Exercices. Espaces vectoriels : indications et points du

Exercices. Espaces vectoriels : indications et points du cours associés.
1. Passez par la notion de sous-espaces et/ou de sous-algèbres.
COURS: théorème de caractérisation des sous-espaces
ASTUCE: le vecteur nul est toujours élément d'un sous-espace.
2. Ecrire le triplet (x,y,z) comme une combinaison linéaire de vecteurs bien trouvés. Les coefficients de la combinaison
linéaire vont dépendre de x, y et z.
COURS: famille génératrice.
ASTUCE: la formule F = Vect(A) assure à la fois que F est un sous-espace et que A en est une famille génératrice.
3.
a. COURS: formule Vect(A) = Vect(B).
b. Equation paramétrique: écrire qu'un vecteur est CL (= combinaison linéaire) des vecteurs d'une famille génératrice.
Les coefficients de la CL servent alors de paramètres.
Equation cartésienne: éliminer les paramètres dans les équations paramétriques.
c. COURS: théorème de caractérisation d'une somme directe.
d.
e.
4. Réduire la famille génératrice à deux vecteurs formant une famille libre.
5. Voir dans une question précédente.
6. ( * )
7.
COURS: famille libre ou liée
ASTUCE: si un vecteur est CL des autres vecteurs de la famille alors la famille est liée.
8.
COURS: théorème de caractérisation d'une somme directe.
ASTUCE: pensez aux dimensions quand c'est possible
METHODE: analyse-synthèse pour trouver u et v tels que w = u + v.
. Analyse: on suppose que u et v existent et on en cherche une expression à l'aide de w.
. Synthèse: on pose u et v comme trouvés dans l'analyse puis on rédige en trois points
-> 1) Les objets u et v sont bien définis.
-> 2) Les objets u et v sont dans le bon ensmeble attendu
-> 3) u et v vérifent bien la formule w = u + v
9.
a. Définition d'une AL ( = application linéaire)
b. Définition du noyau : on résoud f(x,y) = 0 puis on déduit (x,y) puis on donne une base du noyau.
Pour Im f:
. une famille génératrice de Im f est l'image par f d'une base de l'espace de départ.
. on simplifie ensuite cette famille génératrice en une famille libre qui sera base de l'image.
c. COURS: caractérisation d'une AL injective à l'aide du noyau
d.
10.
1 1 . Soit Φ l'application définie de E = F(R,R) dans E par: ∀ f ∈ E Φ(f) = g où ∀ x ∈ R g(x) = f(x) - f(-x).
a.
b.
c. METHODE: analyse-synthèse.
-> analyse: prendre h dans l'image et trouver des propriétés de h.
-> synthèse: supposer que h a ces propriétés et trouver un antécédent de h par l'AL. Cet antécédent dépendra de h.
d. Ne pas confondre application induite sur G (de G dans G) et application restreinte sur G ( de G dans E).
ATTENTION: Φ(f)(x) a un sens (c'est l'image de x par Φ(f) ) tandis que Φ(f(x)) n'en a pas.
12.
Soit Φ l'application définie de E = RN dans E par: ∀ u ∈ E Φ(u) = v où ∀ n ∈ N vn = un - u0.
ATTENTION: [Φ(u)]n a un sens (c'est le terme d'ordre n de la suite Φ(u) ) tandis que Φ(un) n'en a pas.
1
Exercices. Espaces vectoriels : indications et points du cours associés.
13.
a. L'expression analytique donne f(x,y,z) sous la forme d'un triplet fonction de x, y et de z.
b. Pensez à la dimension
c. COURS: une AL est entièrement déterminée par son action sur une base.
d. L'image d'une base par fn suffit ici.
1 4 . COURS: définition du projecteur sur F parallèlement à G.
Les éléments caractéristiques d'un projecteur sont F et G.
ASTUCE: F et G s'expriment à l'aide d'un noyau.
15.
1 6 . METHODE: double implication
a.
b. Décomposer un vecteur x en une somme d'un vecteur du noyau et de l'image de q.
ASTUCE: les vecteur de Im q sont invariants par q.
c.
17.
a. Montrer que (poq) = (qop) en composant l'égalité supposée à gauche et à droite par q et/ou p.
b. COURS: théorème de caractérisation d'un projecteur.
Pour le noyau et l'image: intuités une formule en fonction des noyaux et images de p et q.
Puis prouver cette formule par double inclusion.
18.
a. METHODE: double inclusion
b. METHODE: double implication
19.
a.
b. Pour la formule Ker g + Im f = F : dounle inclusion puis analyse-synthèse.
20.
21.
(*)
(*)
2 2 . Trouver une base.
ATTENTION: quand on parle d'un R-espace les coefficients dans une CL doivent être réels.
23.
Trouvez une famille génératrice puis simplifiez la famille génératrice en une base du sous-espace.
24.
Idem
25.
Idem
2 6 . ASTUCE: pensez à utiliser une matrice pour montrer qu'on a une base.
COURS: relation entre le cardinal d'une famille libre et/ou génératrice et la dimension
27.
On veut une inclusion ou une égalité.
28.
a. On veut une inclusion.
Montrer d'abord que: rg(f+g) ≤ rg(f) + rg(g). Puis faire l'autre inégalité.
COURS: dimension de la somme de deux sous-espaces.
ASTUCE: dire que |x| ≤ r c'est dire que : –r ≤ x ≤ r.
b.
29.
(*)
30.
(*)
31.
(*)
2