Détermination de la permittivité complexe de matériaux de

DETERMINATION DE LA PERMITTIVITE COMPLEXE DE MATERIAUX
DE CONSTRUCTION DANS LE DOMAINE MICROONDE :
COMPARAISON DES METHODES DE FRESNEL ET D’ELLIPSOMETRIE
PAR REFLEXION
F. SAGNARD, C. VIGNAT, V. MONCOURTOIS, E. ROLLAND
Laboratoire Systèmes de Communication, Université de Marne-La-Vallée,
5, Bd Descartes, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-La-Vallée Cedex 02, France
email : [email protected], web : www.univ-mlv.fr/crmo
I. Introduction
L’optimisation des performances des systèmes de communications sans fil utilisés à l’intérieur et à l’extérieur des
bâtiments nécessite la modélisation des canaux de propagation. Les modèles physiques, fondés sur les méthodes des
images ou du lancer de rayons, visent à déterminer les trajets réfléchis et transmis d’une onde électromagnétique lors de
sa propagation à travers différents matériaux du bâtiment. Ces modèles nécessitent donc la connaissance a priori des
propriétés électriques des matériaux constitutifs. Dans cet article, nous présentons un nouveau montage expérimental qui
permet la mesure de la puissance réfléchie par un matériau plan homogène ou stratifié, selon deux configurations : en
fonction de l’angle d’incidence θ i de l’onde (méthode de Fresnel), ou en fonction de l’angle axial A de l’antenne de
réception (ellipsométrie par réflexion).
La difficulté principale associée à la méthode de Fresnel réside dans le fait que la contribution du trajet direct au
champ détecté varie en fonction de l’angle d’incidence. Cette difficulté n’est pas rencontrée dans la méthode
d’ellipsométrie par réflexion. Cette méthode, adaptée ici pour la première fois au domaine microonde, opère à un angle
d’incidence fixe ; elle consiste à mesurer les paramètres de l’ellipse de polarisation associés au champ électrique après
son interaction avec le matériau [1]. La connaissance de ces paramètres permet de déterminer la permittivité complexe
du matériau.
Des méthodes numériques spécifiques à ces deux configurations, basées sur une optimisation par moindres carrés,
ont été conçues. Ces méthodes permettent aussi de comparer les performances des deux configurations, ainsi que les
incertitudes des estimateurs associés, ceci dans les cas de matériaux de natures et d’épaisseurs e différentes.
II. Développements théoriques
II-1. La méthode de Fresnel
La méthode de Fresnel consiste à mesurer, pour les deux polarisations parallèle (p) et perpendiculaire (s) au plan
d’incidence, le champ électrique réfléchi par le matériau en fonction de l’angle d’incidence θ i [2]. Dans le cas de
milieux homogènes ou homogénéisables, les coefficients de réflexion associés s’expriment sous la forme analytique
générale :
1 − exp( − jβ ) ~
~
r ( f ,θ i ) =
r'
1− ~
r 'exp( − j 2 β )
où : β
= k0 e ε~r − sin 2 θi
représente la constante complexe de propagation à travers le matériau,
ε~r = ε r ' − jε r "
d’onde dans l’air, λ0 la longueur d’onde dans l’air,
le coefficient de réflexion de l’interface air-matériau.
(1)
k 0 = 2π / λ0
le nombre
la permittivité complexe relative de l’échantillon et r~'
θi
~
rs
Remplaçant ~r ' = ~rp (respectivement
en fonction de θ i et ε~r :
~
r'= ~
rs
) dans l’expression (1), et considérant les relations définissant à ~rp et
ε~r − sin 2 θ i − ε~r cos θ i
~
rp =
ε~r cos θ i + ε~r − sin 2 θ i
(2a)
cos θi − ε~r − sin 2 θi
r~s =
cos θi + ε~r − sin 2 θi
(2b)
Les coefficients de réflexion de Fresnel, pour les deux polarisations parallèle (p) et perpendiculaire (s), sont mesurés
en retranchant à la puissance détectée la puissance mesurée lorsque les deux antennes sont face-à-face, à une distance
2R.
Pour estimer la permittivité complexe du matériau, nous avons développé une méthode qui consiste en les
étapes suivantes :
1)
Une première estimation de la permittivité complexe ε~0 est déduite d’un abaque où sont tracées, dans le plan
(ε ' , ε ") , des lignes de niveaux correspondant à des valeurs constantes de
θ B rewster
2
et du rapport ~rp / ~rs . Cette
2
approche est justifiée par la faible dépendance de la position du minimum de ~rp / ~rs avec l’épaisseur du matériau
pour les cas étudiés.
La prise en compte des incertitudes de mesure permet de déterminer un parallélogramme d’incertitude centré
sur ε~0 . L’échantillonnage régulier de ce parallélogramme génère un grand nombre de permittivités complexes ε~ech à
2)
2
chacune desquelles est associée une paire de courbes exprimant ~rp et ~rs 2 en fonction de l’angle d’incidence θi .
A l’aide d’une méthode des moindres carrés pondérés, la paire de courbes qui approche au mieux les données
de mesure est déterminée : la permittivité complexe correspondant à ce jeu de courbes est adoptée comme la
meilleure estimation de ε~ .
3)
5
-16
64
-17
-12
71
-10
63
66
68
-1
4
-11
61
62
-18
-19
69
67
58
-17
-16
-13
-8
-15
65
3
63
-9
59
-10
-12
-20
-1
4
-16
-17
-11
68
-13
55
-20
-26
-27
-26
-25
-27
-28
-30
-29
69
-32
-23
-30 -31
-33
-26
-28 -29
-34 -36
-32
-37
-25
-35
-27
-30 -31
-37 -39 -38
-34 -33
-41-42-43
-40
-32
-35 -39 -38-36
-37
-41-42-43
-44
-45
-40
-50
-45
-36-44
-41-42
-45
-43
-46
-49
-47 -48
-44
-50
-46
-49
-47 -48
-50-46-49
70
0
-24
67
-16
-23
-25
65
-189
-1
-24
-23
-22
-21
58
1
-22
-21
62
54
61
-15
-18
-19
66
57
56
2
-21
70
64
60
permittivité
imaginaire
imaginary permittivity
4
-22
2
3
4
5
6
7
permittivité réelle
2
Figure 1 : Abaque de lignes de niveaux de valeurs θ et r~p / r~s constantes, à 10 GHz,
pour un matériau d’épaisseur infinie (méthode de Fresnel avec ε~ = 3 .5 − j )
B
II-1. La méthode d’ellipsométrie par réflexion
La méthode ellipsométrique consiste à mesurer, à angle d’incidence θi fixé, la puissance I d = f ( A) du champ
électrique réfléchi par le matériau en fonction de l’angle axial A de l’antenne de réception. Par souci de simplification,
l’angle de polarisation de l’antenne d’émission est fixé à P = ±π / 4 [3] : dans ce cas, la puissance du champ électrique
réfléchi a pour expression :
I d = I [1 − cos(2 A) cos(2ψ r ) ± sin(2 A) sin(2ψ r ) cos( ∆ r )]
(3)
où I est la puissance réfléchie moyenne, et où ψ r et ∆ r sont les angles traduisant respectivement les modifications
d’amplitude et de phase subies par les composantes parallèle et perpendiculaire du champ électrique lors de sa réflexion.
L’estimation de la permittivité complexe ε~ nécessite la détermination préliminaire du rapport des coefficients de
réflexion correspondant aux deux polarisations:
r~p
ρ~ = ~ = tan (ψ r ) e j∆ r
rs
(4)
Pour cela, deux paramètres mesurables et caractérisant l’ellipse de polarisation du champ reçu sont extraits de la
courbe I d = f ( A) : le rapport ( I min / I max ) d’une part, et l’angle de rotation axiale α correspondant au premier maximum
de cette courbe d’autre part.
tan χ =
Définissant :
I min
I max
(5)
Les paramètres ψ r et ∆ r peuvent ainsi être déterminés à partir des angles α and χ à l’aide des deux relations
fondamentales de l’ellipsométrie :
(6)
tan 2α = tan 2ψ r cos ∆ r
sin 2χ = sin 2ψ r sin ∆ r
A partir de la connaissance de ψ r et
complexe ε~ à partir de (2a) et (2b).
∆r
(7)
, il est possible de calculer ρ~ à l’aide de (4) et d’en déduire la permittivité
Comme dans le cas de la méthode de Fresnel, nous proposons une méthode numérique ad-hoc [4] pour l’estimation
de ε~ , qui consiste en les étapes suivantes:
1)
Une première estimée ε~0 de la permittivité complexe est déduite d’un abaque représentant, dans le plan
(ε ' , ε ") , des courbes de niveaux associées à des valeurs constantes des variables I max et α . L’évaluation de la
courbe I d = f ( A) associée à ε~0 permet d’extraire la valeur du minimum I min .
2)
La connaissance des paramètres I min / I max et α permet de déterminer, dans un nouvel abaque, représentant ,
dans le plan (ε ' , ε ") des lignes de niveaux correspondant à des valeurs constantes de I min / I max et α , une
meilleure estimée ε~1 de ε~ .
3)
L’introduction des incertitudes sur les mesures de I max et α permet de tracer dans le plan précédent un
parallélogramme centré sur ε~1 dont l’échantillonnage régulier génère un certain nombre d’estimées candidates
ε~ech .
4)
A chacune de ces estimées est associée une courbe théorique I d = f ( A) . La meilleure estimée est alors
choisie comme la permittivité qui correspond à la courbe théorique approchant au mieux - au sens des moindres
carrés - les données de mesures.
64
64
-16
-13.6
-2
1.
6
-14.4
-12.8
-15.
2
-2
0
-16
-1
5.2
-14
.4
-13.
6
2
2.5
3
-28. 8
-29.6
-31.2
-30.4
-32
-33.6
-35. 2
-32. 8
-34.4
-36
-37.6
-36.8
-38.4
-40
-39.2
-40.8
-41.6
-42.4
-43.2
-44
3.5
8
-28.
-29. 6
-30.4
-28
64
1.5
64.5
1
5
63.5
4.5
63
-28
-26. 4 -28.8
-27.2
-31.2
-29.6
4 -32-33.6
-35.2
-30.
8
-32.
-36 -37.6
-34.4
-40 -38.4
-36.8
65
4
64
3.5
67.5
3
4
-26.
2
-27.
66
2.5
.4
-22
.8
-20
-24
.6
-21 -23. 2
8
-24.5. 6
-2
4
-26.
2
-27.
8
-24. 6
-25.
66.5
6
7. 8.4
-1 -1 9.2
-1
.6
-25
-24
.2
-23
70
70.5
-9.2
-8.8
0.5
77 77.5
79.5
80
0
-2
-24
.8
-24
.4
-22
0.8
-2
.6
-21
71
74
7675.5 774.5
5
69
69.5
-8.4
66
4
-10.
2
68
.5
68
64
67
-12
.8
-10
1.5
69
72
1
4
2.
-2
.2
-23
.5
65
69.5
70.5 70
71.5
-20
1
64
.5
66 66
.5
67
.5
71.5
.5
72 3
7
permitivité imaginaire
permittivité
imaginaire
67
68
68.5
67
65
-9.6
70
-15.6
-16
79
0.5
-12
.4
-11
.6
3 2.8
7-1
3.2
-1
75
-14-14.4
-11
71.2
0
-1
76
77
-13.6
69
1
67.5
2
1.5
72
74
-8
-10.8
73
.8
-8
-9.2
-10.
4
68
1.5
.4
-8
-10
70
-12
66
63
67
-9.6
65
.5
63
-9.2
68
69
65.5
66.5
-2
0.8
.6
-7
67
-8.8
2
64
66
64
65
-8.8
permittivité
imaginaire
permitivité imaginaire
2.5
-8.4
66
65
65.5
-1
6.8
2.5
-8.4
64.5
64.5
-8
-16
.8
-8
65
-17
.6
-18
.4
-1
9.2
64
4
-32.8
-34. 4
-36.8
.2
-39-40.8
-41.6
4
-42.
4.5
5
permittivité imaginaire
permittivité réelle
Figure 2 :Abaque de lignes de niveaux de valeurs constantes
pour I max (dB) et α , à 10 GHz, pour un matériau d’épaisseur
infinie (méthode ellipsométrique avec θi = 45° )
Figure 3 :Abaque de lignes de niveaux de valeurs constantes
pour I min / I max (dB) et α , à 10 GHz, pour un matériau
d’épaisseur infinie (méthode ellipsométrique avec θi = 45° )
III. Montage expérimental
Nous avons conçu un montage expérimental permettant la détermination par réflexion de la permittivité complexe ε~
d’un matériau, selon les deux configurations (Fresnel et ellipsométrie) (figure 1). La source et le détecteur de champ
électromagnétique sont des antennes cornet caractérisées par un faible déphasage dans le plan de leur ouverture. Les
antennes peuvent tourner autour de leur axe de symétrie (méthode ellipsométrique) et aussi éclairer le matériau sous des
angles d’incidence différents. Pour chacune des deux méthodes, deux conditions expérimentales ont été considérées :
une distance antenne-point de réflexion (R) égale à 1 m à la fréquence de 10 GHz, et égale à 0.6 m à la fréquence de
8.5 GHz. Ces choix traduisent un compromis visant à optimiser la détection de l’onde réfléchie.
matériau sous test
première zone de Fresnel
antenne
d'émission
antenne de
réception
A
P
R
bolomètre
générateur
hyperfréquence
Figure 4 : Banc de mesures pour les 2 configurations
IV. Résultats expérimentaux
Les mesures ont été conduites sur des matériaux de taille moyenne 2 m × 1 m dans les cas suivants : un mur en béton
( e = 195
. cm ) et deux plaques de bois aggloméré ( e = 10 mm et 16 mm ). Les incertitudes absolues ont été estimées à
. ° pour celle de l’angle axial A .
±04
. dB pour la mesure de puissance détectée et à ±05
Dans le cas du mur en béton de grande épaisseur, les coefficients de réflexion obtenus par la méthode de Fresnel sont
tracés en fonction de l’angle d’incidence sur la figure 5 (a). La méthode des moindres carrés permet d’ajuster au mieux
. ( ±013
. ) j . En considérant le rapport
les courbes de mesures et d’obtenir une valeur de permittivité ε~r = 3.55( ±0.29) − 119
. ( ±029
. ) − 1.23( ±013
. )j .
de ces coefficients en fonction de l’angle d’incidence, la permittivité estimée est égale à ε~r = 347
Les écarts importants observés entre les tracés théoriques et les courbes de mesure aux angles d’incidence faibles et
grands s’expliquent par l’effet non négligeable du trajet direct des ondes entre les deux antennes. Considérant la
méthode ellipsométrique et un angle d’incidence θi = 45° , le tracé issu des mesures de la figure 5 (b) présente une allure
. ( ±053
. ) − 194
. ( ±053
. ) j . En conclusion, les valeurs
presque parfaitement sinusoïdale. La permittivité estimée est ε~r = 349
de permittivité complexe obtenues par les différentes méthodes concordent.
Pour conduire des mesures dans le cas de deux plaques différentes, constituées de bois aggloméré (a priori différent)
d’épaisseurs ( e = 10 mm et 16 mm ) inférieures à la longueur d’onde ( λ0 = 35
. cm à 8.5 GHz), des absorbants ont été
positionnés en face arrière. La méthode des moindres carrés, appliquée aux coefficients de Fresnel étudiés
conjointement (figure 6 (a)), permet d’ajuster au mieux les courbes des mesures et de donner l’estimation suivante de la
. ( ±026
. ) − 001
. ( ±018
. ) j pour l’épaisseur 10 mm et ε~r = 214
. ( ±019
. ) − 108
. ( ±013
. )j
permittivité complexe, soit ε~r = 277
pour 16 mm. La méthode ellipsométrique (figure 6 (a)) conduit, pour ces deux épaisseurs, aux valeurs de permittivités
. ( ±043
. ) − 115
. ( ±045
. ) j ( θi = 35° ) et ε~r = 2( ±039
. ) − 17
. ( ±031
. ) j ( θi = 45° ), respectivement On
suivantes : ε~r = 291
observe que les estimations de permittivité complexe issues des deux méthodes montrent un accord satisfaisant.
0.14
0.12
1
0.1
0.9
0.09
0.8
0.08
0.8
(rs)2
0.6
0.08
0.5
et r 2
2
2
|Rs|*|Rs|
(r|Rp*|Rp|
p) etand(r
s)
(rp)2
|Rp|*|Rp|
or |Rs|*|Rs|
p
s
0.6
0.3
0.07
0.06
(rp)2
0.5
0.05
0.4
0.04
r
2
0.06
0.4
(rs)2
0.7
0.1
intensité détectée
Id
intensité
détectée
Id
0.7
Intensité
Id
permitivité detectée
imaginaire
1
0.9
0.3
0.03
0.04
0.2
0.02
0.2
0.1
0.02
0.01
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
angles of incidence [degrees]
70
80
90
angles d' incidenceθi [degrés]
(a)
0
0
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
angles de l' analyseur A [degrés]
(b)
10
20
30
40
50
60
angles of incidence [degrees]
70
80
90
0
0
20
angles d' incidenceΘi [degrés]
(a)
40
60
80
100
120
140
160
180
200
angles de l' analyseur A [degrés]
(b)
Figure 5: Courbes de mesures et théoriques associées aux Figure 6 :Courbes de mesures et théoriques associées aux
méthodes de Fresnel et d’ellipsometrie ( θi = 45° ) dans le cas méthodes de Fresnel et d’ellipsometrie ( θi = 45° ) dans le cas
d’un mur en béton épais
d’une plaque de bois aggloméré
Les valeurs estimées de la permittivité complexe et les incertitudes associées, en fonction de la méthode de mesure
choisie et du matériau utilisé, sont présentées dans le tableau I suivant :
matériau
\
méthode
béton
bois aggloméré e = 10 mm
bois aggloméré e = 16 mm
Fresnel
. ( ±013
. )j
ε~r = 3.55( ±0.29) − 119
. ( ±026
. ) − 001
. ( ±018
. )j
ε~r = 277
~
. ( ±019
. ) − 108
. ( ±013
. )j
εr = 214
ellipsométrie
( θi = 45° sauf dans le second cas où θi = 35° )
. ( ±053
. ) − 194
. ( ±053
. )j
ε~r = 349
. ( ±043
. ) − 115
. ( ±045
. )j
ε~r = 291
. ) − 17
. ( ±031
. )j
ε~r = 2( ±039
Tableau I : Résultats de mesure de permittivités complexes
IV. Conclusion
Les permittivités complexes estimées par la méthode de Fresnel et la méthode d’ellipsométrie sont concordantes, que
l’ épaisseur des matériaux soit importante ou faible devant la longueur d’onde. Les incertitudes d’estimation semblent
plus faibles dans le cas de la méthode de Fresnel ; cependant, notre calcul d’incertitudes ne prend pas en compte les
erreurs dues aux variations, avec l’angle d’incidence, du trajet direct et des dimensions de la première zone de Fresnel.
En conclusion, l’approche ellipsométrique en réflexion est une nouvelle méthode d’estimation de la permittivité
complexe susceptible de concurrencer avantageusement la méthode de Fresnel. Ces résultats nous permettent
d’envisager de caractériser des matériaux bicouches.
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
P. Stetiu, B. Hannover, "Ellipsométrie en microondes", Journées JCMM, mars 2000, Paris, France
M. Born, E. Wolf, "Principles of Optics", Pergamon, Sixth Edition, New York, 1980
R.M.A. Azzam, N.M. Bashara, "Ellipsometry and polarized light", Elsevier, 1999
F. Sagnard, F. Bentabet, C. Vignat, "Theoretical study of a new method based on ellipsometry for measurement of complex
permittivity of materials", Electronic Letters , vol.36, n.22, pp.1843-45, October 2000