Sujet 1

Sujet 1
Problème 1 [2p] Lors d’une course de chevaux, il y a 10 chevaux au départ.
Combien de possibilités pour le tiercé ?
Il faut choisir 3 chevaux parmi 10, et l’ordre compte. Il y a 10 possibilités pour
le premier cheval, 9 pour le deuxième, 8 pour le troisième, soit 10×9×8 = 720
possibilités.
Problème 2 [2p] On joue au loto avec 10 boules. Combien y-a-t-il de grilles
possibles s’il faut cocher 4 cases ?
4
Il faut choisir 4 cases parmi 10 et l’ordre ne compte pas. Il y a donc C10
= 210
grilles possibles.
Problème 3 [4p] On dispose d’un jeu de 32 cartes ordinaire. On choisit 5
cartes dans ce jeu.
1. Quelle est la probabilité d’avoir une paire d’as ?
2. Quelle est la probabilité d’avoir un carré de rois ?
1. Il faut avoir 2 as (parmi 4) et 3 autres cartes (parmi 28):
p=
3
C42 C28
6 × 3276
351
=
=
≈ 0, 097
5
C32
201376
3596
2. Il faut avoir 4 rois (parmi 4) et 1 autre carte (parmi 28):
p=
1
C44 × C28
28
1
=
=
≈ 0, 00014
5
C32
201376
7192
Problème 4 [3p] On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
1. Quelle est la probabilité d’avoir le roi de trêfle ?
2. Quelle est la probabilité d’avoir soit un roi, soit un trêfle ?
3. Quelle est la probabilité d’avoir le roi sachant que c’est un trêfle ?
1. Il y a 1 roi de trêfle sur 32 cartes, la probabilité est donc de
1
32
2. Il y a 4 rois et 8 trêfles. On a donc
p( roi ou trêfle) = p(roi ∪ trêfle) = p(roi) + p(trêfle) − p(roi de trêfle)
4
8
1
11
=
+
−
=
32 32 32
32
3. Parmi les 8 trêfles, il y a 1 roi, soit une probabilité de 18 . On pouvait
le trouver en utilisant la formule:
p( roi / trêfle) =
p(roi de trêfle)
=
p(trêfle)
1
32
8
32
=
1
8
Problème 5 [6p] Une population est composé de 47% d’hommes et de 53%
de femmes. On suppose que 5 % des hommes et 1 % des femmes sont daltoniens. On choisit une personne au hasard.
1. . Quelle est la probabilité qu’elle soit daltonienne ?
2. Quelle est la probabilité qu’elle soit un homme sachant qu’elle est daltonienne ?
3. Quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas daltonienne sachant que c’est
une femme ?
On a le tableau suivant:
homme
femme
daltonien
0, 47 × 0, 05 = 0, 0235 0, 53 × 0, 01 = 0, 0053 0, 0288
pas daltonien 0, 47 × 0, 95 = 0, 4465 0, 53 × 0, 99 = 0, 5247 0, 9712
0, 47
0, 53
1
On peut maintenant répondre aux questions:
1. p(daltonien) = 0, 0288
2. On a
p( homme / daltonien ) =
p( homme daltonien)
0, 0235
=
≈ 0, 0816
p(daltonien)
0, 0288
3. On a
p( pas daltonienne / femme ) =
p( femme non daltonienne)
0, 5247
=
= 0, 99
p(femme)
0, 53
On pouvait trouver ce résultat directement; 1% des femmes sont daltoniennes donc 99% ne le sont pas.
Problème 6 [3p] Dans un atelier, le nombre d’accidents au cours d’une
année suit une loi de Poisson de paramètre 3. Quelle est la probabilité qu’il
y ait 4 accidents ou plus ?
P (X ≥ 4) = 1 − P (X < 4)
= 1 − (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3))
0
3 −3 31 −3 32 −3 33 −3
= 1−
e + e + e + e
0!
1!
2!
3!
≈ 1 − (0, 04978706837 + 0, 1493612051 + 0, 2240418077 + 0, 2240418077)
≈ 1 − 0, 6472318888 = 0, 3527681112
Sujet 2
Problème 1 [2p] Lors d’une course de chevaux, il y a 10 chevaux au départ.
Combien de possibilités pour le quarté ?
Il faut choisir 4 chevaux parmi 10, et l’ordre compte. Il y a 10 possibilités
pour le premier cheval, 9 pour le deuxième, 8 pour le troisième, 7 pour le
quatrième, soit 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 possibilités.
Problème 2 [2p] On joue au loto avec 10 boules. Combien y-a-t-il de grilles
possibles s’il faut cocher 3 cases ?
3
Il faut choisir 3 cases parmi 10 et l’ordre ne compte pas. Il y a donc C10
= 120
grilles possibles.
Problème 3 [4p] On dispose d’un jeu de 32 cartes ordinaire. On choisit 5
cartes dans ce jeu.
1. Quelle est la probabilité d’avoir une paire de rois ?
2. Quelle est la probabilité d’avoir 5 cartes à carreau ?
1. Il faut avoir 2 rois (parmi 4) et 3 autres cartes (parmi 28):
p=
3
6 × 3276
351
C42 C28
=
=
≈ 0, 097
5
C32
201376
3596
2. Il faut choisir 5 cartes parmi les 8 carreaux:
p=
C85
56
1
=
=
≈ 0, 00027
5
C32
201376
3596
Problème 4 [3p] On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
1. Quelle est la probabilité d’avoir la dame de carreau ?
2. Quelle est la probabilité d’avoir soit une dame, soit un carreau ?
3. Quelle est la probabilité d’avoir la dame sachant que c’est un carreau ?
1. Il y a 1 dame de carreau sur 32 cartes, la probabilité est donc de
1
32
2. Il y a 4 dames et 8 carreaux. On a donc
p( dame ou carreau) = p(dame ∪ carreau) = p(dame) + p(carreau) − p(dame de carreau)
4
8
1
11
=
+
−
=
32 32 32
32
3. Parmi les 8 carreaux, il y a 1 dame, soit une probabilité de 18 . On
pouvait le trouver en utilisant la formule:
p(dame de carreau)
p( dame/ carreau ) =
=
p(carreau)
1
32
8
32
=
1
8
Problème 5 [6p] Une population est composé de 45% d’hommes et de 55%
de femmes. On suppose que 4 % des hommes et 2 % des femmes sont daltoniens. On choisit une personne au hasard.
1. Quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas daltonienne ?
2. Quelle est la probabilité qu’elle soit un femme sachant qu’elle est daltonienne ?
3. Quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas daltonienne sachant que c’est
un homme ?
On a le tableau suivant:
homme
femme
daltonien
0, 45 × 0, 04 = 0, 0180 0, 55 × 0, 02 = 0, 011 0, 029
pas daltonien 0, 45 × 0, 96 = 0, 4320 0, 55 × 0, 98 = 0, 539 0, 971
0, 45
0, 55
1
On peut maintenant répondre aux questions:
1. p(pas daltonienne) = 0, 971
2. On a
p( femme / daltonien ) =
0, 011
p( femme daltonienne)
=
≈ 0, 37
p(daltonien)
0, 029
3. On a
p( pas daltonienne / homme ) =
p( homme non daltonien)
0, 4320
=
= 0, 96
p(homme)
0, 45
On pouvait trouver ce résultat directement; 4% des hommes sont daltoniens donc 96% ne le sont pas.
Problème 6 [3p] Dans un atelier, le nombre d’accidents au cours d’une
année suit une loi de Poisson de paramètre 6. Quelle est la probabilité qu’il
y ait 4 accidents ou plus ?
P (X ≥ 4) = 1 − P (X < 4)
= 1 − (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3))
0
6 −6 61 −6 62 −6 63 −6
= 1−
e + e + e + e
0!
1!
2!
3!
≈ 1 − (0, 002478752177 + 0, 01487251306 + 0, 04461753919 + 0, 08923507837)
≈ 1 − 0, 1512038828 = 0, 8487961172