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Mathématiques Pour les Sciences de la Vie
Contrôle Continu 2 – Analyse
21 mars 2013 – Durée: 45 minutes
Ceci est une épreuve individuelle. Seuls la calculatrice et un formulaire original au format A4 recto-verso
manuscrit sont autorisés pendant l’épreuve. Sans préjuger des sanctions prises ultérieurement par le conseil
de discipline de l’Université, toute tentative de copie pendant l’épreuve sera sanctionnée par la répartition
des points de la plus mauvaise copie entre le copieur et le copié.
L’usage des téléphones portables ou de tout autre moyen de communication est strictement interdit, en
conséquence les téléphones portables doivent être éteints et dans votre sac.
Cuisson de l’œuf
On cherche à modéliser la cuisson d’un œuf plongé dans une casserole d’eau bouillante.
Les cuisiniers adeptes de la “cuisine moléculaire” connaissent bien certains des paramètres
régissant la cuisson des œufs :
– Le blanc de l’œuf commence à coaguler lorsque sa température atteint 62°C.
– Le jaune de l’œuf commence à coaguler lorsque sa température atteint 68°C.
Pour une cuisson “à la coque” les livres de cuisine les plus anciens recommandent généralement de plonger l’œuf dans l’eau bouillante pendant 3 minutes.
Premier modèle : répartition uniforme de la chaleur dans l’œuf.
Dans un premier temps, on suppose que la température à l’intérieur de l’œuf est uniforme
et que l’eau de la casserole reste à une température constante de 100°C. Les échanges de
chaleur se font entre l’eau et l’œuf à travers la coquille.
On note T la température à l’intérieur de l’œuf qui varie avec le temps t (exprimé en
minutes). T vérifie l’équation différentielle :
dT
= α(100 − T )
dt
où α > 0 est un paramètre de conduction thermique. On peut simplifier cette équation en
utilisant le changement de variable f = T − 100, l’équation devient alors
df
= −αf
dt
(1)
1. Donnez l’expression générale des solutions de l’équation (1).
Réponse:
L’équation (1) est une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants.
Les solutions sont de la forme :
f (t) = Ke−αt
21 mars 2013 – Durée: 45 minutes
MathSV
2. Au temps t = 0, la température de l’œuf est T0 (on note f (0) = f0 = T0 − 100).
Donnez, en fonction de f0 , l’équation de la solution de l’équation (1) vérifiant cette
condition initiale.
Réponse:
La solution recherchée vérifie f (0) = Ke−α×0 = f0 ⇔ K = f0 . La solution vérifiant
les conditions initiales est donc :
f (t) = f0 e−αt
3. Lorsque l’œuf est initialement stocké à température ambiante (T0 = 20 ⇔ f0 = −80),
sa température est de 68°C au temps t = 3 minutes (soit f (3) = −32). Calculez la
valeur du paramètre α.
Réponse:
Si f0 = −80, alors f (3) = −80e−3α = −32 ⇔ α = − 31 ln 32
80 . On a donc :
1 32
α = − ln
≈ 0.305
3 80
4. On propose de fixer α = 0.3. On considère à présent un œuf initialement stocké au
froid et vérifiant T0 = 4 (soit f0 = −96). Le blanc de l’œuf sera-t-il coagulé au temps
t = 3 minutes ? (justifiez votre réponse).
Réponse:
On a f (t) = f0 e−αt . On a α = 0.3 et on donne f0 = −96.
On calcule f (3) = −96e−0.3×3 ≈ −39.03.
La température de l’œuf après 3 minutes est donc −39.03 + 100 = 60.97°C.
Le blanc de l’œuf commence à coaguler à 62°C, donc le blanc ne sera pas coagulé
après 3 minutes de cuisson.
Deuxième modèle : répartition de la chaleur dans deux compartiments uniformes
Dans un deuxième temps, on propose de modéliser la compartimentation de l’œuf en deux
compartiments (le “blanc” et le “jaune”). La chaleur se répartit uniformément à l’intérieur
de chaque compartiment et diffuse du blanc vers le jaune. On note Tb la température
du blanc et Tj la température du jaune. On suppose que la température du blanc vérifie
l’équation suivante :
Tb (t) = 100 − 80e−0.3t
(2)
La température du jaune vérifie l’équation différentielle :
dTj
= β(Tb − Tj )
dt
L1 – Biologie
2
21 mars 2013 – Durée: 45 minutes
MathSV
En effectuant le changement de variable g = Tj − 100 et en utilisant l’expression de
l’équation (2), on obtient l’équation suivante :
dg
+ βg = −80βe−0.3t
dt
(3)
où β > 0 est un paramètre de conduction thermique entre le blanc et le jaune de l’œuf (on
suppose β 6= 0.3).
5. Résolvez l’équation différentielle sans second membre correspondant à l’équation (3).
Réponse:
L’équation (3) est une équation différentielle ordinaire linéaire d’ordre 1. Les
solutions de l’équation sans second membre sont de la forme :
gssm (t) = Ke−βt
β
6. Vérifiez que gpart (t) = −80 β−0.3
e−0.3t est une solution particulière de l’équation (3).
Réponse:
dgpart
β
β
+ βgpart = 0.3 × 80 ×
e−0.3t − β × 80 ×
e−0.3t
dt
β − 0.3
β − 0.3
β
= (0.3 − β) × 80 ×
e−0.3t
β − 0.3
= −80βe−0.3t
β
La fonction gpart (t) = −80 β−0.3
e−0.3t est donc une solution particulière de
l’équation (3).
7. Finalement, la forme générale des solutions de l’équation (3) est
g(t) = Ke−βt − 80
β
e−0.3t
β − 0.3
0.3
Montrez que K = 80 β−0.3
permet de satisfaire la condition initiale Tj (0) = 20 (c’est
à dire g(0) = −80).
Réponse:
0.3
On calcule g(0) pour K = 80 β−0.3
.
g(0) =
80
0.3e0 − βe0 = −80 ⇔ Tj (0) = g(0) + 100 = 20
β − 0.3
La valeur proposée pour la constante K permet donc de vérifier la condition initiale
Tj (0) = 20.
L1 – Biologie
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21 mars 2013 – Durée: 45 minutes
MathSV
Température moyenne du jaune durant la cuisson d’un œuf à la coque
Finalement, la température du jaune d’œuf durant la cuisson vérifie
Tj (t) = 100 − 80 1.3e−0.3t − 0.3e−1.3t
(4)
8. On note T̄j la température moyenne du jaune de l’œuf entre les instants t = 0 et
t = 3. Comment calculer T̄j ? (Ne pas effectuer le calcul).
Réponse:
La température moyenne T̄j du jaune d’œuf entre t = 0 et t = 3 est donnée par la
formule :
T̄j =
Z
9. Calculez
1
3−0
Z
3
Tj (t) dt
0
3
eλt dt, où λ 6= 0.
0
Réponse:
Z
3
eλt dt =
0
1 3λ
1 h λt i3
e
=
e −1
λ
λ
0
10. En déduire une expression de T̄j sous la forme
T̄j =
1
300 + A × e−0.9 − 1 − B × e−3.9 − 1
3
Vous donnerez les expressions de A et B.
Réponse:
Z 3
1
Tj (t) dt
3−0 0
Z
1 3
=
100 − 80 1.3e−0.3t − 0.3e−1.3t dt
3 0
Z 3
Z 3
Z 3
1
−0.3t
−1.3t
=
100dt − 80 × 1.3
e
dt + 80 × 0.3
e
dt
3
0
0
0
80 × 0.3 −3.9
1
80 × 1.3 −0.9
=
300 +
e
−1 −
e
−1
3
0.3
1.3
T̄j =
On a donc A =
80×1.3
0.3
et B =
80×0.3
1.3 .
11. Donnez une valeur approchée de T̄j .
Réponse:
En effectuant le calcul, on obtient T̄j ≈ 37.46°C
L1 – Biologie
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