Correction division euclidienne et congruences

Division euclidienne et congruences résultats :
1. Trouver tous les entiers naturels n qui, divisés par 4, donnent un quotient égal au reste.
4 4 avec 0 4
0
1
2
3
Donc 5 avec 0 4, ce qui donne : 5
0
5
10
15
Les entiers naturels cherchés sont donc : 0, 5, 10, 15
2. b est un entier naturel non nul.
Dans la division euclidienne de 990 par b, le quotient est 39.
Trouver b et le reste r.
990 39 avec 0 , donc 39 0 990 39 C'est-à-dire : 39 990 40, ce qui donne :
La seule solution est 25 : 990 25 39 15
Donc 25 et 15.
3. Dans chaque cas ci-dessous, trouver un entier tel que : 7 et 0 7.
36
184
!3
7006
!4901
Pour !3 : !3 7, ou 4 7,
c'est-à-dire 7" 4 avec 0 7" 4 7, avec " entier.
Seul " 0 donne une solution : 4.
4. Dans chaque cas ci-dessous, trouver un entier tel que : 9 et !4 5.
11
24
62
85
!12
32
Pour !12 : !12 9, ou 6 9,
c'est-à-dire 9" 6 avec !4 9" 6 5, avec " entier.
Seul " !1 donne une solution : !3.
2 !1 7%
5. Trouver les entiers relatifs vérifiant : a. # !2 5%
b. #
100 125
$0
Pour 2 !17 : 2 7" ! 1,
c'est-à-dire 7" ! 3, avec 100 7" ! 3 125, et " entier.
On obtient
&
'
"
&()
'
et donc : 15 " 18
Les solutions sont donc : 102, 109, 116 et 123.
"
14
95
15 16 17 18 19
102 109 116 123 130
6. A partir de votre date anniversaire, et de votre jour (lu, ma, me, je, ve, sa, di) anniversaire en
2012, retrouver votre jour (lu, ma, me, je, ve, sa, di) de naissance.
Si votre jour de naissance est noté 0 et si &) * (+ & *) , il suffit de trouver le
reste dans la division euclidienne de * par 7 (0 7) : * 7.
On récupère le jour anniversaire de la semaine en 2012, et on le place au niveau du .
On en déduit le jour de la semaine correspondant à 0 : c’est votre jour de naissance.
Exemple : date de naissance, le 10 août 1994
Du 10 août 1994 au 10 août 2012, il s’est passé 6575 jours : &) 6575
6575 7 939 2 : 939 semaines et 2 jours
Le jour anniversaire en 2012 est un vendredi.
Alors, on obtient le tableau des classes modulo 7 suivant :
0
,+ me
1
je
2
ve
3
sa
4
di
5
lu
6
ma
Le jour de naissance correspond au 0 ; c’était un mercredi.