Examen de décembre 2005 - Université Paris-Est Marne-la

Université de Marne-la-Vallée, Master 2ème année IMIS
Cours : Processus stochastiques niveau 2, C. Cocozza
EXAMEN
Décembre 2005, durée : 4 heures
Documents de cours autorisés mais livres interdits
On appelle système d’équations de renouvellement un système d’équations
de la forme
X
∀i ∈ C, fi = gi +
fj ∗ ρi,j ,
j∈C
où les ρi,j sont des mesures positives portées par R+ , les fi et gi des fonctions
positives définies sur R+ . Les fonctions fi sont inconnues, les fonctions gi et
les mesures ρi,j sont connues.
On considère un processus markovien de sauts (Xt )t≥0 à valeurs dans E
(ensemble fini ou dénombrable), de matrice génératrice A. On pose q(i) =
|A(i, i)|. On suppose que supi∈E q(i) < +∞ et que q(i) > 0 pour tout i.
Soit B ⊂ A. On note UB la première durée de séjour dans B lorsque la loi
initiale est portée par B. On suppose que pour tout i ∈ B, UB est fini Pi
presque-sûrement. On veut calculer la loi de UB et pour cela sa fonction
de répartition. On pose Gi (t) = Pi (UB ≤ t) pour i ∈ B et on cherche un
système d’équations reliant les fonctions Gi .
Première partie
On note T1 le premier instant de saut du processus (Xt )t≥0 .
On a, pour i ∈ B :
X
X
Pi (UB ≤ t) =
Pi (UB ≤ t, XT1 = j) +
Pi (UB ≤ t, XT1 = j, T1 ≤ t)
j∈B c
=
X
j∈B
Pi (UB ≤ t, XT1 = j)
j∈B c
+
X Z
t
Pi (UB ≤ t / XT1 = j, T1 = v) A(i, j) e−q(i) v dv.
j∈B,j6=i 0
1) Justifier ces égalités (on ne demande pas une démonstration rigoureuse
de la deuxième mais des arguments ressemblant à ceux donnés à certains
endroits du cours) .
2) Poursuivre le calcul pour obtenir un système d’équations de renouvellement satisfait par les Gi , i ∈ B.
3) On note G̃i la transformée de Laplace de Gi . Montrer que
∀ i ∈ B,
G̃i (s) =
X
j∈B c
X
A(i, j)
+
s(s + q(i))
j∈B:j6=i
A(i, j)
G̃j (s).
q(i) + s
(1)
Deuxième partie
On veut obtenir les équations précédentes par la méthode d’uniformisation. On se donne λ ≥ supi∈E q(i) et on pose P = I + A
λ où I est l’identité.
On considère la chaine de Markov Y = (Yn )n≥0 de matrice de transition P
et un processus de Poisson S = (Sn )n≥1 de paramètre λ, indépendant de la
1
chaine Y . On pose ν = inf{n : n ≥ 1, Yn ∈ B c }. On admet que pour i ∈ B
et n ≥ 1,
X
X
Pi (ν = n) =
P (i, j) 1{n=1} +
P (i, j)Pj (ν = n − 1).
j∈B c
j∈B
On note Eλ la densité de la loi exponentielle de paramètre λ.
1) Montrer que pour tout i ∈ B et t ≥ 0
X
X
Gi (t) = (1 − e−λ t )
P (i, j) +
P (i, j) (Gj ∗ Eλ )(t).
j∈B c
j∈B
2) En déduire (1).
Troisième partie
On prend E = {1, 2, 3, ∆}, B = {1, 2, 3},
A(1, ∆) = α1 ≥ 0,
A(2, ∆) = β1 > 0,
A(1, 2) = α2 > 0,
A(2, 3) = β2 > 0,
A(1, 3) = α3 > 0,
A(3, ∆) = γ1 > 0,
A(3, 2) = γ2 > 0.
On pose α = α1 + α2 + α3 , β = β1 + β2 , γ = γ1 + γ2 .
1) Montrer s2 + s(β + γ) + β γ − β2 γ2 = (s + s1 )(s + s2 ). où s1 et s2 sont
deux réels strictement positifs. On les suppose différents de α.
2) Montrer que G̃1 peut se mettre sous la forme
G̃1 (s) =
c1 s + c2
α1
+
.
s(s + α) s(s + α)(s + s1 )(s + s2 )
Expliciter c1 et c2 .
3) En déduire la loi de UB sous P1 en fonction de α, α1 , c1 , c2 , s1 , s2 .
Dans la suite on note mi la loi de UB sous Pi .
Quatrième partie
On reprend les notations précédentes et celles du cours. D’autre part on
note Erl(n, λ) la loi d’Erlang d’ordre n et de paramètre λ, c’est-à-dire la loi
de la somme de n v.a. indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ.
Construire un processus markovien de saut et des ensembles B et B c tels
que la suite des instants successifs d’entrée dans B c et B forment
1) un processus de renouvellement alterné non modifié tel que ν1 = m1 et
ν2 = Erl(3, µ) (tracer le graphe et donner la loi initiale).
2) un processus de renouvellement alterné non modifié tel que ν1 = m1 et
ν2 = p E(µ1 ) + (1 − p)Erl(2, µ2 ) (tracer le graphe et donner la loi initiale).
3) un processus de renouvellement alterné modifier tel que ν0 = m1 , ν1 =
q1 m1 +q2 m2 +q3 m3 (qi ≥ 0, q1 +q2 +q3 = 1), ν2 = p E(µ1 )+(1−p)Erl(2, µ2 )
(dites ce qui est modifié par rapport à la question précédente mais ne pas
tracer le nouveau graphe qui serait trop enchevêtré).
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