Repérage dans le plan (début)

Repérage dans le plan (début)
I/ Repère
Def: un repère du plan est la donnée de trois points non alignés O, I et J.
Def: si les axes ( OI ) et ( OJ ) sont perpendiculaires et si les distances OI et OJ sont égales, on
dit que le repère ( O, I, J ) est orthonormé.
Dans ce cas on dit que la distance OI est 1, et la distance OJ aussi.
II/ Distance (ceci ne marche qu’en repère orthonormé)
Dans un repère orthonormé
A
on donne les points A ( 3 ; -5 ) et B ( -2 ; 2 ).
Pour aller de A à B, on se déplace
de 5 carreaux vers la gauche et de 7 vers le haut.
7
Le triangle dessiné est rectangle.
La distance AB est donc la longueur de l’hypoténuse,
elle est donnée par le théorème de Pythagore.
B
AB 2 = 5 2 + 7 2 = 74 donc AB =
5
74
8,6.
III/ Milieux
A
3
2
1
M
Soient A ( 1 ; 3 ) et B ( 7 ; 1 ).
Les coordonnées du milieu M de [ AB ] sont ( 4 ; 2 ).
4 est la moyenne de 1 et de 7.
B 2 est la moyenne de 3 et de 1.
1
4
7
Prop: l’abscisse de M est la moyenne des abscisses de A et de B.
Prop: l’ordonnée de M est la moyenne des ordonnées de A et de B.
IV/ Que faire avec des calculs de distances et de milieux ?
1/ Montrer qu’un triangle est isocèle
Dans un repère orthonormé, on donne A ( 2 ; 1 ) ; B ( 6 ; 4 ) et C ( 2 ; 6 ).
ABC est-il isocèle ?
Calculons AB (dessin de gauche): AB 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 donc AB = 5.
Calculons BC: BC 2 = 4 2 + 2 2 = 16 + 4 = 20 donc BC = 20 .
AC = 5 (pas besoin d’appliquer le théorème de Pythagore pour ça).
Finalement, AB = AC donc ABC est isocèle en A.
C
B
B
5
3
A
A
4
2/ Montrer qu’un triangle est rectangle
Dans un repère orthonormé, on donne A ( 1 ; 2 ) ; B ( 2 ; 5 ) et C ( 4 ; 1 ).
ABC est-il rectangle ?
B
A
C
AB 2 = 1 2 + 3 2 = 10
AC 2 = 3 2 + 1 2 = 10
BC 2 = 2 2 + 4 2 = 20
donc AB 2 + AC 2 = BC 2
donc ABC est rectangle en A.
3/ Montrer qu’un point appartient à un cercle
On reprend les points de l’exercice 1: A ( 2 ; 1 ) ; B ( 6 ; 4 ) et C ( 2 ; 6 ).
C appartient-il au cercle de centre A passant par B ?
Remarque: un cercle est un ensemble de points à égale distance du centre.
Pour montrer que deux points appartiennent à un même cercle, il suffit donc de montrer qu’ils
sont à la même distance du centre.
Comme à l’exercice 1, on montre que AB = AC
donc C appartient au cercle de centre A passant par B.
B
C
A
4/ Montrer qu’un point appartient à un cercle
On reprend les points de l’exercice 2: A ( 1 ; 2 ) ; B ( 4 ; 1 ) et C ( 2 ; 5 ).
A appartient-il au cercle de diamètre [ BC ] ?
Remarque: vous savez que si ABC est rectangle en C, alors C appartient au cercle de diamètre
[AB].
Comme à l’exercice 2, on montre que ABC est rectangle en A
donc A appartient au cercle de diamètre [ BC ].
5/ Montrer qu’un point appartient à la médiatrice d’un segment
On reprend les points de l’exercice 1: A ( 2 ; 1 ) ; B ( 6 ; 4 ) et C ( 2 ; 6 ).
A appartient-il à la médiatrice du segment [ BC ] ?
Remarque: vous connaissez deux définition la médiatrice d’un segment [AB]:
- l’ensemble des points à égale distance de A et de B.
- la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par le milieu de [AB].
Ces deux définitions permettent de répondre à la question mais c’est beaucoup plus facile
avec la première définition. Il suffit de montrer que A est à égale distance de B et de C.
C
B
Comme à l’exercice 1, on montre que AB = AC
donc A appartient à la médiatrice de [ BC ].
A
6/ Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Dans un repère orthonormé, on donne A ( - 2 ; 3 ) ; B ( 2 ; 5 ) ; C ( 3 ; 3 ) et D ( - 1 ; 1 ).
ABCD est-il un parallélogramme ?
B
A
Attention, montrer que les côtés opposés sont de même longueur
ne suffit pas.
C
D
Ce que vous savez ne permet pas de montrer que des côtés
sont parallèles.
Il ne reste plus qu’une méthode: montrer que les diagonales ont le même milieu.
2 3 3 3
1
Soit M le milieu de [ AC ]. M (
;
) = ( ; 3 ).
2
2
2
2 1 5 1
1
Soit M’ le milieu de [ BD ]. M’ (
;
) = ( ; 3 ).
2
2
2
[ AC ] et [ BD ] ont donc le même milieu donc ABCD est un parallélogramme.
7/ Montrer qu’un quadrilatère est un rectangle
Le quadrilatère de l’exercice précédent est-il un rectangle ?
Vous avez trois définition d’un rectangle (voir les rappels sur la géométrie du collège). Elles
donnent trois démonstrations.
a/ Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
On montre comme à l’exercice 6/ que ABCD est un parallélogramme.
Ensuite on calcule la longueur des diagonales.
AC = 5 et BD 2 = 3 2 + 4 2 = 25 donc BD = 5.
Finalement ABCD est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur
donc ABCD est un rectangle.
b/ Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.
On montre comme à l’exercice 6/ que ABCD est un parallélogramme.
Ensuite on utilise la réciproque du théorème de Pythagore pour montrer que ABC est
rectangle en B.
AB 2 = 4 2 + 2 2 = 20
BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5
AC 2 = 5 2 = 25
2
2
2
donc AC = AB + BC
donc ABC est rectangle en B.
Finalement ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit donc ABCD est un rectangle.
c/ Un rectangle est un quadrilatère qui a trois angle droits.
Je crois que vous pouvez le faire.
8/ Montrer qu’un quadrilatère est un losange
Dans un repère orthonormé, on donne A ( 2 ; 3 ) ; B ( 1 ; 5 ) ; C ( 0 ; 3 ) et D ( 1 ; 1 ).
ABCD est-il un losange ?
Les trois définitions d’un losange donnent trois démonstrations.
B
C
A
a/ AB 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ; BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5
CD 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ; AD 2 = 1 2 + 2 2 = 5
Finalement, ABCD est un quadrilatère qui a quatre côtés de même
longueur donc ABCD est un losange.
D
Pour les autres démonstrations, il faut montrer que ABCD est un parallélogramme.
2 0 3 3
Soit M le milieu de [ AC ]. M (
;
) = ( 1 ; 3 ).
2
2
1 1 5 1
Soit M’ le milieu de [ BD ]. M’ (
;
) = ( 1 ; 3 ).
2
2
[ AC ] et [ BD ] ont donc le même milieu donc ABCD est un parallélogramme.
b/ AB 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ; BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5 donc ABCD est un parallélogramme qui a deux
côtés consécutifs de même longueur donc ABCD est un losange.
c/ On peut aussi montrer que les diagonales sont perpendiculaires.
On cherche les coordonnées de l’intersection des diagonales (le milieu de l’une d’elle) et on
montre que ABM est rectangle en M.