Mathématiques Lycée Léonard de Vinci, Levallois

Lycée Léonard de Vinci, Levallois-Perret
Préparation à l’entrée en classe de seconde
Mathématiques
Rentrée 2013/2014
Pour vous aider à faire le point sur les notions essentielles du programme de mathématiques de la classe de
troisième, voici une série d’exercices à faire pour la rentrée. Ces exercices doivent être tous recherchés pendant
les vacances et doivent être rédigés soigneusement.
Afin que ce travail soit efficace, il est conseillé de l’effectuer à la fin des vacances, pour vous remettre en mémoire
les principaux points du programme de troisième et bien démarrer votre année de seconde. Une évaluation de
vos acquis du collège en mathématiques est prévue en septembre.
Des professeurs des collèges de Levallois-Perret ont participé à l’élaboration de ce sujet.
Partie 1. Entrainement
Exercice no 1. QCM
Entourer la ou les bonnes réponses.
1.
√
62 + 82 =
a. 14
√
28
√
c. 10
d.
b. deux solutions
9 et −2
c. une unique solution
−0, 75
d. une unique solution
0, 75
b. 15x2
c. 15x
d. −8x
b. 9 + 4x2 + 6x
c. 4x2 + 9 + 12x
d. 2x2 + 12x + 9
b.
38
2. L’équation −x + 9 = 3x + 6 admet
a. aucune solution
3. (−3x) × (−5x) =
a. −15x2
4. (2x + 3)2 =
a. 4x2 + 9
5.
4x + 2 2
− =
6
3
4x
a.
3
b.
4x − 2
6
c.
4x + 2
6
d.
2x − 1
3
6. Une augmentation de 5% peut se traduire par la fonction
a. f (x) = x + 0, 05
b. f (x) = x + 0, 05x
c. f (x) = 1, 05x
d. f (x) = 0, 05x
7. On lance un dé équilibré à 6 faces, numéroté de 1 à 6, et on regarde le nombre obtenu. La probabilité
d’obtenir un nombre multiple de 3 est :
a.
1
6
b.
2
6
c.
3
6
d.
1
3
8. (2x2 )3 =
a. 8x5
b. 6x5
c. 6x6
d. 8x6
9. Un parallélogramme a
a. deux côtés de même longueur
c. des côtés opposés parallèles
b. ses diagonales de même longueur
d. un centre de symétrie
1
10. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 5, BC = 6. On a a alors
a. AC =
b. AC =
√
√
61
c. AC ≈ 3, 3 à 10−1 près
11
d. AC ≈ 7, 8 à 10−1 près
Exercice no 2.
1. Développer et réduire les expressions suivantes :
a. (6x − 4)2 =
c. x(2x − 5) + (x + 1)2 =
b. (2 + x)(x − 2) =
d. (x + 1)2 − (x − 1)2 =
2. Factoriser les expressions suivantes :
a. 25 − x2 =
c. 4 + 25x2 − 20x =
b. 6x2 + 5x =
d. x + x2 + x3 =
Vous pouvez vous évaluer après avoir terminé la partie 1. Les réponses sont données à la fin du sujet.
Partie 2. Exercices de synthèse
Ces exercices sont à rédiger sur une copie qui pourra être ramassée par votre professeur à la rentrée.
Exercice no 3.
On donne le programme de calcul suivant :
•
•
•
•
•
Choisir un nombre entier
Ajouter 3
Élever le résultat au carré
Soustraire le carré du nombre choisi
Écrire la valeur exacte du résultat
1. Montrer que, si l’on choisit le nombre 6 le résultat obtenu est 45.
2. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Le programme de calcul donne pour résultat un nombre multiple de 9.
3. On note x le nombre entier de départ. Exprimer en fonction de x, le résultat du programme sous forme
simplifiée.
4. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Le programme de calcul donne un nombre multiple de 3.
5. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Le programme permet d’obtenir pour résultat 12
Exercice no 4.
Un professeur de SVT demande aux 29 élèves d’une classe de sixième de faire germer des graines de blé chez eux.
Le professeur donne un protocole expérimental à suivre :
– mettre en culture sur du coton dans une boîte placée dans une pièce éclairée, de température entre
20 ˚et 25 ˚C ;
– arroser une fois par jour ;
– il est possible de couvrir les graines avec un film transparent pour éviter l’évaporation de l’eau.
Le tableau ci-dessous donne les tailles des plantules (petites plantes) des 29 élèves à 10 jours après la mise en
germination.
Taille en
cm
Effectif
0
8
12
14
16
17
18
19
20
21
22
1
2
2
4
2
2
3
3
4
4
2
1. Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm ?
2. Donner l’étendue de cette série.
2
3. Calculer la moyenne de cette série. Arrondir au dixième près.
4. Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat.
5. Le professeur a fait lui-même la même expérience en suivant le même protocole. Il a relevé la taille obtenue
à 10 jours de germination.
Prouver que, si on ajoute la donnée du professeur à cette série, la médiane ne changera pas.
Exercice no 5.
On considère deux fonctions f et g. On donne ci-dessous les tableaux de quelques valeurs de x pour chacune
d’elles :
x
f (x) = 3x2 + 11x + 6
x
g(x) = 4x + 5
-4
-11
-4
10
-3
-3
-2
-4
-2
-3
-1
-2
-1
1
0
6
0
5
1
20
1
9
2
40
2
13
3
66
3
17
4
98
4
21
5
136
5
25
1. Compléter la case manquante dans chaque tableau.
2. Un repère étant donné, le point de coordonnées (−5 ; 26) est-il un point de la courbe représentative de la
fonction f ? Justifier.
3. A l’aide du tableau, trouver une solution de l’équation 3x2 + 11x + 6 = −4.
4. L’unité de longueur est le centimètre.
3x + 2
A
D
x+3
C
B
a. Trouver une valeur de x pour laquelle, l’aire du rectangle ABCD est égale à 40 cm2 . Justifier.
b. Trouver une valeur de x pour laquelle, le périmètre du rectangle ABCD est égale à 30 cm. Justifier.
Exercice no 6.
Un mur [AB] mesure 12 m de long. Un ballon lancé d’un point S situé à 6 m en face de A, frappe le mur en un
point M , rebondit, et revient en un point T , situé à 8 m en face de B (voir figure).
\
\
Lorsque le ballon rebondit, son angle d’arrivée est égal à son angle de départ, c’est à dire que SM
A = BM
T.
A
B
M
S
T
1. Calculer la valeur exacte de AM .
\
2. Calculer une mesure de l’angle SM
T arrondir à l’unité.
3
Partie 3. Pour chercher un peu
Pour l’exercice suivant, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte.
Exercice no 7.
On trace au fur et à mesure une spirale à l’aide d’un quadrillage formé de carrés de longueur 1 cm.
On s’intéresse à la longueur du tracé obtenu en fonction du nombre de points alignés, comme ci-dessous.
H
A
B
M
D
C
E
G
Etape 1
N
I
F
L
Etape 2
J
K
O
Etape 3
On a donc le tableau suivant :
Étape
Longueur de la spirale (cm)
Nombre de points alignés
1
2
2
2
6
3
3
12
4
4
5
1. Compléter le tableau.
2. Combien de points sont alignés si la longueur de la spirale est de 870 cm ? Justifier.
Fin du devoir
Réponses de la partie 1. (1 point par réponse juste)
Ex. 1.
1c
2d
3b
4c
5b,d
6b,c
7b,d
8d
9a, c, d
10 b,c
Ex. 2.
1a : 36x2 − 48x + 16
2a : (5 − x)(5 + x)
1b : x2 − 4
2b : x(6x + 1)
1c : 3x2 − 3x + 1
2c : (5x − 2)2
1d : 4x
2d : x(1 + x + x2 )
Votre score est de ...... sur 18.
– Vous avez plus de 14 : c’est bien, vous pouvez passer aux parties 2 et 3.
– Vous avez de 9 à 14 : l’ensemble est fragile, revoyez votre cours de troisième et refaites quelques exercices
avant de passer aux partie 2 et 3.
– Vous avez moins de 9 : certaines notions ont été oubliées ou mal assimilées. Vous devez revoir votre cours de
troisième et refaire des exercices d’entraînement avant de passer aux partie 2 et 3.
4