Arithmétique 1 Multiples et diviseurs Exercice 1) Montrer que quel

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Arithmétique
1 Multiples et diviseurs
Exercice
1) Montrer que quel que soit l’entier naturel n, 3n4 + 5n + 1 est impair.
2) En déduire qu’il n’est pas divisible par n(n + 1).
Solution
1) Le produit de deux entiers impairs est impair, donc si n est impair, 3n4 et 5n sont impairs.
La somme de deux entiers impairs est paire, donc 3n4 + 5n est pair, et donc 3n4 + 5n + 1 est
impair.
2) n(n + 1) est le produit de deux entiers consécutifs, dont l’un des deux est nécessairement
pair, il est donc pair.
3n4 + 5n + 1, nombre impair, n’est donc pas divisible par n(n + 1) qui est pair.
Exercice
Soit a et b deux entiers impairs.
Montrer que a2 + b2 est divisible par 2 mais pas par 4.
Solution
Soit a = 2n + 1 et b = 2m + 1. Alors :
a2 + b2 = 4n2 + 4n + 4m2 + 4m + 2 = 2(2n2 + 2n + 2m2 + 2m + 1) = 4(n2 + n + m2 + m) + 2, est
divisible par 2 mais pas par 4.
2 Division euclidienne
Exercice
Dans la division euclidienne de a par b, si le dividende augmente de 52 et le diviseur de 4, le
quotient et le reste ne changent pas.
Calculer le quotient.
Solution
a = bq + r
a = bq + r


Il s’agit de résoudre le système : 
⇔
.
a + 52 = (b + 4)q + r
a + 52 = bq + r + 4q
D’où 52 = 4q, et donc q = 13.
Exercice
Soit b ∈ *. Dans la division euclidienne de 990 par b, le quotient est 39.
En déduire b et r.
Solution
b = 25 er r = 15.
Exercice
1) Le reste de la division euclidienne de n par 12 est 2.
Quel est le reste de la division euclidienne de n par 6 ?
2) Le reste de la division euclidienne de n par 12 est 7.
Quel est le reste de la division euclidienne de n par 6 ?
Solution
1) 2 ;
2) 2.
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3 Congruences
Exercice
Démontrer sans calculer :
1) 155 − 35 ≡ 0 [12] ;
2) 910 − 510 ≡ 0 [7]
Solution
an − bn = (a − b)(an − 1 + an − 2b + an − 3b2 + … + bn − 1)
1) 155 − 35 = (15 − 3)(154 + 153 × 3 + 152 × 32 + 15 × 33 + 34), est donc multiple de 12.
2) 910 − 510 = 815 − 255 = (81 − 25)(…) = 56(…), donc est un multiple de 7.
Exercice
1) Montrer que 35 ≡ 1 [11].
2) En déduire que pour tous entiers naturels k et r, 35k + r ≡ 3r [11].
3) Pour n ∈ , quels sont les restes possibles de la division de 3n par 11 ?
4) Pour quelles valeurs de n, 3n + 7 est-il divisible par 11 ?
Solution
1) 35 = 243 = 22 × 11 + 1.
2) 35k + r ≡ (35)k × 3r ≡ 3r [11].
3) 30 ≡ 1 [11], 31 ≡ 3 [11], 32 ≡ 9 [11], 33 ≡ 5 [11], 34 ≡ 4 [11], 35 ≡ 1 [11].
Les restes sont 1, 3, 9, 5 ou 4 selon que le reste de la division de n par 5 vaut respectivement
0, 1, 2, 3 ou 4.
4) 3n + 7 ≡ 0 [11] ⇔ 3n ≡ 4 [11] ⇔ n ≡ 4 [5].
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