COMPRENDRE : Lois et modèles

COMPRENDRE : Lois et modèles
Temps , mouvement et évolution
Partie A : Temps cinématique et dynamique Newtonienne
(Forces, lois de NEWTON, mvt rectiligne, circulaire, parabolique, de satellites (lois de Képler))
Les savoir-faire
1- La mécanique de Newton ( Résumé )
Choisir un système, choisir les repères d'espace et de temps, faire l'inventaire des forces extérieures.
Définir les vecteurs position, vitesse et accélération (+ savoir les construire + unité).
Enoncer les trois lois de Newton (+ savoir les exploiter, les mettre en œuvre pour étudier des mouvements).
Mettre en relation accélération et somme des forces, tracer et exploiter des courbes v = f(t).
Définir la quantité de mouvement p (+ savoir qu’elle est conservée po ur un système isolé)
2- Etude de différents mouvements :
Définir et reconnaître des mouvements
* rectiligne uniforme
* rectiligne uniformément varié (chute verticale d' un solide (Résumé )
* circulaire uniforme
* circulaire non uniforme
Définir un champ de pesanteur et électrostatique uniforme.
Etudes de mouvements d’objets dans des champs de pesanteur et électrostatique uniformes
(mouvements paraboliques si la vitesse initiale est non nulle : Mouvement de projectiles dans un
champ de pesanteur uniforme Résumé )
Appliquer la deuxième loi de Newton à un projectile
Etablir l'équation de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques
Exploiter un doc exp et tracer des vecteurs vitesse et accélération, trouver les conditions initiales.
3- Etude de mouvements de satellites et planètes
Enoncer les lois de Kepler et les appliquer à une trajectoire circulaire ou elliptique.
Définir un mouvement circulaire uniforme et donner les caractéristiques de son vecteur accélération
Connaître les conditions nécessaires pour observer un mouvement circulaire uniforme: vitesse initiale
non nulle et force radiale
Enoncer la loi de gravitation universelle sous sa forme vectorielle pour des corps dont la répartition des
masses est à symétrie sphérique et la distance grande devant leur taille
Appliquer la deuxième loi de Newton à un satellite ou à une planète
Démontrer que le mouvement circulaire et uniforme est une solution des équations obtenues en
appliquant la deuxième loi de Newton aux satellites ou aux planètes
Définir la période de révolution et la distinguer de la période de rotation propre
Exploiter les relations liant la vitesse, la période de révolution et le rayon de la trajectoire
Connaître et justifier les caractéristiques imposées au mouvement d'un satellite pour qu'il soit
géostationnaire
Retrouver la troisième loi de Kepler pour un satellite ou une planète en mouvement circulaire uniforme
1- MOUVEMENT en MECANIQUE de NEWTON
1- 1
Choix d’un référentiel
Considérons une mouche, assimilable à un point, qui reste "collée" au plafond d'une voiture qui
avance sur une route rectiligne horizontale à la vitesse constante V = 20 m.s -1 .
 La trajectoire de la mouche par rapport au solide Terre est une droite. Par rapport à la Terre, le
vecteur vitesse de la mouche est constant, sa norme a pour valeur V = 20 m.s-1 .
C. Guibal – Bellevue
T S physique-
4. Mécanique : forces, lois Newton et mvt plan
1/9
 La trajectoire de la mouche par rapport au solide voiture est un point immobile. Par rapport au
solide voiture la vitesse de la mouche est V' = 0 m.s-1 puisqu'elle reste "collée" au plafond.
Cet exemple montre qu'il faut toujours préciser le référentiel par rapport auquel on étudie
le mouvement d'un mobile.
Un référentiel est un solide. Il est déterminé par la donnée de quatre points non
coplanaires. On prend souvent comme référentiel le solide Terre.
On peut également être amené à prendre un "solide" moins concret :
 Le référentiel Géocentrique (solide formé par le centre de la Terre et trois étoiles ponctuelles,
les 4 points n'étant pas dans un même plan) est utilisé pour étudier le mouvement des satellites
terrestres.
 Le référentiel Héliocentrique (solide formé par les centres du soleil et de trois autres étoiles,
les 4 points n'étant pas coplanaires) est utilisé pour étudier les voyages interplanétaires (Terre
Mars par exemple) ou pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.
Dans un référentiel il est possible de tracer une infinité de repères orthonormés
différents ( O, i , j , k ). On choisit celui qui est le mieux adapté au problème posé.
L'étude du mouvement d'un mobile nécessite non seulement le choix d'un référentiel
auquel on associe un repère mais encore le choix d'une horloge permettant de mesurer le
temps.
1- 2
Vecteur position du centre d’inertie G d’un solide
La position d’un solide en mouvement dans l’espace est repérée par ses coordonnées x, y et z dans un repère
( O, i , j , k ). Ainsi, le vecteur position OG (t) s’exprime :
1- 3
OG (t) = xG(t) i + yG(t) j + zG(t) k
Vecteur vitesse instantanée du centre d’inertie G d’un solide
En 1ère S, nous avons vu comment tracer un vecteur vitesse ainsi que ses caractéristiques :




le point d'application de est le point P où se trouve le point étudié à cet instant.
la direction de est celle de la tangente en P à la trajectoire suivie par le point étudié.
le sens de est celui du mouvement.
la longueur de représente, à une échelle donnée, la valeur absolue de la vitesse à cet instant.
On évaluait la valeur de la vitesse instantanée d'un
point G à la date t2 en calculant la vitesse moyenne
de ce point entre deux dates t1 et t3 , aussi proches
que
possibles,
encadrant
la
date
t2
V2 = (G 3 – G1 ) / (t3 – t1 ).
Pour obtenir la vitesse instantanée, il faut faire
tendre Δt vers 0, ce qui correspond
mathématiquement à la dérivée par rapport au
temps du vecteur position OG. Ainsi :
vx =
vG =
dOG
dt
=
vy =
vz =
dx
dt
dy
dt
dz
dt
=x
=y
=z
La norme du vecteur vitesse se calcule de la manière suivante :
vG(t) =
vGx 2 (t) + vGy 2 (t) + vGz2 (t)
C. Guibal – Bellevue
T S physique-
4. Mécanique : forces, lois Newton et mvt plan
2/9
1- 4
Vecteur accélération instantanée du centre d’inertie G d’un solide
Le vecteur accélération instantanée d’un point mobile G à l’instant t est la dérivée par rapport au temps du
vecteur vitesse de ce point.
ax =
aG =
dv
dt
=
d ² OG
dt ²
=
ay =
az =
dv x
dt
dv y
dt
dv z
dt
=
=
=
d²x
dt ²
d²y
dt ²
d²z
dt ²
= x
=y
= z
construction doc 6 p 137
2- FORCES MACROSCOPIQUES s’exerçant sur un solide
Une force macroscopique est la résultante de forces microscopiques réparties en volume ou sur une surface.
Etudions quelques forces courantes :
2- 1
Le poids
d'un corps
Définition
On appelle poids d'un objet ponctuel, situé en un point M donné, la force s'opposant à la force exercée par
un fil qui maintient cet objet ponctuel au repos par rapport au solide Terre, pris comme référentiel.
Dans ce système de référence, le poids de l'objet ponctuel peut se mettre sous la forme :
=
m
où
est le vecteur champ de pesanteur terrestre au point M considéré.
Caractéristiques du poids
Le vecteur poids
d'un objet est caractérisé par :
 son point d'application : le centre de gravité de l'objet, confondu avec le centre d'inertie.
 sa direction : celle du fil à plomb, pratiquement confondue avec la verticale.
 son sens : vers le bas.
 son intensité P = m g
où
et
m : représente la masse de l'objet (en kg)
g : l'intensité du vecteur pesanteur (en N/kg).
La valeur de g varie peu avec la latitude et avec l'altitude. En France, au niveau de la mer, g = 9,81 N/kg.
2- 2
La réaction d'un support
Mise en évidence de l’existence de la réaction du support :
Considérons un solide S au repos sur une table horizontale.
Référentiel d'étude : le solide Terre.
Système étudié : le solide S.
Le solide S est soumis à 2 forces :
 le poids (essentiellement action gravitationnelle de
la Terre sur le solide S)
 la force (action verticale de la table sur le solide S)
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3/9
L'existence de la force s'impose d'après le principe de l’inertie, étudié en classe de seconde :
« Pour un observateur terrestre, tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement
rectiligne uniforme, si les forces qui s'exercent sur lui se compensent »
Ici, pour un observateur terrestre, le solide S est au repos. La somme des forces agissant sur lui doit
donc être nulle. Pour compenser le poids vertical, dirigé vers le bas, il faut que la table exerce une
force de contact verticale , dirigée vers le haut et telle que :
Remarque : Cette force
représente la somme des forces réparti es sur toute la surface de contac t entre
la table et le solide S. Ces forces sont dues aux interac tions élec tromagnétiques entre les
atomes de la table et du solide.
Les forces de frottement solide-solide:
ou
Plaçons un solide S sur un plan légèrement incliné. Si le contact est suffisamment rugueux le solide S
reste au repos par rapport au référentiel terrestre. Il ne glisse pas sur le plan incliné.
D'après le principe de l'inertie , le poids vertical, dirigé vers le bas,est encore
compensé par une force , verticale, dirigée vers le haut et telle que :
Cette force de contact exercée par le plan incliné sur le solide S peut être
décomposée suivant deux composantes :

, l'action normale du plan incliné sur le solide, perpendiculaire à ce plan incliné, qui empêche le
solide de pénétrer dans le support.

,
l'action tangentielle du plan inclinée sur le solide, sur la tangente parallèle à la ligne de plus
grande pente du plan incliné, qui s'oppose au glissement du solide. Cette force
modélise
les forces de frottement qui sont importantes lorsque les surfaces sont rugueuses.
On peut écrire
=
+
que l’on reporte dans
la relation précédente, ce qui conduit à :
+
+
=
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4/9
2- 3
Poussée d’Archimède : force exercée par les fluides sur un solide immergé
L'ensemble des actions exercées par un fluide (liquide ou gaz) sur un solide entièrement ou partiellement
immergée est représentée par une force unique : la poussée d'Archimède
. Le vecteur poussée
d'Archimède
est :
 appliqué au centre de gravité du fluide (liquide ou du gaz) déplacé.
 vertical.
 dirigé vers le haut.
 de valeur PA égale au poids du fluide déplacé par le solide immergé :
2- 4
PA =
fluide
V
g
Force de frottement
Le fluide dans lequel l’objet se déplace joue parfois un rôle résistant. Par exemple, les frottements de l'air sur
un parachute ralentissent la descente du parachutiste. Cette force est colinéaire à la vitesse mais de sens
contraire. La force de frottement est toujours opposée au mouvement. Sa valeur dépend de la vitesse, de la
forme de l’objet en mouvement, de son état de surface et de la nature du fluide (viscosité η …).
Elle s’exprime ainsi :
2- 5
f=
k
vα
pour des vitesses faibles α = 1
pour des vitesses élevées α = 2
Force de rappel T exercée par un ressort élastique
Lorsqu’un ressort élastique à spires non jointives subi une déformation (é tirement ou compression), alors le
ressort exerce sur l’objet fixé à l’une de ses extrémités, une force de rappel T de sens
opposé à celui de la déformation et dont la valeur est proportionnelle à la déformation. T = - k G0 G
2- 6
Force électrostatique Fe exercée dans un champ électrostatique E uniforme
Lorsqu’une particule chargée est placée dans un champ électrostatique
E uniforme, elle est soumise à une force électrostatique Fe dont
l’expression est donnée par la relation :
Fe = q . E
Remarque : Un c ha mp E est créé dans un espace lorsque celui-ci est soumis à une différence
de potentiel électrique. Cette si tua tion se présente, par exemple dans un condensa teur
consti tué de deux plaques, l’une chargée posi tivement, l’autre néga ti vement. Le cha mp E est
orienté de la plaque chargée po si tivement vers la plaque chargée néga tivement.
--------
E
+++++
3- LOIS de NEWTON
Des forces peuvent maintenir un solide en équilibre, mettre un solide en mouvement ou déformer un objet.
Pour faire le lien entre mouvement et forces, nous appliquerons les lois de Newton.
3- 1
1ère loi de Newton ( ou PRINCIPE de l'INERTIE)
Un référentiel Galiléen est un référentiel dans lequel le principe de l’inertie est vérifié :
Si, dans un référentiel Galiléen, le vecteur vitesse
du centre d'inertie d'un
solide ne varie pas alors la somme des forces extérieures appliquées au solide est nulle
Remarque :
Remarque :
=
:
Autrement di t, si le vecteur vi tesse
du centre d'inertie d'un solide ne varie pas alors le
centre d’inertie d'un solide est soi t au repos, soi t en mouvement rec tiligne uniforme.
La réciproque est vraie. Si la somme des forces ex térieures appliquées à un solide est nulle, ce
solide est « pseudo-isolé ». La quanti té de mouvement p est conservée (varia tion nulle)
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5/9
3- 2.
2ème loi de Newton ( ou relation fondamentale de la dynamique : RFD )
Il est facile de constater, dans le référentiel terrestre supposé Galiléen, qu'une force peut ralentir ou accélérer
le mouvement d'un solide. La deuxième loi de Newton précise la relation qui existe entre les forces
appliquées à un solide et la variation de la vitesse donc de l’accélération de son centre d'inertie. De plus,
plus la masse de l’objet est importante, plus l’énergie nécessaire pour le mettre en mouvement est élevée.
= m
Ainsi, la 2ème loi de Newton s’écrit :
3- 3
=m
dv
dt
=
dp
dt
Troisième LOI de NEWTON ( ou loi des actions réciproques )
On dit que deux corps A et B sont en interaction si l'état de mouvement ou de repos de l'un (A) dépend de
l'existence de l'autre (B). Une interaction entre deux corps A et B suppose toujours deux
actions réciproques : celle de A sur B et celle de B sur A.
A une interaction entre un objet A et un objet B correspondent deux forces :
 l'une exercée par A sur B, notée A / B ,
 l'autre exercée par B sur A, notée B / A
Les deux forces associées à une même interaction sont toujours égales et opposées :
A/B
Remarque :
= -
B/A
Application à la propulsion par réaction : Pour se déplacer, on prend appui sur le sol. Pour nager,
on prend appui sur l’eau. Pour décoller, un fusée éjecte un gaz qui exerce une force sur le sol,
provoquant la même réaction en retour. La fusée est ainsi propulsée.
3- 4
Méthodologie conseillée pour l’exploitation des LOIS de NEWTON
Choix du référentiel : choisir un référentiel Galiléen adapté à la situation de l’exercice.
Système étudié : Bien préciser ce que l’on cherche à étudier (le mouvement de qui ?, …) et
commencer à collecter les données le concernant (masse, masse vo lumique, ….)
Bilan des forces : Faire la liste complète des forces (noms + notations (en vecteur)). Pensez à
préciser si certaines sont négligeables (information donnée par un énoncé ou un schéma)
Selon l’exercice, 2 situations : on vous donne l’information sur le mouvement du système étudié, à vous
d’en déduire des informations sur les forces exercées sur le système ou inversement.
Ce sont les lois de Newton qui vous permettent de faire ce lien.
 En effet, si vous vous trouvez dans le cas simple où le vecteur vitesse ne varie pas alors vous pouvez
appliquer la 1ère loi de Newton et
=
En général, l’objectif est de trouver une information sur une force (valeur, direction…). Il suffit alors de :
 développer l’expression précédente, c'est-à-dire, écrire la relation vectorielle qui existe
entre les forces.
 Choisir un système d’axe et projeter l’expression précédente sur chacun des axes (utiliser
les composantes (ou coordonnées) de chaque force).
 Ensuite, deux méthodes s’offrent à vous :
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6/9
Méthode expérimentale :
On mesure la longueur du vecteur recherché, puis
à l’aide d’une échelle, cette longueur est
« convertie » en Newton pour obtenir la valeur
d’une force.
Méthode analytique :
A l’aide des formules de trigonométrie, on
exprime les composantes de chaque force. Il
suffira ensuite d’isoler l’inconnue.
 Si vous vous trouvez dans le cas plus général où le vecteur vitesse varie alors vous pouvez appliquer
la 2ème loi de Newton, ce qui permettra d’obtenir l’accélération. Après projection sur un système
d’axes, les coordonnées du vecteur vitesse, puis celles du vecteur position seront obtenues par
intégration et en tenant compte des conditions initiales.
4- Etude de quelques mouvements
4- 1
Mouvements rectilignes
Mouvement rectiligne uniforme
Si un mouvement est rectiligne uniforme, alors le vecteur vitesse est constant.
La valeur de cette vitesse sera notée v0 (puisque à t = 0, la vitesse à une certaine
valeur v0 qui reste la même tout au long du mouvement).
Pour déterminer les expressions, il suffit soit de calculer la dérivée ou la
primitive selon ce que l’on cherche :
a=0
v = v0
x = v0 t + x0
Mouvement rectiligne uniformément varié
C’est le cas si on étudie le mouvement d’une chute verticale libre. Un mouvement est qualifié de « libre »
lorsque l’objet n’est soumis qu’à l’action de son poids. Voir TP sur Aviméca2.
Choix du référentiel : le référentiel terrestre
Système étudié :
Bilan des forces :
Application de la 2ème loi de Newton :
Le vecteur accélération est donc égale au vecteur champ de pesanteur.
L’équation du mouvement d’une chute libre s’obtient après projection sur
un axe vertical orienté vers le bas:
a=g
v = gt + v0
z=
1
2
(avec v 0 , valeur algébrique de la vitesse à t = 0)
g t2 + v0 t + z0
4- 2
(avec z0 , position de l’objet à t = 0)
Mouvements circulaires
Mouvement circulaire non uniforme
Un mouvement est circulaire si sa trajectoire est un cercle, ou une portion de cercle de
rayon R. Pour étudier son accélération, on utilise deux vecteurs unitaires ( τ et n) qui
constituent une base de Frénet. τ est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du
mouvement et n est perpendiculaire à τ et orienté vers l’intérieur de la trajectoire.
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7/9
Le vecteur accélération se décompose selon la relation : a = aτ τ + an n avec aτ =
dv
dt
et an =
v²
R
Mouvement circulaire uniforme
Si le mouvement est uniforme alors la valeur de la vitesse est constante (attention ! : la direction change en
permanence). Dans ce cas, ceci implique que
dv
dt
L’expression de l’accélération est simplifiée :
=0
: a = an n =
v²
R
n
Elle est dite radiale et centripète (car elle est colinéaire au rayon
et orientée vers le centre O). On parle d’accélération normale.
4-3 Mouvements paraboliques : mouvement d’un système dans le champ uniforme
Objet placé dans un champ de pesanteur uniforme
L’expression du champ de pesanteur à une altitude h se retrouve en se rappelant
que le poids n’est qu’un cas particulier de la force gravitationnelle. Ainsi
g =G
M
(R
h )²
Mouvement d’une chute libre avec une vitesse initiale non nulle
Défi : Avec quel angle faut-il lancer un javelot pour qu’il ait la meilleure portée ?
Un projectile est lancé avec une vitesse non nulle faisant un angle α avec
l’horizontal dans un champ de pesanteur considéré comme uniforme.
Choix du référentiel : le référentiel terrestre (repère orthonormé dont l’origine est
confondue avec la position initiale de l’objet, axe vertical orienté vers le haut)
Système étudié :
Bilan des forces :
Application de la 2ème loi de Newton :
Etablissons les équations horaires du mouvement selon chaque axe :
vx = v0x = v0 cosα
ax = 0
aG
ay = 0
az = - g
vG
x = v0 cosα t + x0 = v0 cosα t
vy = v0y = 0
OG
vz = - gt + v0z = -gt + v0 sinα
y = y0 = 0
z= -
1
2
g t2 + v0 sinα t (+ z0 )
A partir de ces équations horaires, il est possible d’établir l’équation cartésienne de la trajectoire :
Isolons t : t =
Remplacer t par cette expression dans l’équation horaire de z :
D’où l’équation cartésienne : z = -
g
2V 0² cos ²
x² + ( tan α ) x
Réponse au défi :
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8/9
Objet placé dans un champ électrostatique uniforme
Une particule de charge électrique q et de masse m est placée dans un champ électrostatique uniforme E.
Choix du référentiel : le référentiel terrestre (repère orthonormé dont l’origine est
confondue avec la position initiale de l’objet, axe vertical orienté vers le haut)
Système étudié :
Bilan des forces :
Application de la 2ème loi de Newton :
Etablissons les équations horaires du mouvement selon les axes x et y :
ax = 0
aG
ay =
qE
m
x = v0 cosα t + x0 = v0 cosα t
vx = v0x = v0 cosα
vG
vy =
qE
m
t + v0y =
qE
m
t+ v0 sinα
OG
y=
qE
2m
t² + v0 sinα t (+ y0 )
A partir de ces équations horaires, il est possible d’établir l’équation cartésienne de la trajectoire :
Isolons t : t =
Remplacer t par cette expression dans l’équation horaire de y :
D’où l’équation cartésienne : y =
qE
2m ( V 0 cos )²
x² + ( tan α ) x
5 - MOUVEMENT de SATELLITES
5- 1
Lois de Kepler
 1ère loi : Dans le référentiel héliocentrique, les orbites des planètes
sont des ellipses dont le Soleil occupe l’un des foyers.
 2ème loi : Pendant des durées égales, les aires balayées par le rayon
Soleil-planète, sont égales. (La conséquence est que la vitesse de la planète est
plus élevée lorsque la planète est proche du Soleil que lorsqu’elle en est éloignée)
 3ème loi : Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la
période de révolution T et le cube du demi- grand axe a de son orbite est le même.
T²
Ainsi, avec k constant
5- 2
=k
a3
Mouvement, expression de v et de T
En faisant l’approximation que les trajectoires sont circulaires, alors
 D’après la 2ème loi de Kepler, le mouvement est circulaire uniforme
 Après application de la 2ème loi de Newton, établissons l’expression de sa vitesse v et de sa période
de révolution T
d’où
Pendant la durée T, le satellite parcourt la distance 2πr , ainsi v =
2 r
T
d’où
v=
T=
 Retrouvons la 3ème loi de Kepler :
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9/9