Correction des systèmes asservis

Correction
des systèmes asservis
Sommaire
1.
Introduction............................................................................................................................................... 2
1.1.
1.2.
2.
Les correcteurs classiques ..................................................................................................................... 4
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3.
Généralités ...................................................................................................................................... 2
Dilemme stabilité - précision - rapidité............................................................................................. 3
Correcteur par action proportionnelle .............................................................................................. 4
Correcteur par actions proportionnelle et intégrale (PI) .................................................................. 5
Correcteur par actions proportionnelle et dérivée (PD) ................................................................... 7
Correcteur par actions proportionnelle, intégrale et dérivée (PID) .................................................. 9
Résumé sur les correcteurs classiques .............................................................................................. 10
PSI/MP
Correction d’un système asservi
Lycée Paul Valéry
1. Introduction
1.1. Généralités
Une boucle d’asservissement répond à un besoin (garantir la position d’un mobile, sa vitesse en
toutes circonstances, reproduire aussi fidèlement que possible une consigne, etc.). Les exigences
permettant de quantifier ce besoin se traduisent par des performances attendues. Ces performances et
leurs niveaux sont consignés dans le Cahier des Charges Fonctionnelles (CdCF) :
Précision (εεs, εT,…), Amortissement, Dépassement (D%) ou non, Rapidité (tr5%).
Le concepteur intègre ces contraintes dans ses calculs d’avant-projet en évaluant dans un premier temps
les performances intrinsèques du système, puis en les améliorant par une correction ou compensation.
Cette dernière est effectuée dans le domaine fréquentiel en travaillant sur la réponse harmonique en
BO dans le plan de Bode, de Nyquist ou de Black.
Plan de Bode
Plan de Nyquist
ℑm
dB
Gain G
KdB
ω
0
0.01
0.1
0
-1
Précision
1
Précision
Stabilité
10
ωu
Rapidité
Rapidité
ℜe
ω=0
ω
ωu
Plan de Black
0.01
0.1
1
0°
Phase ϕ
G(dB)
ω
ω
ω=0
Stabilité
-90°
- 180°
Stabilité
-180°
Précision
ωu
0°
Rapidité
ω→∞
La stabilité
La stabilité est liée aux caractéristiques de la FTBO au voisinage de ωu.
Un système est d’autant plus stable en BF que sa marge de phase Mϕ
ϕ est importante.
La précision
La précision est conditionnée par la forme de la FTBO aux "basses fréquences".
Elle requiert un gain élevé KdB = 20.log10 K et / ou une plusieurs intégrations en BO.
La rapidité
La rapidité est conditionnée par la caractéristique de la FTBO aux "hautes fréquences".
Elle exige une bande passante (ω
ωu) à 0 dB du système la plus grande possible.
FBK
2/10
ϕ(°)
PSI/MP
Correction d’un système asservi
Lycée Paul Valéry
1.2. Dilemme stabilité - précision - rapidité
Pour mettre en évidence l’opposition entre les exigences souhaitées, examinons les effets contradictoires
d’une variation du gain statique K de la FTBO sur les différents diagrammes. On prend comme exemple :
HBO (p) =
K
1 + ...
Que deviennent les différents diagrammes lorsque le gain statique passe de K à K' > K ?
Vous tracerez les évolutions en pointillés (---).
Plan de Bode
Plan de Nyquist
On translate verticalement la courbe de gain.
On effectue une homothétie d’un facteur : …… .
ℑm
G (dB)
K'dB
ω=0
0
-1
KdB
ω
A
0
ℜe
K'
K
ω
Plan de Black
ϕ (°)
0
ω
On translate verticalement toute la courbe.
G(dB)
K'dB
ω
ω=0
0°
- 180°
KdB
ϕ(°)
- 180°
ω→∞
CONCLUSION
+ Toute augmentation de K améliore la ………………………. ;
+
"
"
augmente la ………………………… (rapidité) ;
"
"
diminue la ………………………….. .
MAIS
-
Si K est faible, la stabilité sera très bonne mais l’asservissement sera "mou" (peu rapide et précis).
Avec K élevé, on "raidit" l’asservissement mais on risque l’instabilité. Comme ce paramètre est facile à
régler, le gain optimum pour une application donnée sera un compromis entre la stabilité et les autres
performances.
Pour maîtriser séparément chacun des aspects évoqués, il est donc nécessaire d’adopter des stratégies
de correction qui permettent des modifications "locales" de la réponse harmonique en BO.
FBK
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PSI/MP
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2. Les correcteurs classiques
ε(p)
E(p)
En pratique, les correcteurs sont insérés
dans la chaîne directe, en sortie du
comparateur afin de travailler sur des
signaux peu énergétiques, et en série avec
le processus. On parle de correction série.
+-
U(p)
C(p)
S'(p)
S(p)
H(p)
K(p)
Ils ont pour but de délivrer un signal de commande u(t) de manière à préserver les exigences de précision et
stabilité à priori incompatibles. On distingue trois fonctions principales :
u(t) = K ⋅ ε (t)
L’action proportionnelle P :
L’action intégrale I :
L’action dérivée D :
u(t)
1
=
Ti
⇒
U (p ) =
………………..…….
⇒
U (p ) =
……………….……..
⇒
U (p ) =
………………………
t
∫ε
( τ)
⋅ dτ
0
u ( t ) = Td
dε ( t )
dt
2.1. Correcteur par action proportionnelle
Dans ce type de correcteur, le signal de commande u(t) est proportionnel au signal d’erreur ε(t) :
u (t) = K ⋅ ε (t)
C(p) = K
⇒
En raison des effets contradictoires induits, on choisit comme critère principal, le réglage de la stabilité. On
réglera K à partir du diagramme de Bode de la FTBO pour obtenir Mϕ
ϕ = 45 à 60° ⇒ D1% = 10 à 20 %.
Exemple : On donne
20 dB
K
HBO (p) =
p ⋅ (1 + 0,1p) ⋅ (1 + 0,2 p)
Déterminer à partir du
diagramme de Bode de
la FTBO la valeur de K
pour avoir Mϕ
ϕ = 45° ?
GAIN
0 dB
0,1
1
10 dB
- 20 dB
10
10
ω (rad/s)
2
Augmentation
limite 24 dB
- 40 dB
- 60 dB
Le tracé a été effectué pour K = 1.
- 80 dB
0,1
1
3
10
10
0°
PHASE
Quelle serait la valeur
correspondante de ωU ?
- 45°
- 90°
Pour quelles valeurs de K
le système deviendrait-il
instable ?
- 135°
80°
- 180°
- 225°
- 270°
FBK
4/10
2
ω (rad/s)
PSI/MP
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2.2. Correcteur par actions proportionnelle et intégrale (PI)
L'action intégrale permet d’annuler l’erreur statique εS.
Pour ne pas altérer la stabilité réglée par l’action proportionnelle (gain K), le correcteur doit donc procurer
une augmentation du gain aux "basses fréquences" uniquement.
Le plus simple serait d’introduire un intégrateur pur qui donnerait un gain infini aux "basses fréquences" et
de ce fait entraînerait une erreur statique nulle. Malheureusement, il aurait pour effet immédiat de
déstabiliser le système en retirant 90° de phase à toutes les fréquences.
On préfère utiliser un correcteur qui présente les mêmes caractéristiques aux basses fréquences" mais sans
ajouter de phase aux "hautes fréquences".
Dans ce type de correcteur, le signal de commande u(t) est lié au signal d’erreur ε(t) par :

1
u(t) = K ⋅  ε (t) +

Ti

t
∫ε
0
(τ)

⋅dτ 


⇒
C(p) =
CdB
Tracer le diagramme de Bode de ce
U(p)
=
ε(p)
……………………………………………………..
- 20 dB / décade
correcteur sur le graphe ci-contre.
On constate que ce correcteur n’influence pas
la phase pour ω > 10.ω
ωi.
20 log K
ω
0
Calculer la valeur de ϕC pour ω = 10.ω
ωi.
ωi = 1/Ti
K/Ti
ϕC = Arctan (10) – 90°
ϕC
ωi
0
- 6°
Placement :
Si le système ne possède pas trop de marge de
phase (Mϕ ≈ 45°), on place le correcteur PI à
une décade en avant de la pulsation ωU de la
FTBO pour ne pas trop réduire Mϕ
ϕ:
10.ω
ωi
ω
- 45°
- 90°
ωi ≈ ωU / 10
Action
Intégrale
Sinon, on peut le placer plus près jusqu’à :
Action
proportionnelle
ωU / 4
L’autre solution consiste à compenser le pôle dominant s’il est connu.
Lorsque la boucle ouverte du système non corrigé présente déjà une intégration, l’action intégrale est inutile.
C’est le cas d’un asservissement de position.
ε(p)
E(p)
+-
Correcteur
position
Amplificateur
Hacheur +
moteur
Cp(p)
A(p)
Hm(p)
Intégration fonctionnelle
permettant de passer de
la vitesse à la position.
Ω(p)
1
θ(p)
p
Kp(p)
Capteur position
FBK
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PSI/MP
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Exemple : On donne
60 dB
GAIN
15
HBO (p) =
(1 + 0,01p) ⋅ (1 + 0,1p)
Avec correcteur PI
40 dB
Le système avant correction
présente une marge de phase
de 48° pour ωU = 110 rad/s.
20 dB
Sans correcteur
Si on désire εS = 0, il faut ajouter
un correcteur à action intégrale.
Comme la marge de phase est
limite, il faut placer ce correcteur
de manière à ne pas trop la
réduire. En plaçant la pulsation
de cassure du correcteur à
ωi ≈ ωU / 10, on ne retire que 6°
à la marge de phase existante.
ωU = 110 rad/s
0 dB
2
1
10
10
1
10
10
10
3
ω (rad/s)
- 20 dB
- 40 dB
2
10
0°
ω
ω i = U = 11 rad / s
10
Sans correcteur
3
ω (rad/s)
PHASE
- 45°
⇒
⇒
1
Ti =
= 0,09 s
ωi
C(p) =
Avec correcteur PI
- 90°
1 + 0,09p
0,09 p
Si on place ωi à plus d’une
décade en avant de ωU, on ne
gagne rien en précision, mais
on ralentit à l’approche de la
valeur finale.
- 135°
Marge de phase
avant correction
Mϕ = 48°
Mϕ
ϕ = 42°
- 180°
En d’autres termes, plus l’action intégrale agit dans les "hautes fréquences" (Ti faible), plus elle est rapide,
mais elle risque de perturber la stabilité du système. Une simulation permet de vérifier le résultat obtenu
(système bouclé à retour unitaire) en observant la réponse indicielle s(t) à un échelon e(t) de 1 V en entrée :
Avec correcteur PI
Ti = 0,09 s
Ti = 0,23 s
Sans correcteur
On note la diminution de l’erreur statique, tout en constatant que
celle-ci prend un "certain temps" si Ti est élevée. Le dépassement
est d’autant plus important que Ti est faible (effet déstabilisant de
l’action intégrale).
FBK
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2.3. Correcteur par actions proportionnelle et dérivée (PD)
On modifie avec ce type de correction le comportement du système aux alentours de la pulsation de
coupure à 0 dB (ωU) de la FTBO :
Soit pour stabiliser un système ne possédant pas assez de marge de phase ;
Soit pour augmenter le gain (donc la rapidité) sans déstabiliser le système.
Dans ce type de correcteur, le signal de commande u(t) est lié au signal d’erreur ε(t) par :
dε ( t )

u ( t ) = K ⋅  ε ( t ) + Td
dt





CdB
+ 20 dB/décade
20.log K
Donner la fonction de transfert C(p) de
ω
0
ce correcteur :
1/Td
C(p) =
U(p)
= ………………………………
ε(p)
Tracer le diagramme de Bode de ce
correcteur sur le graphe ci-contre.
Problème : Cette fonction de transfert
n’est pas réalisable car elle amplifie
tous les bruits HF.
ϕC
90°
45°
ω
0
1/Td
En pratique, on coupe la bande passante en HF en limitant le gain. La fonction de transfert s’écrit (0 < a < 1) :
C(p) = K ⋅
1 + Td p
1 + aTdp
CdB
Tracer le diagramme de Bode de ce
correcteur sur le graphe ci-contre.
Caractéristiques du correcteur :
 ϕC (ω) = Arctg (Tdω) − Arctg (aTdω)


1 + (Tdω)2
C
(
ω
)
=
20
log
10
 dB
1 + (aTdω)2

0
1/Td
ωm
1/aTd
1/Td
ωm
1/aTd
ω
ϕC
90°
Le maximum est obtenu pour :
dϕ C ( ω m )
=0
dω
⇒
ωm =
1
ωm est au milieu de 1/Td et 1/aTd en échelle
logarithmique. Pour cette pulsation :
ϕ m = arcsin
1− a
1+ a
0
a Td
………………………………
ω
………………………………
 K 

G m = 20 log 10 

 a
Un tel correcteur est aussi appelé correcteur à avance de phase. Il n’y a pas de méthode générale de
réglage d’un tel correcteur (cf. TP simulation). Simplement, il introduit une action dérivée dans une bande de
fréquences qui devra coïncider avec la pulsation ωU de la FTBO à corriger.
FBK
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Exemple : On donne
Lycée Paul Valéry
20 dB
GAIN
ωU = 0,62 rad/s
1
HBO (p) =
p ⋅ (1 + 2 p) ⋅ (1 + 0,2 p)
0 dB
0,1
Le système avant correction
présente une marge de phase
de 32°. Cela correspond à un
dépassement indiciel important
(> 30%). Pour le réduire, il faut
augmenter la marge de phase.
On prend par exemple 60° pour
limiter le dépassement à ≈ 10%.
En déduire l’avance de
1
10
10
2
ω (rad/s)
- 20 dB
Avec correcteur PD
- 40 dB
Sans correcteur
- 60 dB
- 80 dB
- 100 dB
phase apportée par le
correcteur puis les
valeurs de a et Td.
0,1
1
10
10
- 90°
2
ω (rad/s)
PHASE
Mϕ
ϕ = 60°
- 135°
- 180°
Le gain apporté par C(p) à la
pulsation ωm = ωu doit être nul.
Marge
de phase
avant
correction
Mϕ = 32°
Avec correcteur PD
- 225°
En déduire la valeur de K.
Sans correcteur
- 270°
La fonction de transfert du correcteur a donc pour expression :
C(p) =
Une simulation permet de vérifier le résultat obtenu (système bouclé à retour unitaire) en observant la
réponse indicielle s(t) à un échelon e(t) de 1 V en entrée :
Sans correcteur
Avec correcteur PD
On note une nette amélioration de l’amortissement que l’on
peut caractériser par la diminution du dépassement indiciel
(passage de 40 % à 10 %).
FBK
8/10
PSI/MP
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2.4. Correcteur par actions proportionnelle, intégrale et dérivée (PID)
Le correcteur "dérivé" et le correcteur "intégral" concernent des domaines de fréquences très différents
(basses fréquences pour l’intégral et hautes fréquences pour le dérivé), il est parfois judicieux d’associer les
deux correcteurs en un seul. On obtient alors un correcteur PID qui améliore les performances globales. Le
signal de commande u(t) est lié au signal d’erreur ε(t) par :

1
u (t) = K ⋅  ε (t) +

Ti

t
∫
ε ( τ ) dτ +Td
0
dε ( t ) 
dt 



1
C (p) = K ⋅  1 +
+ Tdp 
T
p
i


⇒
C(p) = K ⋅
La fonction de transfert C(p) du correcteur s’écrit encore :
1 + Tip + Ti Tdp 2
Ti p
Une des configurations couramment rencontrées utilise un PID avec Ti ≥ 4Td .
On montre alors que le numérateur s’exprime sous la forme d'un produit de 2 premiers ordres :
C(p) = K ⋅
avec :
T1 =
Ti
2

4Td
⋅ 1 + 1 −
Ti




(1 + T1p)(1 + T2 p)
Tip
T2 =
et
Ti
2

4Td
⋅ 1 − 1 −
Ti




Tracer le diagramme asymptotique de ce correcteur pour K > 1 :
CdB
ω
0
1/T1
K/Ti
1/T0
1/T2
ϕC
90°
ω
0
1
T1 T2
=
1
Ti Td
-90°
………………………………
………………………………
………………………………
Différentes techniques sont utilisées pour dimensionner un PID. La plus répandue est celle de Ziegler et
Nichols. L’objectif ici est de ne pas rentrer dans le détail de ces techniques. De nombreux ouvrages
l’évoquent (cf. cours écoles d’ingénieurs).
FBK
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3. Résumé sur les correcteurs classiques
Correcteur P
Correcteur PI
• Schéma fonctionnel
ε(p)
K
U(p)
Correcteur PD
• Schéma fonctionnel
• Schéma fonctionnel
• Schéma fonctionnel
1
1
1
ε(p)
+
K
U(p)
ε(p)
+
K
1/Tip
C(p) = K ⋅
C(p) = K
• Diagramme de Bode (squelette)
CdB
1 + Tip
Ti p
I (-20 dB/déc)
ω
ω
0
0
ϕC
0
K
C(p) = K ⋅
D
ω
K/Ti
ω
-90°
0
ϕC
90°
U(p)
1 + Ti p + Ti Tdp 2
Ti p
(-20 dB/déc)
(+20 dB/déc)
P
ω
1/Td
ω
(+20 dB/déc)
CdB
I
0
+
• Diagramme de Bode (squelette)
KdB
1/Ti
Td.p
1/Tip
• Diagramme de Bode (squelette)
CdB
KdB
0
ϕC
ε(p)
C(p) = K ⋅ (1 + Tdp)
P
KdB
U(p)
Td.p
• Diagramme de Bode (squelette)
CdB
P
Correcteur PID
0
ϕC
+90°
0
P
1/T1 K/Ti
D
ω
1/T2
ω
-90°
1/Td
• Caractéristiques
Il améliore la précision et la
rapidité si K augmente au
détriment de la stabilité.
FBK
• Caractéristiques
Il annule l’erreur statique en
augmentant le gain statique aux
basses fréquences.
• Caractéristiques
Il augmente la marge de phase
et donc améliore la stabilité. Il
influe également sur la rapidité.
10/10
• Caractéristiques
Il combine les effets de l’action
intégrale (annulation de l’erreur
statique) et de l’action dérivée
(stabilité et rapidité accrues).