Coordonnées cylindriques.

F. Archambeau - 2003
Coordonnées cylindriques.
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F. Archambeau
Ce document présente les équations de Navier-Stokes en coordonnées cylindriques.
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SOMMAIRE
1
GRADIENT ET DIVERGENCE EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES
. .
5
2
MASSE ET QUANTITÉ DE MOUVEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Répertoire des modifications du document
Référence
Désignation des modifications
Observations
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Gradient et divergence en coordonnées cylindriques
On définit le repère orthonormé (er , eθ , ez ) et on note les coordonnées cylindriques associées (r, θ, z).
Gradient
∂f
1 ∂f
∂f
e +
e +
e
∂r r r ∂θ θ ∂z z
(1)
∂uz
1 ∂
1 ∂uθ
(r ur ) +
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
(2)
grad f =
Divergence
divu =
2
Masse et quantité de mouvement
On note :
• ρ la masse volumique (kg m−3 ),
• µ la viscosité dynamique du fluide (kg m−1 s−1 ),
• u la vitesse (m s−1 ),
• τ le tenseur des contraintes visqueuses (kg m−1 s−2 ),
• P la pression (kg m−1 s−2 ),
• S le tenseur des déformations (s−1 ).
Masse : l’équation de départ :
∂ρ
+ div (ρ u) = 0
∂t
(3)
∂ρ 1 ∂
1 ∂
∂
+
(ρ r ur ) +
(ρ uθ ) +
(ρ uz ) = 0
∂t
r ∂r
r ∂θ
∂z
(4)
se traduit par :
Quantité de mouvement : l’équation de départ (sans forces de volume) :
∂
(ρ u) + div(ρ u ⊗ u) = −grad P + div τ
∂t
(5)
se traduit, pour la composante uα (= ur , uθ ou uz ), par :
∂
(ρ uα )
∂t
+
1 ∂
1 ∂
∂
(ρ r ur uα ) +
(ρ uθ uα ) +
(ρ uz uα )
r ∂r
r ∂θ
∂z
∂P
1 ∂P
∂P
1 ∂
1 ∂
∂
δr α −
δθ α −
δz α +
(r τr α ) +
(τθ α ) +
(τz α )
=−
∂r
r ∂θ
∂z
r ∂r
r ∂θ
∂z
(6)
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Le tenseur des contraintes visqueuses s’exprime :
2
τ = 2 µ S − µ Smm Id
3
(7)
avec le tenseur des déformations S :
S=
soit donc :
τr r
τθ θ
τz z
τr θ
τθ z
τr z
1
grad (u) + grad t (u)
2
∂ur
∂r
ur
1 ∂uθ
+
= 2µ
r ∂θ
r
∂uz
= 2µ
∂z ∂ uθ
= τθ r = µ r
∂r
r
∂uθ
= τz θ = µ
∂z
∂uz
= τz r = µ
∂r
= 2µ
2
− µ div(u)
3
2
− µ div(u)
3
2
− µ div(u)
3
1 ∂ur
+
r ∂θ 1 ∂uz
+
r ∂θ
∂ur
+
∂z
(8)
(9)