Étendue, moyenne, médiane

Étendue, moyenne, médiane
À partir des trois tableaux de données, recopie
et complète le quatrième tableau.
1 Climat
Ce
tableau
compare
les
températures
mensuelles moyennes (en °C) au cours d'une
année dans deux villes Alpha (A) et Gamma (G).
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
A − 6 − 9 − 1 10 11 19 24 28 21 10 4 − 3
G 5
7
2 Tableaux
9
13 17 19 20 23 18 13 8
4
Série 1 : Nombre de personnes fréquentant un
club de remise en forme sur une semaine.
Lu
Ma
Me
Je
Ve
Sa
Di
32
38
21
49
60
84
24
Série 2 : La pointure de 20 personnes.
Pointure 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Pour chaque ville, réponds aux questions.
a. Calcule la température annuelle moyenne.
Pour la ville A, la température moyenne est de :
−6−9−1101119242821104−3
12
=9
Pour la ville B, la température moyenne est de :
5791317192023181384
=13
12
Effectif
1
La température médiane correspond à toute
valeur comprise entre la 6e et la 7e valeur de la
série statistique ordonnée, c'est à dire ici 10°C.
Pour la ville B, par un raisonnement analogue,
la température médiane est de 13°C.
4
3
2
3
1
3
1
Série 3 : Notes obtenues (sur 20) par une classe
de troisième en français lors d'un contrôle.
Notes
4
5
7
8
9
Effectif
1
2
2
4
3
12 13 15 17 18
5
1
3
2
2
Étendue
Médiane
Moyenne
Série 1
63
38
44
Série 2
8
40,5
40,85
Série 3
14
12
12,55
b. Détermine une température médiane.
Pour la ville A, on commence par classer les
températures par ordre croissant :
− 9 ; − 6; − 3; − 1 ; 4 ; 10 ; 10 ; 11 ; 19 ; 21 ;
24 ; 28.
2
Pour une médiane de la série 1, on ordonne les
valeurs. Une médiane est donc de 38, ce qui
signifie que le club de remise en forme a reçu
moins de 38 personnes par jour durant la moitié
de la semaine.
c. Calcule l'étendue des températures.
L'étendue
des
températures
28 − ( − 9) = 37°C pour la ville
23 − 4 = 19°C pour la ville B.
est
A et
de :
de :
d. Décris le climat.
Pour la ville A, les températures varient de
manière importante entre l'été et l'hiver,
comme le montre l'étendue. Alors que dans la
ville B les températures sont plus resserrées,
avec moins de variations : il y fait doux toute
l'année.
3 Des valeurs à inventer
a. Invente une série de sept valeurs dont
l'étendue est 8, la moyenne est 16 et la
médiane est 17.
11 ; 14 ; 15 ; 17 ; 18 ; 18 ; 19.
b. Modifie l'une des valeurs extrêmes pour que
l'étendue devienne égale à 15. Quel est l'effet
sur les deux autres caractéristiques ?
Solution 1 :
11 ; 14 ; 15 ; 17 ; 18 ; 18 ; 26.
La moyenne augmente alors de 1, mais la
médiane reste inchangée.
Solution 2 :
3 ; 14 ; 15 ; 17 ; 18 ; 18 ; 19
La moyenne diminue alors de 1, et la médiane
devient 15.
Bien entendu, si on choisi d'autres séries, les
situations changent.
1
STATISTIQUES
ET PROBABILITÉS
- CHAPITRE N9
3
4 Avec des graphiques
5 Salaires
À partir de ces trois graphiques, recopie et
complète le tableau.
Série 1 : On prélève neuf pommes dans une
caisse et on les pèse (mesures données en g).
Ce tableau donne la répartition des salaires
mensuels des employés d'une petite entreprise.
1 000 1 200 1 400 1 600 2 000
à
à
à
à
à
1 200 1 400 1 600 1 800 2 200
Salaire
(en €)
Fréquence
(en %)
8,5
12,5
28,5
44
6,5
a. Calcule le salaire moyen d'un employé.
1 100×8,51 300×12,51 500×28,51 700×442 100×6,5
100
70
74
78
82
86
90
94
98 102 106 110
Série 2 : On donne ci-dessous la répartition du
nombre d'heures que consacrent 36 collégiens
à faire du sport durant une semaine.
2
3
4
5
7
9
Le salaire moyen d'un employé est 1 568 €.
b. Dans quelle classe est situé le salaire
médian ? Que signifie-t-il ?
Le salaire médian se situe à 50 % de fréquence
cumulée, c'est à dire dans la classe 1 600 à
1 800. Ce salaire signifie qu'il y a autant de
salaires inférieurs à ce salaire que de salaires
supérieurs à celui-ci.
h
h
h
h
h
h
6 D'après Brevet
Série 3 : On a relevé les températures dans une
ville de Russie pendant une année.
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
En météorologie, on appelle « insolation » (I) le
nombre d'heures d'exposition d'un site au
Soleil.
Voici un relevé de la station de météorologie de
Voglans, située en Savoie, donnant des
informations sur l'insolation (en h) de la région
au mois de juillet de 1995 à 2000.
Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000
I (en h)
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
Étendue
Médiane
Moyenne
Série 1
32
90
90
Série 2
7
4
165
≈4,6
36
Soit 4H35min
Série 3
= 1 568
40
2,5
1,25
261
212
226
308
259
306
a. Calculer la moyenne d'insolation sur cette
période.
261  212  226  308  259  306
6
= 262
h
b. 260 est-elle une valeur médiane de cette
série ? Justifier la réponse.
La série comporte 6 valeurs. Donc la médiane
correspond à toute valeur comprise entre la
troisième et la quatrième valeur de la série
statistique ordonnée. La troisième valeur est
259. La quatrième valeur est 261. Donc 260 est
une valeur médiane possible pour cette série
statistique.
CHAPITRE N9 – STATISTIQUES
ET PROBABILITÉS
2
Quartiles
7 Luc, Samia et Rudy ont obtenu sept notes
en français ce trimestre.
Luc
18
2
4
3
1
19
20
Samia
13
9
19
12
1
20
7
Rudy
10
13
11
10
12
13
12
a. Détermine pour chaque élève :
• sa moyenne arrondie au dixième ;
• une note médiane ainsi que les valeurs des
premier et troisième quartiles ;
• l'étendue des notes.
b. Comment expliquer la grande différence
entre la note moyenne et la note médiane de
Luc ?
Les notes de Luc sont regroupées en deux pôles
extrêmes, l'un d'eux comportant plus de notes.
c. Samia et Rudy ont des caractéristiques en
commun. Penses-tu que ces élèves auront la
même appréciation sur leurs bulletins ? Justifie.
Non, bien qu'ils aient la même médiane et la
même moyenne, les notes de Rudy sont
beaucoup plus resserrées que celles de Samia.
Autrement dit Rudy travaille régulièrement et
Samia est plus irrégulière dans ses résultats.
8 Le tableau suivant a été obtenu après avoir
relevé la vitesse de 60 véhicules.
Pour Luc :
Moyenne :
1824311920 67
=
≈9,6
7
7
Médiane :
C'est la quatrième note de la série ordonnée,
soit 4.
Vitesse
(en km·h−1)
Moins
de 80
Moins
de 90
Effectifs
cumulés
13
36
Moins Moins
de 100 de 110
54
60
a. Construis le polygone des effectifs cumulés
croissants.
Premier quartile :
La série comportant 7 notes, 25 % de 7 est égal
à 1,75, et donc le premier quartile correspond à
la 2ème note de la série statistique ordonnée
par ordre croissant, soit 2.
Troisième quartile :
La série comportant 7 notes et 75 % de 7
faisant 5,25, le troisième quartile correspond à
la 6ème note de la série statistique ordonnée
par ordre croissant, soit 19.
Etendue : 20 − 1 = 19.
Pour Samia :
13919121207 81
Moyenne :
= ≈11,6 .
7
7
Par lecture graphique, on obtient :
La médiane : 87 km/h.
Le premier quartile : 81 km/h.
Le troisième quartile : 95 km/h.
Médiane : 12.
Premier quartile : 7.
Troisième quartile : 19.
La médiane correspond à la valeur de la vitesse
où 50 % des automobilistes roulaient en
dessous et 50 % au dessus de cette vitesse.
Etendue : 20 − 1 = 19.
Pour Rudy :
Moyenne :
10131110121312 81
= ≈11,6 .
7
7
Médiane : 12.
Premier quartile : 10.
Troisième quartile : 13.
Etendue : 13 − 10 = 3.
3
STATISTIQUES
ET PROBABILITÉS
b. Détermine une valeur approchée de la
médiane et des premier et troisième quartiles.
Donne ensuite la signification de ces valeurs.
- CHAPITRE N9
Le premier quartile correspond à la vitesse où
25 % des automobilistes sont en dessous et le
troisième quartile à celle où 75 % sont en
dessous (et donc 25 % au dessus).
9 On a interrogé les élèves d'une classe de
troisième sur le temps mis (en minutes) pour le
trajet aller-retour entre leur domicile et le
collège. Les résultats sont représentés par le
diagramme en barres suivant.
Effectifs
8
6
4
2
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Temps (en min)
a. Détermine la moyenne, l'étendue, une
médiane, ainsi que les valeurs des premier et
troisième quartiles de cette série statistique.
Moyenne :
10×2 20×7 30×540×250×560×370×180×190×2
28
=
1 150
≈41,1
28
Médiane : L'effectif total étant de 28, la
médiane de cette série statistique correspond à
toute valeur entre la 14e et la 14e valeur de la
série statistique ordonnée, soit 35.
25 % de 28 donne 7, donc le premier quartile
correspond à la 7ème valeur de la série
statistique ordonnée, c'est à dire 20.
75 % de 28 donne 21, donc le troisième quartile
correspond à la 21ème valeur de la série
statistique ordonnée, c'est à dire 50.
b. Donne la signification de chacune de ces
caractéristiques.
50 % des élèves mettent moins que la valeur
médiane de 30 minutes pour faire le trajet allerretour entre leur domicile et le collège.
Au moins 25 % des élèves mettent moins de 20
minutes et au moins 75 % des élèves ont moins
de 50 minutes de trajet aller-retour.
10 Mesures de grandeur en Physique
En physique, on a demandé à 13 groupes
d'élèves de mesurer la tension aux bornes d'un
conducteur ohmique et l'intensité le traversant.
Chaque groupe a un circuit présentant les
mêmes caractéristiques.
Grâce à la loi d'Ohm, ils ont ensuite pu donner
une valeur pour la résistance de ce conducteur.
Voici leurs résultats (en Ω) : 43,5 ; 46,3 ; 14,7 ;
45,2 ; 43,7 ; 45,2 ; 46,4 ; 45,1 ; 44,9 ; 44,8 ;
45,1 ; 44,8 ; 18,4.
a. Détermine la moyenne, l'étendue, une
médiane, ainsi que les valeurs des premier et
troisième quartiles de cette série.
La moyenne est de :
43,546,3 14,7 45,243,7 45,246,445,144,944,845,144,818,4
13
=
528,1
≈ 40,6
13
La médiane correspond à la septième valeur de
la série statistique ordonnée, soit 44,9 Ω.
Comme 25 % de 13 est égal à 3,25, le premier
quartile correspond à la quatrième valeur de la
série statistique ordonnée par ordre croissant,
soit 43,7 Ω.
Comme 75 % de 13 est égal à 9,75, le troisième
quartile correspond à la dixième valeur de la
série statistique ordonnée par ordre croissant,
soit 45,2 Ω.
b. Comment expliques-tu la différence entre la
moyenne et les autres caractéristiques ?
Deux valeurs de la série statistique sont
anormalement basse. Cela n'a guère d'influence
que sur la moyenne qui est abaissée à cause de
ces deux valeurs.
c. Reprends la question a. pour la série
obtenue après avoir enlevé les deux valeurs
suspectes. Est-ce plus cohérent ? Justifie.
La moyenne est alors de :
43,546,345,243,745,2 46,4 45,144,944,845,144,8
11
=
495
≈ 45
11
La médiane correspond à la sixième valeur de
la série statistique ordonnée, soit 45,1 Ω.
Comme 25 % de 11 est égal à 2,75, le premier
quartile correspond à la troisième valeur de la
série
statistique
ordonnée
de
manière
croissante, soit 44,8 Ω.
Comme 75 % de 11 est égal à 8,25, le troisième
quartile correspond à la neuvième valeur de la
série statistique ordonnée de façon croissante,
soit 45,2 Ω.
CHAPITRE N9 – STATISTIQUES
ET PROBABILITÉS
4
11 Voici les relevés des précipitations
annuelles (en mm) à Marrakech (M) et Pointe-àPitre (P).
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
M 19 19 26 24
5
2
0
2
6
14
17
18
P 44 30 34 39 64 55 58 95 86 118 112 70
a. Détermine la moyenne, l'étendue, une
médiane, ainsi que les valeurs des premier et
troisième quartiles de chaque série.
M
P
Moyenne
152
≈12,7
12
805
≈67,1
12
Etendue
26 – 0 = 26
118 – 30 = 88
Médiane
15,5
61
Q1
2
39
Q3
19
95
b. Pour chacune des séries, combien de valeurs
diffèrent de la moyenne de moins de 20 % ?
Pour Marrakech, on regarde les valeurs
comprises entre :
0,8 × 12,7 ≈ 10,2 et 1,2 × 12,7 ≈ 15,2 .
Il n'y a qu'une seule valeur correspondant à ce
critère.
Pour Pointe-à-Pitre, on regarde les valeurs
comprises entre :
0,8 × 67,1 ≈ 53,7 et 1,2 × 67,1 ≈ 80,5 .
Il y a quatre valeurs correspondant à ce critère.
5
STATISTIQUES
ET PROBABILITÉS
- CHAPITRE N9