Fiche d`exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions
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Fiche d`exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions
Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité Exercice 3 Exercice 1 On considère la fonction f définie sur [ 3 ; + ∞ [ par : f(x) = E(x) pour x ∈ [3 ; 4[ 1 f(x) = – x + 4 pour x ∈ [ 4 ; + ∞ [ 4 a. Tracer la représentation graphique de cette fonction dans un repère orthonormal du plan. b. Cette fonction est-elle continue sur [3 ; + ∞ [? Pourquoi ? Exercice 2 La fonction donnée ci dessous représente une fonction définie sur [0 ;4]. Exercice 4 1. a. Donner le tableau de variation de f. b. La fonction f est-elle continue sur [0 ; 4] ? 2. a. Sur l’intervalle [2 ; 4], pour résoudre l’équation f (x ) = 3 , quel théorème peut2 on appliquer et pourquoi ? b. En appliquant ce théorème à l’intervalle [2 ; 4], montrer que l’équation f (x ) = 3 admet une unique solution α. 2 c. Donner une valeur approchée de α. 1/8 Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours particuliers - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87 Etude de fonctions - Problème de synthèse Dérivabilité Exercice 8 Exercice 5 Etudier les variations de chacune des fonctions suivantes après avoir précisé les ensembles de définition et de dérivabilité. a. f (x ) = (x − 1)2 (x + 1)3 b. f (x ) = 1 (4 − 5x )3 ( ) e. f (x ) = x 4 − x 2 + 1 f. f (x ) = ( 1 ) x x −1 3 2 3x − 1 g. g(x ) = 2x − 4 3 c. f (x ) = (x + 1)3 (x − 1)2 d. f (x ) = 2x 2 − 3x + 1 h. f (x ) = x x − 1 i. f (x ) = 4 j. f (x ) = x2 x2 +1 x 2 −1 x2 +1 Exercice 6 Exercice 9 Exercice 7 2/8 Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours particuliers - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87 Exercice 10 Exercice 14 1. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa fonction dérivée : Exercice 11 Soit f la fonction définie par : f (x ) = x 2 − x 3 1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f. 2. Démontrer que f est continue sur Df. 3. Etudier la dérivabilité de f en 0. Donner une interprétation graphique du résultat. Exercice 12 On donne f la fonction définie par : a. f est définie sur ℝ par f(x) = (x3 – 2)2 b. g est définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = 3x + 1 1 c. h est définie sur [0 ; +∞[ par h(x) = 5x + 3 2. Déterminer les dérivées de chacune des fonctions suivantes : a. f : x a x2 – 1 sur [2 ; +∞[ 3 1 b. h : x a – 2x sur ℝ* x 3. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition et l’ensemble sur lequel elle est dérivable. Déterminer alors la dérivée de chacune d’elles. 1 a. f(x) = x² – b. g(x) = (2x + 3) 3x – 5 x x² + 7 1 d. k(x) = c. h(x) = x² – x – 6 (5x² – 3)3 e. m(x) = (2x3 + 3x – 1)4 f. n(x) = x4 + x2 + 1 3 4. On pose : g(x) = 2x + x – 2. a. Etudier les variations de g. b. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet dans ℝ une solution unique α. c. Déterminer une valeur approchée de α à 10-2 près. d. Etudier le signe de g(x) selon les valeurs de x. x2 − 4 f (x ) = x −2 1. Déterminer l’ensemble de définition D de f. 2. Ecrire f sans valeur absolue 3. Démontrer que f est continue sur D. 4. Représenter la courbe représentative de f. Exercice 15 Exercice 13 On considère la fonction suivante définie D = ]-2 ; 1 [ f (x ) = E (x ) sin(x ) E désignant la fonction partie entière Etudier la continuité de f sur D. 3/8 Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours particuliers - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87 Exercice 16 Exercice 17 On considère la fonction h définie par : h(x) = 2x3 – 3x2 – 12x. 1. Dresser le tableau de variation de h. 2. Pour k réel donné, étudier le nombre de solutions dans ℝ de l’équation h(x) = k. 3. Démontrer que l’équation h(x) = 8 a une solution unique α. Donner un encadrement de α à 10-2 près. Exercice 18 4/8 Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours particuliers - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87 Exercice 19 Exercice 21 Exercice 20 Exercice 22 5/8 Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours particuliers - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87 Exercice 23 Exercice 25 Exercice 24 6/8 Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours particuliers - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87 Exercice 27 Exercice 26 Exercice 28 Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x ) = 3(x − 1)3 et soit C sa courbe représentative 3x 2 + 1 dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’unité 1cm. 1. Montrer qu’il existe un unique triplet de réels (a ; b ;c) que l’on déterminera, tel que pour tout x réel x : cx f (x ) = ax + b + 2 3x + 1 2. Déterminer les limites de f en -∞ et en +∞. 3. Montrer que f est dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée. 4. Dresser le tableau des variations de f. 5. Donner l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer A, T et la courbe C. 6. Montrer que l’équation f(x) = 1 a une solution unique dans ℝ. On notera α cette solution. Donner une valeur approchée de α à 10-2 près par excès. 7/8 Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours particuliers - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87 Annales baccalauréat Exercice 29 (Métropole 21 Juin 2012) 8/8 Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours particuliers - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87