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Les équations de contrainte de la Relativité Générale
et certaines théories de gravité généralisées
X. LACHAUME
Laboratoire de Mathématiques et de Physique Théorique
Université de Tours
VERSION DEPOSÉE SUR LES SERVEURS DU CNRS
Résumé
Les équations de la Relativité Générale RG, Gµ‹ = ŸTµ‹ , doivent en partie
leur élégance au fait qu’elles sont covariantes. Le temps n’y est pas exprimé
indépendamment, mais mêlé aux trois dimensions spatiales. Si cette formulation
covariante présente de grands avantages pour l’étude physique de la RG, elle ne
permet pas d’appréhender la structure en termes d’EDP de ses équations, et
encore moins de les résoudre numériquement. La mise à part du temps, qui
permet de se ramener à un système hyperbolique et à l’étude de son problème
de Cauchy, se traduit par des contraintes sur la définition d’une donnée initiale
de ce problème (cf. [1], [2]), nommées équations de contrainte.
Dans un premier temps, nous verrons que ces équations, sous-déterminées,
peuvent être réduites en un système elliptique dont la résolution dépend d’hypothèses sur la géométrie du problème (cf. eg. [3]).
Dans un deuxième temps, nous exposerons quelques théories de gravité qui
généralisent la RG en élargissant sa formulation covariante : les théories f (R)
et tenseur-scalaire (cf. [4]), et les théories de Lovelock (cf. [5]). Nous nous demanderons si ces théories ont des équations de contrainte munies des mêmes
propriétés que celles, bien étudiées, de la RG.
Mots clés. Relativité Générale. Équations de contrainte. Équation de Lichnerowicz.
Théories tenseur-scalaire. Théories f (R). Théorème de Lovelock.
Références
[1] Y. Fourès(Choquet)-Bruhat, Théorème d’existence pour certains systèmes
d’équations aux dérivées partielles non linaires, Acta Mathematica, v88, pp141–
225, 1952.
[2] R. Bartnik and J. Isenberg, The constraint equations, in 50 Years of the
Cauchy Problem, in honour of Y. Choquet-Bruhat, arXiv :gr-qc/0405092, 2003.
[3] M. Dahl, R. Gicquaud and E. Humbert, A limit equation associated to the
solvability of the vacuum Einstein constraint equations using the conformal method, Duke Math. J., v161, n14, pp2669–2697, 2012.
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[4] T. Sotiriou and V. Faraoni, Theories of Gravity f (R), Rev. Mod. Phys., v82,
p451, 2010.
[5] D. Lovelock, The Einstein Tensor and Its Generalizations, Journal of Mathematical Physics, v12, n3, 1971.
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