MAT-2110 Exercices 3 H14 1. Résoudre les équations différentielles
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MAT-2110 Exercices 3 H14 1. Résoudre les équations différentielles
MAT-2110 Exercices 3 MAT-2110 H14 Exercices 3 H11 1. Résoudre les équations différentielles suivantes. 0 (a)Résoudre xy + yles−équations x cos x =différentielles 0, 1. suivantes. 0 3 x (b)(a) xyxy −! +2yy − = xxcos e x, = 0, 0 3 x = x. (c)(b) (x2xy+! −4)y +x3xy 2y = e , (c) (x2 + 4)y ! + 3xy = x. 2. On considère un réservoir contenant au départ 10 litres d’eau dans lequel on dissout 22.grammes de un sel. On remplit par suite10 le réservoir parlequel une on saumure On considère réservoir contenant au la départ litres d’eau dans dissout dont la concentration gramme litre leà réservoir un débit 3 saumure litres par minute. On 2 grammes deest sel.deOn1 remplit parpar la suite pardeune dont la concentration de 1 gramme par litre à un débitdede4 3litres litrespar par minute. minute. Déterminer On laisse égalementest s’écouler le mélange à un débit également s’écouler le mélange un débit de 4 litres minute. M laisse = M (t), la masse de sel dans leàréservoir pour 1 ≤part < 10. Déterminer M = M(t), la masse de sel dans le réservoir pour 1 ≤ t < 10. 3. Déterminer la famille de courbes telles que pour un point B = (x, y) appartenant 3. Déterminer la famille de courbes telles que pour un point B = (x, y) appartenant à laà courbe, point d’intersection entre latangente droite tangente la courbe,pour pour C C correspondant correspondant auau point d’intersection entre la droite à laà courbe B etetl’axe l’axedesdes y pour et pour le quadrilatère la courbeau aupoint point B y et A =A(x,=0),(x, le 0), quadrilatère 0ABC 0ABC ainsi formé aireégale égaleà 1. à 1. ainsi formépossède possède une une aire y C y = y(x) B 0 x A Transformer l’équation l’équation différentielle 4. 4.(a)(a) Transformer différentielle ! = 0x=+ xy 2+ y 2 2yy2yy (1) 2 . y2. à l’aidedu duchangement changement dedevariable u =uy= à l’aide variable Résoudrelala nouvelle nouvelle équation différentielle en terme de u. de u. (b)(b) Résoudre équation différentielle en terme Déduirelalasolution solution de (c)(c) Déduire de(1). (1). 5. Pour quelles fonctions p et q les fonctions 1 y1 (x) = 1 +1e x , sont-elles solutions de l’équation y 0 = p(x) y + q(x)? 1 1 y2 (x) = 1 + 8 e x , (1) MAT-2110 Exercices 3 H14 6. Trouver la solution générale de l’équation différentielle y 0 + p(x) y = q(x) en sachant que y1 (x) = −x − 1/2 et y2 (x) = 48x2 − x − 1/2 sont des solutions particulières de l’équation différentielle. Pouvez-vous identifier les fonctions p et q? 7. Résoudre les problèmes à valeur initiale suivants: 1 y + x3 , y(1) = −1, x (b) y 0 = x y + e2 x , y(0) = 0. (a) y 0 = 8. Résolvez les équations suivantes en explicitant bien la méthode utilisée: (a) yy 00 = (y 0 )2 , (b) x y 00 + y 0 = xn , où n ≥ 0 est un entier donné, (c) y 00 + y 0 ey = 0. 9. Résoudre les équations différentielles suivantes: 1 00 y 0 − x = 0, (a) y − 1 + x (b) (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 = 0. 2