METHODES STATISTIQUES Contrôle continu du 5 novembre 2009

METHODES STATISTIQUES
Contrôle continu du 5 novembre 2009
Francesco ANDREOLI, Samia BADJI, Stefano BOSI,
Florent BROIX, Delphine DROUET
UCP, Sciences économiques, L1
2009/10, 1er semestre
Durée : 1 heure et 30 minutes
Les documents et les calculatrices ne sont pas autorisés
(1) Considérez la distribution suivante


1
3
2
2
3
1
où  indique la valeur de la variable (modalité de la caractéristique) et  les
nombre d’individus qui prennent cette valeur de la variable.
Déterminez les moyennes pondérées : harmonique, géométrique, arithmétique et quadratique. Si vous n’arrivez à détailler le résultat numérique, indiquez
au moins la procédure de calcul.
Solution
On construit le tableau des poids :


1
36
2
26
3
16
On calcule les différentes moyennes :
−1
0
=
=
P
1

=1 

Y
=1

X



=
1
3
1∗6
+
2
2∗6
+
1
3∗6
=
18
13
√
3
2
1
6
= 1 6 2 6 3 6 = 12
=
2
v
r
√
u
uX
3
2
1
30
≡ t
2  = 12 ∗ + 22 ∗ + 32 ∗ =
6
6
6
3
=1
=1
  = 1 ∗
3
2
1
5
+2∗ +3∗ =
6
6
6
3
1
1
(2) L’équipe de football de l’Olympique Lyonnais est constituée de 24 joueurs
pour la saison 2009/2010 :
Joueur
Poste
Age
Rémi Vercoutre
Hugo Lloris
Cristiano Marques Gomes (Cris)
Jean-Alain Boumsong
Cleber Anderson
Loïc Abenzoar
Lamine Gassama
Anthony Réveillère
Thimothée Kolodziejczak
Aly Cissokho
Mathieu Bodmer
François Clerc
Jérémy Toulalan
Romain Beynié
Jean II Makoun
Maxime Gonalons
Kim Kallström
Miralem Pjanic
Honorato Ederson
Michel Bastos
Cesar Delgado
Bafetimbi Gomis
Lisandro Lopez
Sidney Govou
gardien
gardien
défenseur centre
défenseur centre
défenseur centre
défenseur droit/centre
latéral droit
latéral droit/gauche
latéral gauche
latéral gauche
défenseur/milieu centre
défenseur/milieu droit
milieu défensif
milieu défensif
milieu défensif
milieu défensif centre
milieu gauche/centre
milieu offensif
milieu offensif
milieu offensif gauche
attaquant
attaquant centre
attaquant centre
ailier droit
30
23
33
30
30
21
21
30
19
23
27
27
27
23
27
21
28
20
24
27
29
25
27
31
(2.1) Construire la distribution et calculer les fréquences du caractère "âge".
Solution

19
20
21
22
23

1
1
3
0
3
 124 124 324
0
324
24
25
26
27
28
1
1
0
6
1
124 124
0
624 124
29
30
31
32
33
1
4
1
0
1
124 424 124
0
124
2
Graphiquement :
n(i)
6
5
4
3
2
1
0
20
22
24
26
28
30
32
x
Olympique Lyonnais
(2.2) Construire et dessiner la fonction de répartition.
Solution
La fonction de répartition est donnée par
 () = 0 si   1
 () =

X
=1
 si  ≤   +1
 () = 1 si  ≥ 
Graphiquement :
F(x)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
18
20
22
24
26
28
30
32
34
x
Fonction de repartition
(2.3) Déterminer le premier quartile, la médiane et le dernier quartile.
Solution
3
Respectivement :
14
12
= 23
= 27
34
= [18] = 29 (méthode M1)
(2.4) Déterminer le mode. Expliquer.
Solution
Le mode global est ∗ = 27. Toutefois, il pourrait s’agir d’une distribution
bimodale. Il n’y a pas assez de points pour tirer une conclusion sur les souspopulations (par exemple : français vs étrangers, attaquants vs défenseurs, ou
encore jeunes inexpérimentés vs joueurs expérimentés).
¡
¢
(3) Une population présente la distribution 6  − 2 sur l’intervalle unitaire
[0 1].
(3.1) Vérifiez qu’il s’agit bien d’une fonction de densité.
Solution
¢
¡
 () ≡ 6  − 2 ≥ 0 si  ∈ [0 1]
Z 
Z 1
¡
¢
 ()  =
6  − 2  = 1

0
(3.2) Calculez la moyenne harmonique du caractère .
Solution
Définition de moyenne harmonique :
"Z
#−1
#−1 "Z
¡
¢ #−1 "Z 

1
6  − 2
 ()
−1 =
=
=
6 (1 − ) 





0

³£
¤1 ´−1 1
=
6 − 32 0
=
3
(4) On considère une distribution uniforme  () =  sur [ ] d’une variable
 () = .
(4.1) Déterminez la valeur de la variable . Expliquez.
Solution
On remarque d’abord que, par définition de densité,
Z 
Z 
 ()  =
 = 1


Ainsi,  = 1 ( − ).
(4.2) Calculez la moyenne arithmétique de .
Solution
Il s’agit d’une moyenne arithmétique simple :
1 =
Z


£ 2 ¤
¢
¡ 2
 2 
 − 2
+

 =
=
=
−
−
2 ( − )
2
4
(4.3) Calculez la moyenne quadratique de .
Solution
Il s’agit d’une moyenne quadratique simple :
s
s
s
p
Z  2

3 (2 +  + 2 )
[3 3]

3 − 3
2 =
 =
=
=
−
3 ( − )
3
 −
(4.4) Quelle conclusion peut-on tirer de ces résultats ?
Solution
On observe que
p
3 (2 +  + 2 )
+
1 =

= 2
2
3
Le corollaire qui établit la hiérarchie des moyenne est vérifié.
BARÊME INDICATIF
Question
Points
1
4
5
2
6
3
5
4
5