ⊗ IdG×G )
X
♯
(µ (ai ) − 1 ⊗ ai ) ⊗p−1
(1 ⊗ bi )
1 OG
i
= (ρm ⊗ IdG×G )
X
♯
µ (ai ) ⊗ bi −
i
= (ρm ⊗ IdG×G )
X
i
d’où l’égalité cherchée.
55
X
1 ⊗ ai ⊗ bi
i
♯
♯
!
µ (ai ) ⊗ bi − 1 ⊗ µ (t) ,
!
!
(m)
Ainsi l’application Qm est à valeurs dans l’algèbre Γ(G, DG,n )G . Construisons mainte(m)
(m)
nant une application réciproque Γ(G, DG,n )G → Dn (G) pour terminer la démonstration du
théorème.
(m)
Soit P un opérateur différentiel de Γ(G, DG,n ), qui définit une application OG -linéaire à
(m)
n
−1
gauche PG,(m)
→ OG . Comme en 4.3.3, on note P (e) l’élément βm
(P ) ∈ Dn (G), induit par
ε∗G P .
(m)
Observons tout de suite que si u ∈ Dn (G), alors
Qm (u)(e) = u.
L’opérateur Qm (u) est en effet donné par le diagramme
µm
u⊗Id
n
n
PG,(m)
→ P(m)
(G) ⊗ OG → OG ,
et donc Qm (u)(e) par le diagramme
u
n
n
ε∗G PG,(m)
≃ P(m)
(G) → V,
ce qui montre notre assertion.
(m)
Soit maintenant P un élément de Γ(G, DG,n )G , nous allons vérifier que
Qm (P (e)) = P.
Considérons e × IdG : G → G × G, qui envoie g sur (e, g) introduit en 4.3. Alors le faisceau
n
n
n
n
(e × IdG )∗ (p∗1 PG,(m)
) est égal à P(m)
(G) ⊗V OG et (e × IdG )∗ (p∗1 PG,(m)
) à PG,(m)
. Reprenons
n
n
n
donnant la G-équivariance des faisceaux PG,(m)
→ p∗1 PG,(m)
le m-PD-morphisme Φ : µ∗ PG,(m)
(n)
et le m-PD-morphisme µm de 63 (pour X := G et σ := µ). Nous disposons alors du lemme
suivant.
(n)
Lemme 4.4.8.4. Les applications (e × IdG )∗ Φ et µm coı̈ncident.
n
Démonstration. Comme on doit comparer deux m-PD-morphismes OG -linéaires, de PG,(m)
→
n
P(m)
(G) ⊗V OG , il suffit de comparer ces applications sur les éléments τ avec τ = 1 ⊗ t − t ⊗ 1
P
et t une section locale de OG . Posons µ♯ (t) = i ai ⊗ bi . Calculons
!
X
(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1) ⊗p−1
(1 ⊗ bi )
(ε∗G ⊗ IdG )∗ ◦ Φ(τ ⊗ 1 ⊗ 1) = (ε∗G ⊗ IdG )∗
1 OG
i
= (ρm ⊗ IdG )
X
(ai − ai (e)) ⊗V bi
i
= (ρm ⊗ IdG ) µ (t) − 1 ⊗ t ,
♯
(n)
qui est bien égal à µm (τ ), comme cela a déjà été calculé.
56
!
Considérons maintenant le diagramme suivant, où P est un opérateur différentiel sur G
P
n
PG,(m)
/
Φ
n
µ∗ PG,(m)
/
n
p∗1 PG,(m)
P ⊗IdG×G
n
PG,(m)
(n)
µm
/
OG×G
OO G
O
OO
/
n
P(m)
(G)
P (e)⊗IdG / OG .
⊗V OG
Les flèches de la ligne du haut et de la ligne du bas se déduisent de la ligne du milieu par
application de ε∗G ⊗ IdG . Le carré en bas à gauche est commutatif grâce au lemme précédent,
le carré en bas à droite est commutatif par définition de P (e). La ligne du bas calcule donc
Qm (P (e)).
n
Supposons que P est invariant, alors pour toute section locale τ de PG,(m)
, on a
µ♯ (P (τ )) = (P ⊗ 1 ⊗ 1) ◦ Φ(τ ⊗ 1 ⊗ 1).
Comme P (τ ) = (ε∗G ⊗IdG )◦µ♯(P (τ )), la condition d’invariance dit précisément que le rectangle
du haut est commutatif.
Et donc, si P est invariant, on a bien P = Qm (P (e)).
(m)
Comme l’application d’évaluation restreinte à Γ(G, DG )G est un inverse de Qm , il est
automatique que cette application est un anti-homomorphisme d’algèbres. Ceci montre finalement le théorème.
De façon tautologique, nous obtenons une formulation faisceautique de cet énoncé :
Théorème 4.4.8.5. Les applications canoniques Qm et (e) sont des anti-isomorphismes de
(m) G
faisceaux d’algèbres filtrées, inverses l’un de l’autre entre stG∗ DG
et D (m) (G).
Terminons par deux exemples. D’abord le cas du groupe additif de dimension 1, Ga =
Spec V [T ], ∂ hki les opérateurs différentiels relatifs au choix de la coordonnée T .
Proposition 4.4.8.6. Reprenons la base de D (m) (Ga ) de 4.1.12. Alors
Qm (ξ hki ) = ∂ hki .
n
Démonstration. Notons u = T ⊗ 1, v = 1 ⊗ T ∈ V [T ] ⊗ V [T ], τ = 1 ⊗ T − T ⊗ 1 ∈ PG,(m)
,
n
τu = 1⊗1⊗u−u⊗1⊗1, τv = 1⊗1⊗v −v ⊗1⊗1 ∈ PG×G,(m)
. On note t = T définissant l’idéal
n
de l’élément neutre de Ga . Ainsi les éléments t{k} forment une base de PG
. Rappelons
a ,(m)
l’application q1 ◦ dµ de (62) pour σ := µ égal à l’action à droite de Ga sur lui-même.
57
Comme la loi de groupes est donnée par µ♯ (T ) = 1 ⊗ T + T ⊗ 1, on a
dµ(τ ) = τu + τv
dµ(τ {k} ) = (τu + τv ){k}
X k ′
τu{k } τv {k ′′ } par 2.1.1,
=
′
k
k ′ +k ′′ =k
{k}
et donc q1 ◦ dµ(τ {k} ) = τu , ce qui, en appliquant la description explicite de β̃m de 4.3.1,
donne
{k}
n
µ(n)
) = tk ⊗ 1 ∈ PG
⊗ V [T ].
m (τ
a ,(m)
Par définition, les ξ {l} sont la base duale des T k , ce qui implique que les Qm (ξ {l} ) sont la base
duale des τ {k} , d’où l’énoncé.
Prenons maintenant G = Gm , qu’on identifie à Spec V [T, T −1 ]. Soit t = T − 1, I =
tV [T, T −1 ] est l’idéal définissant l’élément neutre. Soient ∂ hki les opérateurs différentiels relatifs
au choix de la coordonnée T .
Proposition 4.4.8.7. Reprenons la base de D (m) (Gm ) donnée en 4.1.13. Alors
Qm (ξ hki ) = T k ∂ hki .
Démonstration. Notons u = T ⊗ 1, v = 1 ⊗ T ∈ V [T, T −1 ] ⊗ V [T, T −1 ], τ = 1 ⊗ T − T ⊗ 1 ∈
n
n
PG,(m)
, τu = 1 ⊗ 1 ⊗ u − u ⊗ 1 ⊗ 1, τv = 1 ⊗ 1 ⊗ v − v ⊗ 1 ⊗ 1 ∈ PG×G,(m)
. Avec ces notations,
l’immersion fermée eG correspond à la surjection
εG ⊗ idG : V [u, u−1, v, v −1]
u✤
v✤
//
V [T, T −1 ]
/1
/ T.
Comme la loi de groupes est donnée par µ♯ (T ) = T ⊗ T , on a
dµ(τ ) = (v + τv )τu + uτv
q1 ◦ dµ(τ {k} ) = v k τu{k} .
Et finalement on trouve
(n) {k}
n
µm
(τ ) = t{k} ⊗ T k ∈ PG
⊗ V [T, T −1 ],
m ,(m)
ce qui permet de montrer la formule de l’énoncé.
Passons à une variante twistée de ce qui précède.
58
4.5
Opérateurs différentiels twistés sur des G-schémas
Reprenons ici la situation de la sous-section précédente 4.4 : G agit à gauche sur un schéma
X, lisse sur S, via un morphisme σ : G × X → X. On note aussi p2 : G × X → X la deuxième
projection. Supposons de plus que X est muni d’un faisceau inversible L, G-équivariant.
Suivant 2.2.4, nous considérons les faisceaux d’opérateurs différentiels twistés par L
t
(m)
(m)
DX ≃ L ⊗OX,g DX ⊗OX,d L−1 .
Dans cette sous-section, nous allons démontrer que tous les énoncés précédents restent vrais
dans le cas de ces faisceaux. Pour ce faire, définissons en suivant les notations de 2.2.1, le fibré
vectoriel associé à L
Y = Spec SX (L),
et q le morphisme canonique : Y → X. Comme L est équivariant, il existe d’après 3.3.1 un
isomorphisme ΦL : σ ∗ L ≃ p∗2 L vérifiant certaines conditions de cocycle. Cet isomorphisme
s’étend en un isomorphisme gradué Φ : σ ∗ SX (L) ≃ p∗2 SX (L), qui permet de définir une action
à gauche σY : G × Y → Y . On notera p′2 la deuxième projection, p′2 : G × Y → Y . Par
définition, Φ|σ−1 OX est le morphisme σ ♯ : σ −1 OX → OG×X donnant l’action de G sur X. Le
(m)
faisceau DY
(m)
est G-équivariant d’après la proposition 3.4.1. De même, le faisceau twisté t DX
est G-équivariant comme produit tensoriel de faisceaux G-équivariants d’après les résultats
de 3.3.
(m)
Introduisons sur X le faisceau de OX -modules DY (L) de 30 avec son morphisme de
restriction rL .
Proposition 4.5.1.
(m)
(m)
(i) Le faisceau DY (L) est un sous-faisceau G-équivariant de q∗ DY ,
ce faisceau étant vu comme faisceau de OX -modules G-équivariant.
(ii) Le morphisme de restriction rL est un morphisme de G-faisceaux équivariants, c’est-àdire qu’il commute à l’action de G.
n
n
, décrivant
≃ p∗2 PX,(m)
Démonstration. Soient q ′ = idG × q : G × Y → G × X, ΨX : σ ∗ PX,(m)
n
l’action de G sur PX,(m)
. Comme σY , (resp. p′2 ) est lisse, on dispose d’isomorphismes cano(m)
niques q∗′ σY∗ DY
(m)
(m)
≃ σ ∗ q∗ DY , (resp. q∗′ p′ ∗2 DY
il existe un isomorphisme
σY∗
(m)
DY
≃
(m)
(m)
p′ ∗2 DY ,
(m)
(m)
isomorphisme σ ∗ DY (L) ≃
est G-équivariant,
vérifiant les conditions de cocycle 33. Par
fonctorialité, on en déduit un isomorphisme ΦY : σ ∗ q∗ DY
de G-module équivariant de
(m)
≃ p∗2 q∗ DY ). Comme DY
(m)
≃ p∗2 q∗ DY
définissant la structure
(m)
q∗ DY . Pour montrer (i), il suffit de montrer que ΦY induit un
(m)
p∗2 DY (L). La vérification est formelle. Montrons par exemple
(m)
que si P ∈ DY (L),
∗
n
∗
Φ−1
Y (1 ⊗ P )(σ (PX,(m) ⊗ L)) ⊂ σ L,
59
l’autre vérification étant analogue. Le morphisme Φ−1
s’obtient après application de
Y
n
n
n
Homq∗ OY (·, q∗ OY ) à ΨY : σ ∗ q∗ PY,(m)
≃ p∗2 q∗ PY,(m)
, décrivant l’action de G sur q∗ PY,(m)
. Par
n
n
définition de ΨY , PX,(m)
⊗ L est un sous-G-module équivariant de q∗ PY,(m)
. Finalement, si
n
T ∈ PX,(m)
⊗ L,
−1
Φ−1
((1 ⊗ P )(ΨY (1 ⊗ T ))) .
Y (1 ⊗ P )(1 ⊗ T ) = Φ
n
Or, ΨY (1 ⊗ T ) ∈ p∗2 (PX,(m)
⊗ L), donc (1 ⊗ P )(ΨY (1 ⊗ T )) ∈ p∗2 L, et le terme de droite de
l’égalité précédente appartient à Φ−1 (p∗2 L) ⊂ σ ∗ L. Finalement, on voit que Φ−1
Y (1 ⊗ P ) vérifie
la condition annoncée. Le fait que rL est un morphisme de G-modules équivariants provient
n
du fait que ψY , restreint à PX,(m)
⊗ L, est induit par ΨX et Φ.
Nous en déduisons le
Corollaire 4.5.2. Soient X un S-schéma lisse sur lequel G agit à gauche, et m un entier. Il
existe un anti-homomorphisme d’algèbres filtrées t Qm de l’algèbre D (m) (G) vers l’algèbre des
(m)
sections globales sur X du faisceau t DX .
Démonstration. Comme le fibré vectoriel Y est muni d’une action de G, on dispose
(m)
d’après 4.4.1 d’un anti-homomorphisme d’anneaux : Qm,Y : D (m) (G) → Γ(Y, DY ). Montrons
(m)
que Qm,Y est à valeurs dans DY (L). Reprenons pour cela la construction de loc. cit. ainsi
(n)
(n)
n
n
que le morphisme de m-PD-algèbres 63 q∗ σm,Y : q∗ PY,(m)
→ P(m)
(G) ⊗V q∗ OY , resp. σm,X sur
(m)
le schéma X. On rappelle que si u ∈ Dn (G), Qm,n (u) est le composé
σ
(n)
u⊗Id
m
n
n
Qm,n (u) : PY,(m)
→
P(m)
(G) ⊗ OY → OY .
(m)
Pour montrer que Qm,n (u) ∈ DY (L), il suffit donc de montrer les deux inclusions
(n)
n
n
σm,Y (PX,(m)
) ⊂ P(m)
(G) ⊗V OX ,
(77)
(n)
n
n
σm,Y (PX,(m)
⊗ L) ⊂ P(m)
(G) ⊗V L.
La première inclusion résulte du fait que la construction est fonctorielle et donc
(n)
(n)
q∗ σm,Y |P n
X,(m)
= σm,X .
(n)
Pour la deuxième inclusion, comme σm,Y est un morphisme de m-PD-algèbres et par la formule
(n)
ci-dessus 77, il suffit de vérifier que pour tout f ∈ L, σm,Y (1 ⊗ f ) ∈ p∗2 (L). Or, c’est le cas,
(n)
puisque, par construction, σm,Y (1 ⊗ f ) = ΦL (1 ⊗ f ) ∈ p∗2 (L). Notons à présent
t (n)
σm,X
(n)
= q∗ σm,Y |P n
X,(m)
60
(1⊗L)
,
(78)
(n)
qui est OX -linéaire, puisque σm,Y est OY -linéaire. On définit maintenant t Qm = rL ◦ Qm , qui
définit un anti-homomorphisme d’algèbres filtrées
t
(m)
Qm : D (m) (G) → Γ(X, t DX ).
(n)
n
Remarque : par définition, t σm,X est aussi défini comme suit. Soient T ∈ PX,(m)
, f ∈ L,
alors
t (n)
σm,X (T
(n)
⊗ f ) = σm,X (T )ΦL (1 ⊗ f ),
n
où on prend le produit dans la OY -algèbre P(m)
(G) ⊗V OY , produit qui est en fait à valeurs
(m)
n
dans P(m)
(G) ⊗V L. Reprenons le faisceau AX = OX ⊗V D (m) (G)op de 4.4.6. Comme t Qm
(m)
(m)
est filtré, il induit une application gr• t Qm : gr• AX → gr• t DX . Nous avons vu en 26, que
(m)
(m)
gr• t DX est canoniquement isomorphe à gr• DX . Montrons maintenant la
Proposition 4.5.3. Via l’isomorphisme canonique de 26, on a l’égalité gr• t Qm = gr• Qm . En
particulier, si X est un G-espace homogène, le morphisme gradué gr• t Qm est surjectif.
Démonstration. Nous reprenons les notations de 4.4.7. Soient t Qm,1 l’application induite sur
les gradués de degré 1 par t Qm , soit
t
Qm,1 : OX ⊗ Lie(G)
id⊗t Qm,1
−→
TX .
Alors, en refaisant la démonstration de 4.4.7.2, on voit qu’on a un diagramme commutatif
(m)
gr• AX
gr• t Qm,X
/
(m)
gr• t DX
≀ cm,X
td
m
≀
OX ⊗V S(m) (Lie(G))
/
S(m) (TX ),
où la seconde flèche horizontale est l’application S(m) (t Qm,1 ). Pour conclure, il suffit donc
vérifier que t Qm,1 = Qm,1 . Soient
(n)
gr1 σm,Y
hm : Ω1X ⊗ L −→ Iκ /Iκ2 ⊗ L,
et gm = idL−1 ⊗hm : Ω1X → Iκ /Iκ2 . Alors la flèche t Qm,1 s’obtient après application de
(n)
HomOX (·, OX ) à la flèche gm . Il suffit donc finalement de montrer que gm = gr1 σm,X . Or,
(n)
σm,Y est OY linéaire. Soient ω ∈ Ω1X , f ∈ L,
(n)
(n)
gr1 σm,Y (ω ⊗ (1 ⊗ f )) = gr1 σm,Y ((f ⊗ 1)ω)
(n)
= gr1 σm,X (ω) ⊗ f,
(n)
ce qui donne bien que gm = gr1 σm,X .
Comme gr• Qm est surjectif si X est un G-espace homogène par (ii) de 4.4.7.2, on trouve
que gr• t Qm est surjectif dans ce cas.
61
Remarque : on peut retrouver ce résultat à partir de (iv) de 2.2.5.1, en utilisant la description locale de rL .
5
Algèbres de distributions arithmétiques (faiblement)
complétées
Dans toute cette section, V est un AVDC. Rappelons que S = Spec V et S = Spf V . Dans ce
cas p-adique ou dans le cas d’un quotient de V , nous avons déjà remarqué que les algèbres de
(m)
distributions Dn (G) sont des V -modules libres 4.1.6, dont une base s’exprime facilement à
partie d’une base de Lie(G). De ce fait, nous n’utiliserons pas ici les faisceaux d’algèbres de
distributions construits précédemment.
5.1
Définition
Soit G un S-schéma formel. On dit que G est un S-schéma formel en groupes, si tous les
S-schémas Gi sont des schémas en groupes, et si tous les morphismes Gi+1 ֒→ Gi sont des
morphismes de schémas en groupes. Dans la suite, on suppose que G est un S-schéma formel en
groupes affine et lisse, i.e., tous les Gi sont des schémas en groupes affines et lisses sur S (de la
même dimension relative). Ainsi, l’algèbre des sections globales A := Γ(G, OG ) est une algèbre
topologiquement de type fini sur V et donc π-adiquement complète. On a G = Spf A comme
S-schéma formel, et les A/π i+1 A sont les algèbres des groupes Gi , i.e. A/π i+1 A = V [Gi ].
Un cas particulier est le complété formel G d’un schéma en groupes affine et lisse G → S
le long de sa fibre spéciale.
Donnons maintenant les définitions des algèbres de distributions complètes et faiblement
complètes pour G, un S-schéma formel en groupes affine et lisse. Le morphisme Gi+1 ֒→ Gi
induit un homomorphisme D (m) (Gi+1 ) → D (m) (Gi ), cf. 4.1.11.
b (m) (G) := lim D (m) (Gi ).
Définition 5.1.1. On pose D
←−i
Soient t1 , . . . , tN une suite régulière de générateurs de l’idéal noyau de la surjection OG ։
OS , au voisinage de l’élement neutre. Nous pouvons alors reprendre les les notations 4.1, et
on a
b (m) (G) =
D

X

ak ξ hki | ak ∈ V, vp (ak ) → +∞ si |k| → +∞
k



.
b (m) (G) → D
b (m′ ) (G), ce qui
Si m′ ≥ m, on dispose de morphismes d’algèbres canoniques D
permet de donner la définition des algèbres de distributions suivantes.
b (m) (G) et D † (G)Q := D † (G) ⊗ Q.
Définition 5.1.2. On pose D † (G) := limm D
−→
62
L’algèbre D † (G) est séparée et est faiblement complète comme limite inductive d’algèbres
complètes (voir par exemple la remarque (ii) de [Huy03]). C’est naturellement une sous-algèbre
de la complétion π-adique
[
Dist(G)
:= lim Dist(G)/π i+1 Dist(G) ≃ lim Dist(Gi )
←−
←−
i
i
de l’algèbre des distributions classiques Dist(G) sur G. Cette complétion est décrite explicitement par
[
Dist(G)
=

X

ak ξ [k] | vp (ak ) → +∞ si |k| → +∞
k



en utilisant les notations de 4.1.6. La proposition suivante est dans l’esprit de la proposition
[
2.4.4 de [Ber96] et montre que les éléments de la sous-algèbre D † (G) ⊆ Dist(G)
peuvent être
caractérisés par des conditions de croissance des coefficients ak qui sont du type de MonskyWashnitzer [MW68].
Proposition 5.1.3. Pour
P =
X
ak ξ [k]
k
d
dans Dist(G),
soit Pi ∈ Dist(Gi ) sa réduction modulo π i+1 . Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) L’élément P appartient à D † (G).
(ii) Il existe des constantes réelles α, β avec α > 0 ayant la propriété : ord(Pi ) ≤ αi + β
pour tout i. Ici, ord(Pi ) designe l’ordre fini de la distribution Pi .
(iii) Il existe des constantes réelles c, η avec η > 0 ayant la propriété : vp (ak ) ≥ η|k| + c pour
tout k.
(m)
Démonstration. D’après la proposition 4.1.6 on a ξ hki(m) = qk !ξ [k] . On peut donc utiliser les
arguments donnés dans la démonstration de la proposition 2.4.4 of [Ber96].
5.2
Distributions analytiques rigides
Nous supposons ici que le corps K est une extension finie de Qp . Nous utiliserons [Schn02]
pour des notions élémentaires d’analyse fonctionelle non-archimédienne. Soit G le complété
formel d’un schéma en groupes affine et lisse G → S le long de sa fibre spéciale Gκ . Soient
b la complétion de G
O(G) et O(G) les algèbres affines de G et G respectivement. Soit G
b un schéma en
relativement au point fermé correspondant à l’élément neutre de Gκ . Donc, G
63
groupes affine formel sur S (mais pas un S-schéma formel car, en générale, πOGb n’est pas un
idéal de définition !). On écrit
brig
G◦ := G
pour sa fibre générique au sens de Berthelot, cf. 7.1 de [dJ96]. C’est un groupe analytique
rigide, en générale non-affinoı̈de, sur K avec Lie(G◦ ) = Lie(G) ⊗ K. On peut décrire ces
objects comme suit. Prenons t1 , ..., tN une suite regulière de générateurs de Iκ qui engendrent
b =
O(G) comme V -algèbre, i.e. O(G) = V [t1 , ..., tN ] et O(G) = V ht1 , ..., tN i. Il suit que O(G)
V [[t1 , ..., tN ]] est isomorphe à l’anneau des séries formelles sur V en N variables et l’espace
G◦ est isomorphe au disque unité ouvert de dimension N, cf. Lemma 7.4.3 de [dJ96]. En
particulier, il existe un recouvrement admissible croissant formé par des ouverts affinoides
(G◦ )r = Sp(Ar ), r < 1 qui sont associés aux algèbres de Tate


X

Ar :=
bk tk : bk ∈ K, |bk |r |k| → 0 ,


k
si |k| → ∞. Il en résulte que O(G◦ ) = limr<1 Ar est une algèbre de Fréchet nucléaire sur K,
←−
cf. Prop. 19.9 de [Schn02]. Remarquons que t1 , ..., tN ∈ O(G◦ ) sont des sections globales sur
G◦ . On note
◦
D an (G◦ ) := O(G◦ )′ := Homct
K (O(G ), K)
le dual continu de l’espace Fréchet O(G◦ ). On equip D an (G◦ ) avec la topologie forte, i.e.
D an (G◦ ) = O(G◦ )′b au sens de [Schn02], §6. Cette topologie est égale à la topologie limite
inductive via l’isomorphisme canonique et topologique
≃
(lim Ar )′b −→ lim(Ar )′b ,
←−
−→
r<1
r<1
cf. Prop. 16.5 de [Schn02]. La topologie forte sur (Ar )′b est simplement la topologie de Banach,
Remark 6.7 de [Schn02]. Par conséquent, D an (G◦ ) est un espace localement convexe de type
compact et le produit de convolution fait de D an (G◦ ) une K-algèbre topologique, cf. 5.2 de
[Em04]. Il y a un homomorphisme canonique δ : G◦ (K) ֒→ D an (G◦ )× du groupe des points de
G◦ à valeurs dans K dans le groupe des éléments inversibles où δg est la forme linéaire continue
f 7→ f (g) de O(G◦ ). De plus, à ξ ∈ Lie(G◦ ) on peut associer la forme linéaire continue
f 7→ ξ.f :=
d
f (etξ )|t=0
dt
(79)
de O(G◦ ) où e est l’application exponentielle de G◦ definie près de 1 ∈ G◦ . Il en résulte un
homomorphisme d’anneaux U(Lie(G◦ )) → D an (G◦ ).
b (m) (G) est muni de la topologie π-adique. On munit alors
D’un autre côté, chaque D
b (m) (G)Q de la topologie d’espace de Banach dont D
b (m) (G) est la boule unité. La limite
D
inductive D † (G)Q est alors une K-algèbre topologique sur un espace localement convexe.
64
Proposition 5.2.1. L’application U(Lie(G◦ )) → D an (G◦ ) s’étend en un isomorphisme d’anneaux topologiques
≃
D † (G)Q −→ D an (G◦ ).
Démonstration. Nous généralisons les arguments de 2.3.3 de [PSS13] dans le cas G = GL2 et
V = Zp . On reprend les notations de 5.1. Soit ξ1 , ..., ξN la base de Lie(G) duale de t1 , ..., tN .
Par définition des éléments ξ [k] ,
[k] k′
ξ .t =
(
1 , k = k′
0 , k 6= k ′
.
Par conséquent, on peut identifier l’espace dual A′r , avec le produit convolution, via l’application U(Lie(G◦ )) → D an (G◦ ), à l’algèbre de Banach formée des sommes infinies
X
λ=
ak ξ [k]
k
avec ak ∈ K et |ak | ≤ Cr |k| pour tout k et une certaine constante C = C(λ) dépendant sur
λ. Il résulte alors de (iii) de 5.1.3 que la limite inductive des A′r est égale à D † (G)Q .
b (m) (G)Q → D
b (m′ ) (G)Q
Remarque : Pour chaque m, il y a m′ > m ce que la flèche naturelle D
est une application linéaire compact entre des éspaces de Banach. En fait, par la proposition,
cette application se factorise par une application (Ar )′b → (Ar′ )′b avec r ′ > r convenable et on
peut appliquer Rem. 16.7 de [Schn02].
Soit G rig la fibre générique de G au sens usuel de Raynaud [BL93]. Ainsi, G rig est un groupe
affinoı̈de sur K avec G rig (K) = G(V ) comme groupe de points à valeurs dans K. L’espace G rig
est isomorphe au disque unité fermé Sp Kht1 , ..., tN i de dimension N. L’inclusion naturelle
V ht1 , ..., tN i ֒→ V [[t1 , ..., tN ]] induit une immersion ouverte G◦ ⊆ G rig . Cette immersion établit
une bijection de G◦ (K) avec le sous-groupe des points de G(V ) qui se spécialisent en 1κ ∈ Gκ
(i.e. avec les S-morphismes f : S → G qui ayant la propriété que fκ factorise via l’immersion
1κ ֒→ Gκ ). On dit que G◦ (K) est le
≪
premier groupe de congruence ≫ de G(V ).
Par exemple, si G = GLn est le groupe lineaire générale et Mn son algèbre de Lie, on a
◦
G (L) = 1 + Mn (mL ) pour tout extension des corps valués complètes K ⊆ L où mL designe
l’idéal maximal de l’anneau de valuation de L. Donc, G◦ (K) = 1 + πMn (V ) est le premier
groupe de congruence de GLn (V ) au sens usuel.
5.3
Représentations analytiques rigides
Nous utilisons les notations de la section précédente et supposons encore que le corps K est
une extension finie de Qp . Nous donnons ici une interprétation de la catégorie des D an (G◦ )modules de présentation finie en termes de certaines représentations π-adiques du groupe
65
π-adique G◦ (K), (groupe des points de G◦ à valeurs dans K). Rappelons comment est définie
2
la topologie π-adique sur G(V ). L’espace V n est muni de la topologie produit, qui induit
2
la topologie produit sur l’ouvert GLn (V ) ⊂ V n . La topologie π-adique sur G(V ) est définie
comme la topologie induite relative à une immersion fermée G ֒→ GLn quelconque. Cette
topologie est plus fine que la topologie de Zariski et elle est localement compacte parce que
V est localement compact, e.g. 0.6 de [La96]. Finalement, G◦ (K) ⊂ G(V ) ainsi muni de la
topologie induit.
Remarquons que l’involution τ : g 7→ g −1 sur G◦ s’etend par fonctorialité en un antiautomorphisme de D an (G◦ ). On a donc une équivalence entre les D an (G◦ )-modules à gauche
et à droite et on va considérer seulement des modules à gauche dans la suite. Le groupe G
agit à gauche sur lui-même par conjugaison (i.e. g agit par h 7→ g −1 hg) et par fonctorialité
sur G◦ et D an (G◦ ). Nous notons cette action
≪
adjointe ≫par g 7→ Ad(g). Nous appelons
(D an (G◦ ), G(V ))-module de présentation finie un D an (G◦ )-module M de présentation finie
qui est aussi muni d’une action K-linéaire ρ du groupe G(V ), qui est compatible au sens que
pour tous x ∈ D an (G◦ ), g ∈ G(V ), m ∈ M,
xρ(g)m = ρ(g)(Ad(g)x)m.
Du côté des représentations, pour un sous-groupe ouvert H de G(V ) et un K-espace
vectoriel topologique W , nous appelons action topologique de H sur W une action du groupe
H sur W par des applications linéaires et continue, cf. (0.11) de [Em04]. En particulier, pour
chaque w ∈ W on a une application ow : H → W définie par h 7→ hw. Suivant 2.1.18/19 de
[Em04], nous introduisons l’espace des fonctions analytiques rigides sur G◦ en valeurs dans
un espace Fréchet W quelconque,
ˆ K W.
C an (G◦ , W ) := O(G◦ )⊗
Ici, on prend comme produit tensoriel topologique le produit tensoriel projectif, cf. 17.B de
[Schn02]. Par évaluation aux points de G◦ (K) ⊂ G◦ , on obtient une inclusion de C an (G◦ , W )
dans l’espace des fonctions (continues) G◦ (K) → W , cf. 2.1.20 de [Em04]. En fait, comme
G◦ est isomorphe à un polydisque ouvert, l’ensemble G◦ (K) est Zariski-dense dans G◦ . Nous
avons la définition suivante, cf. Théorème 3.4.3 et Définition 3.6.1 de [Em04].
Définition 5.3.1. Soit W un espace nucléaire Fréchet avec une action topologique de G◦ (K)
où G(V ). On appelle W une représentation G◦ -analytique (ou simplement : analytique) si,
pour tout w ∈ W , l’application ow : G◦ (K) → W est à valeurs dans le sous-espace C an (G◦ , W ).
Soit W une représentation analytique de G◦ (K). Nous notons W ′ := Homct
K (W, K) le dual
continu de W . En appliquant [Em04], Cor. 5.1.8 à un recouvrement affinoide convenable de G◦
66
on voit que W ′ est un module sur l’anneau des distributions D an (G◦ ) de la manière suivante
hλ(w ′ ), wi := λ(w ′ ◦ ow )
pour w ∈ W, w ′ ∈ W ′ , λ ∈ D an (G◦ ). Ici, w ′ ◦ow est vu comme élément de l’espace C an (G◦ , K) =
O(G◦ ). Supposons maintenant que l’anneau D an (G◦ ) est cohérent. C’est vrai dans le cas
réductif, cf. Thm. 5.4.6, et nous espérons que ce resultat reste vrai pour un groupe G général,
cf. 5.3.12 de [Em04]. En suivant la stratégie de Schneider et Teitelbaum de [ST03] nous disons
que la représentation analytique W est admissible, si W ′ est de présentation finie comme
D an (G◦ )-module. On dit qu’une représentation analytique de G(V ) est admissible, si elle l’est
comme représentation de G◦ (K). Les morphismes dans ces catégories sont par définition les
applications K-linéaires continues et équivariantes.
Proposition 5.3.2. Le foncteur W 7→ W ′ donne une anti-équivalence de catégories entre
des représentations analytiques admissibles de G◦ (K) et les D an (G◦ )-modules de présentation
finie. Le foncteur induit une équivalence entre les sous-catégories des G(V )-représentations
analytiques admissibles et celle des (D an (G◦ ), G(V ))-modules de présentation finie.
Démonstration. Le corps K est complet relativement à une valuation discrète et il est donc
sphériquement complet, cf. Lemma 1.6 de [Schn02]. Le passage au dual fort est donc une antiéquivalence involutive entre les espaces nucléaires Fréchet et les espaces de type compact, cf.
[ST03], Cor. 1.4. Si M est un D an (G◦ )-module de type fini, engendré par des générateurs
P (m)
b (G)Q xi ⊆ M. Comme D
b (m) (G)Q est une algèbre de Banach
x1 , ..., xn , on pose Mm :=
D
i
b (m) (G)Q -module de Banach et l’inclusion Mm →
noethérienne, Mm a une unique structure de D
Mm′ , pour m′ > m, est continue et compact. Munissons M = limm Mm de la topologie limite
−→
inductive. Il est facile de voir que cette topologie ne depend pas de choix des générateurs
xi pour M, qu’elle fait de M un D an (G◦ )-module séparément continu sur un espace de type
compact. De plus, chaque application D an (G◦ )-linéaire entre deux modules M, M ′ de type
fini est automatiquement continue. Soit maintenant W := Mb′ le dual fort de M. Par les
arguments dans Cor. 3.3 de [ST01] l’espace W est un D an (G◦ )-module séparément continue
via la structure contragredient
hλ.w, xi := w(λτ .x)
pour w ∈ W, x ∈ M et λ ∈ D an (G◦ ). Utilisant l’inclusion naturelle δ : G◦ (K) ֒→ D an (G◦ )×
on a une action topologique de G◦ (K) sur W donné par
hg.w, xi := w(δg−1 .x)
pour w ∈ W, x ∈ M. Par construction l’application ow s’etend à une application linéaire
continue D an (G◦ ) → W . L’isomorphisme canonique
◦ ′
ˆ K W ≃ Homct
C an (G◦ , W ) = O(G◦ )⊗
K (O(G )b , W ),
67
[Schn02], Cor. 18.8, implique que ow ∈ C an (G◦ , W ) pour w ∈ W . Cela montre que W est
une représentation analytique de G◦ (K). Par réflexivité on a W ′ = M et la correspondance
M 7→ W induit donc un quasi-inverse pour le foncteur W 7→ W ′ considéré dans l’assertion.
La proposition en résulte.
Remarque : soit ZK le centre de l’algèbre enveloppante U(Lie(GK )) de Lie(GK ). Comme
G est connexe, l’action adjointe de G sur Lie(GK ) stabilise les éléments de ZK , cf. [DG70],
II.§6.1.5. Si θ est un caractère de ZK à valeurs dans K, on voit que l’action g 7→ Ad(g) donne
une action de G sur l’anneau quotient
D an (G◦ )θ := D an (G◦ )/(ker θ)D an (G◦ ).
Finalement, Lie(GK ) agit sur une représentation analytique W par une formule analogue
à (79), cf. [Em04], p. 69, et on voit que W est à caractère infinitésimal θ si et seulement
si le D an (G◦ )-module W ′ est en fait un module sur D an (G◦ )θ . Dans cette situation, on a
une version évidente de la proposition précedente pour des représentations ayant θ comme
caractère infinitésimal.
Il résulte de la proposition que la catégorie des représentations analytiques admissibles est
abélienne. Donnons quelques examples. On a le groupe fini de type de Lie G(k) où k est le
corps résiduel de V et les G(k)-représentations de dimension finie sont analytiques admissibles
(en fait, on a G(k) ≃ G(V )/G◦ (K)). Comme premiers examples de dimension infinie sur K,
notons qu’il y a un foncteur de la catégorie des U(Lie(GK ))-modules de type fini M vers celle
des D an (G◦ )-modules de présentation finie, qui à M associe M 7→ D an (G◦ ) ⊗U (Lie(GK )) M.
Ce foncteur est donc à valeurs dans la catégorie des représentations analytiques admissibles.
Pour des représentations algébriques de dimension finie du schéma en groupes G, ce foncteur
est simplement la restriction aux points rationels G(V ) ⊂ G.
5.4
Le cas réductif
Dans cette section nous supposons toujours que V est un AVDC, et considérons G, est un
groupe réductif connexe déployé sur S. Nous reprenons alors les notations de 5.2 et donnons
quelques résultats plus précis sur D (m) (G) et D † (G)Q dans cette situation.
5.4.1
Décomposition triangulaire
Soient G un tel groupe, B un sous-schéma en groupes de Borel de G contenant un tore
maximal déployé T . Soit N ⊂ B le radical unipotent de B et soit N le radical unipotent
opposé. L’application produit N × T × N → G est une immersion ouverte dont l’image
68
contient εG (S). Il suit de la proposition 34 et 4.1.11 qu’il existe un isomorphisme filtré de
V -modules
≃
D (m) (N) ⊗V D (m) (T ) ⊗V D (m) (N) −→ D (m) (G).
(80)
Choisissons une base ξ1 , ..., ξq de Lie(N), une base ξ1′ , ..., ξq′ de Lie(N ) et une base ξ1′′ , ..., ξl′′
de Lie(T ). Comme S-schémas on a N, N ≃ Gka et T ≃ Glm . En appliquant successivement
(m)
(ii) de 4.1.11 on trouve que Dn (G) est égal au V -module libre de base les éléments
ξ hii · ξ ′′hki · ξ ′hji ,
où |i + j + k| ≤ n. Ici,
ξ
hii
ξi
= qi ! ,
i!
ξ
′hji
ξ ′j
= qj ! ,
j!
ξ
′′hki
′′ ξ
= qk !
,
k
vus comme éléments de l’algèbre enveloppante universelle U(Lie(G) ⊗ K). En particulier,
D (0) (G) est égale à la V -algèbre U(Lie(G)).
5.4.2
Cohérence
Nous allons prouver que D † (G)Q est un anneau cohérent. Comme l’algèbre D † (G)Q est lib (m) (G)Q , il suffit de montrer que D
b (m+1) (G)Q est
mite inductive des algèbres noetheriennes D
b (m (G)Q pour obtenir la cohérence de D † (G)Q . Pour cela nous nous inspirons des
plate sur D
arguments de 3.5.3 de [Ber96] qui sont résumés dans 5.3.10 de [Em04]. Remarquons, que la
discussion de [Em04] ne s’applique pas directement ici, parce que la contribution torique de
D (m) (G) fait intervenir des coefficients binomiaux.
b (m) (G)Q → D
b (m+1) (G)Q est plat pour
Proposition 5.4.3. L’ homomorphisme d’anneaux D
tout m.
Commençons par une observation générale. Si A est une Zp -algèbre associative quelconque,
et si a, ξ ∈ A et k ≥ 0, alors
"
k
ξp
a, k
p !
#
k−1
=u
ξp
pk−1 !
!p−1 "
k−1
ξp
a, k−1
p !
#
(81)
où u ∈ Z×
p . En fait, le commutateur [a, ·] est une dérivation de A et que
k
ξp
pk !
pk−1
= up ( ξpk−1 ! )p avec
un élément u ∈ Z×
p . Alors, pour simplifier, nous écrivons
A(m) := D (m) (G), An(m) := Dn(m) (G).
(m+1)
Pour chaque n nous considérons dans A(m+1) le V -sousmodule A(m) An
éléments ab avec a ∈ A(m) , b ∈
(m+1)
An
.
69
engendré par des
(m+1)
Lemme 5.4.4. On a A(m) An
(m+1)
= An
A(m) pour tout m, n.
Démonstration. Nous précisons la base de Lie(G) comme suit, cf. II.1.11 de [Jan03]. Choissisons une base ξ1 , ..., ξq de Lie(N), une base ξ1′ , ..., ξq′ de Lie(N ) et une base ξ1′′ , ..., ξl′′ de
Lie(T ) composée d’une base du centre de Lie(G) et d’une base du tore maximal de la partie
semisimple [Lie(G), Lie(G)] de Lie(G) avec la propriété : pour tout ξj (resp. ξj′ ) il y a une
racine αj ∈ Lie(T )∗ avec
[ξk′′ , ξj ] = αj (ξk′′)ξj
et αj (ξk′′ ) ∈ Z pour tout ξk′′ . On peut supposer aussi que pour tout h := ξj′′ de la base du
tore maximal de [Lie(G), Lie(G)], il existe e := ξj et f := ξj′ tels que h, e, f engendrent une
(m)
copie de sl2 (V ) dans Lie(G) avec [h, e] = 2e, [h, f ] = −2f, [e, f ] = h. Alors, An
V -module libre de base les
≪
est égal au
monômes non commutatifs ≫
ξ hiim · ξ ′′hkim · ξ ′hjim ,
où |i + j + k| ≤ n. Pour simplifier la notation, on va écrire ξ ′′ pour un élément ξk′′ , de même
pour ξ et ξ ′ . Avec cette convention, A(m) est engendrée, comme V -algèbre, par les éléments
i
i
i
ξ hp im , ξ ′hp im , ξ ′′hp im
(82)
pour i ≤ m, cf. Prop. 4.1.15 (iii). Il en est de même pour A(m+1) . Alors, il suffit de montrer
l’assertion
a · b ∈ An(m+1) A(m)
(m+1)
dans le cas où a ∈ A(m) est un générateur de la forme (82) et b ∈ An
. Fixons i ≤ m.
Supposons maintenant que b est un générateur de A(m+1) et fixons j ≤ m + 1. On va étudier
trois cas correspondant à a ∈ D (m) (H) avec H = T, N, N.
i
Dans le premier cas, nous supposons a = ξ ′′hp im =
D
(m+1)
j
ξp
pj !
(T ) on a [a, b] = 0 parce que D
(m+1)
ξ ′′
pi
ji
m+1
∈
hpj im+1
=
∈ D (m) (T ). Si b = ξ ′′hp
(T ) est commutative. Supposons b = ξ
∈ D (m+1) (N). Soit α la racine associée à ξ. On trouve, en utilisant [ξ ′′ , ξ] = α(ξ ′′ )ξ, que
j
j
ξ p α(ξ ′′)pj + ξ ′′ − k + 1
ξ ′′ − k + 1 ξ p
· j = j ·
k
p!
p!
k
et, par conséquent,
a·b=(
Y
k=1,...,p
j
j
Y
ξ ′′ − k + 1 ξ p
ξp
)· j = j ·(
k
p!
p!
i
k=1,...,p
˜′′ ξ
α(ξ ′′ )pj + ξ ′′ − k + 1
)=b·
k
pi
i
(83)
˜′′ (m)
où ξ˜′′ := α(ξ ′′ )pj +ξ ′′ ∈ D1 (T ). Comme α(ξ ′′) ∈ Z, le terme ξpi est une combinaison linéaire
′′ ˜′′ de ξk avec k ≤ pi à coefficients dans Z, cf. 2.5 de [Ko66]. Donc ξpi ∈ A(m) . La situation est
similaire si b ∈ D (m+1) (N). Si b ∈ D (m+1) (T ), on peut procéder comme dans le premier cas.
70
i
Dans le deuxième cas, nous supposons a = ξ hp im =
i
ξp
pi !
∈ D (m) (N). Si b = ξ hp
ji
m+1
j
=
ξp
pj !
∈
D (m+1) (N) l’identité (81) nous donne la formule
"
j
ξp
a, j
p!
#
j−1
ξp
pj−1 !
=u
!p−1 "
#
j−1
ξp
a, j−1 ∈ A(m)
p !
(84)
avec u ∈ Z×
p . En utilisant ab = ba + [a, b], cela montre notre assertion dans cette situation. Si
b ∈ D (m+1) (N), la situation est similaire.
Dans le troisième cas, nous supposons a ∈ D (m) (N). Par symétrie entre N et N , la situation
est identique à celle du deuxième cas. Alors, notre première assertion est démontrée dans le
(m+1)
cas où b est un générateur de A(m+1) . Dans le cas général, on peut supposer que b ∈ An
est un ’monome noncommutatif’,
b = ξ hiim+1 · ξ ′′hkim+1 · ξ ′hjim+1 ,
avec |i + j + k| ≤ n. Si i ∈ Nq s’écrit i = pm+1 q + r, avec 0 ≤ ri < pm+1 et ri =
P
j=0,...,m ai,j p
j
,
avec 0 ≤ ai,j < p, alors les arguments prouvant (2.2.5.1) de [Ber96] montrent que
ξ hiim+1 = u
Y
(
Y
(ξ hp
ji
m+1
)ai,j )(ξ hp
m+1 i
m+1
)q i ,
i=1,...,q j=0,...,m
′′hkim+1
et ξ ′hjim+1 . Cela ramène notre assertion au
où u ∈ Z×
p . La situation est similaire pour ξ
cas où b est un générateur et notre assertion est alors complètement prouvée.
Le lemme implique que
(m+1)
Fi A(m+1) := A(m) Ai
est une filtration de l’anneau A(m+1) avec
Fi A(m+1) · Fj A(m+1) ⊆ Fi+j A(m+1) .
On a F0 A(m+1)
A(m) et alors, l’anneau gradué Gr• A(m+1) associé à F• A(m+1)
=
est un A(m) -anneau (au sens de [Beil84]) engendré par les symboles des éléments
hpm+1 im+1
ξi
′hpm+1 im+1
, ξj
′′hpm+1 im+1
, ξk
pour i, j, k.
hpm+1 im+1
Lemme 5.4.5. Les symboles des éléments ξi
(m+1)
dans le centre de Gr• A
′hpm+1 im+1
, ξj
′′hpm+1 im+1
, ξk
pour i, j, k sont
.
Démonstration. Rappelons la formule générale
(m+1)
[Ai
(m+1)
, Aj
(m+1)
] ⊆ Ai+j−1
pour tout i, j, cf. part (i) de 4.1.15. Alors, il suffit de prouver l’inclusion [A(m) , b] ⊆ A(m) dans
hpm+1 im+1
A(m+1) pour b un élément de la forme ξi
71
′hpm+1 im+1
, ξj
′′hpm+1 im+1
, ξk
pour i, j, k. D’après
la formule [aa′ , b] = [a, b]a′ + a[a′ , b], on peut supposer que a ∈ A(m) est un générateur de
A(m) comme dans notre discussion précédente. Dans le cas b = ξ hp
m+1 i
m+1
où b = ξ ′hp
m+1 i
m+1
et a ∈ D (m) (N) où a ∈ D (m) (N), on peut appliquer (81) pour obtenir l’inclusion cherchée.
m+1
ξ ′′
. Si a ∈ D (m) (T ), on a [a, b] = 0. Si a ∈
Supposons alors b = ξ ′′hp im+1 , alors b = pm+1
D (m) (N) (resp. D (m) (N )), on peut appliquer (81) pour se ramener au cas où a = ξ (resp.
a = ξ ′). On va maintenant prouver, plus généralement, que
′′ ξ
, ξ ∈ A(m)
k
(85)
pour tout k ≥ 0 (la preuve pour a = ξ ′ est similaire). Si ξ ′′ est dans le centre de Lie(G),
il n’y a rien a prouver. Excluons ce cas. Alors il existe ξ0 ∈ Lie(N) et ξ0′ ∈ Lie(N ) tels
que h := ξ ′′, e := ξ0 , f := ξ0′ engrendrent une copie de sl2 (V ) dans Lie(G). Notons aussi
′′
′′
′′ que [ ξk , ξ] ∈ A(m) implique que [ ξ k−n , ξ] ∈ A(m) pour tout n ∈ Z. En fait, ξ k−n est un
′′ combinaison linéaire de ξj pour 0 ≤ j ≤ k à coefficients dans Z.
On va maintenant utiliser une récurrence sur k pour montrer (85). Le cas k = 0, 1 est
trivial. D’après le lemme 1 de [Ko66], nous savons que dans l’algèbre enveloppante U(sl2 (K))
′′
t
k k
s
ξ ′′
= ek! fk! plus des termes contenant des facteurs es! , ft! et ξ j−n avec s, t ≥ 0, n ∈ Z et
k
0 ≤ j < k. Finalement, notre assertion en résulte par récurrence et d’après notre discussion
au-dessus.
Ceci implique que Gr• A(m+1) est engendré comme A(m) -anneau par un nombre fini
d’éléments centraux. On peut maintenant appliquer directement 5.3.10 de [Em04] avec
b (m+1) (G)Q est plat sur D
b (m) (G)Q . La
A := A(m) et B := A(m+1) , ce qui montre que D
proposition en résulte.
Théorème 5.4.6. Supposons G est un groupe réductif connexe déployé sur S. Alors, D † (G)Q
est un anneau cohérent.
Remarque : sous les hypothèses ci-dessus, l’anneau D † (G)Q n’est pas noetherien en général.
Prenons V = Zp , S = Spec V, S = Spf V , G = SL2,Z(p) , X = P1S la variété de drapeaux
b1 le schéma formel associé à X, i.e. la droite projective formelle sur S. Si [u, v]
de G, X = P
S
sont des coordonnées projectives sur X, alors X (resp. X ) sont munis du relèvement global
du Frobenius donné par u 7→ up et v 7→ v p .
D’après le théorème A.2.3 de l’appendice, Γ(X , DX† ,Q) est un quotient de D † (G)Q . Il suffit
donc de montrer que Γ(X , DX† ,Q) n’est pas noetherienne pour voir que D † (G)Q ne l’est pas.
Grâce à 5.2.1 de [Huy97], on sait que le foncteur Γ(X , ·) induit une équivalence de
catégories entre les DX† ,Q-modules cohérents et les Γ(X , DX† ,Q)-modules cohérents (autrement
dit X est DX† ,Q -affine). Etant donné un relevé global du Frobenius sur un schéma formel
lisse X , Berthelot construit en 4.2.3 de [Ber00] une suite strictement croissante d’idéaux à
72
gauche Am de DX† ,Q, qui sont cohérents sur DX† ,Q. Les modules Γ(X , Am) forment donc une
suite croissante d’idéaux à gauche de Γ(X , DX† ,Q), qui n’est pas stationnaire puisque X est
DX† ,Q -affine, de sorte que Γ(X , DX† ,Q) n’est pas noetherienne, et donc que D † (SL2 )Q n’est pas
noetherienne.
5.4.7
Cohomologie rigide et cohomologie des algèbres de Lie
On note X la variété de drapeaux de G, G (resp. X ) la variété de drapeaux formelle obtenue
en complétant G (resp. X) le long de l’idéal engendré par π. Nous expliquons ici un lien
entre la cohomologie rigide des certains ouverts de la fibre spéciale de X et la cohomologie de
l’algèbre de Lie, Lie(GK ).
Nous considérons ici l’action à droite de G sur X . On dispose du faisceau DX† ,Q introduit
en 2.2.3 et de l’algèbre de distributions D † (G)Q introduite en 4. Soient U(Lie(GK )) l’algèbre
T
enveloppante de Lie(GK ), ZK son centre et ZK + = ZK ((Lie(G)U(Lie(GK ))). Alors, ZK +
est contenu dans le centre de D † (G)Q . Notons ici plus simplement
D † (G)Q,0 := D † (G)Q /ZK + D † (G)Q .
∼
On a un isomorphisme canonique Q : D † (G)Q,0 → Γ(X , DX† ,Q) et le foncteur sections globales
Γ(X , .) induit une équivalence entre les DX† ,Q-modules (à gauche) cohérents et les D † (G)Q,0 modules (à gauche) de présentation finie, cf. appendix. Il s’ensuit que la dernière categorie
est abélienne et que l’anneau D † (G)Q,0 est cohérent, cf. [SiSm], Prop. 4. Comme un module
projectif de type fini est de présentation finie la dernière catégorie a suffisament objets projectifs. Soient i ≥ 0, M, N deux DX† ,Q-modules cohérents, M = Γ(X , M), N = Γ(X , N ). On
déduit de ce qui précède que Γ(X , .) induit des isomorphismes
ExtiD†
X ,Q
≃
(M, N ) −→ ExtiD† (G)Q,0 (M, N).
(86)
Notons
UK,0 := U(Lie(GK ))/ZK + U(Lie(GK )).
En analogie avec la situation en caractéristique positive, cf. [Ho54],[Jan87], on peut considérer
la cohomologie
≪
restreinte ≫ de Lie(GK )
i
(Lie(GK ), M) := ExtiUK,0 (K, M)
Hres
pour i ≥ 0 et un UK,0-module M. Ces sont des foncteurs dérivés du foncteur des points fixes
M 7→ M Lie(GK ) := {m ∈ M : xm = 0 pour tout x ∈ Lie(GK )}
calculés sur la catégorie des UK,0-modules. On a une flèche naturelle
i
(Lie(GK ), M) → H i (Lie(GK ), M)
Hres
dans la cohomologie ordinaire de Lie(GK ) qui, en général, n’est ni injective, ni surjective.
73
Lemme 5.4.8. L’inclusion naturelle UK,0 → D † (G)Q,0 est plate. Elle induit des isomorphisms
≃
ExtiUK,0 (M, N) −→ ExtiD† (G)Q,0 (D † (G)Q,0 ⊗UK,0 M, N)
pour tout UK,0 -module M et pour tout D † (G)Q,0 -module N.
Démonstration. L’application composée
b (0) (G)Q → D † (G)Q
U(Lie(GK )) = D (0) (G)Q → D
est plate. En fait, la première flèche est plate par [Ber96], (3.2.3) et la seconde flèche est plate
par Prop. 5.4.3, ce qui donne la première assertion du lemme. La seconde en résulte par un
argument standard sur les résolutions projectifs.
Pour M = K on a D † (G)Q,0 ⊗UK,0 K = K par Prop. 5.1.3 et donc le corollaire suivant.
Corollaire 5.4.9. On a un isomorphisme
≃
i
Hres
(Lie(GK ), N) −→ ExtiD† (G)Q,0 (K, N)
pour tout D † (G)Q,0 -module N.
Pour les notions inhérentes à la cohomologie rigide nous renvoyons à [Ber89]. Soient Z ⊂ Xk
un diviseur à croisements normaux dans la fibre spéciale de X , Y l’ouvert complémentaire,
i
v : Y ֒→ Xk l’immersion correspondante et Hrig
(Y /K), i ≥ 0 les groupes de cohomologie rigide
de Y . Soit XK l’espace analytique rigide égal à la fibre générique de X et soit sp : XK → Xk
le morphisme de spécialisation. Finalement, soit v † OXK le faisceau des germes de fonctions
surconvergentes le long de Z. Rappelons c’est un faisceau d’anneaux sur XK à support dans
sp−1 (Y ). L’action de G sur X induit une action de UK,0 sur les faisceaux OXK et v † OXK
par opérateurs differentiels de la manière usuelle. On peut donc considérer les groupes de
cohomologie restreinte de l’algèbre de Lie Lie(GK ) en valeurs dans le module des sections
globales du faisceau v † OXK .
Proposition 5.4.10. Pour tout i ≥ 0, on a des isomorphismes canoniques
≃
i
i
Hrig
(Y /K) −→ Hres
(Lie(GK ), Γ(XK , v †OXK ))
pour tout i ≥ 0.
Démonstration. Le complément Z de Y étant un diviseur, on a Ri sp∗ (v † OXK ) = 0 pour i > 0.
Donc,
i
Hrig
(Y /K) = ExtiD† (OX ,Q , sp∗ v † OXK )
X ,Q
pour i ≥ 0, cf. [Ber89], (4.1.7). De plus, Z étant à croisements normaux, le DX† ,Q -module
sp∗ v † OXK est cohérent, cf. [Ber89], (4.3.2). On peut donc appliquer (86) et le corollaire en
utilisant que Γ(X , OX ,Q) = K. L’assertion en résulte.
74
Terminons avec quelques remarques. L’utilisation des foncteurs dérivés Ri sp∗ pour i > 0
pour la proposition permet de traiter le cas où Z et une sous-variété fermée plus générale de
Xk , cf. [Ber89], (4.3.0). De plus, la proposition est compatible avec le cup-produit et donne
∗
∗
une isomorphisme d’anneaux de cohomologie Hrig
(Y /K) ≃ Hres
(Lie(GK ), Γ(XK , v † OXK )).
Finalement, la cohomologie ≪ restreinte ≫ en caractéristique zero ne semble pas avoir déjà été
étudiée dans la littérature.
5.5
Liens avec les faisceaux différentiels sur un G-schéma
Nous revenons ici à la situation de 5.1. On note encore e l’immersion fermée de schémas
formels définissant l’élément neutre : S ֒→ G. Nous donnons d’abord les énoncés reliant les
algèbres de distributions et les opérateurs différentiels invariants. Il s’agit de passer à la limite
pour tous les résultats obtenus à un niveau fini.
Fixons un entier m. En passant à la limite projective sur i à partir de 4.3.3, on trouve
l’énoncé suivant
Proposition 5.5.1.
b (m) ).
Γ(S, e∗ D
G
b (m) (G) ≃
(i) Il existe un isomorphisme de V -modules βm : D
†
(ii) Il existe un isomorphisme de V -modules β † : D † (G)Q ≃ Γ(S, e∗ DG,Q
).
Notons que le (ii) s’obtient par passage à la limite inductive sur m à partir de (i). Ceci
permet d’introduire la morphisme d’évaluation eve .
b (m) ) (resp. P ∈ Γ(U, D † )),
Soient U un ouvert affine de G contenant e(S), P ∈ Γ(U, D
G
G,Q
−1
−1 ∗
on définit P (e) la distribution obtenue par P (e) = βm
(e P ) (resp. P (e) = β † (e∗ P )). On
déduit alors de 4.3.4 par passage au complété p-adique, puis par passage à la limite inductive
sur m la
b (m) ) (resp. P ∈ Γ(U, D † )). Alors
Proposition 5.5.2. Soit P ∈ Γ(U, D
G
G,Q
∀f ∈ OG (U), (P (e))(f ) = (P (f ))(e).
b )), resp. P ∈ Γ(G, D † ).
Ceci s’applique en particulier si U = G, f ∈ Γ(G, OG ), P ∈ Γ(G, D
G
G,Q
(m)
Supposons maintenant que X est un S-schéma lisse muni d’une action à droite de G et X
est le schéma formel obtenu par complétion le long de πOX . Donc, X est un S-schéma lisse
muni d’une action à droite de G. En passant à la limite à partir des anti-homomorphismes
d’algèbres Qm de 67, on voit aussi qu’il existe des anti-homomorphismes d’algèbres toujours
notés Qm
b (m) (G) → Γ(X , D
b (m) ).
Qm : D
X
75
(87)
En passant à la limite sur m et en tensorisant par Q, on trouve un anti-homomorphisme
d’algèbres
Q : D † (G)Q → Γ(X , DX† ,Q).
(88)
b (m) sont alors G-équivariants (au sens où les faisceaux D (m) sont Gi -équivariants
Les faisceaux D
X
Xi
pour tout i et de façon compatible). Par passage à la limite inductive sur m, les faisceaux
DX† ,Q sont eux aussi G-équivariants.
D’après 4.4.8, on dispose donc d’applications
(m)
(m)
Γ(Xi , DXi ) → Γ(Xi , DXi ) ⊗Vi Vi [G],
(m)
qui, en passant à la limite projective sur i donnent un morphisme u
bG : limi (Γ(Xi , DXi )) →
←−
(m)
limi (Γ(Xi , p∗1,i DXi )), et, compte tenu de l’identification habituelle une flèche
←−
b (m) ) → Γ(X , H0 p! D
b (m)
u
bG : Γ(X , D
1 X ).
X
b (m) ) ֒→ Γ(X , H0 p! D
b (m)
On notera ι l’injection canonique Γ(X , D
1 X ). En passant à la limite sur
X
m et en tensorisant par Q, on obtient une application
u†G : Γ(X , DX† ,Q) ֒→ Γ(X , H0 p!1 DX† ,Q ).
b ) ֒→ Γ(X , H0 p! D
b
On continue de noter ι l’injection canonique Γ(X , D
1 X ) (resp.
X
(m)
(m)
Γ(X , DX† ,Q) ֒→ Γ(X , H0p!1 DX† ,Q )). Ceci nous permet de définir les éléments G-invariants de la
façon suivante.
b (m) ) sont les éléments P de
Définition 5.5.2.1. (i) Les éléments G-invariants de Γ(X , D
X
(m)
b
Γ(X , DX ,Q) tels que u
bG (P ) = ι(P ).
(ii) Les éléments G-invariants de Γ(X , DX† ,Q) sont les éléments P de Γ(X , DX† ,Q) tels que
u†G = ι(P ).
Plaçons-nous maintenant dans le cas où X = G et G opère sur lui-même par translation à
droite. Comme au niveau fini, Qm et Q sont en fait à valeurs dans les modules des opérateurs
différentiels invariants sur G. Par passage à la limite projective sur i, puis limite inductive sur
m, on dispose, à partir de 4.4.8.3 du
Théorème 5.5.3. Les applications canoniques Qm et eve sont des anti-isomorphismes
b (m) (G) et Γ(G, D
b (m) )G (resp.
d’algèbres filtrées, inverses l’un de l’autre entre les algèbres D
G
les applications canoniques Q et eve sont des anti-isomorphismes d’algèbres filtrées, inverses
†
l’un de l’autre entre les algèbres D † (G)Q et Γ(G, DG,Q
)G ).
76
Retournons au cas général et supposons donné sur X un faisceau inversible de OX -modules
L. On note Li le faisceau induit sur Xi par L. Supposons de plus que L est G-équivariant au
sens où pour tout i ≥ 0, les faiceaux Li sont Gi -équivariant, de façon compatible pour tout
b (m) = L ⊗O
i. On dispose alors des faisceaux d’opérateurs différentiels G-équivariants t D
X
X,g
b (m) ⊗O L−1 , resp. t D † = L ⊗O D † ⊗O L−1 . En passant à la limite projective sur
D
X,g
X
X,d
X ,Q
X ,Q
X,d
i à partir du corollaire 4.5.2, on dispose de la
b (m) (G) →
Proposition 5.5.4. Il existe un anti-homomorphisme d’algèbres filtrées t Qm : D
b (m) ) (resp. t Q : D † (G)Q → Γ(X ,t D † )).
Γ(X ,t D
X
X ,Q
A
Appendice : Opérateurs différentiels arithmétiques
globaux sur les variétés de drapeaux (par Christine
Huyghe)
A.1
Introduction
Nous nous plaçons ici dans le cas où V est un anneau de valuation discrètes d’inégales
caractéristiques (0,p), S = spec V , et reprenons les notations de 3.1. Nous supposons de
plus que G est un schéma en groupes réductif G, connexe, déployé sur S. On note X la
variété de drapeaux de G, G (resp. X ) la variété de drapeaux formelle obtenue en complétant
p-adiquement G (resp. X ) le long de l’idéal π. Soit T un tore maximal de G, et λ un caractère
de T qui est un poids dominant et régulier. Ceci est équivalent à dire que le faisceau inversible
G-équivariant sur la variété de drapeaux X, L(λ), qui est associé à λ par la construction
habituelle, est ample et vérifie Γ(X, L(λ)) 6= 0.
On note TX le faisceau tangent sur X, DX le faisceau usuel des opérateurs différentiels
(m) b (m)
construit dans [Gro67], D , D
les faisceaux introduits en 2.2.3.
X
X
b (m) (G), et D † (G)Q introNous utiliserons aussi les algèbres de distributions D (m) (G), D
duites en 4. L’algèbre opposée d’une algèbre U sera notée U op .
A.2
Sections globales des opérateurs différentiels arithmétiques sur
la variété de drapeaux
A.2.1
Rappels du cas classique
On considère ici le groupe GK = G ×S spec K, XK la variété de drapeaux de GK , obtenue
par changement de base à partir de X.
77
Soient UK = U(Lie(GK )) l’algèbre enveloppante de Lie(GK ), ZK son centre et ξ1 , . . . , ξN
une base de Lie(G). On se donne un plongement ι : K → C. On peut alors considérer le
groupe GC , XC la variété de drapeaux et Lie(GC ) = Lie(G) ⊗K C. De ce fait, l’algèbre
enveloppante notée UC de Lie(GC ) est isomorphe à C ⊗K UK . Soit ZC son centre. Si a ∈ UK ,
on note
Ca :
UK
x✤
UK
/ [a, x].
/
T
On vérifie alors facilement que ZK = N
i=1 Ker(Cξi ), ce qui montre que ZC = C ⊗K ZK .
T
T
De même, si on note ZK + = ZK Lie(G)UK (resp. ZC+ = ZC Lie(G)UC ), alors ZC+ =
C ⊗K ZK + .
De plus, DXC = C ⊗K DXK , de sorte que Γ(XC , DXC ) = C ⊗K Γ(XK , DXK ). En particulier
on dispose d’injections canoniques
jD :
Γ(XK , DXK ) x✤

/
Γ(XC , DXC )
/1⊗x
resp. jU : UK ֒→ UC . Comme en 4.4, l’action de G sur X induit un antihomomorphisme
QK : UK → Γ(XK , DXK ) (resp. QC = 1 ⊗ QK : UC → Γ(XC , DXC )). Il résulte de [BB81] que
QC (ZC+ ) = 0 et que l’on a un isomorphisme de C-algèbres
∼
QC : UCop /ZC+ → Γ(XC , DXC ).
Ceci implique que QK (ZK + ) = 0 et que l’on a un isomorphisme de K-algèbres
∼
QK : UKop /ZK + → Γ(XK , DXK ).
Dans le cas twisté, la situation est la suivante. Soient λ un poids dominant et régulier
de T , L(λ) le faisceau inversible associé sur X. D’après 4.5.2, on dispose d’un antihomomorphisme t QK : UKop → Γ(XK ,t DXK ), où t DXK = L(λ) ⊗OX DXK ⊗OX L(λ)−1 . Alors, toujours
d’après [BB81], t Q(ZC ) ⊂ C, de sorte que t Q(ZK ) ⊂ K, ce qui définit un caractère θ :
ZK → K. Alors, par loc. cit., t QC induit un isomorphisme
t
∼
QC : UCop /KerθC UCop → Γ(XC ,t DXC ).
Les mêmes arguments que précédemment montrent que cet isomorphisme se descend en un
isomorphisme de K-algèbres
t
∼
QK : UKop /KerθK UKop → Γ(XK , DXK ).
78
A.2.2
Enoncé du théorème
b (m) (G) → Γ(X , D
b (m) ).
Soit m ∈ N, on dispose de l’application Qm introduite en 87, Qm : D
X
(m)
D’autre part, comme l’algèbre D (m) (G) (resp. le faisceau DX ) est séparé pour la topologie
b (m) (G)K (resp. D (m) ֒→ D
b (m) ).
p-adique, on dispose d’injections canoniques D (m) (G)K ֒→ D
XK
Or D
(m)
(m)
D XK
(G)K s’identifie à UK (resp.
XK
à DXK ). On dispose finalement du diagramme
commutatif
UKop
QK
Γ(XK , DXK )
/
_
_
b (m) (G)op
D
K
Qm
b (m) ),
Γ(X , D
X ,Q
/
qui montre que Qm (ZK + ) = 0 et que Qm passe au quotient par ZK + en une application
toujours notée Qm . On propose de montrer le
Théorème A.2.3.
(i) On a un isomorphisme canonique
∼
b (m) ).
b (m) (G)op /ZK + D
b (m) (G)op →
Γ(X , D
Qm : D
X ,Q
K
K
(ii) On a un isomorphisme canonique
∼
op
†
†
Q : D † (G)op
K /ZK + D (G)K → Γ(X , DX ,Q ).
b (m) (G)op et de D † (G)op .
(iii) L’idéal ZK + est contenu dans le centre de D
K
K
Le (ii) s’obtient par passage à la limite à partir de (i). L’alinéa (i) sera démontré en A.2.6.
b (m) (G)K , il suffit de montrer
Montrons (iii). Comme D † (G)K est limite inductive des algèbres D
b (m) (G)K . Soient ξ1 , . . . , ξN une base de Lie(G).
que ZK + est dans le centre des algèbres D
b (m) (G)K pour la topologie p-adique. Soit t ∈ ZK + , le
L’algèbre UK est dense dans l’algèbre D
b (m) (G)K → D
b (m) (G)K , qui s’annule sur UK et
commutateur Ct est une application continue : D
b (m) (G)K . En particulier, les idéaux introduits dans l’énoncé
qui est donc nulle sur l’algèbre D
b (m) (G)K ZK + et D † (G)K ZK + sont bilatères.
D
A.2.4
Enoncé du théorème dans le cas twisté
Nous reprenons les notations de la sous-section précédente A.2.2, et l’application t Qm introb (m) (G) → Γ(X ,t D
b (m) ). Dans le cas twisté, on dispose de
duite en 4.5.2 (resp. 5.5.4), t Qm : D
X
l’analogue du diagramme commutatif précédent
UKop
tQ
K
Γ(XK ,t DXK )
/
_
_
b (m) (G)op
D
K
tQ
m
/
79
b ),
Γ(X ,t D
X ,Q
(m)
b (m) (G)op en une
qui montre que Qm (KerθK ) = 0 et que Qm passe au quotient par KerθK D
K
application toujours notée Qm . L’énoncé dans le cas twisté est
Théorème A.2.5.
(i) On a un isomorphisme canonique
∼
b (m) (G)op /KerθK D
b (m) (G)op →
b (m) ).
Qm : D
Γ(X ,t D
K
K
X ,Q
(ii) On a un isomorphisme canonique
∼
op
†
†
t
Q : D † (G)op
K /KerθK D (G)K → Γ(X , DX ,Q ).
Observons comme précédemment que le (ii) s’obtient par passage à la limite sur m à partir
de (i).
Nous montrons le (i) de ces théorèmes dans la suite de cet appendice. La démonstration
repose, en plus de toutes les constructions du corps de cet article, sur les techniques utilisées
en [NH09].
A.2.6
Démonstration du théorème
(m)
Considérons, sur la variété de drapeaux de X, le faisceau de OX -anneaux cohérent AX
OX ⊗V D (m) (G) introduit en 4.4.6. Etudions d’abord les propriétés cohomologiques des
=
(m)
AX -
(m)
modules cohérents sur la variété de drapeaux. Soit M un AX -module cohérent. Nous avons
la
Proposition A.2.6.1.
(m)
(i) Γ(X, AX ) = D (m) (G)op est une V -algèbre noetherienne.
(m)
(ii) Le module M admet une résolution globale par des modules du type AX (−r)a avec
r ∈ Z et a ∈ N,
(iii) ∀k ∈ N, H k (X, M) est un D (m) (G)op -module de type fini.
(m)
Démonstration. Comme D (m) (G)op est un V -module libre, on a Γ(X, AX ) = Γ(X, OX ) ⊗V
D (m) (G)op d’où le résultat puisque Γ(X, OX ) = V et que D (m) (G)op est noetherien par 4.1.15.
(m)
Le (ii) provient de 2.2.1 of [NH09] en remplaçant D par AX . La démonstration de (ii)
est aussi dans loc. cit. En effet, on montre (ii) par récurrence descendante en écrivant le
longue suite exacte de cohomologie. L’ assertion est trivialement vraie pour k = N + 1 car
H N +1 (X, M) = 0 puisque M est limite inductive de faisceaux coherents sur X. De plus
(m)
D (m) (G)op = Γ(X, AX ) et
(m)
H k (X, AX (−r)a ) ≃ H k (X, OX (−r)a ) ⊗V D (m) (G)op ,
80
(m)
qui est un D (m) (G)op -module de type fini. Supposons que l’assertion soit vraie pour tout AX (m)
module cohérent et pour tout l ≥ k + 1. Soit M un AX -module-cohérent. Grâce à (ii), il
(m)
existe un AX -module cohérent N , r ∈ Z, a ∈ N et une suite exacte courte
(m)
0 → N → AX (−r)a → M → 0.
En passant à la cohomologie, on trouve un complexe exact
(m)
H k (X, AX (−r)a ) → H k (X, M) → H k+1(X, N ).
Comme D (m) (G)op is noetherien, cela montre que H k (X, M) est un D (m) (G)op -module de
type fini.
(m)
On a un morphisme filtré de OX -anneaux Qm,X : AX
(m)
→ DX
(m)
(resp. t Qm,X : AX
→t
(m)
DX ), qui est surjectif en passant aux gradués associés d’après (ii) de 4.4.7.2 (resp. 4.5.3),
ce qui montre par un argument classique que Qm,X est surjectif. On obtient ainsi, grâce à la
proposition précédente la
Proposition A.2.6.2.
(m)
(i) DX
(m)
(m)
(m)
(resp. t DX ) est un AX -module cohérent,
(m)
(ii) Γ(X, DX ) (resp. Γ(X,t DX )) est un D (m) (G)op -module de type fini.
Rappelons maintenant le lemme suivant, dont la démonstration est laissée au lecteur.
Lemme A.3. Soient A une V -algèbre noetherienne, M, N deux A-modules de type fini,
c → N,
b l’application induite par u après
u : M → N, une application A-linéaire, u
b : M
complétion π-adique. Supposons que u induise un isomorphisme après tensorisation par Q,
cQ → N
bQ .
u ⊗ 1 : MQ → NQ , alors u
b ⊗ 1 induit un isomorphisme : M
Considérons Z+ = ZK +
T
D (m) (G), alors Z+ ⊗V K = ZK + . Nous appliquons ce lemme à
(m)
M = D (m) (G)op /D (m) (G)op Z+ , N = Γ(X , DX ) qui est un D (m) (G)op -module de type fini par
(m)
la proposition précédente et Qm : D (m) (G)op /D (m) (G)op Z+ → Γ(X , DX ).
op
(0)
Le morphisme Qm ⊗ 1 est le morphisme D (0) (G)op
Q /ZK + D (G)Q → Γ(X , DX,Q ) qui
est un isomorphisme grâce au résultat classique pour les D-modules algébriques en car. 0
rappelés en A.2. La complétion dans un anneau noetherien et un foncteur exact de sorte que
b (m) (GK )op . En outre, le complété π-adique de N est Γ(X , D
b (m) )
cQ ≃ D
b (m) (GK )op /ZK + D
M
X
d’après 3.2.6 de [Gro60]. On déduit alors du lemme précédent que le complété de Qm :
b (m) (GK )op → Γ(X , D
b (m) ), est un isomorphisme. Le (ii) du théorème s’obb (m) (GK )op /ZK + D
D
X ,Q
tient à partir du (i) par passage à la limite inductive sur m, ce qui achève la démonstration
du théorème A.2.3 dans le cas non twisté.
Pour avoir le théorème dans le cas twisté, on pose Kerθ = KerθK
T
D (m) (G), M =
(m)
D (m) (G)op /D (m) (G)op Kerθ. Nous appliquons alors le lemme précédent à M, N = Γ(X ,t DX )
81
et t Qm : M → N. Grâce au théorème de Beilinson-Bernstein pour le cas twisté rappelé en A.2,
cQ ≃ D
b (m) (GK )op /KerθK D
b (m) (GK )op
le morphisme t Qm ⊗ 1 est un isomorphisme. De plus, M
b (m) ). En appliquant le lemme précédent, on voit
et le complété π-adique de N est Γ(X ,t D
X
∼
op
(m)
b (m) ), ce qui achève
b
b (m) (G)op →
Γ(X ,t D
donc que l’on a un isomorphisme D (G) /KerθK D
K
K
X ,Q
la démonstration du théorème.
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Christine Huyghe
IRMA, Université de Strasbourg
7, rue René Descartes
67084 Strasbourg cedex FRANCE
mél [email protected]
http ://www-irma.u-strasbg.fr/˜huyghe
84
Tobias Schmidt
Institut für Mathematik, Humboldt-Universität zu Berlin
25, Rudower Chaussee (Adlershof)
12489 Berlin, DEUTSCHLAND
mél [email protected]
http ://www2.mathematik.hu-berlin.de/ smidtoby/
85