Les 5 méthodes de factorisation

Les 5 méthodes de factorisation
1)
Mise en évidence des facteurs communs:
Lorsque tous les termes d'un polynôme renferment des facteurs communs, on commence toujours par les
mettre en évidence.
Exemples:
7a2 x4 – 14a2 x2 – 7a3 x = 7a2 x(x3 – 2x – a)
(x–1)(x2 – 4) – (x–1)(x–2) + 5(x–1) = (x–1)(x2 – 4 –x+2+5) = (x–1)(x2 –x+3)
Exercices:
(a – b) + x(a – b) =
7xm+3 yn-2 + 14xmyn+1 + 21xm-3yn+4 =
2)
Méthode des identités:
On utilise les identités remarquables
Exemples:
4x2 y2 – a2 = (2xy + a)(2xy – a)
x4 – y4 = (x2 + y2 )(x2 – y2 ) = (x2 + y2 )(x – y)(x + y)
(x2 + y2 n'est pas décomposable dans IR)
a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 )
64x6 – 27y3 = (4x2 )3 – (3y)3 = (4x2 – 3y)(16x4 + 12x2 y + 9y2 )
8x3 y3 + 1 = (2xy) 3 + 13 = (2xy + 1)(4x 2 y2 – 2xy + 1)
8x3 – 36x2 y + 54xy2 – 27y3 = (2x – 3y)3
x6 + y6 = (x2 )3 + (y2 )3 = (x2 + y2 )(x4 – x2 y2 + y4 )
x2 + y2 + 1 – 2xy + 2x –2y = (x – y + 1)2
Exercices:
a2 x2 – 81x2 =
64x6 – 1 =
x11y4 – x5 y10 =
(x+a)2 – (3x–2a)2 =
3)
Méthode des groupements:
I. Avant d'appliquer les méthodes précédentes, il peut être nécessaire de grouper convenablement les
termes du polynôme.
Exemples:
x2 + y2 – z2 + 2xy = (x 2 +2xy+ y 2 ) – z2 = (x + y) 2 – z2 = (x+y+z)(x+y-z)
1– a2 + 2ab – b2 = 1– (a2 -2ab+b2 ) = 1– (a–b)2 = (1-a+b)(1+a-b)
x4 – 2x3 + x – 2 = (x 4 –2x3 )+(x–2) =x 3 (x–2)+(x–2) = (x–2)(x 3 +1)
= (x–2)(x+1)(x 2 -x+1)
Exercices:
a2 – 2ab + b2 – 1 =
a2 c + ac2 + a2 b – ab2 – b2 c – bc2 =
x2 – 4y2 + 4y – 1 =
II. Lorsque le polynôme provient d'un produit dont le développement a été réduit, il est nécessaire, avant
d'opérer le groupement de décomposer certains termes.
Exemples:
x3 +4x+5 = (x3 +1)+(4x+4) = (x+1)(x2 -x+1)+4(x+1) = (x+1)(x2 -x+5)
a3 + 3a2 – 4 = (a3 – a2 )+(4a2 – 4) = a2 (a–1)+4(a2 –1) = (a–1)[a2 +4(a+1)]
= (a –1)(a2 +4a+4) = (a –1)(a+2)2
Exercices:
x3 + 6x + 7 =
4x4 + y4 + 3x2 y2 =
III. Il peut être nécessaire d'ajouter et de retrancher une même quantité pour rendre le groupement
possible.
Exemple:
a4 +b4 = (a4 +b4 +2a2 b2 ) – 2a2 b2 = (a2 +b2 )2 – ( 2 ab)2 =
(a2 + b2 + ab 2 )(a2 + b2 – ab 2 )
Exercices:
x4 + 1 =
x6 + 1 =
x2 + 8x + 12=
1
4)
Méthodes du trinôme de degré 2:
1er cas)
Le coefficient de x2 est 1(trinôme unitaire):
Observons l'identité (x+a)(x+b) = x 2 + (a+b)x + ab . Pour décomposer un trinôme
unitaire, on essayera donc de décomposer le dernier terme en un produit de deux
nombres dont la somme est égale au coefficient de x.
Exemple: x2 + 5x – 14. On a -14 = (-2) .7 avec -2 + 7 = +5; donc, par suite,
x2 + 5x – 14 = (x-2)(x+7)
Exercices: x2 – 22x + 85 =
2ème cas)
x2 – 115x + 1500 =
Le coefficient de x2 est différent de 1:
On a le cas plus général (ax + b)(a'x +b') = aa'x2 + (ab' + a'b)x + bb' .
Exemple: 4x2 + 8x + 3 . On décompose d'abord le produit des coefficients extrêmes 4.3
= 12 (= aa'bb' = ab'a'b) en un produit de deux nombres m et n dont la somme est égale au
coefficient de x (=8). On voit qu'il s'agit de 6 et 2 (6.2 = 12), par exemple m = 2 (=ab') et
n = 6 (=a'b). Par suite, grâce à la méthode des groupements, 4x2 + 8x + 3 = 4x2 + 2x +
6x + 3 =
2x(2x+1) + 3(2x+1) = (2x+3)(2x+1).
Exercices:
5)
15x2 + 7x – 2 =
6x2 + 15x + 6 =
4x2 + x – 5 =
6x4 + 5x2 + 1 =
45x2 – 39xy – 6y2 =
2x2 – 2x – 24 =
27x2 – 75x + 48=
11x2 + 28x – 15 =
21x4 – 8x2 – 5 =
12x2 + 34xy + 10y 2 =
Méthode des diviseurs binômes:
Soient les polynômes x – a et P = a0 xm + a1 xm-1 + ... + am-1x + am dont les coefficients a0 , a1 , ....,
am-1, am sont des nombres entiers.
Soit p la fonction associée au polynôme P, définie par:
p(x) = a0 xm + a1 xm-1 + ... + am-1x + am
Pour trouver les diviseurs de la forme x – a de P, on commencera par chercher les diviseurs
(positifs et négatifs) de am ; on examinera ensuite quels sont ceux qui annulent p.
Exemple: décomposer F = x3 – 3x2 + 3x – 2 . Les diviseurs de -2 sont +1, +2, -1, -2.
Des essais successifs montrent que f (fonction associée à F) ne s'annule que pour la valeur
x=2; le seul facteur binôme qui divise F est donc x-2 et on a, après division par x-2:
x3 – 3x2 + 3x – 2 = (x – 2)(x 2 – x +1)
Exercices: Décomposer F1 = x3 – 2x2 – 5x +6.
F2 = a2 (b+c) – a(b2 – c2 ) – bc(b+c)
Remarque: Le fait ci-dessus découle du résultat très important suivant;
Un polynôme est divisible par x – a si et seulement si sa fonction
associée s'annule pour la valeur a.
ou encore ;
les deux conditions suivantes sont équivalentes:
1) F est divisible par x – a.
2) f(a) = 0 . (où f est la fonction associée à F)
2