Travaux Dirigés d`Automatique – Commande des Syst`emes

Travaux Dirigés d’Automatique
–
Commande des Systèmes
Linéaires Continus
⋄ M1 ⋄
UE ICCP – module CSy
Les séances de Travaux Dirigés de commande des systèmes linéaires continus –
notées TD5, TD6,. . . dans votre emploi du temps – sont réparties sur 11 créneaux de 1h30.
La séquence conseillée est la suivante :
– Problème no 1 : Analyse d’un processus chimique
TD5 → modélisation et début de la correction proportionnelle ;
TD6 → fin de la correction proportionnelle ; étude d’une perturbation ;
TD7 → début de la correction intégrale ;
TD8 → fin de la correction intégrale et correction PI ;
TDM2 → Analyse et simulation à l’aide de Matlab jusqu’à la correction PI incluse ;
TDM3 → Analyse et simulation à l’aide de Matlab, correction PID.
– Problème no 2 – Régulation de température
TD9
– Problème no 3 – Asservissement de niveau dans un bac, Synthèse de correcteurs P.I.
TD10 → jusqu’à la question 5 incluse ;
TD11 → de la question 6 à la fin.
– Problème no 4 – Asservissement de position angulaire, Synthèse d’un correcteur Avance
de Phase
TD12 → méthode du modèle et début des caractéristiques harmoniques de l’avance
de phase ;
TD13 → fin caractéristiques harmoniques et application à l’asservissement.
Problème n 1
o
Analyse d’un procédé chimique
Le procédé chimique considéré est composé de deux cuves chauffées, agitées et disposées
en série. L’objectif du système de commande est de maintenir la température θ2 (t) de sortie de la deuxième cuve à une température de consigne θc (t) en agissant sur les tensions
u1 (t) et u2 (t) des réchauffeurs électriques. Le principe de fonctionnement de ce procédé est
représenté sur la figure 1.1.
Figure 1.1 – Schéma fonctionnel du procédé chimique
On considère que
– le système est en équilibre du point de vue des débits : tous les débits entrants et
sortants sont constants (égaux à Q0 ), le volume de liquide dans chaque cuve étant
alors également constant ;
– la température du liquide d’entrée de la première cuve est constante et égale à θ0 ;
– le thermocouple (capteur de la température θ2 (t) renvoyant la mesure vmes (t)) est
parfaitement linéaire et se comporte comme un gain Kt = 0, 15 V/o C.
4
1. ANALYSE D’UN PROCÉDÉ CHIMIQUE
Ce système n’est pas linéaire dans son fonctionnement global (échanges thermiques). Toutefois, en considérant un point de fonctionnement du système et des petites variations des
différents signaux autour de ce point, l’analyse peut raisonnablement se faire sur un modèle
linéarisé. C’est dans cette hypothèse que nous travaillons ici.
1.1
Modélisation (modèle de représentation autour
d’un point de fonctionnement)
Plusieurs expériences ont été menées sur le procédé à partir de l’état d’équilibre choisi
comme point de fonctionnement (on notera d’une ⋆ les variations autour de ce point) :
– une variation de type échelon de 0.1 volt sur l’entrée u1 (t) a conduit à l’évolution de
la température θ1 (t) représentée sur la figure 1.2 ;
0.45
0.4
0.35
1
réponse θ (t)
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
temps (sec)
Figure 1.2 – Réponse θ1 (t) à un échelon d’amplitude 0.1 volt
– une augmentation de u2 (t) de 10 à 12 volts a pour conséquence une augmentation de
la température θ2 (t) de 85 à 90o C avec un comportement semblable à celui d’un modèle
du premier ordre ; u2 (t) atteint 95% de sa variation totale (variation de 4.75o C) au
bout de 30 minutes (1800s) ;
– on donne la fonction de transfert G3 (p) =
1. Ecrire les fonctions de transfert G1 (p) =
Θ⋆2 (p)
Θ⋆1 (p)
Θ⋆1 (p)
U1⋆ (p)
=
1
.
1+1200p
et G2 (p) =
Θ⋆2 (p)
U2⋆ (p)
;
2. Commenter la fonction de transfert G3 (p) ;
3. Dessiner le schéma bloc du procédé.
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CSy – P2
5
1.2. ASSERVISSEMENT EN TEMPÉRATURE DU PROCÉDÉ
1.2
Asservissement en température du procédé
1.2.1
Correction proportionnelle sur la commande u2 (t)
On souhaite asservir le système avec une correction élémentaire (correction proportionnelle
de gain K) sur le signal u2 (t). Le signal de consigne sera noté θc (t).
L’analyse se fait autour du point de fonctionnement.
1. Dessiner le schéma bloc de l’asservissement ;
2. Discuter des notions d’asservissement et de régulation du système ;
Θ⋆ (p)
3. Ecrire la fonction de transfert en boucle fermée F2 (p) = Θ⋆2 (p) .
c
L’écrire sous forme canonique et en faire l’analyse en fonction de la valeur de correction K.
Illustrer le propos en vous servant du résultat de la figure 1.3.
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
500
1000
1500
2000
2500
Time (sec)
Figure 1.3 – Réponse indicielle de l’asservissement pour K = 1 et K = 5
1.2.2
Correction proportionnelle sur la commande u1 (t)
On asservit désormais le procédé en température en règlant le signal u1 (t) qui devient signal de commande.
1. Dessiner le schéma bloc de l’asservissement ;
2. Discuter des notions d’asservissement et de régulation du système ;
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6
1. ANALYSE D’UN PROCÉDÉ CHIMIQUE
3. Ecrire la fonction de transfert en boucle fermée F1 (p) =
L’écrire sous forme canonique ;
Θ⋆2 (p)
.
Θ⋆c (p)
4. Donner l’expression du gain statique de F1 (p) en fonction de K. Commenter ;
5. A partir de l’application numérique, calculer les pôles de la fonction de transfert F1 (p).
Discuter de leur nature (et du comportement dynamique de l’asservissement) en fonction de la valeur de K. Tracer succinctement, dans le plan complexe, l’évolution des
pôles de F1 (p) en fonction de K. Analyser le comportement dynamique de l’asservissement en fonction du gain de correction K ;
6. Pour les trois valeurs de K = 1, 5 et 20, donner la valeur du gain statique, des pôles et
de l’amortissement (noté ξ) de l’asservissement. Interpréter ces résultats en utilisant
les réponses indicielles reportées sur la figure 1.4.
Step Response
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
Time (sec)
3000
3500
4000
4500
Figure 1.4 – Réponse indicielle de l’asservissement F1 (p) en fonction de K
1.2.3
Comparaison
Comparer qualitativement la correction sur u1 (t) et sur u2 (t).
1.3
Etude d’une perturbation sur l’asservissement
On considère le dernier asservissement étudié de fonction de transfert F1 (p). L’effet de la
variation du signal u2 (t) sur la température θ2 (t) est interprété ici comme une perturbation
sur l’asservissement ; on le note ω(t).
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7
1.4. ANALYSE D’UNE CORRECTION INTÉGRALE
1. Ecrire l’expression de la sortie Θ⋆2 (p) en fonction de la consigne et de la perturbation ;
2. Quel serait, en régime permanent, l’effet d’une perturbation de type échelon d’amplitude ω0 sur la sortie de l’asservissement 1 .
Donner les valeurs numériques pour des corrections proportionnelles K = 1, 5 et 20
et pour une perturbation d’amplitude ω0 = 1o C.
1.4
Analyse d’une correction intégrale
On pose :
G(p) = G1 (p)G3 (p) =
5, 56.10−6
Θ⋆2 (p)
=
U1⋆ (p)
p2 + 2, 5.10−3 p + 1, 39.10−6
On réalise l’asservissement de température du procédé comme indiqué sur le schéma bloc
′
de la figure 1.5 avec une correction intégrale pure : D(p) = Kp .
Figure 1.5 – Schéma bloc de l’asservissement
1. Donner l’expression de la fonction de transfert T (p) en boucle ouverte.
2. Donner l’expression de la fonction de transfert F (p) en boucle fermée.
3. Calculer l’erreur de position de cet asservissement. Qu’apporte la caractéristique
intégrale de la correction à l’asservissement ?
4. Calculer l’erreur de vitesse (de traı̂nage) de l’asservissement. Conclure.
5. La réponse harmonique en boucle ouverte pour K ′ = 2 est donnée sur la figure 1.6.
Donner la valeur des marges de stabilité.
6. L’asservissement est-il stable pour K ′ = 2 ? Justifier.
7. A l’aide du tracé harmonique en boucle ouverte et en donnant la démarche, donner
la condition que doit remplir K ′ pour que l’asservissement soit stable.
8. Retrouver ce résultat en utilisant le critère de Routh.
9. Déterminer la valeur de K ′ pour que l’asservissement ait une marge de phase de 45o .
10. Commenter les résultats de la figure 1.7.
11. Montrer que ce type de correction permet de rejeter les perturbations de type échelon.
On se basera sur le travail fait à la question 1.3.
1. Le choix d’une telle perturbation étant ici l’effet d’une variation sur le signal u2 (t) n’est certes
pas réaliste mais permet d’appréhender la problématique de régulation c’est à dire du comportement de
l’asservissement face à une perturbation
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8
1. ANALYSE D’UN PROCÉDÉ CHIMIQUE
Bode Diagram
Magnitude (dB)
50
0
−50
−90
−180
−225
−270
−4
−3
10
−2
10
−1
10
10
Frequency (rad/s)
Figure 1.6 – Réponse harmonique de T (p) pour K ′ = 2
Step Response
1.8
1.6
1.4
1.2
Amplitude
Phase (deg)
−135
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10000
20000
Time (sec)
30000
40000
Figure 1.7 – Réponses indicielles de l’asservissement avec correction intégrale pour K ′ =
10−3 , K ′ = 2.10−3 et K ′ = 3.10−3
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9
1.5. CORRECTION PROPORTIONNELLE-INTÉGRALE (PI)
1.5
Correction Proportionnelle-Intégrale (PI)
Pour que l’asservissement présente une erreur de position nulle et des caractéristiques
dynamiques (temps de montée, de réponse et premier dépassement) acceptables – comme
par exemple celles obtenues pour une correction proportionnelle K = 5 (paragraphe 1.2.2)
– nous proposons de faire la synthèse du correcteur PI de fonction de transfert :
D(p) =
K
(1 + Ti p)
Ti p
avec K = 5 et Ti = 2000. La réponse harmonique de la fonction Kt G(p) est reportée sur
la figure1.8.
Bode Diagram
40
Magnitude (dB)
20
0
−20
−40
−60
0
Phase (deg)
−45
−90
−135
−180
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
Frequency (rad/s)
Figure 1.8 – Lieu de transfert de Kt G(p)
1. A quoi correspond le lieu de transfert représenté sur la figure 1.8 ?
2. Tracer le comportement asymptotique de D(p) sur le même graphique ;
3. Déduire le lieu de transfert en boucle ouverte. Mesurer la marge de phase ;
4. La réponse indicielle de l’asservissement est reportée sur la figure 1.9. Commenter
les performances dynamiques et en précision de cet asservissement. Comparer le
correcteur proportionnel intégral aux correcteurs étudiés précédemment.
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10
1. ANALYSE D’UN PROCÉDÉ CHIMIQUE
Step Response
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Time (seconds)
Figure 1.9 – Réponse indicielle de l’asservissement
1.6
Analyse et simulation à l’aide de MATLAB
On considère le procédé linéarisé en considérant la correction sur la commande u1 (t). La
fonction de transfert du procédé à commander s’écrit :
G(p) = G1 (p) × G3 (p) =
K3
K1
×
(1 + τ1 p) (1 + τ3 p)
avec K1 = 4, τ1 = 600s, K3 = 1 et τ3 = 1200s.
Le capteur est assimilable à un gain Kt = 0, 15V/o C.
Trois correcteurs de fonctions de transfert D1 (p), D2 (p) et D3 (p) vont être étudiés et
comparés.
[Entre crochets seront données les commandes MATLAB à utiliser – leur syntaxe peut être
obtenue grâce à l’aide en ligne avec la commande help]
1.6.1
Correction Proportionnelle – D1 (p) = K
1. Après avoir proprement défini les différents paramètres et les différentes fonctions de
transfert sous MATLAB, écrire les fonctions de transfert T (p) en boucle ouverte et
F (p) en boucle fermée [feedback ] pour une correction proportionnelle de gain K = 5,
K = 20 et K = 50.
2. Faire l’analyse de la correction proportionnelle à partir du lieu des racines [rlocus].
3. Quelle est la fonction de transfert utilisée pour le critère des marges de stabilité ?
Quel est l’objectif de ce critère ?
Donner les marges de stabilité [margin] pour les trois cas.
Quelle conclusion peut-on tirer du résultat de marge de gain ?
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11
1.6. ANALYSE ET SIMULATION À L’AIDE DE MATLAB
4. Donner les pôles [pole] de la fonction de transfert en boucle fermée, le coefficient
d’amortissement [damp] et tracer les réponses indicielles [step] de l’asservissement
pour les 3 valeurs de K.
5. Etablir le lien entre le premier dépassement, le coefficient d’amortissement et la marge
de phase.
6. Démontrer que l’erreur de position est finie, qu’elle égale 1+KK11 K3 Kt θ0 et que sa valeur
correspond aux résultats obtenus sur les tracés indiciels.
7. Démontrer que l’erreur de vitesse est infinie. En faire une illustration à l’aide de
MATLAB.
1.6.2
Correction Intégrale – D2 (p) =
K′
p
1. Pour K ′ = 1, écrire la nouvelle fonction de transfert T (p) en boucle ouverte.
2. Tracer le lieu de Bode du correcteur.
3. Tracer l’évolution des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée [rlocus] en
fonction de K ′ .
Discuter de la stabilité de l’asservissement en fonction de K ′ .
4. Refaire la démarche de l’analyse de la stabilité de l’asservissement à partir de la
mesure des marges de stabilité.
5. Pour deux ou trois valeurs de K ′ représentatives, tracer la réponse indicielle de l’asservissement. Commenter les résultats obtenus en terme de caractéristiques dynamiques
et de performances en précision de l’asservissement.
6. Démontrer que l’erreur de vitesse est finie. En faire une illustration à l’aide de MATLAB.
1.6.3
Correction Proportionnelle Intégrale – D3 (p) =
K ′′
Ti p (1
+ Ti p)
On pose K ′′ = 20 et on considère trois valeurs de Ti : Ti = 1000s, 2600s et 7000s.
1. Faire l’analyse du correcteur seul dans le plan de Bode (savoir positionner la pulsation
1
).
Ti
Quel est l’intérêt de ce correcteur ? Qu’apporte-t-il aux basses fréquences ? Aux hautes
fréquences ?
Ce type de correcteur peut-il améliorer le degré de stabilité de l’asservissement ?
2. Comparer les marges de phase obtenues avec le correcteur D3 (p) pour les différentes
valeurs de Ti à celle obtenue pour une correction proportionnelle D1 (p) = K de gain
K = 20.
3. Tracer les réponses indicielles de l’asservissement pour les correcteurs D3 (p) ainsi que
pour la correction proportionnelle K = 20 ; faire le lien avec la question précédente.
4. Discuter du compromis temps de réponse/degré de stabilité sur le choix de Ti . En
déduire une méthode de placement de P.I.
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12
1. ANALYSE D’UN PROCÉDÉ CHIMIQUE
1.6.4
Placement d’un P.I.D. par synthèse dans le plan de Bode
On souhaite placer un correcteur qui satisfasse le cahier des charges :
– le temps de montée (raideur) de l’asservissement doit correspondre à celui mesurée
pour un gain proportionnel de valeur 20 ;
– l’erreur de position de l’asservissement doit être nulle ;
– la marge de phase doit être de 70o .
Pour répondre à ce cahier des charges, on propose de calculer le correcteur :
D4 (p) = 20 ×
K
(1 + Ti p)(1 + Td p)
Ti p
que l’on comparera à la correction proportionnelle de gain 20.
1. Pour quelle raison le correcteur D4 (p) peut-il satisfaire le cahier des charges ?
2. En utilisant l’algorithme de réglage vu en cours, calculer le bon paramètre Td ;
3. Déduire la valeur d’ajustement K ;
4. Quel choix est-il judicieux de faire pour Ti ;
5. Définir, sous Matlab, le correcteur D4 (p) ;
6. Comparer, dans le plan de Bode, la marge de phase dans le cas de la correction
proportionnelle et dans celui du correcteur D4 (p) ;
7. Illustrer l’effet du correcteur dans le plan de nyquist comparativement à la correction
proportionnelle ;
8. Comparer les réponses indicielles des deux asservissements considérés.
Commenter.
1.6.5
Placement d’un P.I.D. par la méthode du modèle
On souhaite placer un correcteur qui satisfasse le cahier des charges :
– l’erreur de position de l’asservissement doit être nulle ;
– le premier dépassement doit être de l’ordre de 5% ;
– le temps de réponse de l’asservissement ne doit pas excéder 1/4 d’heure (900s).
Pour répondre à ce cahier des charges, on propose de calculer le correcteur :
D5 (p) =
K
(1 + Ti p)(1 + Td p)
Ti p
1. On choisit de compenser le pôle rapide du système pour obtenir une fonction de
transfert en boucle fermée d’ordre 2.
Quelle valeur doit prendre Ti ? Justifier ;
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13
1.6. ANALYSE ET SIMULATION À L’AIDE DE MATLAB
2. Pour quelle raison le correcteur D5 (p) peut-il satisfaire le cahier des charges ?
3. Traduire les spécifications désirées en terme de ζ et de ωn (tels que définis dans le
cours) ;
4. Déduire les paramètres K et Td ;
5. Définir, sous Matlab, le correcteur D5 (p) ;
6. Comparer les réponses indicielles des deux asservissements considérés.
Commenter.
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14
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1. ANALYSE D’UN PROCÉDÉ CHIMIQUE
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Problème n 2
o
Régulation de température
On dispose d’une enceinte dont on souhaite réguler la température par le contrôle d’un
débit de vapeur.
Le système représenté sur le schéma fonctionnel de la figure 2.1 décrit le fonctionnement
d’une enceinte à chauffage indirect. Il est constitué d’une vanne que l’on va commander
(application d’une tension u(t) sur un servomoteur permettant d’ouvrir ou de fermer la
vanne), d’un échangeur eau–vapeur, d’une enceinte dont on veut commander la température
en agissant sur la vanne et d’une pompe à débit constant. De l’ouverture de la vanne va
découler le débit de vapeur, la température de l’eau dans l’échangeur, le débit de vapeur
et la température de l’enceinte.
Figure 2.1 – Enceinte à chauffage indirect
Suite à une ouverture rapide de la vanne, l’évolution de la température T o (t) est décrite
par un comportement du second ordre – premier ordre au carré – dont le gain statique
Ke = 20o C/(m3 /s) et la constante de temps τe = 1200s (20 min).
Le modèle du servomoteur est donné :
Kp
X(p)
=
U (p)
p(1 + τp p)
16
2. RÉGULATION DE TEMPÉRATURE
pour lequel x(t) est la position linéaire de la soupape montée sur l’arbre du moteur. On
donne Kp = 2.10−4 m/V et τp = 0.5s.
La fonction de transfert de la vanne est assimilable à un gain de valeur Kv = 100(m3 /s)/m.
L’organe de mesure de la température est un capteur de gain Kc = 5.10−2 V/0 C.
1. Représenter le schéma blocs de la chaı̂ne directe du procédé ;
2. Un régulateur proportionnel K est implanté pour commander la température de l’enceinte par action sur la tension u(t). Représenter le schéma bloc de l’asservissement ;
3. Ecrire les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée ;
4. Faire une analyse de la stabilité de l’asservissement par le critère algébrique de Routh.
Retrouver analytiquement ce résultat à partir du module et de l’argument de la
fonction de transfert en boucle ouverte ;
5. Le lieu de transfert de la boucle ouverte pour K = 1 représenté dans le plan de Bode
est donné figure 2.2. Retrouver le résultat de la question précédente dans ce plan.
Bode Diagram
40
Magnitude (dB)
20
0
−20
−40
−60
−80
−90
Phase (deg)
−135
−180
−225
−270
−4
10
−3
10
−2
10
Frequency (rad/s)
Figure 2.2 – Boucle ouverte pour K = 1
6. Pour quelle(s) raison(s), dans le cas d’une correction proportionnelle, l’erreur de
position de l’asservissement est-elle nulle ?
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CSy – P2
17
7. Dessiner le comportement indiciel de l’asservissement pour K = 0.08.
On propose de remplacer le correcteur proportionnel par une correction proportionnelle dérivée (PD) de fonction de transfert :
D(p) = K (1 + Td p)
avec K = 0.08 et Td = 2539.
8. Quelle est l’influence de ce correcteur sur la précision de l’asservissement ?
9. Faire le tracé de la réponse harmonique de D(p) sur le graphique 2.3. Déduire celui
de la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte ;
Bode Diagram
40
Magnitude (dB)
20
0
−20
−40
Phase (deg)
−60
−80
90
45
0
−45
−90
−135
−180
−225
−270
−4
10
−3
10
−2
10
Frequency (rad/s)
Figure 2.3 – Boucle ouverte pour K = 1
10. Faire apparaı̂tre la marge de phase du système corrigé et conclure sur l’utilité du
correcteur D(p). Pour étayer votre propos la réponse indicielle de l’asservissement
corrigé est reportée sur la figure 2.4.
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18
2. RÉGULATION DE TEMPÉRATURE
Step Response
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Time (seconds)
Figure 2.4 – Réponse indicielle de l’asservissement corrigé par D(p)
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Problème n 3
o
Asservissement de niveau dans un
bac – Synthèse de correcteurs P.I.
On considére le système hydraulique à écoulement libre étudié dans un T.D. d’ASLC.
On considère ici que le modèle de l’ensemble vanne/bac, linéarisé autour d’un point de
fonctionnement choisi, s’écrit :
Hs⋆ (p)
1.5
G(p) = ⋆
=
U (p)
1 + 50p
Le capteur de niveau est supposé parfaitement linéaire et de gain Kc = 1V/cm.
La fonction de transfert du correcteur sera notée D(p). Dans un premier temps on considère
une correction proportionnelle D(p) = K.
1. Dessiner l’asservissement. Donner l’expression des fonctions de transfert T (p) en
boucle ouverte et F (p) en boucle fermée.
2. Donner l’expression de l’erreur de position de l’asservissement ?
3. Cet asservissement est-il déstabilisable par action sur K ? On pourra utiliser la
réponse harmonique de G(p), figure 3.1.
On remplace la correction proportionnelle par une correction intégrale pure de fonction de
transfert D(p) = Kp .
4. Quel est l’intérêt de cette correction ?
5. On souhaite calculer les deux valeurs de K pour lesquelles la pulsation ωn (telle quelle
est définie dans le cours) de l’asservissement égale 0, 1 rad/s et 1 rad/s.
Quelles sont les différences attendues pour les deux valeurs de K ?
En déduire l’amortissement, le premier dépassement et le temps de réponse.
6. Quel type de correcteur peut permettre d’apporter à cet asservissement une précision
infinie en position et un bon comportement dynamique.
On pose désormais D(p) =
K
(1
Ti p
+ Ti p)
7. La réponse fréquentielle de G(p) est reportée sur la figure 3.1. Proposer un correcteur
D(p) construit à partir de la plus grande valeur de gain trouvée à la question 5.
8. Calculer un nouveau correcteur D(p) répondant aux spécifications : temps de réponse
tr = 20s et amortissement ξ = 0.8.
20
3. ASSERVISSEMENT DE NIVEAU DANS UN BAC – SYNTHÈSE DE CORRECTEURS P.I.
Bode Diagram
40
20
33,3 G(p)
Magnitude (dB)
0
−20
G(p)
−40
−60
−80
−100
0
Phase (deg)
−30
−60
−90
−3
−2
10
−1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
10
3
10
Figure 3.1 – Réponse fréquentielle de G(p)
Step Response
2
1.8
1.6
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
Time (sec)
250
300
350
Figure 3.2 – Réponse indicielle de l’asservissement avec D(p) =
Ecole des Mines Albi Carmaux
400
0.33
p
et D(p) =
33.3
p
CSy – P2
21
Step Response
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Time (sec)
Figure 3.3 – Réponse indicielle de l’asservissement avec D(p) =
9,5
(1 + 7, 9p)
7,9p
33,3
(1
10p
+ 10p) et D(p) =
Bode Diagram
80
60
Magnitude (dB)
40
20
0
−20
−40
−60
0
Phase (deg)
−45
−90
−135
−3
10
−2
10
−1
0
10
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figure 3.4 – Illustration dans bode du correcteur P.I. de la question 7
CSy – P2
Ecole des Mines Albi Carmaux
22
3. ASSERVISSEMENT DE NIVEAU DANS UN BAC – SYNTHÈSE DE CORRECTEURS P.I.
Ecole des Mines Albi Carmaux
CSy – P2
Problème n 4
o
Asservissement de position angulaire
– Synthèse d’un correcteur Avance
de Phase
Nous considérons un asservissement de position angulaire. La fonction de transfert du
système à commander (modèle du moteur à courant continu dont on néglige la constante
de temps électrique) est :
G(p) =
1.69
K
=
p(1 + Tm p)
p(1 + 0.16p)
Le schéma bloc de l’asservissement est représenté sur la figure 4.1.
Figure 4.1 – Asservissement de position angulaire du moteur
On rappelle que le capteur de position angulaire est linéaire et de gain Ks = 10 V /tr et
que l’on pose Ke = Ks .
D(p) est la fonction de transfert d’un correcteur que nous allons synthétiser ; on propose
de faire l’étude du correcteur :
D(p) =
1 + τ1 p
1 + τp
Ce correcteur est de type avance de phase lorsque τ1 > τ .
4. ASSERVISSEMENT DE POSITION ANGULAIRE – SYNTHÈSE D’UN CORRECTEUR AVANCE DE
24
PHASE
Synthèse du correcteur D(p) par la méthode du modèle
On appelle méthode du modèle la méthode qui permet d’obtenir, par identification, les
paramètres d’un correcteur afin d’obtenir un modèle désiré en boucle fermée.
Nous proposons de calculer les paramètres τ1 et τ du correcteur D(p) afin que le système
asservi se comporte comme un système du second ordre avec un amortissement ξ = 0.7.
1. Quel effet peut avoir le correcteur D(p) sur la précision de l’asservissement ? Argumenter.
2. Nous avons deux paramètres à régler pour répondre à une spécification (amortissement) ; le degré de liberté va être utilisé en faisant une compensation du pôle lié
à la constante de temps mécanique : on pose τ1 = Tm .
Montrer que le modèle fonction de transfert du système asservi est, dans ce cas, un
modèle du second ordre.
3. Calculer le paramètre τ qui permet d’avoir un facteur d’amortissement ξ = 0.7.
4. Esquisser l’allure de la réponse indicielle de l’asservissement 1 et la comparer qualitativement à celle obtenue pour D(p) = 1.
Synthèse d’un correcteur avance de phase
On pose τ1 = aτ avec a > 1. Le correcteur avance de phase s’écrit alors :
D(p) =
1 + aτ p
,
1 + τp
a>1
Caractéristiques harmoniques de l’avance de phase
1. Tracer le comportement fréquentiel asymptotique de D(p) dans le plan de Bode.
2. Ecrire le module et l’argument de D(jω).
3. Montrer que l’argument est maximal 2 pour la pulsation ωmax =
pulsation sur le tracé asymptotique.
√1 .
aτ
Placer cette
4. On note Φmax , l’argument maximal. Montrer que :
√
1
Φmax = arctan a − arctan √
a
En utilisant les égalités trigonométriques adéquates 3 , montrer que l’on a la relation :
sin Φmax =
a−1
a+1
1. On rappelle que pour un modèle du second ordre, les caractéristiques dynamiques sont : tr ≃
3
σ
(−σ
−πξ
partie réelle du pôle dominant) ; tm ≃
2. On rappelle que
d arctan u
dω
=
1.8
ωn
; D1 = e
√
1−ξ2
.
1 du
1+u2 dω
3. On s’en sort rapidement en utilisant les égalités pratiques cos(arctan x) =
√ x
et sin(a − b) = sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a)
1+x2
Ecole des Mines Albi Carmaux
√ 1
,
1+x2
sin(arctan x) =
CSy – P2
25
5. Montrer que pour la pulsation ωmax , le module en décibels égale 10 log a.
6. Déduire des calculs précédents le tracé réel de la réponse harmonique de D(p).
7. De manière générale, quel est l’apport de ce correcteur sur le lieu de transfert de la
boucle ouverte.
Application à l’asservissement de position
Soient T1 (p) la fonction de transfert en boucle ouverte pour D(p) = 1 et TAvφ (p) la fonction
p
de transfert en boucle ouverte pour D(p) = 11++aτ
.
τp
La réponse harmonique de T1 (p) est représentée sur la figure 4.2, réponse à partir de laquelle
nous avions mesuré une marge de phase de 35o à la pulsation ω0dB = 9.5rad/s.
L’obejctif de l’exercice est de placer l’avance de phase D(p) pour améliorer le degré de
stabilité de l’asservissement et obtenir une marge de phase de 65o . Le correcteur D(p) doit
donc être calculé pour apporter :
Marge de phase à apporter = Marge de phase désirée − Marge de phase avant correction
soit :
Φmax = 65o − 35o = 30o
1. Calculer le paramètre a qui garantisse Φmax = 30o .
2. Sur la boucle ouverte après correction notée TAvφ (p), on souhaite que la pulsation de
mesure de la nouvelle marge de phase corresponde à celle que nous avons noté ωmax ,
c’est à dire à la pulsation où le correcteur apporte le maximum Φmax de phase.
Déterminer graphiquement la valeur de ωmax .
3. Déduire des résultats précédents la valeur de τ .
4. Esquisser la réponse harmonique de ce correcteur considéré seul en notant les valeurs
remarquables.
5. A partir de cette esquisse, tracer, sur la figure 4.2, la réponse harmonique de la
fonction de transfert TAvφ (p), boucle ouverte après correction.
6. Mesurer la nouvelle marge. Pourquoi ce résultat est-il un peu inférieur à la marge
escomptée ?
7. Afin de mettre en œuvre la démarche de placement d’un correcteur avance de phase
dans son intégralité, calculer un nouveau correcteur avance de phase tel que la marge
de phase égale 70o (travailler sur la figure 4.4. On majorera la quantité Φmax de départ
de 20%).
La figure 4.3 illustre les réponses indicielles de l’asservissement pour le correcteur D(p) = 1,
1+0.133p
l’avance de phase no 1 de fonction de transfert D(p) = 1+0.044p
et l’avance de phase no 2 de
fonction de transfert D(p) = 1+0.15p
.
1+0.03p
CSy – P2
Ecole des Mines Albi Carmaux
4. ASSERVISSEMENT DE POSITION ANGULAIRE – SYNTHÈSE D’UN CORRECTEUR AVANCE DE
26
PHASE
Phase (deg)
Gain en dB
40
30
20
10
0
−10
−20
−30
−40
−90
−135
−180
−1
10
0
10
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Figure 4.2 – Réponse harmonique de T1 (p)
Ecole des Mines Albi Carmaux
CSy – P2
27
Step Response
1.4
D(p)=1
avance de phase n°1
avance de phase n°2
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Time (sec)
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure 4.3 – Réponses indicielles de l’asservissement corrigé par avance de phase
CSy – P2
Ecole des Mines Albi Carmaux
4. ASSERVISSEMENT DE POSITION ANGULAIRE – SYNTHÈSE D’UN CORRECTEUR AVANCE DE
28
PHASE
Phase (deg)
Gain en dB
40
30
20
10
0
−10
−20
−30
−40
−90
−135
−180
−1
10
0
10
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Figure 4.4 – Réponse harmonique de T1 (p)
Ecole des Mines Albi Carmaux
CSy – P2