cosinus d`un angle
Transcription
cosinus d`un angle
Chapitre 08 : COSINUS D'UN ANGLE I) Vocabulaire 1) Définitions : Hypoténuse – Côté adjacent : Dans un triangle rectangle, – l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. – le côté adjacent à un angle est le côté "qui touche" l'angle et qui n'est pas l'hypoténuse. Exemples : Dans chaque triangle, repasser en rouge les hypoténuses des triangles ci-dessous. repasser en vert les côtés adjacents aux angles marqués d'un arc de cercle. II) Activité d'introduction 1. Compléter le tableau ci-dessous : ABC un triangle rectangle en B tel que : AB = 4 cm AB = 2 cm AB = 6 cm ̂ BAC = 20° AB ≈ AC 2. Analyser les résultats et émettre une conjecture. 08. COSINUS D'UN ANGLE 1 III) Cosinus d'un angle aigu 1) Définition – Propriété : Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à l'angle par la longueur de l'hypoténuse : Cosinus d'un angle aigu = longueur du côté adjacent à l'angle longueur de l ' hypoténuse Ce rapport ne dépend que de la mesure de l'angle considéré . La valeur du cosinus d'un angle est toujours comprise entre 0 et 1. Exemple : 3 1 4 2 5 6 TRIANGLE ANGLE CÔTÉ ADJACENT HYPOTÉNUSE FORMULE 1 (Exemple) ̂ BCA [BC] [AC] Cos ̂ BCA = BC / AC 2 3 4 5 6 08. COSINUS D'UN ANGLE 2 2) Démonstration : Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle ne dépend que de l'angle considéré. AD AB = Dans l'exemple ci-dessous : AE AC Montrons que (BC) et (DE) sont parallèles: On sait que : les droites (BC) et (DE) sont perpendiculaires à une même droite (DB) Or : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles. Donc : Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Montrons que : AD AE = AB AC Dans le triangle ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC], (BC) // (DE) D'après le théorème de Thalès : AD AE DE = =( ) AB AC BC Montrons que : AD AB = AE AC D'après ce qui précède, on sait que : AD AE = AB AC d'après l'égalité des produits en croix : AD ×AC = AE× AB en divisant les deux membres par AC × AE, on obtient : AD× AC AE× AB = AE × AC AE × AC En simplifiant, on obtient : AD AB = AE AC Remarque : Comme l'hypoténuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle, la valeur du cosinus d'un angle est toujours comprise entre 0 et 1. 08. COSINUS D'UN ANGLE 3 IV) Quart de cercle trigonométrique 1) Définition : Quart de cercle trigonométrique : (O, I, J) un repère orthonormé du plan. On appelle quart de cercle trigonométrique le quart de cercle de centre O (0;0) et de rayon 1. Exemple : Quart de cercle trigonométrique 2) Propriété : Lecture graphique du cosinus : – Soit M un point d'un quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. – H le projeté orthogonal de M sur le segment [OI] (cf. exemple) Cos ̂ IOM = OH Exemple : Démonstration : On sait que : Le triangle OMH, ci contre, est rectangle en H Or : D'après la définition du cosinus, on a : cos ̂ HOM = ̂ IOM cos ̂ HOM = longueur du côté adjacent à l'angle longueur de l ' hypoténuse OH OH = =OH OM 1 Donc : cos ̂ IOM =OH 08. COSINUS D'UN ANGLE 4 V) Représentation graphique de la fonction Cosinus Exercice : a. Compléter le tableau à l'aide du quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1 ci-dessous. (échelle : 10:1) b. Tracer la fonction cosinus sur l'intervalle [0 ; 90] sur le graphique ci-dessous. (On pourra s'aider du tableau précédent) Angle en degré 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Valeur approchée du cosinus 08. COSINUS D'UN ANGLE 5 VI) Cosinus et calculs : 1) Méthode : Calculer la longueur d'un côté : Connaissant la mesure d'un angle aigu et la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, on peut calculer la longueur des deux autres côtés. Exemple : On sait que : Le triangle LOG, ci contre, est rectangle en L ? Or : D'après la définition du cosinus, on a : cos LGO= GL GO 9 cm Donc : GL 9 GL=9×cos 50 ° cos 50 °= La calculatrice permet de donner une valeur approchée de la longueur GL. On trouve GL≈5,8cm , au millimètre près. 2) Méthode : Calculer la mesure d'un angle : Connaissant les longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle, on peut déterminer une valeur approchée de la mesure de chacun de ses angles. Exemple : On sait que : 5 cm Le triangle VSP, ci-contre, est rectangle en V Or : D'après la définition du cosinus, on a : cos V SP= SV 4 = =0,8 SP 5 ? 4 cm Donc : VSP≈37 ° VSP ) (On tape cos – 1 0,8 à la calculatrice pour obtenir la valeur approchée de 08. COSINUS D'UN ANGLE 6