Démonstration 11 - XMaths
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Démonstration 11 - XMaths
Démonstration 11 → u → • Soit t une translation de vecteur u . Soit M un point du cercle de centre O et de rayon R. On a OM = R . Si on note O' et M' les images de O et M par la translation t, on sait que O'M' = OM Donc O'M' = R Donc M' est un point du cercle de centre O' et de rayon R . NB : On a ainsi démontré que l'image du cercle de centre O et de rayon R est contenue dans le cercle de centre O' et de rayon R. R R Inversement soit N un point du cercle de centre O' et de rayon R. On a O'N = R Considérons le point M image de N par la translation t' réciproque de t. On a alors M = t'(N) donc N = t(M). Comme on sait que O' = t(O) on en déduit que O'N = OM donc OM = R c'est-à-dire que M appartient au cercle de centre O et de rayon R. Donc tout point N du cercle de centre O' et de rayon R est l'image d'un point M du cercle de centre O et de rayon R. On en conclut que : L'image par t du cercle de centre O et de rayon R est le cercle de centre O' = t(O) et de rayon R. Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu I de [AB] et pour rayon AB . 2 Une translation conserve le milieu (conservation du barycentre) et conserve les distances. L'image du cercle de diamètre [AB] est donc le cercle de centre I', milieu de [A'B'], et de rayon AB = A'B' c'est-à-dire le cercle de diamètre [A'B']. 2 2 On en conclut que : L'image du cercle de diamètre [AB] est le cercle de diamètre [A'B'] avec A' = t(A) et B' = t(B). Le cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O et de rayon OA. Une translation conserve les distances, donc l'image du cercle de centre O et de rayon OA est le cercle de centre O' et de rayon O'A' = OA, c'est-à-dire le cercle de centre O passant par A'. On en conclut que : L'image du cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O' passant par A'. http://xmaths.free.fr 1èreS − Translations − Homothéties − Démonstrations • Soit h une homothétie de centre Ω et de rapport k. Soit M un point du cercle de centre O et de rayon R. On a OM = R . Si on note O' et M' les images de O et M par l'homothétie h, on sait que O'M' = |k| OM . Donc O'M' = |k| R . Donc M' est un point du cercle de centre O' et de rayon |k| R . |k|R NB : On a ainsi démontré que l'image du cercle de centre O et de rayon R est contenue dans le cercle de centre O' et de rayon |k| R. Inversement soit N un point du cercle de centre O' et de rayon |k| R. R On a O'N = |k| R . Considérons le point M image de N par l'homothétie h' réciproque de h . On a alors M = h'(N) donc N = h(M). Comme on sait que O' = h(O) on en déduit que O'N = |k| OM donc OM = 1 O'N = 1 |k| R = R Ω |k| |k| c'est-à-dire que M appartient au cercle de centre O et de rayon R. Donc tout point N du cercle de centre O' et de rayon R est l'image d'un point M du cercle de centre O et de rayon R. On en conclut que : L'image par h du cercle de centre O et de rayon R est le cercle de centre O' = h(O) et de rayon |k| R. Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu I de [AB] et pour rayon AB . 2 Une homothétie conserve le milieu et multiplie les distances par |k|. L'image du cercle de diamètre [AB] est donc le cercle de centre I', milieu de [A'B'], et de rayon |k| AB = A'B' c'est-à-dire le cercle de diamètre [A'B']. 2 2 On en conclut que : L'image du cercle de diamètre [AB] est le cercle de diamètre [A'B'] avec A' = h(A) et B' = h(B). Le cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O et de rayon OA. Une homothétie multiplie les distances par |k|, donc l'image du cercle de centre O et de rayon OA est le cercle de centre O' et de rayon |k| OA = O'A', c'est-à-dire le cercle de centre O passant par A'. On en conclut que : L'image du cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O' passant par A'. http://xmaths.free.fr 1èreS − Translations − Homothéties − Démonstrations • Soit r une rotation d'angle α. Soit M un point du cercle de centre O et de rayon R. On a OM = R . Si on note O' et M' les images de O et M par la rotation R, on sait que O'M' = OM Donc O'M' = R Donc M' est un point du cercle de centre O' et de rayon R . NB : On a ainsi démontré que l'image du cercle de centre O et de rayon R est contenue dans le cercle de centre O' et de rayon R. Inversement soit N un point du cercle de centre O' et de rayon R. On a O'N = R Considérons le point M image de N par la rotation r' réciproque de r. On a alors M = r'(N) donc N = r(M). Comme on sait que O' = r(O) on en déduit que O'N = OM donc OM = R c'est-à-dire que M appartient au cercle de centre O et de rayon R. Donc tout point N du cercle de centre O' et de rayon R est l'image d'un point M du cercle de centre O et de rayon R. On en conclut que : L'image par r du cercle de centre O et de rayon R est le cercle de centre O' = r(O) et de rayon R. Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu I de [AB] et pour rayon AB . 2 Une rotation conserve le milieu (conservation du barycentre) et conserve les distances. L'image du cercle de diamètre [AB] est donc le cercle de centre I', milieu de [A'B'], et de rayon AB = A'B' c'est-à-dire le cercle de diamètre [A'B']. 2 2 On en conclut que : L'image du cercle de diamètre [AB] est le cercle de diamètre [A'B'] avec A' = r(A) et B' = r(B). Le cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O et de rayon OA. Une rotation conserve les distances, donc l'image du cercle de centre O et de rayon OA est le cercle de centre O' et de rayon O'A' = OA, c'est-à-dire le cercle de centre O passant par A'. On en conclut que : L'image du cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O' passant par A'. http://xmaths.free.fr 1èreS − Translations − Homothéties − Démonstrations