Exercices

Maths MP
Exercices
Topologie
Les indications ne sont ici que pour être consultées après le TD (pour les exercices non traités). Avant
et pendant le TD, tenez bon et n’allez pas les consulter !
1
Normes, ouverts, fermés
1.1
Normes et distances
Exercice 1 Centrale 2010
Dans un espace vectoriel normé, caractériser l’inclusion B(x0 , r) ⊂ B(x00 , r0 ) à l’aide de x0 , x00 , r et r0 .
Exercice 2 Mines 2009
Pour A ∈ Mn (C), on pose N (A) = Max
16j6n
n
X
|ai,j | et N 0 (A) = Max
16i6n
i=1
n
X
|ai,j |.
j=1
1. Montrer que N et N 0 sont des normes sur Mn (C).
2. Sont-elles équivalentes ?
N (A)
·
3. Déterminer Max 0
A6=0 N (A)
Exercice 3 Mines 2009
On note E l’espace des fonctions de classe C 2 sur [0, 1] vérifiant f (0) = f (1) = 0. Pour f ∈ E, on définit
N (f ) = kf 00 k∞ .
1. Montrer que N est une norme.
2. La comparer à k k∞ .
Exercice 4 Soit u une suite à valeurs dans [0, 1]. On définit sur E = C([0, 1]) :
N (f ) =
X |f (un )|
·
2n
n∈N
1. Donner une CNS simple pour que N soit une norme.
2. Est-elle alors équivalente à k k∞ ?
Exercice 5 Soit g ∈ E = C([0, 1]). On définit sur E : N (f ) = kf gk∞ .
1. Donner une CNS simple pour que N soit une norme.
2. Est-elle alors équivalente à k k∞ ?
Exercice 6 E est ici l’ensemble des fonctions f : [0, 1] → R lipschitziennes. On définit sur E :
f (x) − f (y) , et Na (f ) = |f (a)| + sup f (x) − f (y) N (f ) = kf k∞ + sup x−y
x−y
x6=y
x6=y
1. Vérifier que N et Na sont des normes sur E.
2. Sont-elles équivalentes ?
3. N est-elle équivalente à k k∞ ?
Exercice 7 Centrale 2010
Donner un exemple de couple de normes non-équivalentes sur un espace normé.
1
1.2
Ouverts et fermés ; intérieur et adhérence
Exercice 8 Soit F un sous-espace de E. Que dire de l’intérieur de F ? Et de son adhérence ?
Exercice 9 Mines 2010
Soient P ∈ C[X] et F un fermé de C. Montrer que P (F ) est un fermé de C.
Ça reste vrai en remplaçant les deux occurrences de «fermé» par «ouvert», mais c’est bien plus difficile !
Exercice 10 Calculer l’adhérence et l’intérieur de :
)
(
n
1X
1
εk (x) −→
,
x ∈ [0, 1[ n→+∞ 2
n
k=1
avec x =
X εk (x)
l’écriture en base 2.
2k
∗
k∈N
Exercice 11 Calculer l’adhérence et l’intérieur dans (C([0, 1], R), k k∞ ) de :
1. l’ensemble des f ∈ E nulles en 0 et en 1 ;
2. l’ensemble des fonctions strictement positives ;
3. l’ensemble des fonctions strictement croissantes.
Exercice 12 Montrer que tout fermé d’un espace métrique peut être décrit comme intersection dénombrable d’ouverts. Énoncer le résultat dual.
Exercice 13 E = C([0, 1]) est muni de k k∞ . F est le sous-espace de E constitué des f ∈ E vérifiant
Z 1
f (0) = f (1) =
f = 0.
0
Montrer que E est fermé, de codimension finie à déterminer.
Exercice 14 TPE 2009
Soient E un espace vectoriel normé réel et C une partie convexe de E.
1. Montrer que l’adhérence de E est convexe.
2. Montrer que l’intérieur de E est convexe.
Exercice 15 Soit E la partie de (R2 )3 constituée des triplets de points alignés. Dire des choses intelligentes et topologiques sur E ! On étudiera le caractère ouvert, fermé ; l’adhérence et l’intérieur ; la
connexité par arc éventuelle...
Exercice 16 Montrer que tout ouvert de R2 est réunion dénombrable de boules ouvertes.
Exercice 17 Déterminer l’intérieur et l’adhérence dans R2 [X] de l’ensemble X des polynômes scindés
sur R.
2
2.1
Limites, continuité
Suites
Exercice 18 Soit u une suite réelle telle que un+1 − un −→ 0. Montrer que l’ensemble de ses valeurs
n→+∞
d’adhérence est un intervalle.
Exercice 19 Trouver les valeurs d’adhérence de (cos (nπ))n∈N .
Indication : considérer le sous-groupe additif de R : Z + 2πZ.
Exercice 20 Soit u une suite complexe. Comparer V A(u) et {un | n ∈ N}.
2
Exercice 21 Soit u une suite complexe. Montrer :
\
{up | p > n}.
V A(u) =
n∈N
Exercice 22 Soit E un K-espace vectoriel de base dénombrable (en )n∈N .
1. Montrer qu’on peut le munir d’une norme telle que pour cette norme, en −→ 0.
n→+∞
2. Plus fort : montrer que si on fixe x ∈ E, alors il existe une norme telle que pour cette norme,
en −→ x.
n→+∞
Les normes ainsi produites sont alors furieusement non équivalentes !
2.2
Applications continues
Exercice 23 Soit f une application continue de C (le cercle unité de R2 ) dans R. Montrer qu’il existe
c ∈ C tel que f (c) = f (−c).
Plus fort : l’«antipodensatz de Borsuk» dit que si on a une application continue de la sphère unité de
R3 à valeurs dans R2 , alors il existe également deux points antipodaux de même image. Ainsi, il existe
sur terre à chaque instant un couple de points antipodaux ayant exactement la même température et la
même pression 1 . Étonnant, non ?
Exercice 24 Montrer que tout espace vectoriel normé est homéomorphe à sa boule unité ouverte.
On pourra commencer par R.
2.3
Cas des applications linéaires
Exercice 25 E = C ∞ ([0, 1], R) est muni de k k∞ .
1. Soit ϕ définie par :
Z
∀f ∈ E,
1/2
Z
1
f−
ϕ(f ) =
0
f.
1/2
Montrer que ϕ est continue ; calculer sa norme, et montrer qu’elle n’est pas atteinte.
2. Même question avec ψ définie par :
∀f ∈ E,
ψ(f ) =
X (−1)n
f (1/n).
2n
n>1
Exercice 26 E = CB (R, R) est muni de k k∞ ; a et b sont deux réels, avec |a| < 1. Pour f ∈ E, T (f )
est l’application de R dans lui-même définie par :
∀x ∈ R,
T (f )(x) = f (x) − af (bx).
Montrer que T est un homéomorphisme linéaire de E dans lui-même.
Exercice 27 Soient A une partie de R et a ∈ R.
1. À quelle condition sur A la formule NA (P ) = Sup |P | définit-elle une norme sur E = R[X] ?
A
2. La condition précédente étant remplie, à quelle condition la forme linéaire P 7→ P (a) est-elle
continue sur (R[X], NA ) ?
Z
Exercice 28 Soient E = C([0, 1], R), g ∈ E, et Tg ∈ L(E, R) définie par Tg (f ) =
1
f g. On munit E
0
de k k∞ , k k1 et k k2 . Montrer que dans chaque cas, Tg est continue, et calculer sa norme.
1. Fussent-elles mesurées avec des unités différentes !
3
Exercice 29 Soient K ∈ C([0, 1]2 , R), E = C([0, 1], R), et, pour f ∈ E :
[0, 1] −→
R
Z 1
T (f ) 7−→
K(s, t)f (s)ds
t
0
Vérifier que T est un endomorphisme continu de (E, k k∞ ), et calculer sa norme.
Exercice 30 Soient S un segment non trivial de R, et L ∈ L C 0 (S, R), R vérifiant :
f >0
=⇒
L(f ) > 0.
Montrer que L est continue.
Exercice 31 Soit D l’opérateur de dérivation sur E = C ∞ ([0, 1], R). En considérant les valeurs propres
de D, montrer qu’il n’existe aucune norme sur E rendant D continu.
Exercice 32 Soient f, g, deux endomorphismes d’un espace vectoriel normé (E, k k), et tels que f ◦ g −
g ◦ f = IdE .
1. Montrer que E n’est pas de dimension finie.
2. Montrer qu’au moins un des deux endomorphismes f et g n’est pas continu.
Exercice 33 Soit ϕ une forme linéaire sur un espace vectoriel normé (E, k k).
1. Montrer que ϕ est continue si et seulement si non noyau est non-dense.
|ϕ(a)|
2. Si ϕ est continue et a ∈
/ Ker ϕ, alors kϕk =
·
d(a, Ker ϕ)
Exercice 34 Soient E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie, et T ∈ L(E, F ). Montrer
que T est surjective si et seulement si l’image par T de tout ouvert de E est un ouvert de F .
On pourra voir aussi le théorème de l’application ouverte : le résultat subsiste si E et F sont des
Banach.
Exercice 35 TPE 2009
Soit E = C 1 ([0, 1], R) muni de k k∞ . Soit x0 ∈ [0, 1] et ϕ la forme linéaire f ∈ E 7→ f 0 (x0 ). Montrer que
ϕ n’est pas continue. Que dire de Ker ϕ ?
3
Compacité, complétude
3.1
Compacité
Exercice 36 Soit K une partie compacte d’une espace E, et f une application de K dans K telle que
pour tout (x, y) ∈ K 2 tel que x 6= y, on a kf (x) − f (y)k < kx − yk. Montrer que f possède un unique
point fixe.
Exercice 37 Montrer que dans un espace vectoriel normé...
1. Si A est ouvert, alors A + B l’est aussi.
2. Si A est fermé et B compact, alors A + B est fermé.
3. Donner un exemple (dans R) où A et B sont fermés mais pas A + B.
4. Si A et B sont compacts, alors A + B aussi.
Exercice 38 Soient A et B deux compacts non vides de l’espace vectoriel normé E. Montrer que la
réunion des segments [a, b], avec a ∈ A et b ∈ B... est un compact.
Exercice 39 Montrer que toute intersection dénombrable décroissante de compacts non vides... est non
vide.
4
Exercice 40 Mines 2010
On munit l’espace des fonctions continues de [0, 1] dans R de la norme de la convergence uniforme.
Montrer que la boule unité n’est pas compacte.
Exercice 41 Soit K un compact convexe de Rn ne contenant pas 0. Montrer qu’il existe une forme
linéaire ϕ telle que pour tout x ∈ K, ϕ(x) > 0.
Faire un dessin : on cherche un hyperplan ne coupant pas K. En «projetant» 0 sur K, on a peut-être
quelque chose d’intéressant...
Exercice 42 Soit f : Rn → R continue. Montrer que l’application m : r ∈ R+ 7→ Max f (x) est bien
kxk=r
définie et continue.
Indication : supposer que rn −→ r, et montrer que la seule valeur d’adhérence de m(rn ) est m(r).
n→+∞
3.2
Complétude
Exercice 43 Théorème du point fixe de Banach-Picard
Soient E un espace complet, et f : E → E une application contractante (K-lipschitzienne, avec K < 1).
Montrer que f admet un unique point fixe.
Exercice 44 On définit, sur E = R[X] : kP k =
P
|pi |.
1. Vérifier que c’est une norme.
2. Vérifier : kP Qk 6 kP k . kQk.
3. E est-il complet pour cette norme ?
Exercice 45 On définit, sur E = C 1 ([0, 1]) : N (f ) =
f 2 (0) +
Z
1
1/2
f 02 (t)dt
0
1. Vérifier que N est une norme.
2. Montrer que pour tout f ∈ E, kf k∞ 6
√
2N (f ).
3. Les normes N et k k∞ sont-elles équivalentes ?
4. E est-il complet pour cette norme ?
Exercice 46 Mines 2010
L’espace C 0 ([0, 1], R) est-il complet pour la norme de la convergence uniforme ? Et pour la norme de la
convergence en moyenne ?
Exercice 47 Mines 2010
Soit E = C 1 ([−1, 1], R), sur lequel on considère k k∞ et N (f ) = kf k∞ + kf 0 k∞ .
1. Montrer que N est une norme sur E. Est-elle équivalente à k k∞ ?
2. L’espace (E, N ) est-il complet ? L’espace (E, k·k) est-il complet ?
Exercice 48 Soient (A, k k) une algèbre de Banach, et (an ) une suite d’inversibles de A telle que
an −→ a, avec (a−1
n ) bornée. Montrer que a est inversible dans A.
n→+∞
Exercice 49 Montrer qu’un espace vectoriel normé est de Banach si et seulement si toute série absolument convergente est convergente.
Exercice 50 Dans un Banach, montrer qu’une intersection dénombrable décroissante de boules fermées... est une boule fermée.
5
3.3
Dimension finie
Exercice 51 Centrale 2010
Donner un exemple de partie fermée bornée non compacte d’un espace normée.
Exercice 52 Soient x0 , ..., xn n + 1 réels distincts. Montrer qu’il existe α > 0 tel que :
∀P ∈ Rn [X],
n
X
|P (xi )| > α sup |P | .
[0,1]
i=0
Exercice 53 Mines 2009
Soit F un sous-espace de dimension finie de C([0, 1], R).
1. Montrer l’existence de a1 , ..., an ∈ [0, 1] tels que f 7→ Max |f (ai )| soit une norme sur F .
16i6r
Indication : montrer que si (f1 , ..., fr ) est libre, alors il existe a1 , ..., ar tels que la matrice ((fj (ai )))
est inversible...
2. Montrer que si (fn )n∈N est une suite de F qui converge simplement, alors elle converge uniformément.
4
Topologie des matrices
Exercice 54 Montrer que GLn (R) est un ouvert dense de Mn (R). Son complémentaire est-il compact ?
Exercice 55 Trouver les morphismes continus de U dans GLn (C).
Exercice 56 Montrer que On (R) est compact.
Exercice 57 Soit p ∈ [[1, n]]. Montrer que l’ensemble X des matrices de rang p n’est pas un fermé, mais
que l’ensemble Y des matrices de rang majoré par p en est un. Montrer enfin que X est dense dans Y .
Exercice 58 Mines 2010
k
Soit A ∈ Mn (C) telle que (Ak )k∈N soit bornée. Pour k ∈ N, on définit Bk =
1 X i
A.
k + 1 i=0
1. Montrer que (Bk ) possède une valeur d’adhérence B.
2. Montrer que BA = AB = B et B 2 = B.
3. Montrer : Ker (A − In ) = Im B et Im (A − In ) = Ker B.
4. Conclure que (Bk ) converge.
Exercice 59 Montrer que GLn (C) est connexe par arc, mais que GLn (R) ne l’est pas.
Exercice 60 Matrices diagonalisables
1. Montrer que les matrices diagonalisables constituent un dense de Mn (C). Est-ce le cas dans
Mn (R) ?
2. Montrer que les matrices diagonalisables à valeurs propres distinctes constituent un ouvert de
Mn (K).
3. Quel est l’intérieur de l’ensemble des matrices diagonalisables de Mn (K) ?
Exercice 61 Très difficile !
Trouver l’adhérence et l’intérieur dans Mn (C) des matrices M telles qu’il existe p ∈ N∗ telle que M p = In .
Exercice 62 Mines 2010
1. Montrer que l’ensemble des matrices nilpotentes de Mn (C) est un fermé de Mn (C).
6
2. Montrer que si M ∈ Mn (C), alors 0 est adhérent à la classe de similitude de M si et seulement si
M est nilpotente.
Exercice 63 Puissances d’une matrice.
Rappelons que le rayon spectral d’une matrice est le maximum des modules des valeurs propres (complexes) de cette matrice. Par ailleurs, la décomposition de Dunford est parfois utile : on peut décomposer
toute matrice sous la forme D + N , avec D diagonalisable, N nilpotente, avec D et N qui commutent.
1. Trouver les A ∈ Mn (C) telles que Ak −→ 0.
k→+∞
k
2. Trouver les A ∈ Mn (C) telles que (A )k∈N soit bornée.
3. Trouver les A ∈ Mn (C) telles que (Ak )k∈N soit convergente.
4. Montrer que pour A ∈ Mn (C) :
X
Ak converge
⇐⇒
ρ(A) < 1.
k>0
Exercice 64 Soit k k une norme sur Mn (C). Prouver :
∀M ∈ Mn (C),
k 1/k
M −→
k→+∞
ρ(M ),
avec ρ(M ) le rayon spectral de M .
5
Des indications
– Exercice 1 : J’imagine qu’on attend : kx0 − x00 k + r 6 r0 ...
– Exercice 2 : Travailler avec N 0 (A) = 1 semble une bonne idée. Le maximum (dont l’existence était
assurée par compacité) vaut n.
– Exercice 3 : Bien entendu, t 7→ sin(nπt) interdit l’un des deux contrôles. L’autre est assuré par
l’inégalité de Taylor-Lagrange entre 0 et x0 , point (de [0, 1/2] où kf k∞ est atteinte), fournissant
1
kf k∞ 6 N (f ), atteint pour x(1 − x).
8
– Exercice 4 : On a N (f ) 6 kf k∞ , mais si ε > 0, on peut construire f telle que N (f ) 6 ε et kf k∞ = 1
(prendre un pic évitant les premiers un ...), ce qui interdit le second contrôle.
– Exercice 5 : Il est nécessaire et suffisant que g −1 (0) ne contienne pas d’intervalle. Sous cette condition, on a kf k∞ 6 kf k∞ kgk∞ , et le contrôle inverse est possible si et seulement si |g| ne s’annule
pas (et possède alors un minimum strictement positif).
– Exercice 6 : on a Na 6 N 6 2Na et k k∞ 6 N , mais les fonctions «pic» interdisent un contrôle du
type N 6 K k k∞ .
– Exercice 7 : il faut être capable d’en donner sur R[X], C ∞ (R) et `2 (N) par exemple. Bref, sur tout
espace de dimension infinie raisonnable.
◦
– Exercice 8 : si F 6= E, on a F = ∅ (sans quoi, on trouverait une boule centrée en 0 incluse dans
F , puis tout E par dilatation). Pour l’adhérence, c’est plus compliqué : F peut être fermé (donc
égal à son adhérence), mais peut aussi avoir une adhérence beaucoup plus grosse que lui : prendre
par exemple le sous-espace de C([0, 1], R) constitué des fonctions polynomiales : il est dense pour
k k∞ ...
– Exercice 9 : Si (P (fn ))n∈N converge, alors elle est bornée donc (fn ) aussi 2 , donc possède une
extraction qui converge...
– Exercice 10 : Je conseille de chercher d’abord un habitant x0 de l’ensemble X considéré, puis un
1
habitant de son complémentaire proche de x0 , puis un habitant de X proche de · Il vient alors
2
◦
sans mal : X= ∅ et X = [0, 1].
2. c’est non trivial : |P (z)| > |αd | |z|d
1−
d−1
X
!
αi i−d
|αd | |z|d
|z|
pour |z| assez grand
>
α 2
d
i=0
7
◦
– Exercice 11 : Notant X1 , X2 et X3 les trois ensembles considérés, on a X1 = X1 , X 1 = ∅, X2
◦
est l’ensemble des fonctions à valeurs positives (au sens large), X 2 = X2 , X3 est l’ensemble des
◦
1
fonctions croissantes (pour l’inclusion non triviale, considérer fn = f + Id), et enfin X 3 = ∅.
n
1
– Exercice 12 : Considérer Ωn = x ∈ E; d(x, Ω) <
... Par passage au complémentaire : tout
n
ouvert est réunion dénombrable de fermés.
Z 1 f .
– Exercice 13 : Considérer l’application linéaire continue f ∈ E 7→ f (0), f (1),
0
– Exercice 14 : Si a, b ∈ C et λ ∈ [0, 1], il existe an , bn ∈ C tels que an −→ a et bn −→ b. On a
n→+∞
n→+∞
alors λan + (1 − λ)bn ∈ C et λan + (1 − λ)bn −→ λa + (1 − λ)b. Pour l’intérieur, si B(a, ρ1 ) ⊂ C,
n→+∞
B(b, ρ2 ) ⊂ C et c = λa + (1h− λ)b, alors
en prenant ρ = λρ1 + (1 − λ)ρ2 , on a ce qu’on peut espérer.
−−→ −→i
– Exercice 15 : La condition AB, AC est fermée. L’intérieur est clairement vide (on s’approche de
l’un des trois points sans être aligné avec les deux autres). L’ensemble est connexe par arcs : pour
passer de (A0 , B0 , C0 ) à (A1 , B1 , C1 ), on peut prendre un chemin continu (affine) de A0 à A1 , de
B0 à B1 et de C0 à C1 (At = (1 − t)A0 + tA1 avec la notation barycentrique usuelle). Il y a fort à
parier que les (At , Bt , Ct ) restent dans E.
– Exercice 16 : Les points rationnels de Ω constituent un ensemble dénombrable, disons {pn | n ∈ N}.
1
On prend alors, pour tout n ∈ N, ρn = Sup{r > 0; B(pn , r) ⊂ Ω}, et il reste à vérifier que la
2
réunion des B(pn , ρn ) est égale à Ω.
– Exercice 17 : X est caractérisée par la condition continue fermée ∆ > 0. On montre sans mal que
◦
–
–
–
–
–
X est l’ensemble des trinômes de discriminant strictement positif.
Exercice 18 : Supposons α < β < γ avec α et γ deux valeurs d’adhérence de u, sans que β n’en
soit une. Il existe alors ρ > 0 tel que u ne rencontre pas (à partir d’un certain rang) [β − ρ, β + ρ].
Il existe par ailleurs un rang au delà duquel |un+1 − un | 6 ρ. Il va alors être impossible pour u de
passer de la zone [β +ρ, +∞[ contenant γ à ]−∞, β −ρ] contenant α, fournissant une contradiction.
Exercice 19 : Classique : c’est [−1, 1]. Le sous-groupe G = Z + 2πZ n’est pas de la forme βZ (sans
quoi π serait rationnel), donc est dense (résultat classique qu’il serait de bon goût de connaître...
et de savoir montrer : sortez vos ε). Si on fixe x ∈ [−1, 1], il existe alors une suite d’éléments de G
tendant vers arccos x ; etc...
Exercice 20 : Bien entendu, V A(u) ⊂ {un | n ∈ N}, mais il n’y a pas égalité : considérer une suite
d’éléments distincts qui converge !
Exercice 21 : deux inclusions soigneuses...
P
|αi |
Exercice 22 : Prendre k αi ei k = Max
· Quitte à ré-indexer, on peut ensuite supposer que
i
i
(x, e2 , ..., en , ...) est une base
de E. La famille (x,e2 − x, ..., en − x, ...) est alors encore une base de
X
|αi |
E, et il suffit de prendre : α1 x +
αi (ei − x)
·
= Max
i
i
i>2
– Exercice 23 : Considérer l’application continue ψ : t 7→ f (eit ) − f (−eit ) : 0 est entre ψ(0) et ψ(π)...
– Exercice 24 : Pour R, il suffit de prendre l’application Argth. Sur E quelconque, il suffit de prendre
x
·
l’application envoyant 0 sur 0, et x 6= 0 sur Argth(kxk)
kxk
– Exercice 25 : On a clairement |||ϕ||| 6 1, et en prenant une fonction de classe C ∞ proche (au sens
L1 !) de χ[0,1/2] − χ[1/2,1] , on montre que |||ϕ||| = 1. La norme de ψ est clairement majorée par 1, et
vaut même 1 : on peut s’approcher (sans l’atteindre) de ψ(f ) = 1 avec kf k∞ = 1, avec une fonction
1
à bosses (elle doit être C ∞ ) égale à (−1)n en
pour suffisamment de n.
n
– Exercice 26 : On a bien entendu T continue, avec |||T ||| 6 1 + |a|. Pour montrer que c’est une
bijection, on fixe g ∈ E et on cherche f telle que T (f ) = g. Une analyse-synthèse nous fournit
+∞
X
effectivement un unique antécédent : f (x) =
an g(bn x). Pour le même prix ou à peine plus, on
n=0
8
1
·
1 − |a|
– Exercice 27 : Il est nécessaire et suffisant d’avoir A infini et borné (ce dernier point pour que P soit
borné sur A !). Ensuite, il est nécessaire et suffisant d’avoir a ∈ A pour que P 7→ P (a) soit continue
pour NA .
– Exercice 28 : Avec des majorations banales, on montre que Tg est à chaque fois continue, de norme
majorée par kgk1 pour k k∞ , kgk∞ pour k k1 , et kgk2 pour k k2 . Avec des fonctions adéquates, on
montre même que ces majorants sont à chaque fois la norme de Tg (atteinte dans le dernier cas,
mais pas forcément les deux premiers, si g change de signe).
Z 1
|K(s, t)| ds.
– Exercice 29 : La continuité ne pose guère de problème, avec de plus kT k 6 Sup
a la continuité de T −1 , avec T −1 6
t
0
Cette borne supérieure est en fait un maximum (pourquoi ?), prise en un certain t0 . En prenant
pour f une fonction continue proche (au sens L1 ) de la fonction donnant le signe de s 7→ K(s, t0 ),
on prouve que |||T ||| vaut ce maximum.
– Exercice 30 : Il suffit d’écrire − kf k∞ 6 f 6 kf k∞ et d’appliquer la positivité/croissance de L. On
obtient alors |L(f )| 6 L(1) kf k∞ .
– Exercice 31 : En notant en : t 7→ ent , la relation D(en ) = nen interdit à D d’être continue.
D’une manière générale, toute norme triple d’endomorphisme est supérieure à la borne supérieure
du module de ses valeurs propres (bref : son rayon spectral).
– Exercice 32 : Si ça c’est pas de l’exercice culturel... Si on était en dimension finie, il y aurait quelques
problèmes en regardant la trace de f ◦ g − g ◦ f (désolé...). Ensuite, on tire sans mal 3 de la relation
proposée le résultat suivant : pour tout n ∈ N, f n ◦ g − g ◦ f n = nf n−1 (au passage, cela fournit une
infinité de valeurs propres à un certain opérateur, ce qui prouve également que l’action se passe en
dimension finie). En cas de continuité de f et g, on pourrait donc en déduire :
n f n−1 6 2 |||f ||| |||g||| f n−1 ,
donc f n−1 = 0. Si on prend alors k le plus petit entier tel que f k = 0, la relation f k ◦ g − g ◦ f k =
kf k−1 pose alors problème.
– Exercice 33 : Dans le sens direct, la continuité assure que le noyau (image réciproque d’un fermé)
est fermé, donc égal à son adhérence, qui ne peut donc être égal à tout l’espace. Dans l’autre sens,
par la contraposée, on peut supposer ϕ discontinue. Il existe alors (xn )n∈N telle que xn −→ 0,
n→+∞
avec ϕ(xn ) = 1 pour tout n. Si on fixe z ∈ E, la suite (zn )n∈N définie par zn = z − ϕ(z)xn
est alors à valeurs dans Ker (ϕ) et converge vers z... Enfin, si ϕ est continue et a ∈
/ Ker ϕ, on
prend une suite (an )n∈N à valeurs dans Ker ϕ telle que d(a, an ) −→ d(a, Ker ϕ) > 0. On a alors
n→+∞
|ϕ(a − a − n)| = |ϕ(a)| 6 |||ϕ||| ka − an k −→ |||ϕ||| d(a, Ker ϕ) donc |||ϕ||| >
n→+∞
inégalité était stricte, on disposerait d’un vecteur b tel que |ϕ(b)| >
–
–
–
|ϕ(a)|
kbk. En considérant
d(a, Ker ϕ)
ϕ(a)
b ∈ Ker ϕ, on aurait alors ka − ck < d(a, Ker ϕ) : absurde.
ϕ(b)
Exercice 34 : Dans le sens direct, en supposant T surjective : par translation puis dilatation, il
suffit de montrer que T (B(0, 1)) est d’intérieur non vide. Si on note Te la restriction de T à un
supplémentaire G de Ker (T ), alors Te réalise un homéomorphisme entre G et F . L’image de la
boule unité de G contient alors une boule non triviale de F , et c’est gagné.
Dans l’autre sens c’est plus simple : si l’image de tout ouvert est un ouvert, alors T (B(0, 1)) contient
une boule B(0, ε) et par dilatation, Im (T ) contient tout F .
(x − x0 )n
· Le noyau est dense, mais sa non-fermeture ou
Exercice 35 : Voir par exemple fn (x) =
n
sa densité sont à prouver à la main ! Pour la densité, on peut par exemple enlever à f ∈ E un truc
du genre «petit et dont la dérivée en x0 vaut f 0 (x0 )»...
Exercice 36 : L’unicité est claire. Pour l’existence, on peut s’intéresser au minimum sur le compact
K de l’application continue x 7→ kf (x) − xk...
Exercice 37 : pour le deuxième et le dernier point, utiliser évidemment la caractérisation séquentielle
alors c = a −
–
|ϕ(a)|
· Si cette
d(a, Ker ϕ)
3. Quoi, vous ne l’aviez pas devinée ? quelle honte...
9
–
–
–
–
–
√
de la fermeture. En prenant A = { n | n ∈ N} et B = −A, on a bien A et B fermé mais avec A + B
non fermé (il est même dense !).
Exercice 38 : Revenir à la définition, ou bien utiliser la continuité de (λ, x, y) 7→ λx + (1 − λ)y sur
le compact [0, 1] × K × K.
Exercice 39 : On choisit pour chaque n ∈ N, xn ∈ Kn (et donc dans Kk pour k 6 n). La suite
(xn )n∈N possède alors une valeur d’adhérence X dont on prouve qu’elle appartient à chaque Kn
(puisque celui-ci est fermé et contient xϕ(i) dès que ϕ(i) > n).
1
1
Exercice 40 : Prendre par exemple pour fn un chapeau pointu entre n+1 et n ·
2
2
Exercice 41 : On se place dans un cadre euclidien. Par compacité, il existe un x0 ∈ K de norme
2
minimale. Un dessin doit convaincre que pour tout x ∈ K, <x|x0 >> kx0 k , et si on arrive à le
prouver, il suffira de prendre ϕ : x 7→<x|x0 >. Pour prouver le résultat annoncé, supposant qu’il
2
existe x1 ∈ K tel que <x1 |x0>< kx0 k , soit encore : <x1 − x0 |x0>< 0. Le vecteur x0 + t(x1 − x0 )
appartient alors à K, et est de norme strictement plus petite que kx0 k pour t > 0 assez petit.
Dans le même esprit, que dire de deux convexes compacts ne s’intersectant pas ?
Exercice 42 : Tout d’abord, f est continue et la sphère compacte, d’où l’existence du maximum.
On note dans la suite Sr la sphère centrée en 0 et de rayon r, et xr un point en lequel m(r) est
atteint.
Supposons que rn −→ r et m rϕ(n) −→ l, et montrons que l = m(r).
n→+∞ n→+∞
rn xr −→ f (xr ) = m(r), donc l > m(r).
Tout d’abord, m(rn ) > f
n→+∞
r
Ensuite,on peut extraire de xϕ(n) n∈N une sous-suite xϕ(ψ(n)) n∈N qui converge vers X ∈ Sr . On
a alors m(rϕ◦ψ(n) ) = f (xϕ◦ψ(n) ) −→ f (X) 6 m(r), donc l 6 m(r), et c’est gagné.
n→+∞
Finalement, la suite (m(rn ))n∈N est bornée (pourquoi ?) et a une seule valeur d’adhérence, donc
converge vers cette valeur m(r), et on termine avec la caractérisation séquentielle de la continuité.
– Exercice 43 : L’unicité est claire. Pour l’existence, on fixe X ∈ E, et on définit (xn )n∈N par x0 = X,
et xn+1 = f (xn ) pour tout n ∈ N. On a alors pour tout n ∈ N, kxn+2 − xn+1 k 6 K kxn+1 − xn k ;
on montre alors que cette suite est de Cauchy ; etc...
n
X
Xi
– Exercice 44 : Considérer par exemple Pn =
, de sorte que (Pn )n∈N est de Cauchy, mais ne
2i
i=0
converge pas.
Z x
– Exercice 45 : Écrire f (x) = f (0)+
f 0 (t)dt avant de Cauchy-Schwarziser, ce qui donne le contrôle
0
–
–
–
–
–
–
–
–
–
non trivial de l’équivalence. Mais E n’est pas complet
pour cette norme : approcher uniformément
1 une fonction non dérivable telle que x 7→ x − ·
2
Exercice 46 : Pour k k∞ , c’est du cours (à savoir retrouver, donc...). Pour k k1 , on peut se rapprocher
de χ[0,1/2] ...
Exercice 47 : Observer x 7→ sin(nx). Stone-Weirstrass dit que (E, k k) n’est pas complet ; les
théorèmes usuels sur les suites de fonctions assurent que (E, N
) l’est.
−1
−1
−1
−1
,
donc
a
−
a
=
a
(a
−
a
)
a
Exercice 48 : On a a−1
q
p
n n∈N est de Cauchy ; etc...
q
p
q
p
Exercice 49 : Dans le sens direct, c’est du cours. Pour l’autre sens, on suppose que toute série
absolument convergente est convergente, et on fixe une suite de Cauchy (xn )n∈N . On prouve alors
1
qu’il existe une extraction (xϕ(n) )n∈N telle que pour tout n ∈ N et tout p > ϕ(n), xp − xϕ(n) 6 ·
n
P
La série (xϕ(n+1) − xϕ(n) ) est alors absolument convergente donc convergente, donc (xϕ(n) )n∈N
est convergente, et c’est presque fini.
Exercice 50 : On s’intéresse à l’intersection des Bf (xn , rn ). Les inclusions de boules assurent :
kxn+p − xn k + rn+p 6 rn . La suite (rn )n∈N est convergente donc de Cauchy, donc (xn )n∈N l’est
aussi ; etc...
Exercice 51 : On exhibera une suite bornée sans valeur d’adhérence dans R[X], C([0, 1]), L1 ([0, 1])
et `2 (N) munis de normes à préciser.
Exercice 52 : Hum, n’y aurait-il pas deux normes sur un même espace de dimension finie ?
Exercice 53 : Le lemme (qui n’était pas donné dans l’énoncé initial !) est classique et se prouve par
récurrence sur r.
Exercice 54 : Le caractère ouvert a été vu d’au moins trois façons différentes... La densité peut venir
10
1
par exemple en considérant M + In , qui est une matrice inversible (pour k assez grand, M n’ayant
k
qu’un nombre fini de valeurs propres) tendant vers M lorsque k tend vers +∞. Le complémentaire
de GLn (R) n’est bien entendu pas borné, donc pas trop compact !
– Exercice 55 : Voila un exercice difficile et intéressant ! On peut noter que ϕ : z 7→7→ Diag(z, 1, ..., 1)
est un tel morphisme, ainsi que z 7→ Diag(z α1 , ..., z αk ) ou encore z 7→ P Diag(z α1 , ..., z αk )P −1 , avec
P ∈ GLn (R) fixée.
Réciproquement, fixons un morphisme ϕ. Tous les ϕ(z) commutent, donc sont cotrigonalisables (ben
oui... c’est plutôt un exercice X/ENS...). Comme les ϕ(e2ikπ/N ) sont codiagonalisables (annulés par
un polynôme scindés à racines simples), leur densité dans U et la continuité de ϕ assure que les
ϕ(z) sont codiagonalisables, et c’est presque terminé...
– Exercice 56 : Fermé borné...
1
/ X donc X n’est pas fermé. Pour la fermeture
– Exercice 57 : Tout d’abord, X 3 Jr −→ 0 ∈
n n→+∞
de Y , on prend des Yn ∈ Y convergeant vers Y et on suppose que Y est de rang strictement
plus grand que r. Quitte à ré-indexer, on peut supposer que les r + 1 premières colonnes de Y
sont linéairement indépendantes. Pour chaque n ∈ N, les r + 1 premières colonnes de Yn sont
(n) (n)
(n)
(n)
liées, fournissant une combinaison
linéaire non triviale α1 C1 + · · · + αr+1 Cr+1 = 0. On peut
(n) même imposer : Max αi = 1. Par compacité, on peut extraire une sous-suite du r + 1-uplet qui
i
converge disons vers (α1 , ..., αr+1 ), et on aura alors α1 C1 + · · · + αr+1 Cr+1 = 0 (avec C1 , ..., Cr+1
les premières
colonnes de Y ), et cette combinaison linéaire nulle est non triviale grâce à la condition
(n) Max αi = 1 qui passe à la limite. On se recule un peu et on constate que c’est gagné. Pour la
i
–
–
–
–
densité de X dans Y , on peut se contenter d’approcher toute matrice Jk (pour k 6 r) par une
matrice de rang r, ce qui n’est pas bien difficile.
1
Ak+1 − In ; BAk = B ; BBk = B. Pour les
Exercice 58 : Compacité ; ABk = Bk +
k+1
noyaux et images : deux inclusions plus dimensions. Si Y = AX − X, alors par collisions, Bk Y =
1
Ak+1 Y − Y donc BY = 0. Enfin, la suite (Bk )k∈N est bornée avec une seule valeur propre...
k+1
Exercice 59 : Trigonaliser et se ramener à In par exemple, via l’expression polaire des valeurs
propres. Pour GLn (R), penser au déterminant...
Exercice 60 : On s’approche des triangulaires par des triangulaires à valeurs diagonales toutes
distinctes.
Exercice 61 : L’intérieur est évidemment vide (pas difficile de perturber une matrice vérifiant
M p = I pour que l’une des valeurs propres soit par exemple de module différent de 1...).
Pour l’adhérence, c’est bien plus intéressant (et difficile !) : on montre qu’il s’agit des matrices
diagonalisables à valeurs propres de module 1. Pour une inclusion, on utilise la densité des racines
de l’unité dans U (bref, celle des rationnels dans R).
pN
Dans l’autre sens, si MN −→ M avec MN
= In et λ est une valeur propre de M , alors
N →∞
χMN (λ) −→ χM (λ) = 0. Or |χMN (λ)| > d(λ, U)n (les valeurs propres de MN sont dans U), donc
N →∞
λ ∈ U. Après
avoir cherchéune heure à prouver que M est diagonalisable, j’ai constaté qu’en prenant
2iπ/N
e
1
N
MN =
, on a MN
= I2 et MN tend vers une matrice non diagonalisable !
0
e−2iπ/N
Cela dit, ce contre-exemple un peu travaillé (et la connaissance de la forme de Jordan !) nous assure
qu’on peut tendre vers toute matrice dont le spectre est dans U (et pas forcément diagonalisable).
Ce sont finalement ces matrices qui constituent l’adhérence recherchée.
– Exercice 62 : La condition M n est bien entendu fermée. Si M est nilpotent, alors M est semblable
à une matrice triangulaire supérieure N à éléments diagonaux nuls, et un changement de base de la
1
forme fk := M k ek prouve qu’une telle matrice N est semblable à
N , donc 0 est dans l’adhérence
M
de la classe de similitude de N donc de M .
Réciproquement, si 0 est adhérent à la classe de similitude de M , alors la seule valeur propre
possible pour M est 0 (continuité de M 7→ χM ) donc M est nilpotente.
– Exercice 63 : Ak −→ 0 si et seulement si ρ(A) < 1 ; (Ak )k∈N est bornée si et seulement si ρ(A) = 1,
k→∞
et pour toute valeur propre de module 1, la multiplicité algébrique est égale à la multiplicité
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géométrique. On a presque la même condition nécessaire et suffisante pour avoir la convergence de
(Ak )k∈N : il s’agit d’avoir ρ(A) 6 1, avec comme seule valeur propre de module 1, le réel 1. De
plus, si 1 est effectivement valeur propre, sa multiplicité algébrique doit être égale à sa multiplicité
géométrique (et c’est suffisant).
Il s’agissait plus d’un exercice de réduction...
– Exercice 64 : On se place dans une base adaptée à sa réduction ; on définit un produit scalaire rendant cette base orthonormée, et on travaille sur
Eavec la norme associée à ce produit scalaire. Pour
la norme subordonnée, on a alors ρ(M )k 6 M k 6 P (k)ρ(M )k , et on termine avec l’équivalence
des normes (sur Mn (C)).
12