Suites arithmétiques et géométriques

1
Suites arithmétiques
et géométriques
cΧ
Activité 1
Forage d’un puits
Suite arithmétique
Une entreprise de forage propose le tarif suivant :
• 100 € le premier mètre ;
• 110 € le deuxième mètre ;
• 120 € le troisième mètre…
et ainsi de suite.
On admet que les prix de
chaque mètre foré forment
une suite arithmétique (voir
BEP) de premier terme
u 1 = 100.
1. Donnez la raison r de cette
suite.
2. Déterminez le prix du cinquième mètre.
3. Exprimez le prix du mètre
de rang n + 1 en fonction du
prix du mètre de rang n.
4. Exprimez le prix du mètre
de rang n en fonction de u 1,
de r et de n.
5. Utilisez cette relation pour
calculer le prix du 15e mètre.
6. Essayez de déterminer le
prix total pour un forage de
15 mètres.
L’objectif de la leçon est
d’aborder une méthode permettant de répondre rapidement à la dernière question.
1. Suites arithmétiques et géométriques
7
Activité 2
Spirales
Suite géométrique
Les spirales sont des
formes géométriques
que l’on rencontre
dans notre quotidien
(balancier annulaire,
coquilles…). Il existe
différentes formes de
spirales.
On va étudier ici la
spirale constituée de
demi-cercles comme
l’indique le schéma cidessous.
La longueur du premier demi-cercle (le
plus petit) est p (en
centimètres).
1. Exprimez de même
les longueurs des
autres demi-cercles en
fonction de p.
2. Les quatre nombres
obtenus forment une
suite géométrique :
quelle est la raison de
cette suite (voir BEP) ?
3. Exprimez la longueur de la spirale en
fonction de p.
Mais si on devait
calculer la longueur
d’une spirale constituée de 10, 100 demicercles… ce travail
s’avèrerait vite fastidieux et très long !
Dans ce chapitre on
apprendra à calculer la
somme des termes
d’une suite géométrique ; on pourra alors
répondre facilement à
cette question.
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Cours
1
Suites arithmétiques
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
1 a Définition
Une suite arithmétique (un ) est définie par :
• son premier terme u 1 ;
• la relation un + 1 = un + r, où r est la raison.
Remarque : un est appelé terme de rang n.
Exemple
Les nombres impairs forment la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
2 a Expression de un en fonction de u1, r et n
Le terme de rang n est donné par l’expression u n = u 1 + (n – 1)r.
Démonstration :
u2 = u1 + r
u 3 = u 2 + r = u 1 + 2r
u 4 = u 3 + r = u 1 + 3r …
Exemple
Le 25e nombre impair est u 25 = 1 + 24 ¥ 2 = 49.
Remarque : Si le premier terme de la suite est noté u 0 , l’expression de u n est :
u n = u 0 + nr.
3 a Somme des k premiers termes
La somme des k premiers termes d’une suite arithmétique est :
u1 + uk
.
Sk = u1 + u2 + … + u k = k —
2
Démonstration :
En remarquant que u1 + uk = u2 + uk – 1 = u3 + uk – 2 = …
et en ajoutant membre à membre les deux égalités suivantes :
u1 +
u2
+ … + uk – 1
+
Sk =
Sk =
uk +
uk – 1
+…+
u2
+
uk
u1
on obtient 2 ¥ Sk = (u 1 + uk ) + (u2 + uk – 1) + … + (u2 + uk – 1) + (u 1 + uk ) = k(u 1 + uk )
soit
Sk =
k (u 1 + uk )
.
2
1. Suites arithmétiques et géométriques
9
Exemple
Dans l’activité 1, les prix de chaque mètre de forage forment la suite arithmétique de premier terme u1 = 100 et de raison r = 10. Le prix du 15e mètre foré
est : u15 = 100 + 14 ¥ 10 = 240.
Le prix total des 15 mètres est la somme des 15 premiers termes de la suite :
S15 =
15 ¥ (100 + 240)
= 2 550 €.
2
Remarque : Si le premier terme de la suite est noté u 0 , la somme des k premiers
termes est :
k(u 0 + u k – 1 )
.
Sk = u 0 + u 1 + … + uk – 1 =
2
2
Suites géométriques
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
1 a Définition
Une suite géométrique (un ) est définie par :
• son premier terme u 1 ;
• la relation un + 1 = un q, où q est la raison, q ≠ 0.
Exemple
Une production initiale de 5 000 unités augmente tous les mois de 10 % : les productions mensuelles forment la suite géométrique de premier terme u 1 = 5 000
et de raison q = 1,1.
2 a Expression de un en fonction de u1, q et n
Le terme de rang n est donné par l’expression u n = u 1 q n – 1.
Démonstration :
u2 = u1q
u3 = u2q = u1q 2
u 4 = u 3q = u 1q 3 …
Exemple
Dans l’exemple précédent, la production du 12 e mois est :
u 12 = 5 000 ¥ 1,111 ª 14 266 unités.
Remarque : Si le premier terme de la suite est noté u 0 , l’expression de u n est :
u n = u 0 q n.
10
3 a Somme des k premiers termes
La somme des k premiers termes d’une suite géométrique est :
1 – qk
Sk = u1 + u2 + … + uk = u1 — , q ≠ 1.
1–q
Remarque : Si q = 1, la suite est constante : u1 = u2 = u3 = …
Démonstration :
On remarque que : u2 = u1 q, u3 = u2 q, …, uk + 1 = uk q.
On calcule qSk :
qSk = q(u 1 + … + u k ) = qu 1 + … + q u k = u2 + … + uk + 1
et on ajoute membre à membre les égalités :
u2 + u3 + ….. + u k + uk + 1
qSk =
– Sk = – u 1 – u2 – … – u k – 1 – u k
qk – 1
1 – qk
On obtient (q – 1) Sk = uk + 1 – u 1, soit Sk = u 1
ou Sk = u 1
.
q–1
1–q
Exemple
Dans l’activité 2, la spirale est constituée de demi-cercles dont les longueurs forment la suite géométrique de premier terme u 1 = p et de raison q = 2.
La longueur de la spirale formée de 10 demi-cercles est :
S10 = p ¥ 2 9 ª 1 608 cm.
La longueur de la spirale formée de 100 demi-cercles est :
S100 = p ¥ 2 99 ª 2 ¥ 10 30 cm.
Remarque : Si le premier terme de la suite est noté u 0 , la somme des k premiers
termes est :
1 – qk
.
Sk = u 0 + u 1 + … + uk – 1 ou Sk = u 0
1–q
L’ESSENTIEL
Suites
arithmétiques
géométriques
Définition
un + 1 = un + r
un + 1 = un q
u 1 premier terme
r : raison arithmétique
q : raison géométrique
Calcul du terme de rang n
u n = u 1 + (n – 1)r
un = u1 q n – 1
Somme des k premiers termes
Sk =
n(u 1 + uk )
2
Sk = u 1
1 – qk
, q ≠ 1.
1–q
1. Suites arithmétiques et géométriques
11
Exercices
1 On note (u n ) une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r.
Dans les cas suivants, calculez u n .
8 Trois nombres a, b et c forment une suite
géométrique de raison q = 3.
1. Exprimez a et c en fonction de b.
1. u1 = 10 ; r = 1,5 ; n = 12.
2. u1 = 150 ; r = – 2 ; n = 50.
2.
3. u1 = – 4 ; r = 1 ; n = 10.
3. Déduisez les valeurs de a et c.
2
X
Déterminez b, à l’aide d’une calculatrice,
pour que abc = 3 375.
9
On note (u n ) une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q.
Dans les cas suivants, calculez u n .
Soit la suite (u n ) définie par u1 = 8 et
3
un + 1 = un + .
2
1. u1 = 10 ; q = 2 ; n = 15.
1. Donnez la nature et la raison de la suite.
2. u1 = 200 ; q = 1 ; n = 20.
2
2. Calculez les cinq premiers termes de (u n ).
2
3. u1 = 40 ; q = 0,7 ; n = 11.
3
Une suite arithmétique a pour premier
terme u1 = 5 et pour raison 3.
1.
2.
3.
4.
Calculez u 2 et u 3 .
10 Soit la suite (u n ) définie par u1 = 8 et
un + 1 =
3
u.
2 n
Exprimez u n en fonction de n.
1. Donnez la nature et la raison de la suite.
Calculez u 25.
2. Calculez les cinq premiers termes de (u n ).
Calculez S25.
3. Calculez S10.
Exprimez u n en fonction de n.
11 1. Soit la suite arithmétique (u n ) de premier terme u1 = 3 et de raison 0,5. Dans un
repère orthonormal, représentez les 10 premiers
termes de la suite : à chaque terme, on associe un
point de coordonnées (n ; u n ).
Calculez u 25.
2. Soit la suite arithmétique (vn ) de premier
Calculez S25.
terme 9 et de raison – 1. Dans le repère précédent, représentez les 10 premiers termes de la
suite.
4 Une suite géométrique a pour premier
terme u1 = 5 et pour raison 3.
1.
2.
3.
4.
3. Calculez S10.
Calculez u 2 et u 3 .
5
Soit la somme :
S = 3 + 10 + 17 + 24 + 31 + 38 + 45 + 52 + 59.
Calculez S (sans calculatrice).
3. En observant les représentations graphiques
obtenues, donnez le sens de variation d’une suite
arithmétique en fonction de sa raison.
6 Trois nombres a, b et c forment une suite
arithmétique de raison r = 5.
12 1. Représentez dans un même repère
1. Exprimez a et c en fonction de b.
2. Déterminez b pour que a + b + c = 21.
3. Déduisez les valeurs de a et c.
orthonormal les 8 premiers termes des suites
géométriques :
• (u n ) de premier terme 2 et de raison 1,2 ;
• (vn ) de premier terme 8 et de raison 0,5.
7
La somme des quatre termes consécutifs
d’une suite arithmétique est 31.
Le premier de ces termes est 4.
Calculez la raison de cette suite arithmétique.
12
2. En observant les représentations graphiques
obtenues, donnez le sens de variation d’une suite
géométrique, dont la raison et le premier terme
sont strictement positifs, en fonction de sa raison.
Problèmes
PROBLÈME CORRIGÉ
Étude de l’évolution de la production d’une entreprise
La production durant la première semaine est de 2 000 unités, puis l’entreprise augmente sa production
de 10 % par semaine.
1. Recopiez et complétez le tableau ci-dessous :
Nombre d’unités
fabriquées
la première semaine :
u1
Nombre d’unités
fabriquées
la deuxième semaine :
u2
Nombre d’unités
fabriquées
la troisième semaine :
u3
2 000
2.
a.
b.
3.
Nombre d’unités
fabriquées
la quatrième semaine :
u4
2 420
u 1, u 2, u 3 et u 4 sont les premiers termes d’une suite.
Quel est le coefficient multiplicateur qui permet de passer de u 1 à u 2, de u 2 à u 3, de u 3 à u 4 ?
Quelle est la nature de cette suite ? Précisez sa raison.
Calculez la production totale au cours des 20 premières semaines.
CORRIGÉ
1.
Nombre d’unités
fabriquées
la première semaine :
u1
Nombre d’unités
fabriquées
la deuxième semaine :
u2
Nombre d’unités
fabriquées
la troisième semaine :
u3
Nombre d’unités
fabriquées
la quatrième semaine :
u4
2 000
2 000 ¥ 1,1 = 2 200
2 420
2 420 ¥ 1,1 = 2 662
2. a. Le coefficient multiplicateur qui permet de passer de u 1 à u 2, de u 2 à u 3, de u 3 à u 4 est 1,1.
b. Il s’agit d’une suite géométrique de raison q = 1,1.
3. Production totale au cours des 20 premières semaines :
S20 = u 1
1 – q 20
1 – 1,120
= 2 000 ¥
= 114 550 unités.
1–q
1 – 1,1
13 Une entreprise est sollicitée pour réaliser
l’aménagement de deux salles destinées à
accueillir un salon « Mathématiques en fête ».
Dans une première salle, elle doit réaliser le sol à
l’aide de dalles blanches ou noires en PVC de
dimensions 50 ¥ 50, en cm.
La salle a pour longueur 49,5 m et pour largeur
12 m. Le motif blanc à réaliser est le suivant.
Le premier rang comporte :
u1 = 3 dalles blanches ;
le deuxième rang comporte :
u 2 = 7 dalles blanches ;
1. Suites arithmétiques et géométriques
13
le troisième rang comporte :
u 3 = 11 dalles blanches ;
le quatrième comporte u 4 = 15 dalles blanches
et ainsi de suite en suivant la même progression
jusqu’au rang permettant d’atteindre le mur d’en
face.
On note u 1 le capital initial, u 2 la valeur acquise
au bout d’un an en capitalisant les intérêts et u 3
celle acquise au bout de deux ans.
Les termes u 1, u 2 et u 3 forment une suite géométrique.
1. Calculez u 2 et u 3.
Le reste de la pièce sera complété par les dalles
noires.
2. Déterminez la raison de cette suite.
1. Calculez u 2 – u 1, u 3 – u 2 et u 4 – u 3.
3. Déduisez u 6 arrondi à 10 –2.
D’après Bac Pro MSMA.
2. Quelle est la nature de la suite (u n ) ainsi définie ? Donnez le premier terme et la raison.
3. Déterminez le nombre de rangs à réaliser
pour couvrir la largeur de la pièce.
4. Déterminez le nombre de dalles blanches utilisées au dernier rang.
5. Déterminez le nombre de dalles blanches
nécessaires pour réaliser le motif.
6. a. Calculez le nombre total de dalles
(blanches ou noires) nécessaires pour recouvrir
entièrement le sol.
16 1. Une machine permet l’automatisation
de l’emballage dans des boîtes en carton de
volume variable suivant les produits à conditionner.
La machine doit pouvoir s’adapter à différents
types de boîtes ; il est donc nécessaire de régler
le temps de cadencement en fonction du volume
de ces boîtes.
Le temps de cadencement est fixé à 6 secondes
pour une boîte de volume 15 dm3.
D’après Bac Pro Aménagement – Finition.
On estime qu’il faut augmenter le temps de
cadencement de 5 %, chaque fois que le volume
des boîtes augmente de 10 dm3.
14 Au cours du mois de janvier, une entre-
a. Calculez le temps de cadencement pour une
boîte de volume 25 dm3.
b. Déduisez le nombre de dalles noires.
prise, qui fabrique un tissu, produit chaque jour
la même longueur de tissu. On relève chaque
soir la longueur totale produite depuis le début
du mois.
• À la fin du 3e jour, on atteint une longueur
totale u 3 = 39 000 mètres linéaires.
• À la fin du 5e jour, on atteint une longueur
totale u 5 = 65 000 mètres linéaires.
1. Les longueurs totales produites forment une
suite arithmétique. Calculez la raison r.
2. Calculez la production totale u 22 à la fin du
mois de janvier.
D’après Bac Pro AMA Vêtements et accessoires de mode.
15 Placement d’un capital
Une société de maintenance dispose d’un capital
de 45 700 €.
Elle place ce capital sur un compte rémunéré à
5,25 % par an.
14
b. Calculez le temps de cadencement pour une
boîte de volume 35 dm3 (arrondissez au centième de seconde).
2. On note u n le terme général de la suite géométrique de premier terme u 1 = 6 et de raison
q = 1,05.
a. Exprimez u n en fonction de n.
b. Déterminez u 3, u 5, u 7 et u 9 . Arrondissez les
résultats au centième.
3. On admet que la valeur de u n arrondie au
centième représente le temps de cadencement correspondant à un volume de boîte de
(5 + 10 n) dm3 ; ainsi u 1 correspond à un volume
de 15 dm 3 et u 2 correspond à un volume de
25 dm3.
Déterminez le temps de cadencement correspondant à un volume de boîte de 75 dm3.
D’après Bac Pro EDPI.
17 Pour assurer une fabrication, une entreprise doit acheter une machine dont le prix est de
80 000 €.
Jour de la période : n
Masse, en kg, du stock
de fil d’acier : Mn
1
M1 = 120 000
On estime que la machine se déprécie de 15 %
par an.
2
M2 = 117 600
3
M3 = 115 200
On note V1 la valeur initiale de la machine :
V1 = 80 000 €.
4
M4 = 112 800
La deuxième année de fonctionnement, la valeur
est notée V2.
La troisième année de fonctionnement, la valeur
est notée V3.
1. Calculez V2 et V3.
2. Montrez que la suite des valeurs annuelles
V1, V2 et V3 est une suite géométrique dont vous
donnerez la raison.
3. Calculez V5 en utilisant le formulaire.
D’après Bac Pro Matériaux souples.
1. Montrez que M1, M2, M3 et M4 sont les premiers termes d’une suite arithmétique et donnez
la raison de cette suite.
2. Exprimez Mn en fonction de n.
3. Calculez la masse du stock de fil d’acier restant au 25e jour de cette période.
4. L’entreprise décide de renouveler son stock
lorsque celui-ci atteint 36 000 kg.
De combien de jours dispose l’usine avant de
renouveler son stock ?
D’après Bac Pro Pilotage de systèmes
de production automatisée.
18 L’objectif d’une entreprise fabriquant des
cames est d’augmenter sa production annuelle
de 5 % par rapport à l’année précédente.
La production annuelle de la première année est
U1 = 12 000 unités.
On note U2 la production annuelle de la
deuxième année, U3 la production annuelle de la
troisième année, …, Un la production annuelle
de la n-ième année.
1. a. Calculez les productions annuelles U2, U3
et U4.
b. Vérifiez que les termes U1, U2, U3 et U4 forment une suite géométrique et précisez la raison.
2. a. Établissez la relation donnant Un en fonction de n.
b. Calculez la production annuelle de la 10e
20 En sortant de fabrication, une pièce
contient 15 g de plastifiant et on estime à 2 % les
pertes annuelles en plastifiant.
Le cahier des charges prévoit de garantir les propriétés physiques de cette pièce pendant 20 ans.
Or, ces propriétés ne sont plus correctes lorsque
la pièce contient moins de 8 g de plastifiant.
L’objectif de cet exercice est de déterminer la
masse de plastifiant dans une pièce âgée de 20
ans.
1. a. Calculez la masse de plastifiant dans une
pièce âgée de 1 an : on la note u 2.
b. Calculez la masse de plastifiant dans une
pièce âgée de 2 ans : on la note u 3.
année, si l’objectif est tenu. Donnez le résultat
arrondi au dixième.
c. Montrez que u 1 = 15, u 2 et u 3 sont les trois
premiers termes d’une suite géométrique dont
vous donnerez la raison q.
D’après Bac Pro MSMA.
2. Exprimez, en fonction de n, la masse de plastifiant en grammes dans une pièce âgée de n ans.
19 Une usine dispose d’un stock de 12 tonnes
de fil d’acier destiné à la fabrication de bandes
d’acier de pneumatiques d’automobile.
3. a. Calculez la masse de plastifiant dans un
pièce âgée de 20 ans (arrondissez le résultat à
l’unité).
Le tableau ci-dessous indique l’évolution de la
masse du stock de fil d’acier pendant les 4 premiers jours de la période d’utilisation du stock.
b. La garantie est-elle satisfaisante ?
D’après Bac Pro Plasturgie.
1. Suites arithmétiques et géométriques
15
21 La sensibilité d’une pellicule photographique peut être évaluée en ASA (norme américaine) ou en DIN (norme allemande). Entre ces
deux échelles, on a la correspondance suivante :
ASA
DIN
a1 = 12,5
b1 = 12
a2 = 25
b2 = 15
a3 = 50
b3 = 18
a4 = 100
b4 = 21
an
bn
b. Calculez, en utilisant les calculs successifs de
vn, au bout de combien d’années la machine aura
perdu 60 % de sa valeur initiale.
D’après Bac Pro EOGT.
23 Pour charger un bain électrolytique de son
soluté, on étudie sa dissolution en laboratoire.
Pour cela, on introduit 10 g de ce soluté dans
100 mL d’électrolyte non saturé.
1. Précisez la nature de chacune des suites (an )
et (bn ). Donnez leurs raisons respectives.
2. Exprimez an en fonction de n. Calculez a 8.
3. Exprimez bn en fonction de n. Calculez b8.
4. On cherche à obtenir une relation permettant
de convertir des DIN en ASA, donc à exprimer
an en fonction de bn.
b
a. Vérifiez que n – 4 = n – 1.
3
b
n
b. Déduisez que an = 14 ¥ 12,5 ¥ 2 3
2
c. Sachant que b10 = 39, calculez a10.
22 L’objectif est l’étude de la dévalorisation
d’une machine pour déterminer au bout de combien d’années elle aura perdu 60 % de sa valeur
initiale.
Une entreprise achète une machine pneumatique
à projeter les enduits. Sa valeur initiale est
v1 = 21 500 €.
Chaque année, la machine se dévalorise de 12 %
par rapport à l’année précédente.
1. Calculez les valeurs de la machine la
deuxième année, puis la troisième année (on les
note v2 et v3).
2. Les valeurs v1, v2 et v3 sont les trois premiers
termes d’une suite. Indiquez la nature de cette
suite (justifiez la réponse). Donnez la valeur de
la raison.
3. La n-ième année, la valeur de la machine est
notée vn. Exprimez vn en fonction de n.
4. On souhaite savoir au bout de combien d’années la machine aura perdu 60 % de sa valeur
initiale.
16
a. Calculez la valeur de la machine après
qu’elle ait perdu 60 % de sa valeur initiale.
Les mesures obtenues sont les suivantes :
Durée (en min)
Masse non
dissoute (en g)
t
m
1
8
2
6,4
3
5,12
…
…
L’objectif de cet exercice est de déterminer la
durée nécessaire pour dissoudre 9 g de soluté.
1. Montrez que les nombres 8 , 6,4 et 5,12
sont, dans cet ordre, les trois premiers termes
d’une suite géométrique. Déterminez la raison
de cette suite.
2. On note u n le terme général de la suite géométrique de premier terme u 1 égal à 8 et de raison q égale à 0,8.
Exprimez, pour tout entier n non nul, u n en fonction de n.
3. Calculez la valeur exacte de u 4.
4. En considérant que la suite géométrique étudiée précédemment modélise la dissolution du
soluté, déterminez la quantité de soluté qui n’a
pas été dissoute 10 minutes après le début de
l’expérience ; arrondissez le résultat à 0,01 g.
D’après Bac Pro Traitements de surfaces.
24 Une société de nettoyage industriel
embauche un ouvrier le 1er juillet 2002, avec la
proposition suivante :
• salaire mensuel u 1 = 1 200 € au 1er juillet
2002 ;
• augmentation de 1,5 % par an.
On note : u 2 le salaire au 1er juillet 2003 ;
u 3 le salaire au 1er juillet 2004 ;
…
u n le salaire au 1er juillet (2001 + n).
1. Calculez le salaire mensuel u 2 au cours de la
2e année puis le salaire mensuel u 3 au cours de la
3e année. Les résultats sont arrondis au centime
d’euro.
2. Les revenus de cet employé forment une
suite (u n ) de 1er terme u 1 = 1 200 €.
S’agit-il d’une suite arithmétique ou géométrique ?
Justifiez votre réponse et calculez la raison de
cette suite.
26 Une blanchisserie industrielle prévoit
d’augmenter sa capacité de lavage de draps
d’hôpitaux de 10 % chaque année.
Cette blanchisserie a lavé 260 000 draps la 1re
année (U1 = 260 000).
De même U2 désigne le nombre prévu de draps
lavés la 2e année ;
U3 désigne le nombre prévu de draps
lavés la 3e année ;
…
Un désigne le nombre prévu de draps
lavés la n-ième année.
1. Calculez U2, U3 et U4.
3. Exprimez u n en fonction de n.
4. Si le salaire de l’employé devait augmenter
2. U1, U2, U3, …, Un, … sont les termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q.
tous les ans de 1,5 % pendant 10 ans, quel serait
son montant en juillet 2011 ?
a. Déterminez la valeur de q.
D’après Bac Pro Hygiène et environnement.
b. Exprimez Un en fonction de n.
3. L’objectif prévisionnel est maintenu.
25 Au cours de sa première année d’exploita-
a. Calculez le nombre de draps lavés la 10e
tion, une entreprise agricole a produit 250 000 L
de lait. On suppose que, pendant 8 ans, la production de lait de cette entreprise agricole augmente chaque année de 2 % par rapport à celle
de l’année précédente.
année.
b. Calculez le nombre de total de draps que la
blanchisserie aura lavés pendant 10 ans.
D’après Bac Pro Métiers du pressing
et de la blanchisserie.
1. a. Calculez la production annuelle de lait de
la deuxième année d’exploitation.
b. Calculez la production annuelle de lait de la
troisième année d’exploitation.
2. On note u n le terme général de la suite géométrique de raison q = 1,02 et de premier terme
u 1 = 250 000.
a. Exprimez u n en fonction de n avec les valeurs
données de u 1 et q.
b. Calculez u 4, u 6 et u 8. Arrondissez les résultats à l’unité.
3. On admet que la valeur de u n, arrondie à
l’unité, représente la production annuelle de lait
de la n-ième année d’exploitation. La communauté européenne a fixé un quota annuel de
270 000 L de lait pour cette entreprise agricole.
La production annuelle de lait de la cinquième
année d’exploitation dépassera-t-elle le quota ?
Justifiez la réponse.
D’après Bac Pro Étude et définition
de produits industriels.
27 Une fonderie a coulé 120 cloches le premier mois. Elle désire augmenter sa production
de 10 % chaque mois.
1. Précisez le nom de cette suite, le premier
terme et la raison.
2. Calculez le nombre de cloches produites le
douzième mois.
3. Calculez le nombre de cloches coulées dans
l’année.
D’après Bac Pro Mise en œuvre des matériaux.
28 On étudie l’évolution de la production
d’une entreprise fabriquant, entre autres, des
tables. La production des tables a démarré au 1er
juin 2003 et a augmenté ensuite de 4 % par mois.
Soit P1 la production mensuelle pour le premier
mois, P2 la production mensuelle pour le
deuxième mois, …, Pn la production mensuelle
pour le n-ième mois.
1. Suites arithmétiques et géométriques
17
1. Quelle est la nature et la raison de cette
suite ?
2. Exprimez Pn en fonction de P1 et de n.
3. La production en juin 2004 est P12 = 64.
Quelle a été la production en juin 2003 ? (Arrondissez le résultat à l’unité.)
4. Calculez la production totale entre le 1er juin
2003 et le 30 juin 2004.
D’après Bac Pro Productique bois.
29 L’encolure d’un bustier est décorée d’une
modestie ornée de rangées de perles dont on
veut déterminer le nombre.
1. Le 1er rang comporte u 1 = 78 perles ;
le 2e rang comporte u 2 = 74 perles ;
le 3e rang comporte u 3 = 70 perles ;
le 4e rang comporte u 4 = 66 perles.
Ces quatre premiers termes forment-ils une suite
arithmétique ou géométrique ?
Justifiez votre réponse et donnez la raison de
cette suite.
2. a. Exprimez u n en fonction de n.
b. La dernière rangée de perles comporte 10
perles.
Déterminez le rang n correspondant à cette dernière rangée.
c. Calculez le nombre total de perles néces-
3. On admet que la valeur u n, arrondie à l’unité,
représente le nombre d’articles fabriqués au
cours de l’année 2001 + n.
Ainsi u 1 représente la quantité produite en 2002,
u 2 celle en 2003, et u 6 celle en 2007.
La somme des 6 premiers termes de cette suite
est notée S6.
a. Calculez S6.
b. Que représente S6 ?
D’après Bac Pro Artisanat et Métiers d’art tapissier
d’ameublement et ébéniste.
31 L’étude porte sur une assise de différents
assemblages de briques.
Chaque modèle étudié est un carré, servant de
base à une élévation.
Les briques de fabrication artisanale sont toutes
identiques.
Sur les schémas ci-après, les cotes sont exprimées en centimètres.
L’épaisseur des joints est incluse dans les
dimensions.
Le modèle 1 est un carré de 32 cm de côté,
constitué de quatre briques.
Le modèle 2 s’obtient en ajoutant une brique à
chaque côté du modèle 1.
Le modèle 3 s’obtient en ajoutant une brique à
chaque côté du modèle 2, et ainsi de suite jusqu’au modèle 5.
22
saires pour garnir la modestie.
10
D’après Bac Pro Artisanat et métiers d’art vêtements
et accessoires de mode.
30 Commercialisation de fauteuils
Brique + Joint
Un grossiste propose à un artisan un contrat
garantissant l’achat en 2002 de 5 000 unités et
s’engage à augmenter de 4 % par an ses achats
jusqu’en 2007 compris.
L’étude suivante porte sur la quantité de fauteuils à produire pour satisfaire ce contrat.
1. Déterminez la quantité de fauteuils achetée
en 2003.
de n.
b. Déduisez la valeur arrondie à 0,01 de u 6.
18
Modèle 1
L1
a. Exprimez le terme u n de rang n en fonction
õ1
2. Soit la suite géométrique de premier terme
5 000 et de raison 1,04.
3. a. Déterminez le nombre de briques constituant le modèle 5.
b. Calculez la longueur L5 du côté du modèle 5.
D’après Bac Pro.
32 Étude de l’évolution de la contrainte à la
rupture du PVC plastifié en milieu extérieur
1. Pour ce PVC plastifié, on estime à 2 % la
diminution annuelle de la contrainte à la rupture.
Les valeurs successives de cette contrainte forment une suite un.
Une pièce à l’état neuf a une contrainte à la rupture de 8,5 MPa : on note u 1 = 8,5.
L2
õ2
Ce PVC plastifié est destiné à être utilisé à l’extérieur et sera sollicité en traction. Par ailleurs,
lorsque le PVC plastifié est exposé au soleil, il
se dégrade. On observe une modification de ses
propriétés mécaniques.
a. Calculez la contrainte à la rupture pour une
pièce exposée pendant un an. On note ce nombre
u 2.
Modèle 2
b. Calculez la valeur exacte de u 3.
c. Montrez que u 1, u 2 et u 3 sont les trois pre-
1. Complétez le tableau ci-dessous :
Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3
n : nombre
de briques
formant le
modèle
L : longueur
du côté
du modèle
(en cm)
õ : longueur
du côté du
carré intérieur
(en cm)
Ä : aire
du carré
intérieur
(en cm2)
miers termes d’une suite géométrique dont vous
calculerez la raison.
2. Le cahier des charges prévoit de garantir les
propriétés mécaniques de ce matériau pendant
20 ans. Une pièce sera déclarée usée lorsque la
contrainte à la rupture sera inférieure à 5,5 MPa.
On souhaite vérifier la validité de cette garantie
sur 20 ans.
On admet que u n = 8,5 ¥ 0,98 n – 1 est la contrainte
de rupture du matériau au bout de (n – 1) années.
a. Calculez la contrainte à la rupture pour une
pièce exposée pendant 20 ans. Arrondissez le
résultat au dixième.
b. La garantie est-elle conforme au cahier des
charges ? Justifiez votre réponse.
D’après Bac Pro Plasturgie.
2.
On note (n i ), (Li ), (õi ) et (Äi ), les suites
formées respectivement par les nombres de
briques, les longueurs des côtés des modèles, les
longueurs des côtés des carrés intérieurs, les
aires des carrés intérieurs.
Donnez, dans chaque cas, la nature de la suite et
précisez, lorsque c’est possible, le premier terme
et la raison de la suite.
U
33
Calculs des termes et de la somme
d’une suite géométrique et représentation
graphique
Une entreprise démarre une production en 2001.
Cette production est de 15 000 pièces. L’augmentation prévue jusqu’en 2020 est régulière et
de 5 % par an.
1. Suites arithmétiques et géométriques
19
On va, à l’aide d’un tableur, calculer les productions de chaque année jusqu’en 2020 ainsi que la
production cumulée sur ces 20 années, puis
représenter graphiquement cette évolution.
1. Construction du tableau de valeurs
• Libellés des colonnes
En B4, saisissez : « Année » et en C4 « Production »
• Remplissage du tableau
En B5 entrez « 2001 » et en B6 entrez « 2002 ».
Sélectionnez les deux cellules B5 et B6 et complétez la colonne en cliquant-glissant sur le bord
inférieur droit de la cellule B6 (une croix noire
apparaît) jusqu’à l’obtention de « 2020 ».
En C5 entrez « 15000 ».
En C6 entrez « =C5*1,05 » (pour écrire C5, il
suffit de cliquer sur la cellule C5) : validez et
20
complétez la colonne en cliquant-glissant sur le
bord inférieur droit de la cellule C6.
Pour obtenir le total de la production : sélectionnez la cellule C25 et cliquez sur .
Pour n’utiliser que des nombres entiers : sélectionnez les cellules de C5 à C25 ; dans Format/Cellule, sélectionnez Nombre : réduisez le
nombre de décimales à zéro et cochez Utilisez le
séparateur de milliers.
2. Construction graphique
Sélectionnez les cellules de B5 à C24, cliquez
sur l’assistant graphique
:
dans le cadre Type de graphique sélectionnez
Nuages de points, puis dans le cadre Sous-type
de graphique sélectionnez le graphique où les
points ne sont pas reliés.