Corrigé du DS n 3 de Mathématiques - Tivomaths

Lycée St-Joseph de Tivoli
Premières S2 & S3
Vendredi 7 Novembre 2014
Corrigé du DS n°3 de Mathématiques
- Fonctions de référence & Valeur absolue -
Exercice 1
(≈ 5 points)
• Résolution de (E1 ) : |7x − 3| = 11.
Rappelons au préalable que : |X| = 11 ⇔ d(X; 0) = 11 ⇔ X = −11
Par suite, pour tout x ∈ R,
(E1 ) ⇔ 7x − 3 = −11
ou
ou 7x − 3 = 11 ⇔ x = −
X = 11.
8
7
ou
x=2
8
Ainsi, SE1 = − ; 2 .
7
..........................................................................................................
™
ß
• Résolution de (E2 ) : |1 − 5x| = |2x + 1|.
Selon une propriété du cours, deux réels ont la même valeur absolue ssi ils sont égaux ou opposés. Par suite,
pour tout x ∈ R,
(E2 ) ⇔ 1 − 5x = 2x + 1
⇔ 7x = 0
ou
1 − 5x = −(2x + 1)
ou 3x = 2 ⇔ x = 0
ou x =
2
3
2
.
3
..........................................................................................................
Ainsi, SE2 =
ß
0;
™
• Résolution de (I1 ) : 4 6 |5x + 6| < 7.
Remarquons au préalable que : 4 6 |X| < 7 ⇔ 4 6 d(X; 0) < 7 ⇔
Par suite, pour tout x ∈ R,
(I2 ) ⇔



46X<7



.
ou




 −7 < X 6 −4
 2
1


− 6x<


5
 5



4 6 5x + 6 < 7



⇔
ou
ou








 −7 < 5x + 6 6 −4
 − 13 < x 6 −2
5
ò
Ainsi, SI2 = −
13
2 1
; −2 ∪ − ;
.
5
5 5
ò
ï
ï
Exercice 2
(≈ 6 points)
1. Considérons le trinôme P (x) = x2 − x − 6. On remarque que −2 en est une racine (évidente) et on a aussi :
∀ x ∈ R, P (x) = (x + 2)(x − 3). On en déduit alors le tableau de signes suivant :
x
x2 − x − 6
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−∞
−2
+
- 1/4 -
0
3
−
0
+∞
+
LATEX 2ε
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Premières S2 & S3
Vendredi 7 Novembre 2014
2. Exprimons ϕ(x) sans valeur absolue selon les valeurs de x. Pour cela, dressons le tableau suivant :
x
−∞
x2 − x − 6
+
2
2
x −x−6
x −x−6
2+x
−
|2 + x|
−2 − x
ϕ(x)
x2 − 4
−2
3
0
−
0
0 −x2 + x + 6 0
0
+
0
2+x
−x2 + 4
+∞
+
2
x −x−6
+
2+x
x2 − 2x − 8
On peut alors conclure que, pour tout x ∈ R,

2


x − 4
si x 6 −2
ϕ(x) =
+4
si −2 < x 6 3


x2 − 2x − 8 si x > 3
−x2
3. Pour tout x ∈ R,

2


x − 4 = 1
si x 6 −2
2
ϕ(x) = 1 ⇔
−x + 4 = 1
si −2 < x 6 3


x2 − 2x − 8 = 1 si x > 3
⇔

2


x = 5
x2
=3


x2 − 2x − 9 = 0
si x 6 −2
si −2 < x 6 3
si x > 3
Or :
√
√
֒→ L’équation x2 = 5 admet deux solutions réelles, à savoir ± 5. Parmi ces deux réels, seul − 5 appartient
à ] −∞ ; −2 ].
√
֒→ L’équation x2 = 3 admet deux solutions réelles, à savoir ± 3. Ces deux réels appartiennent à ] −2 ; 3 ].
Ä √ ä2
֒→ Enfin, le discriminant de x2 − 2x − 9 vaut 22 − 4 × 1 × (−9) = 2 10 . Ce trinôme admet donc deux
√
√
√
racines réelles, à savoir 1 + 10 et 1 − 10. Parmi ces deux réels, seul 1 + 10 appartient à ] 3 ; +∞ [.
Après les remarques précédentes, on peut alors conclure que :
√
√
√
ϕ(x) = 1 ⇔ x = − 5 ou x = ± 3 ou x = 1 + 10.
Exercice 3
On considère la fonction f définie sur R par f (x) =
(≈ 3 points)
1 2
x + 2x − 1 .
3
1. Pour compléter le tableau (page 3), on pose :
1
× 9 + 6 − 1 = |8| = 8
• f (3) =
3
• f (0) = |−1| = 1
1
11
11
4 15
• f (−2) =
×4−4−1 =
−
= −
=
3
3
3
3
3
Å ã
1
18 27
8
1 1 2
1
−8
• f
× + −1 =
+
−
=
=
=
3
3 9 3
27 27 27
27
27
2. Cf page 3.
3. Il s’agit ici d’utiliser une remarque du cours concernant les représentations graphiques de f et |f | dans un
repère orthonormé. Cf page 3.
Exercice 4
(≈ 6 points)
Correction page 4.
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- 2/4 -
LATEX 2ε
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Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexe de l’exercice 3.
• Tableau de valeurs de f .
x
3
0
−2
f (x)
8
1
11
3
1
3
8
27
• Algorithme.
1
Variables
:
x, t et y sont des réels
2
Entrée
:
3
Traitement
:
Demander à l’utilisateur un réel x
1
t prend la valeur x2 + 2x − 1
3
Si t 6 0
4
5
y prend la valeur −t
6
Sinon
7
8
y prend la valeur t
:
Sortie
Afficher ”f (x) =”, y
• Courbe de f .
6
Cf
4
CT
2
−8
−6
−4
2
−2
−2
−4
Tournez SVP. . .
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- 3/4 -
LATEX 2ε
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QCM de l’exercice 4.
Questions
1. La fonction x 7→
Réponses
1
:
1−x
✓ est strictement croissante sur ] −∞ ; 1 [
❒
est strictement décroissante sur ] −∞ ; 1 [
n’est pas monotone sur ] −∞ ; 1 [
2. Soit a un réel strictement positif.
Dire que x ∈ [ 1 − a ; 1 + a ] signifie :
|x| 6 1 + a
✓ |x − 1| 6 a
❒
|x − a| 6 1
3. Si x est un réel de l’intervalle ] 0 ; 1 [, alors :
x2 − x > x2 −
√
x
√
✓ x2 − x < x2 − x
❒
p
(x − 1)2 = x − 1
4. Si a et b sont deux réels non nuls de signes opposés,
alors :
✓ |a − b| = |a| + |b|
❒
|a − b| = |a| − |b|
|a + b| = |a| + |b|
5. Combien de nombres entiers relatifs k sont
√
solutions de l’inéquation k − 2 6 3 ?
3
5
✓ 6
❒
On considère une fonction g définie sur R dont la courbe dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.
10
8
6
4
2
−4
−2
2
4
6
6. Donner l’équation réduite de la droite passant par A (0 ; 4) : y = −2x + 4
7. Donner l’équation réduite de la droite passant par B (4 ; 4) : y = 2x − 4
8. Donner une expression de g(x) à l’aide d’une valeur absolue : g(x) = |2x − 4|
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LATEX 2ε