2. Transformée de Laplace

Faculté des Sciences et Techniques de Limoges
2007-08
e
Licence de Biologie, 3 semestre
S. Vinatier
Compléments de Mathématiques
2. Transformée de Laplace
Définition 1
Soient f une fonction définie sur [0, +∞[ et s ∈ R. L’intégrale de Laplace de f en s est, lorsqu’elle
R +∞
existe, l’intégrale 0 f (x)e−sx dx.
La transformée de Laplace de f est la fonction L(f ), définie aux valeurs de s pour lesquelles
l’intégrale de Laplace existe par :
Z +∞
f (x)e−sx dx .
L(f )(s) =
0
Exercice 1 (Exemples)
Pour chacune des fonctions suivantes, dire pour quelles valeurs de s la transformée de Laplace est
définie et la calculer :
(a) la fonction constante égale à 1 ;
(b) la fonction qui vaut 0 pour x < a (a est un réel positif fixé) et qui vaut 1 pour x ≥ a ;
(c) e−bx , où b ∈ R ;
(d) eiωx , où ω est un nombre réel. On pourra remarquer que e(iω−s)t = e−st .
(e) En déduire la transformée de Laplace de cos(ωx) et sin(ωx).
Exercice 2 (Linéarité)
Soient f et g des fonctions pour lesquelles les transformées de Laplace L(f ) et L(g) existent.
(a) Montrer que L(f + g) = L(f ) + L(g) et que L(bf ) = b L(f ) pour tout b ∈ R.
a
(b) Soient a et b des réels, en déduire que L(a + bf ) = + b L(f ).
s
On rappelle que la fonction a + bf est définie par (a + bf )(x) = a + bf (x).
(c) Calculer L(1 + 2e−5x ).
Exercice 3 (Dérivées et primitives)
(a) Supposons f dérivable, montrer que :
L(f 0 )(s) = s L(f )(s) − f (0)
On rappelle la formule d’intégration par parties :
Rb
a
u0 (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba −
(b) En déduire la formule suivante :
L(f 00 ) = s2 L(f )(s) − sf (0) − f 0 (0) .
Rb
a
u(x)v 0 (x)dx.
(c) Calculer de deux manières L(g 0 ) où g(x) = 1 + 2e−5x .
(d) Soit F la primitive de f qui vaut 0 en 0, déduire de ce qui précède :
1
L(f )(s) .
s
Soit Fa la primitive de f qui vaut a en 0, montrer que :
L(F )(s) =
1
L(Fa )(s) = (a + L(f )(s)) .
s
(e) Calculer de deux manières L(G1 ) où G1 est la primitive de g qui vaut 1 en 0.
Exercice 4 (Dérivation)
Soit f une fonction dont la transformée de Laplace L(f ) existe. On admet que celle-ci est dérivable
et que sa dérivée par rapport à s est donnée par :
Z +∞
0
f (x)(e−sx )0 dx .
L(f ) (s) =
0
(a) Montrer que L(f )0 = − L(xf (x)).
(b) En déduire que L(f )00 = L(x2 f (x)), L(f )000 = − L(x3 f (x)),...
(c) Calculer L(x), L(x2 ),... puis L(1/x) (à une constante près).
Exercice 5 (Equation différentielle)
On considère l’équation différentielle :
y 0 (x) + 3y(x) = 1 + 2e−5x ,
(1)
avec comme condition initiale y(0) = 0.
(a) Ecrire la transformée de Laplace de (1). On posera Y = L(y).
3s + 5
(b) En déduire : Y =
.
s(s + 3)(s + 5)
3s + 5
α
β
γ
(c) Décomposer la fraction en éléments simples :
= +
+
.
s(s + 3)(s + 5)
s s+3 s+5
(d) A l’aide des transformées de Laplace calculées dans l’exercice 1, en déduire la solution de (1).
(e) Retrouver cette solution par la méthode habituelle (solution générale de l’équation sans second
membre + solution particulière).
Exercice 6
Résoudre l’équation différentielle :
y 00 (x) + y 0 (x) − 2y(x) = x2 − 3x + 1 ,
avec comme conditions initiales y(0) = y 0 (0) = 0.
On donne la forme de la décomposition en éléments simples de la fraction qui apparaı̂t :
s−2
α
β
γ
δ
= + 2+ 3+
,
+ 2)
s s
s
s+2
s3 (s
pour laquelle on devra déterminer les nombres α, β, γ, δ.
(2)