Corrigé du TD 2 1 Modulation OOK

Département COMELEC
UE COM201
Corrigé du TD 2
1
Modulation OOK-RZ
1.
.
1
Tb
.
σa2
2. La moyenne des symboles ak vaut ma = 1/2. La variance vaut
= (1/2) × (1 − 1/2)2 + (1/2) × (0 −
2
1/2) = 1/4. L’énergie peut se calculer de deux manières : Ea = σa2 + m2a = 1/2 ou bien directement
Ea = (1/2) × (0)2 + (1/2) × (1)2 = 1/2.
3. D’après la formule de Bennett, nous avons
S(f ) =
σ2
|ma |2 X
|G(k/Tb )|2 δ(f − k/Tb ) + a |G(f )|2
Tb
Tb
k
avec G(f ) la transformée de Fourier de la fonction porte de longeur Tb /2 et d’amplitude 1.
Il se trouve que
Tb eiπf Tb /2
sinc(f Tb /2)
G(f ) =
2
d’où
Tb
|G(f )| =
|sinc(f Tb /2)|.
2
4. La d.s.p. possède un pic à la fréquence 0 et des pics aux fréquences multiples impaires de 1/Tb . Le lobe principal
a une largeur de bande de 2/Tb ce qui n’est pas avantageux par rapport à un filtre en cosinus surélevé.
2
Système SIMO
1. Nous avons
z(n) = (1 + 2γ)sn + b(n)
avec b(n) = b1 (n) + γb2 (n). Ainsi le bruit b(n) est gaussien de variance N0 (1 + γ 2 )
2. Lorsqu’on émet un +A, il y a erreur si b(n) < −(1 + 2γ)A. Lorsqu’on émet un −A, il y a erreur si b(n) >
(1 + 2γ)A. Par conséquent,
Pe = Prob(b(n) > (1 + 2γ)A)
ce qui implique que
Pe = Q
(1 + 2γ)A
p
(1 + γ 2 )N0
!
Or l’énergie émise pour un bit est donnée par Eb = A2 /2. Ainsi
Pe = Q
s
1
2(1 + 2γ)2 Eb
(1 + γ 2 ) N0
!
3. Le γ optimal est celui qui maximise la fonction φ : γ 7→ (1 + 2γ)2 /(1 + γ 2 ). La dérivée de cette fonction vaut
φ′ (γ) =
2(1 + 2γ)
(2 − γ)
(1 + γ 2 )2
Cette fonction, sur l’intervalle des γ positifs, ne s’annule qu’en γ = 2 qui est un maximum car φ(2) = 5,
φ(0) = 1 et limγ→∞ φ(γ) = 4.
4. Le facteur devant le RSB est 10. Dans le cas de la sélection de l’antenne 1, le facteur devant le RSB vaut 2, d’où
un gain de 10 log10 (5) dB (soit presque 7dB). Dans le cas de la sélection de l’antenne 2, le facteur devant le
RSB vaut 8, d’où un gain de 10 log10 (5/4)dB (soit presque 1dB).
5. Le Wifi.
2