Partiel de théorie des jeux coopératifs

Partiel de théorie des jeux coopératifs
UNIVERSITE PANTHEON-ASSAS, PARIS II, M1 ingénierie économique
Année 2015-2016
Exercice 1 Négociation et stabilité
On considère quatre joueurs : deux firmes, notée f et g ; et deux employés, notés, 1 et 2. Ces
joueurs peuvent former des coalitions pour produire un output. Chaque firme peut employer 0, un
ou deux employés. Un montant d’une valeur s donne à l’ agent i = f, g, 1, 2 une utilité ui (s). On
suppose que
uf (s) = s1/2 , ug (s) = s, u1 (s) = s1/6 , u2 = s1/2
Le tableau ci-dessus indique par chacune des coalitions la valeur de l’output qu’elle produit.
S
{f, 1, 2}
{g, 1, 2}
{f, 1}
{f, 2}
{g, 1}
{g, 2}
{f }
{g}
{1}
{2}
Autres
v(S)
72
42
44
64
1
1
0
0
0
0
0
On note S l’ensemble des coalitions composées d’une firme et d’au moins un employé.
1. Le tableau ci-dessous décrit le partage de la valeur de l’output au sein des coalitions dans
S selon la règle de partage de Nash et de Kalai-Smorodinski (KS), dans le cas où le point
de désaccord est 0. L’entrée du tableau 31,10,31 se lit de la manière suivante : la coalition
{f, 1, 2} partage la valeur de l’output qu’elle produit, 72, selon la règle de négociation à la
Nash, de sorte que la firme f reçoit un montant 31, l’employé 1 reçoit un montant 10 et
l’employé 2 reçoit un montant 31. Remplir les cases manquantes en justifiant vos réponses.
S
{f, 1, 2}
{g, 1, 2}
{f, 1}
Nash
31,10,31
25,4,13
33, 11
KS
32.5,7,32.5
25,2,15
30,14
{f, 2}
{g, 1}
0.8,0.2
1
{g, 2}
2. On s’intéresse maintenant aux partitions P de {f, g, 1, 2} telles que si S ∈ P alors S ∈
S∪{1}∪{2}∪{f }∪{g}. Ces partitions représentent des appariements entre firmes et employés
possibles (two sided market, many to one). L’utilité de i générée par un appariement est
donnée par le montant de la part de l’output qu’il obtient au sein de la coalition à laquelle
il appartient. Dire pour chacune de règle de partage, Nash puis Kalai-Smorodinski, quels
sont les appariements stables (au sens many to one). Justifier vos réponses.
Exercice 2 On considère une firme qui est détenue par 5 actionnaires. Les parts respectives
sont en pourcentage :
— Actionnaire 1 : 10
— Actionnaire 2 : 10
— Actionnaire 3 : 20
— Actionnaire 4 : 20
— Actionnaire 5 : 40
1. Supposons qu’une décision est prise seulement si la somme des parts des actionnaires qui ont
voté pour est supérieure ou égale à 50 pourcents. Calculer les indices de pouvoir de chacun
des actionnaires en utilisant la valeur de Shapley.
2. Calculer les indices de Banzhalf et comparer.
Exercice 3
1. Montrer que le coeur est en ensemble convexe.
2. Trouver l’exemple d’un jeu sur additif à trois joueurs dont le coeur est vide.
3. Trouver l’exemple d’un jeu monotone à trois joueurs dont le coeur est vide.
Exercice 4
1. Rappeler la définition d’un joueur nul (au sens de Shapley).
2. On appelle joueur dummy un joueur tel que v({i} ∪ S) = v({i}) + v(S). Montrer qu’un joueur
nul est joueur dummy.
3. Soit d(N, v) le nombre de joueurs dummy dans le jeu (N, v) et D l’ensemble des joueurs
dummy de ce jeu. On considère la règle d’allocation suivante : φi (N, v) = v({i})+
2
P
v({N })− j∈D v({j})
n−d(N,v)
si i n’est pas un joueur dummy et φi (N, v) = v({i}) sinon. Montrer que cette règle d’allocation satisfait l’efficacité, la symétrie et la propriété du joueur nul (toutes ces propriétés sont
au sens de Shapley).
4. On veut montrer que cette règle d’allocation ne satisfait pas la propriété d’additivité (au
sens de Shapley). Pour cela on trouve un exemple dans laquelle elle n’est pas satisfaite.
Considérons les jeux (N, v) et (N, u) où N = {1, 2, 3} tels que :
v(2, 3) = v(N ) = 1 et v(S) = 0 sinon
u(1, 2) = u(2, 3) = u(N ) = 1 et u(S) = 0 sinon
Montrer que la régle d’allocation ci dessus ne satisfait pas la propriété d’additivité (au sens
de Shapley).
Exercice 5 Le mécanisme d’affectation des élèves aux lycées qui était utilisé à Boston avant
2006 était le suivant :
— Etape 0 : les élèves classent les lycées par ordre de préférence décroissant (le lycée préféré est
classé en premier).
— Etape 1 : Seuls les premiers choix des étudiants sont considérés. Chaque lycée considère les
demandes issues d’un premier choix et accepte les élèves selon leur priorité jusqu’à ce qu’il
n’y ait plus de place. Toute affectation est définitive.
— Etape 2. Considérons les étudiants restants. Seuls les seconds choix sont considérés. Chaque
lycée n’ayant pas atteint ces capacités maximales considère les demandes issues d’un second
choix et accepte les élèves selon leur priorité jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de place. Toute
affectation est définitive.
— Etape n. Considérons les étudiants restants. Seuls les nième choix sont considérés. Chaque
lycée n’ayant pas atteint ces capacités maximales considère les demandes issues d’un nième
choix et accepte les élèves selon leur priorité jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de place. Toute
affectation est définitive.
Considérons le cas suivant. ll y a trois élèves (s1 , s2 , s3 ) et 3 lycées (c1 , c2 , c3 ) et chaque lycée
n’a qu’une seule place. Les préférences sont :
— c2 s1 c1 s1 c3 ,
— c1 s2 c2 s2 c3
3
— c1 s3 c2 s3 c3
— s1 c1 s3 c1 s2 ,
— s2 c2 s1 c2 s3
— s2 c3 s1 c3 s3
1. En vous appuyant sur cet exemple, montrer que la procédure de Boston n’est ni stable, ni
strategy proof.
2. Plaçons nous avant 2006 et supposons que le maire de Boston veuille changer la procédure
d’affectation. Quelle procédure lui conseillez vous si la priorité est d’avoir une procédure
stable et non manipulable (strategy proof) du coté des élèves ? Identifier le matching issu de
cette procédure.
3. Nous sommes toujours avant 2006 et nous supposons toujours que le maire de Boston veuille
changer la procédure d’affectation sauf que la priorité du maire n’est pas la stabilité mais le
bien être (au sens de la pareto optimalité) des élèves. Il souhaite aussi que la procédure soit
non manipulable (strategy proof) du coté des élèves. Quelle procédure lui conseillez vous ?
Identifier le matching issu de cette procédure.
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