Ecole Normale de l`Enseignement Privé

Ecole Normale de l’Enseignement Privé
Concours d’entrée interne Session novembre 2010
MATHEMATIQUES
Durée
:
2 heures
Coefficient :
4
(Calculatrice autorisée)
1ère partie : traitement de l’information (24 points)
Exercice 1 (6 points)
Dans une enquête réalisée auprès de 300 personnes dont 180 femmes, la question
suivante a été posée : de ces trois loisirs, « faire du sport », « regarder la télévision »
et « lire un livre », quel est celui que vous préférez ?
Les 300 personnes ont répondu à la question.
55 % des hommes et 30 % des femmes ont répondu préférer « faire du sport ».
le nombre de femmes qui préfèrent « regarder la télévision » est le double du
nombre de femmes qui préfèrent « lire un livre ».
114 personnes ont dit qu’elles préféraient « regarder la télévision ».
a) recopier et compléter le tableau suivant :
Faire du sport Regarder la télévision Lire un livre Total
Hommes
Femmes
Total
300
b) Calculer la fréquence des hommes.
c) Calculer la fréquence des hommes qui préfèrent faire du sport.
d) Parmi les personnes qui préfèrent regarder la télévision, calculer la fréquence
des femmes.
e) Parmi les femmes, calculer la fréquence de celles qui préfèrent regarder la
télévision.
Exercice 2 (5 points)
Soit E= (2x-3)²-3(2x-3).
1) Développer E.
2) Factoriser E.
3) Résoudre l’équation E=0.
4) Résoudre l’équation E=18.
5) Calculer E pour x = 2 (on écrira le résultat sous la forme a-b 2 où a et b
sont deux entiers).
1
Exercice 3 (3 points)
Un rayon de bibliothèque de 1,50 m de long est occupé par 42 livres ayant des
épaisseurs de 3 cm et de 5 cm. Combien y a-t-il de livres de chaque sorte ?
Exercice 4 (3 points)
Les droites (MP) et (BQ) sont parallèles. AM=4, AP=6 et MB=8. Calculer BQ.
Exercice 5 (7 points)
Un théâtre propose deux prix de places :
 Plein tarif 2000 francs.
 Tarif adhérent : réduction de 30% du plein tarif.
1)
a) Quel est le prix d’une entrée au tarif adhérent ?
b) Pour avoir droit à la réduction de 30% pour chaque entrée, l’adhérent
doit acheter en début de saison une carte d’abonnement. Sachant
qu’un adhérent a dépensé au total (y compris le prix de la carte) 14800
francs pour 7 entrées, montrer, à l’aide d’une équation, que le prix de la
carte d’abonnement est de 5000 francs.
c) Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre x d’entrées
Tarif non adhérent
Tarif adhérent
0
1
10
15
2) On désigne par x le nombre d’entrées et on note :
 p 1 la dépense totale d’un spectateur qui n’est pas adhérent ;
 p 2 la dépense totale d’un adhérent.
Exprimer p 1 et p 2 en fonction de x.
3) On considère les fonctions p 1 et p 2 .
a) Calculer le tarif le plus avantageux pour 6 entrées.
b) Un adhérent constate que sans abonnement il aurait dépensé 4600
francs de plus. Combien d’entrées cet adhérent totalise-t-il
2
2ème partie : Analyse de productions d’élèves (16 points)
Voici une situation-problème proposée à des élèves de l’école primaire.
Dans la classe de maîtresse Julie, il y a seulement 7 filles et 5 garçons. Pour les
récompenser d’avoir bien travaillé toute l’année, l’école a décidé d’offrir à chacune
des filles un dictionnaire et à chacun des garçons une calculatrice. Sachant qu’un
dictionnaire coûte 3200 francs et qu’une calculatrice 900 francs de moins, calculer la
somme totale que devra dépenser l’école pour récompenser les élèves de maîtresse
Julie.
Quatre productions ont été recueillies.
Questions :
1) Quels concepts sont visés à travers cette activité ? (2,5 points)
2) A quelle classe cet énoncé de problème peut-il être proposé ? (0,5 point)
3) Analysez chaque production d’élèves en vous appuyant précisément sur les
réussites et erreurs de chacun. (13 points)
3
CORRIGE
ère
1
partie : traitement de l’information (24 points)
Exercice 1 ( 6 points)
Dans une enquête réalisée auprès de 300 personnes dont 180 femmes,
la question suivante a été posée : de ces trois loisirs, « faire du sport »,
« regarder la télévision » et « lire un livre », quel est celui que vous
préférez ?
Les 300 personnes ont répondu à la question.
55 % des hommes et 30 % des femmes ont répondu préférer « faire du
sport ».
le nombre de femmes qui préfèrent « regarder la télévision » est le
double du nombre de femmes qui préfèrent « lire un livre ».
114 personnes ont dit qu’elles préféraient « regarder la télévision ».
a) recopier et compléter le tableau suivant :
Faire du sport
Regarder la
télévision
Homme
Femme
Total
Lire un livre
a)
Total
300
b) Calculer la fréquence des hommes.
c) Calculer la fréquence des hommes qui préfèrent faire
du sport.
d) Parmi les personnes qui préfèrent regarder la
télévision, calculer la fréquence des femmes.
e) Parmi les femmes, calculer la fréquence de celles qui
préfèrent regarder la télévision.
Faire du sport
Hommes
Femmes
Total
66
54
120
Regarder
la télévision
30
84
114
Total
24
42
66
120
180
300
b) fréquence des hommes : 120 / 300= 0,4
c) fréquence des hommes préférant le sport : 66/300= 0,22
d) fréquence des femmes parmi ceux qui préfèrent la TV : 84/114  0,737
e) fréquence de ceux qui préfèrent la TV parmi les femmes : 84/180  0,467
1 point
1 point
1 point
1 point
1 point par
question
Exercice 2 (5 points)
Soit E= (2x-3)²-3(2x-3).
6) Développer E.
7) Factoriser E.
8) Résoudre l’équation E=0.
Lire un livre
2 points si
tout juste ;
-0,25 point
pour
chaque
valeur
fausse.
1) 4x²-12x+9-6x+9= 4x²-18x+18
2) (2x-3)(2x-3-3)= (2x-3)(2x-6)
3) (2x-3)(2x-6) =0 ou 2x-3=0 ou 2x-6=0
4
9) Résoudre l’équation E=18.
10) Calculer E pour x =
b
2 ( on écrira le résultat sous la forme a-
2 où a et b sont deux entiers).
Soit : x=3/2 ou x=3
4) 4x²-18x+18=18 soit 4x²-18x=0
Soit x=0 ou x=18/4=9/2=4,5
5) 4(
Exercice 3 (3 points)
Un rayon de bibliothèque de 1,50 m de long est occupé par 42 livres
ayant des épaisseurs de 3 cm et de 5 cm. Combien y a-t-il de livres de
chaque sorte ?
 x(4x-18)=0
2 )²-18 2 +18= 8-18 2 +18= 26-18 2
Soit x= nombre de livres d’épaisseur 3 cm et y = nombre de livres
d’épaisseur 5 cm.
On a alors : x+y=42 et 3x+5y=150 soit
x=42-y et 3(42-y) +5y=150 soit
x=42-y et 126-3y +5y=150 soit
x=42-y et 2y=24 soit
y=12 et x=42-12=30
il y a donc 30 livres d’épaisseur 3 cm et 12 livres d’épaisseur 5 cm
0,75 point
pour
chacune
des deux
équations
du
système ;
1 point
pour la
résolution ;
0,5 point
pour la
réponse.
5
Exercice 4 (3 points)
Calcul de MP : le triangle AMP étant rectangle en A, d’après le théorème
Les droites (MP) et (BQ) sont parallèles. AM=4, AP=6 et MB=8.
Calculer BQ.
De Pythagore MP²=AM²+AP²=4²+6²=16+36=52 donc MP=
52 .
Les droites (MP) et (BQ) étant parallèles, d’après le théorème de Thalès
AB BQ

AM MP
1 point
1 point
soit AB x MP = AM x BQ et comme AB=AM+MB=4+8=12
On a 12 x
1 point
52 = 4 x BQ soit BQ = 3 52  21,6
Exercice 5 (7 points)
Un théâtre propose deux prix de places :
 Plein tarif 2000 francs.
 Tarif adhérent : réduction de 30% du plein tarif.
1)
entrées
Tarif non
adhérent
Tarif
adhérent
a) Quel est le prix d’une entrée au tarif adhérent ?
b) Pour avoir droit à la réduction de 30% pour chaque
entrée, l’adhérent doit acheter en début de saison une
carte d’abonnement. Sachant qu’un adhérent a
dépensé au total (y compris le prix de la carte) 14800
francs pour 7 entrées, montrer, à l’aide d’une équation,
que le prix de la carte d’abonnement est de 5000
francs.
c) Recopier et compléter le tableau suivant :
0
1
10
15
1)
a) entrée au tarif adhérent = 2000x0.7= 1400 F
b) y + 7x 1400 = 14800 soit y + 9800 = 14800 donc
y = 14800 – 9800 = 5000 F
1 point
1 point
c)
Nombre x
d’entrées
Tarif non
adhérent
Tarif adhérent
0
1
10
15
0
2000
20000
30000
0,75 point
5000
6400
19000
26000
0,75 point
6
2) On désigne par x le nombre d’entrées et on note :


2) p 1 (x) = 2000x et p 2 (x) = 5000 + 1400x
p 1 la dépense totale d’un spectateur qui n’est pas
adhérent ;
p 2 la dépense totale d’un adhérent.
2 x 0,5
point
1 point
Exprimer p 1 et p 2 en fonction de x.
3) a) p 1 (6) = 2000 x 6 = 12000 et p 2 (6)= 5000+1400x6 =13400
3) On considère les fonctions p 1 et p 2 .
1,5 point
Le tarif non adhérent p 1 est donc plus avantageux.
a. Calculer le tarif le plus avantageux pour 6 entrées.
b. Un adhérent constate que sans abonnement il aurait
dépensé 4600 francs de plus. Combien d’entrées cet
adhérent totalise-t-il ?
ème
2
b) 2000x –(5000+1400x)=4600 soit 600x = 9600 et x=9600/600=16.
Il totalise donc 16 entrées.
partie : Analyse de productions d’élèves (16 points)
Voici une situation-problème proposée à des élèves de
l’école primaire.
Dans la classe de maîtresse Julie, il y a seulement 7 filles et
5 garçons. Pour les récompenser d’avoir bien travaillé toute
l’année, l’école a décidé d’offrir à chacune des filles un
dictionnaire et à chacun des garçons une calculatrice.
Sachant qu’un dictionnaire coûte 3200 francs et qu’une
calculatrice 900 francs de moins, calculer la somme totale
que devra dépenser l’école pour récompenser les élèves de
maîtresse Julie.
Quatre productions ont été recueillies.
Questions :
1) Quels concepts sont visés à travers cette activité ?
La démarche de résolution de situation-problème
Le traitement de l’information
La multiplication
0,5 point
0,5 point
0,5 point
7
2) A quelle classe cet énoncé de problème peut-il être
3)
proposé ?
Analysez chaque production d’élèves en vous
appuyant précisément sur les réussites et erreurs de
chacun.
Production de Claude
Production de Maria
Production de Léo
Production de Martine
La soustraction
L’addition
0,5 point
0,5 point
Ce problème a été posé à une classe de cycle 3
0,5 point
Claude a adopté la stratégie la plus efficace.
Il a bien analysé cette situation-problème.
Il a bien pris en compte toutes les données numériques.
Il a compris le sens des opérations que sont l’addition, la soustraction et la
multiplication, ainsi que les techniques opératoires.
Le résultat est juste.
Maria a correctement analysé cette situation problème.
Elle a pris en compte toutes les données numériques.
Elle a bien compris le sens de la soustraction.
Par contre elle n’a pas utilisé la multiplication, elle a additionné plusieurs fois le
même nombre pour faire des sommes partielles.
Le résultat est juste.
Interprétation erronée de la consigne.
Léo a bien compris le sens de l’addition et de la multiplication, mais la différence de
prix a été interprétée comme étant un prix.
Le résultat est faux.
Interprétation erronée de la consigne.
Elle a additionné toutes les données numériques sans vraisemblablement en saisir
leur sens ;
Le résultat est faux.
4 points
4 points
3 points
2 points
8