Apprentissage du nombre et résolution de problèmes au Cycle 1 et

Apprentissage du nombre et résolution de problèmes
au Cycle 1 et en G.S
par Claude Rajain
Formateur en didactique des mathématiques l’IUFM de Châlons en Champagne
L’exposé se déroulera en quatre parties:
o 1) Un rappel historique rapide, afin de justifier les I.O. de 2002 (1/4 d’heure).
o 2) Exposé des grandes questions concernant l’apprentissage du nombre en Maternelle (et
ailleurs).
o 3) Les points clefs de l’apprentissage du nombre: difficultés, obstacles (le tout associé à des
exemples vidéos)…
o 4) La résolution de problèmes: quand? pourquoi? comment?… (mais si le temps le permet…).
1ère partie :
Revenons en arrière:
La réforme des « mathématiques modernes » (I.O. de 1975),
La suppression des activités numériques en Maternelle…
Sur quoi s’appuie ce fait? Qu’ont pensé les pédagogues au moment d’écrire les I.O. de
1975?
D’après PIAGET, trois connaissances sont en jeu:
I- L’inclusion des classes,
II- Les sériations,
III- La conservation des quantités.
1
I- Sur l’inclusion des classes :
Tests piagétien : «Sur ce dessin, y
a-t-il plus de fruits ou plus de
pommes ?».
PIAGET a montré que jusque 7-8
ans les enfants répondent qu’il y a
plus de pommes que de fruits.
Les recherches actuelles tendent à
montrer deux situations opposées
l’une de l’autre :
Certaines « montrent » que cette connaissance n’est pas stable avant 10-11 ans, voire même vers
13-14 ans (Markmann, 1976, Barrouillet, 1993),
D’autres, « montrent » qu’elle est susceptible d’apparaître déjà vers 2-3 ans (Diesendruck &
Shatz, 2001).
Pourquoi une telle différence ?
Parce qui les résultats dépendent de la nature du test lui-même !!!
II- Les sériations:
L’activité consiste à demander à un sujet de ranger (par
exemple du plus petit au plus grand) une série de
bâtonnets,
Puis de placer un bâtonnet au bon endroit (comme
l’indique la figure ci-contre).
Sa réussite probable (vers 6-7 ans) est dites
empirique si l’enfant est guidé par la forme spatiale
de la série, c’est-à-dire par un ajustement entre
l’élément (le bâtonnet qu’il a entre les mains) et
l’aspect perceptif global de la série.
Sa réussite est dite logique quand il est capable de mettre en œuvre la relation (et ceci
également sans la présence effective des bâtonnets) symbolisée de la manière suivante :
[A > B et B > C alors A > C].Les recherches actuelles sont du même type que précédemment :
les performances (logiques) seraient beaucoup plus tardives que PIAGET l’avait imaginées
(12-13 ans, d’après Botson et Delège, 1975).
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III- La conservation des quantités:
Test piagétien : une collection de jetons rouges est en face d’une collection de jetons bleus, on
demande : « Y a-t-il autant de jetons rouges que de jetons bleus ? ».
PIAGET montre que ce n’est que vers 5-7 ans que l’enfant est capable de répondre par l’affirmative
(ou non), quelque soient les dispositions spatiales des objets.
Les recherches actuelles montrent que les enfants seraient « conservants » bien avant cet âge
(3 ans ou 3 ans et demi, DAHAENE, 1992).
Mais ce résultat est également contesté…♦ PIAGET a avancé que la construction du nombre
passait obligatoirement par une « synthèse originale » de ces trois types de tâches (source:
« la genèse du nombre », PIAGET, Eds Delachaux et Niestlé, 1941).Les pédagogues de 1970, en
interprétant PIAGET, pensaient qu’un « avant » s’imposait.
• Ils ont éradiqué les « activités numériques » des programmes de
l’École Maternelle, en faveur d’activités préalables (dites
logiques) : classement, tri, rangement, conservation…
Les analyses faites ci-dessus montrent :
1) Que les performances cognitives de l’être humain ne se mesurent pas aussi facilement
que nos prédécesseurs l’avaient supposé.
2) Que les pédagogues doivent être extrêmement vigilants sur certains résultats de la
psychologie cognitive (ce qui ne fut pas le cas pour ceux qui ont initié la réforme de
1970 : considération dogmatique).
Ce sont les résultats qui opposent les psychologues qui sont à prendre en
compte, plus que ceux qui les rassemblent
(Voir R. Brissiaud, « comment les enfants apprennent à calculer », Eds Retz).
3) Que l’on ne peut plus s’appuyer sur cette « synthèse originale » piagétienne pour mettre
en avant que les « activités logiques », dans leur ensemble, sont un préalable
incontournable aux tâches de types numériques.
4) En fait, il n’y a aucun lien direct entre ces connaissances logiques et la construction du
nombre.
♦ 5) Qu’à partir d’une observation pragmatique des enfants, il est donc possible de proposer,
dès l’École Maternelle, des activités numériques.
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♦ Mais, il faut toujours avoir en tête que c’est une longue période de temps qui sera
nécessaire à la construction du nombre (10 ans…), car la complexité de cette
construction est, elle, certaine.
6) Attention:
En aucun cas les activités dites logiques sont supprimées des apprentissages à
l’école maternelle (on ne peut pas vivre sans trier, voir IO de 2002),
Mais il est nécessaire d’observer:
Que les activités proposées traditionnellement, concernant ces connaissances, ne sont
pas des situations d’apprentissage.
Il s’agit, donc, de reconsidérer les situations relatives à ces connaissances…
2ème partie :
Les grandes questions concernant l’apprentissage…
Ce qui est dorénavant incontournable :
Il y a des apprentissages numériques à l’École Maternelle.
(Voir les compétences sur les I.O. 2002)
Les questions de fond, sont :
Quelles activités et situations sont possibles pour les élèves de PS, MS et GS ?
Pour quels apprentissages ou quelles compétences (pour ceci, voir les I.O. de 2002).
Sous couvert de quelle pédagogie ?
Quels sont les points forts de l’apprentissage du nombre ? quelles difficultés (ou obstacles) vont
rencontrer les élèves de Maternelle ?
Qu’est ce qui ne peut pas être abordé à l’École Maternelle ? (ce sont les prémices… mais de
quoi ?).
Quelles sont les connaissances non-numériques nécessaires et incontournables à la construction du
nombre ? Sous quelles activités vont-elles être abordées ? et quand ?
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BIBLIOGRAPHIE
« Découvrir le monde avec les mathématiques » ; D. Valentin, aux Eds Hatier.
un livre pour les situations P.S. et M.S..
et un livre pour les situations G.S.
« Apprentissages numériques et résolution de problèmes » ; Ermel, GS, aux Eds Hatier.
« Des situations pour apprendre le nombre, au Cycle 1 et GS » ; L. Ney, C. Rajain, E.
Vaslot, au CDDP, (à paraître début janvier 2007)…
« Les activités mathématiques en maternelle » ; J. Briand, M. Loubet, M.H. Salin, CD-Rom,
aux Eds Hatier.
Egalement :
« J’apprends le nombre dès l’Ecole Maternelle », cassette VHS, produit par le CRDP de
Dijon.
Les activités sont plus des « tests d’évaluation » que des activités d’apprentissage, mais c’est
intéressant pour cerner les points forts de l’apprentissage..
Les différentes parties concernant la construction du nombre:
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Réponses aux questions concernant les parties 1 et 3:
Le sens du nombre: « le nombre ça sert à quoi? »,
C’est en pratiquant et en utilisant le nombre que l’on apprend le nombre…
Le nombre, il sert à (3 points fondamentaux):
Mémoriser les quantités, pour construire des collections « équipotentes » sans la présence explicite
de la collection de référence….
Comparer les quantités, sans la présence explicite de celles-ci…
Agir sur les quantités, sans la présence explicite de celles-ci (à les transformer, anticiper sur leur
réunion, les partager). Donc, à calculer…
Concernant les procédures:
Les procédures, mises en œuvre par les élèves, doivent être « débrouillardes », «personnelles »..
Aucune procédure experte ne doit être introduite…
Aucune introduction de signes conventionnels (autres que les chiffres, le moment venu).
Les supports et les milieux organisés doivent, le plus souvent, être composés de matériels
effectifs.
Les moments réservés à la feuille de papier (espace graphique) doivent être rares et ciblés (travail
en autonomie, par exemple)…
Tout ceci dans des tâches (constitutives des situations), qui :
Forcent les opérations mentales, en mettant à distance les procédures sensori-motrices…
A ce sujet: une réflexion doit être menée sur:
- La manipulation,
- Les activités « ludiques » (le jeu à la maternelle)…)
Paradoxe didactique: Les élèves ne peuvent pas se passer de manipuler, mais
quand ils manipulent ils n’apprennent pas…
C’est la gestion conscientisée de ce dilemme qui fonde la « situation-problème »…
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Un exemple fondamental: « la situation des … voleurs, les lutins,... le robot, … etc.… »
Consigne: « il faut aller chercher juste ce qu’il faut de jetons, au retour il doit y avoir un jeton dans chaque
gobelet et pas de gobelet vide… »
Les variables de la situation: (la situation se propose en PS, MS, GS, CP)
Le nombre de gobelets (ce nombre est à adapter en fonction des capacités des élèves
(var. pédagogique), mais également pour faire évoluer les procédures (var.
didactique): collections-témoins, puis nombres).
Le nombre d’allers et retours (3, puis 2, puis 1).
La distance spatiale et temporelle entre les deux collections.
L’organisation et le choix du matériel (gobelets, quadrillage en robot, grappes de
raisin, wagons de voyageurs, coccinelles, etc…).
Le type de communication (élève seul, un banquier, par oral, par écrit)…
Sur les activités ludiques:
Se reporter au texte « les 7 malentendus de la maternelle » de R. Goigoux (texte accessible par le lien
suivant : http://www.ac-nancy-metz.fr/ia54/ienbriey1/doc_peda/ens_app/Epep_malentendus.doc
où il dit (entre autre!):
« Beaucoup cherchent à enjoliver les situations en maternelle, afin de les rendre plus motivantes […].
Et c’est ainsi que certains élèves s’appliquent à colorier des étoiles et à tracer des chemins sur la
piste du cirque entre les lions et leurs tabourets, alors que d’autres, sur le même matériel, s’attachent
à réussir des activités de dénombrement et de correspondance terme à terme. Les premiers traitent la
surface des problèmes alors que les seconds en abstraient leur structure logico-mathématique. »
Le jeu est-il le meilleur moyen pour faire apprendre les élèves de l’école maternelle?
Rien n’est moins certain…
L’école maternelle se doit de garder ce « champ de liberté » qui est le sien, mais
elle doit également garantir l’apprentissage, seul moyen pour traiter les inégalités
sociales….
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3ème partie : les points clefs,
les difficultés sur l’apprentissage du nombre
La chaîne orale: la suite des mots-nombres.
Le comptage-dénombrement: la réponse à la question « combien? ». Les différents principes..
Les collections-témoins: les doigts et les autres…
La reconnaissance globale de certaines quantités..
La structuration des quantités: la logique du calcul.
Le passage de la logique du comptage à la logique du calcul: quand? Comment?…
Le comptage comme obstacle au calcul…
La chaîne écrite: la suite écrite des nombres.
La chaîne orale: les codes oraux[un], [deux],
[trois],
[quatre],
[cinq],
[six],
… etc
suivant
- il y a la suite en chapelet : tous les mots sont attachés (l’enfant récite sans pouvoir « sectionner »),
- la suite non-sécable : les mots sont distincts, l’élève peut « repartir » si l’adulte lui fournit une
« amorce »,
- la suite sécable : les mots sont distincts et l’enfant est capable de partir d’un mot différent de
[un]], seul.
La suite peut ne pas être stable…
Le manque de régularité dans la suite des mots implique des difficultés d’apprentissage (les
japonais ont moins de difficulté).
C’est une connaissance langagière,
Le comptage-dénombrement: c’est l’association de la récitation de la C.O.(chaîne orale) et du
pointage du doigt, afin de désigner une quantité par un mot-nombre.
Les 4 principes:
P1 (Pss(n)): C’est le principe de suite stable, c’est avoir acquis une récitation stable et conventionnelle
de la C.O..
P2 (Pbi(n)): Le principe de bijection, c’est avoir acquis l’association convenable du mot et du pointage
du doigt, et le mot consécutif avec un objet non encore pointé.
P3 (Pca(n)): C’est le principe cardinal, c’est associer le dernier mot-nombre prononcé à la quantité.
P4 (Poq(n)): Le principe d’ordre quelconque, c’est affirmer que le mot-nombre prononcé ne dépend pas
de l’ordre de pointage…
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Les collections-témoins:
Ce sont des collections particulières qui permettent de communiquer des quantités (d’une
manière analogique), la communication étant non-verbale.
Exemples : les doigts, les points d’un dès, des collections de points,… etc..
Cette pratique est importante et semble, chez l’enfant, être relativement précoce (« je veux ça de
bonbons », dit-il en montrant 3 doigts).
9
Comment communiquer une quantité ?...
1)
Les propriétés qualitatives sont présentes,
•
2)
•
•
•
•
•
Les propriétés qualitatives disparaissent, c’est une collection témoin…
1
3)
•
2
3
4
5
6
7 
8
9
Les codes chiffrés apparaissent, mais la « quantité visuelle » est présente… encore…
4)
7 Enfin.. la « condensation » en une écriture unique s’opère. Mais le passage de 3) à 4)
est un obstacle.
La reconnaissance globale des quantités :
• C’est associer une quantité à un mot-nombre, sans utiliser explicitement le comptagedénombrement.
• C’est possible pour une quantité allant jusqu’à 3 ou 4…
• C’est une liaison : Quantité
Oral, mais elle peut se faire avec des collections-témoins.
La structuration des quantités :
C’est, au-delà de 3 ou 4, décomposer la collection en sous-collections, les associer à des mots-nombres,
et activer un mot-nombre en mémoire à long terme (M.L.T.) qui correspond à la quantité globale.
C’est le passage de la logique du comptage à la logique du calcul….
Quand le carton est montré suffisamment
vite, l’élève doit dire: « j’ai vu 4 et 3 ».
Et l’enseignant d’ajouter:
« Oui, c’est bien, tu as vu aussi 7 »
Les trois intervalles sur lesquels opère la « pensée du nombre » d’une manière différente :
L’intervalle des petits nombres : I1 = [1, p], p valant 3 ou 4.
Sur cet intervalle, la reconnaissance globale doit se mettre en place rapidement.
L’intervalle des nombres familiers : I2 = [p, n],
n valant 4 ou 5, puis 5 ou 6, puis 6 ou 7, puis 7 ou 8, puis … etc…..
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Sur cet intervalle, la logique du calcul doit prendre la place de la logique du comptage, n devient de
plus en plus grand….
L’intervalle des grands nombres : I3 = [n, [.
Sur cet intervalle, le comptage est prépondérant, il permet d’accéder à la quantité avec une fiabilité
de plus en plus sûre. I2 doit prendre la place de I3.
Sur cet intervalle, le comptage est un accélérateur d’apprentissage…
Le passage à l’écriture chiffrée:
La chaîne écrite: c’est la suite écrite des nombres, les codes écrits: .1, 2, 3, ………9, 10,
11,……20, 21… etc?,
Cette suite est « concrétisée » par la « bande numérique »
Exemple (début en M.S., puis systématisée en G.S.):
La B.N. doit être à la disposition des élèves, et utilisée dans des situations de communication
(émetteur / récepteur)….
Le triangle fondamental:
Les quantités
1
2
Les collections-témoins
Les codes
oraux
3
Les codes écrits
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Toute « hypertrophie » d’un sommet au détriment des deux autres, crée des obstacles dans les
apprentissages.
Ce sont les interactions entre les sommets qui sont sources d’apprentissage, exemple:
- La flèche 2: elle impose de mettre en correspondance systématiquement les codes écrits et la
quantités qu’ils sont censés représenter.
- La flèche 3: le lien entre les codes oraux et codes écrits est complexe (pourquoi certains élèves:
trente et un 301)
Les compétences concernant le cycle 1 et 2 (GS) :
DES QUANTITÉS ET AUX NOMBRES ; Être capable de :
C1 - Comparer des quantités en utilisant des procédures non numériques ou numériques ;
C2 - Réaliser une collection qui comporte la même quantité d'
objets qu'
une autre collection (visible
ou non, proche ou éloignée) en utilisant des procédures non numériques ou numériques, oralement
ou avec l'
aide de l'
écrit ;
C3 - Résoudre des problèmes portant sur les quantités (augmentation, diminution, réunion,
distribution, partage) en utilisant les nombres connus, sans recourir aux opérations usuelles.
C4 - Reconnaître globalement et exprimer de très petites quantités (de un à trois ou quatre) ;
C5 - Reconnaître globalement et exprimer des petites quantités organisées en configurations connues
(doigts de la main, constellations du dé) ;
C6 - Connaître la comptine numérique orale au moins jusqu'
à trente ;
C7 - Dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ;
C8 - Associer le nom des nombres connus avec leur écriture chiffrée en se référant à une bande
numérique.
4ème partie: la résolution de problèmes
A ce sujet, une réflexion s’impose :
•
•
Pourquoi les élèves ont beaucoup de difficultés à résoudre des problèmes à l’école
élémentaire (tous les cycles confondus) ? Voir les Évaluations Nationales (CE2 et 6ème) et
Européennes (PISA).
Pourquoi cette partie de l’activité mathématique correspond, pour la majorité des élèves, à
un moment difficile, pénible, sans sens et surtout sans enjeu ?
La réponse est à la fois simple et complexe::
•
•
Parce que les élèves ne résolvent pas de véritables problèmes à l’école,
Parce que le contrat inhérent à la résolution de problème n’est pas correctement initié entre
l’enseignant et les élèves.
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Tout ce qui « tourne » autour de la résolution de problème c’est:
la recherche: « sentir » que l’on peut faire des essais, les procédures peuvent et doivent être
diversifiées (dès le Cycle 1),
Entrer en action sur le réel, certes, mais surtout anticiper, par une « opération mentale », une
action ou une procédure future, à l’imaginer possible avant de la réaliser (dès le Cycle 1),
Argumenter par le langage, c’est apprendre à débattre mais en utilisant des arguments
mathématiques (Cycles 2 et 3)
C’est se confronter à la validation théorique, avant la validation pratique (ça peut
commencer au Cycle 1)
C’est s’entraîner … mais à bon escient (Cycles 2 et 3)… etc.!
•
•
Parce que ce contrat n’est pas toujours bien intégré et reconnu comme essentiel par beaucoup
d’enseignants eux-mêmes.
Parce que la « manipulation » est une action sur le réel, pour l’élève, qui reste longtemps
ambiguë (en d’autres termes, quels sont, pour l’enseignant et l’élève, les enjeux et les finalités de la
manipulation ?).
Donnons quelques exemples de problèmes présentés aux élèves du Cycle 1 et de G.S.
Exemple 1: en PS et MS; Les lutins
Etape 1: lancer le dé, reconnaître le bonnet, le
couvrir avec des jetons.
Etape 2: lancé le dé, reconnaître le bonnet, aller
chercher loin les jetons qui conviennent.
Variables: la disposition des points sur les
bonnets…Et bien d’autres…
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Exemple 2: MS; Le chapeau.
Etape 1: Après avoir dénombré les cadeaux ou les pions, un chapeau vient cacher une
partie de la collection.
Les élèves doivent deviner le nombre d’objets qui sont cachés….
Etape 2: Ils doivent également aller chercher des jetons, pareil… pas plus, pas moins…
que les pions qui sont cachés
validation.
Cette situation relève de la structure « additive et soustractive »:
Ei= nombre de pions
T- = nombre de pions disparus
Ef= nombre de pions visibles
Exemple 3: MS et GS; Les camions
Il s’agit de placer n cubes dans p camions,
Mais il ne faut pas que chaque camion soit trop lourd: pas plus de b cubes, mais pas trop légers, pas
moins de a cubes.
Choisir: a, b, n, p tels que: 0 < a < b et p.a n p.b.
Exemple: a = 2, b = 5, p = 7 et n = 25.
Une solution: 4, 4, 3, 5, 5, 2, 2… et bien d’autres encore!!!
Exemple 4: MS, GS: Le repas des souris.
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Il s’agit de donner à manger à p souris (représentées par des barquettes).
Il y en a n morceaux de fromage (représentés par des cubes).
Mais toutes les souris doivent manger la même chose, aucune ne doit être favorisée!!!
C’est un partage équitable…
Exemple 5: TPS, PS, évolution en MS et GS; la boîte des absents (resp. des présents)...
Ce matin, il y a
ça d’absents!…
Et ça c’est…
[quatre]!…
Le matin: les élèves lèvent un doigt à chaque absent (attention: ils ne comptent pas, ils
lèvent un doigt).
Puis, ils montrent la quantité des absents (symbolisée par une collection-témoin).
Puis, ils désignent la quantité par un mot-nombre (avec l’aide de l’enseignant, si
nécessaire).
Puis (en MS), ils vont chercher l’étiquette-nombre qui correspond et la place dans la boîte
(réservée à cet effet).
Fin…..
A vous de voir!!!!
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