Préparation au brevet blanc n - college

Préparation au brevet blanc n°2
Exercice 1 : fonctions, lecture d’un graphique, vitesse moyenne
Cédric s'entraîne pour l'épreuve de vélo d'un triathlon.
La courbe ci-dessous représente la distance en kilomètres en fonction du temps écoulé en minutes.
Pour les trois premières questions, les réponses seront
données grâce à des lectures graphiques. Aucune
justification n'est attendue sur la copie.
1) Quelle distance Cédric a-t-il parcourue au bout de 20
minutes?
2) Combien de temps a mis Cédric pour faire les 30
premiers kilomètres?
3) Le circuit de Cédric comprend une montée, une descente
et deux portions plates. Reconstituer dans l'ordre le trajet
parcouru par Cédric.
4) Calculer la vitesse moyenne de Cédric (exprimée en
km/h) sur la première des quatre parties du trajet.
Correction de l’exercice 1 :
1) Au bout de 20 minutes, Cédric a parcouru 10 km.
2) Cédric a mis 50 minutes pour faire les 30 premiers kilomètres.
3) plat - descente - plat - montée
4) Sur la première partie du trajet Cédric a parcouru 10 km en 20 min. Par proportionnalité on peut dire qu'il aurait
parcouru 30 km en 60 min, c'est à dire que sa vitesse moyenne est de 30km/h.
Exercice 2 : PGCD
Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Etant très généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il
décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et
le même nombre de bonbons.
1) Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces
personnes) ? Expliquer votre raisonnement.
2) Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?
Correction de l’exercice 2 :
1) On cherche le plus grand diviseur commun à 84 et 147. Pour cela on utilise l'algorithme d'Euclide:
Dividende
147
84
63
Diviseur
84
63
21
Reste
63
21
0
Donc PGCD (147;84) = 21.
21 personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises.
2) 84 21 4 et 147 21 7
Chaque personne aura 4 sucettes et 7 bonbons.
Exercice 3 : calcul littéral, équation et inéquation
Description de la figure ci-contre:
•
•
ABCD est un rectangle tel que: AD = BC = 3 cm;
M est un point du segment [AB] tel que:
avec 0
6 et exprimé en cm;
• E est le point du segment [CB] tel que CE = 2 cm.
le rectangle AMGD et
le rectangle
• On note
FECG.
1) et sont les périmètres des rectangles
et , exprimés en cm.
a) Calculer
et
en fonction de .
b) Pour quelle valeur de
2)
et
les périmètres
sont les aires des rectangles
a) Calculer
et
et
et
sont-ils égaux?
, exprimés en cm².
en fonction de .
b) Pour quelles valeurs de
a-t-on:
?
Correction de l’exercice 3:
1) a)
2
2
2
2
6
3
2
6
2
vaut 6 2 16 2 .
2 .
8
.
vaut 16
b) On résout l'équation suivante:
6
2
6
16
4
16
4
10
!
Pour
2,5
%
,
et
sont égaux.
2
2,5
2 .
Suite de la correction de l’exercice 3 :
2) a)
3 .
3
6
2
12
vaut 3 2 .
².
vaut 12
2 ².
b) On résout l'inéquation suivante:
12
2
12
3
5
12
5
2,4
Pour
strictement supérieur à 2,4 cm et strictement inférieur à 6 cm, on a
.
Exercice 4 : statistiques, moyenne
A l'entrée du parc d'ANI-MATH-ION figurent les informations suivantes:
Tarifs
Entrée adulte: 12€
Entrée enfant: 7 €
Forfait famille (sur présentation du livret de famille): 35 €
Horaires
Ouvert de 9 h à 18h
Dernières entrées à 17h
Fermé le lundi.
1)a) Est-il intéressant pour un couple et leur enfant de 8 ans de prendre le forfait famille ?
b) A partir de quel nombre d'enfants un couple a-t-il intérêt à choisir le forfait famille ?
2) Au cours d'une journée, 89 forfaits famille ont été vendus pour 510 personnes.
a) Déterminer la recette correspondante.
b) Quel est le prix moyen par personne? (Arrondir au centime près).
Correction de l’exercice 4:
1)a) 12 2 7 24 7 31 35
Non, ils payent 4€ de moins avec le tarif normal.
b) Soit le nombre d'enfants.
Les enfants payent: 7 € . Le couple paye: 12 2 24€.
Pour savoir à partir de quel nombre d'enfants un couple a intérêt à choir le forfait famille, il faut résoudre
l'inéquation suivante:
24
7 % 35
7 % 11
11
& 1,6
7
Donc à partir de 2 enfants un couple a intérêt à choisir le forfait famille.
%
'
Suite de la correction de l’exercice 4 :
2)a) 89 35 3115
La recette est de 3 115€.
b) 3115 510 & 6,11
Le prix moyen par personne est environ de 6,11€.
Exercice 5 : sinus, tangente et théorème de Thalès
Un cycliste se trouve sur un chemin (CB]. On donne AH = 100 m, HB = 400 m et *
()
1.
2.
3.
4.
10°.
*.
Calculer la mesure de l’angle ()
Calculer le dénivelé AC arrondi au mètre.
Calculer la longueur BC arrondie au mètre.
Le cycliste est arrêté au point D sur le chemin.
Calculer la distance DB arrondie au mètre qu’il lui reste à parcourir.
Correction de l’exercice 5:
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°, donc dans le triangle ABC :
* = 180 – ( 90 + 10 ) = 80°
1. ()
2. ABC est un triangle rectangle en A. D’après la définition de la tangente :
*=
tan ()
donc AC =
,,.
/
soit tan 80 =
0123 /
,.
m et AC ≈ 88 m.
Le dénivelé est égal à environ 6 mètres.
3. ABC est un triangle rectangle en A. D’après la définition du sinus :
*=
sin ()
donc BC =
,-.
/
soit sin 80 =
4523 /
-.
m et BC ≈ 508 m.
La longueur BC est égale à environ 508 mètres.
4. On sait que les droites ( AC ) et ( DH ) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite ( AB ), donc on
en déduit que ces deux droites sont parallèles.
Puisque :
• Les points B, D et C sont alignés
• Les points B, H et A sont alignés
• Les droites ( AC ) et ( DH ) sont parallèles
Alors d‘après le théorème de Thalès :
On en déduit que : BD =
!
/ 3
/
-6
-.
=
-7
-,
=
67
,.
soit
≈ 406 m.
Il reste donc environ 406 m à parcourir pour le cycliste.
,
-6
/ 3
=
!
/
=
67
,.
Exercice 6 : égalité de Pythagore, cosinus, réciproque du théorème de Thalès
A l’intérieur de la maison, un menuisier étudie une plaque de bois dessinée ci-contre :
La figure n’est pas aux bonnes dimensions.
Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par A, il a nommé D le
point d’intersection de cette perpendiculaire avec [EC]. Il a également tracé [AC].
Il a mesuré AB = 115 cm, BV = 80 cm, DC = 100 cm, ED = 20 cm, AC = 140 cm et
AF = 28 cm.
1. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
2. Déterminer la mesure de l’angle *
)8 ?
3. Les droites (AD) et (FE) sont-elles parallèles ? Justifier.
Correction de l’exercice 6:
1. Le côté le plus long est : [ AC ]
D’une part : AC² = 140² = 19600
D’autre part : AB² + BC² = 115² + 80² = 19625
Puisque AC² ≠ AB² + BC² alors l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée donc le triangle ABC n’est pas un
triangle rectangle.
2. ADC est un triangle rectangle en D. D’après la définition du cosinus :
cos *
)8 =
6.
,.
soit cos *
)8 =
donc *
)8 ≈ 44°
!
L’angle *
)8 mesure environ 44°.
.6
3. D’une part :
=
.9
.,
D’autre part :
.<
=
:
!
=
! : 3
=
=
!
;3
/
;
=
/
;
Puisque :
• Les points C, A et F et les points C, D et E sont alignés dans le même ordre
•
.6
.9
=
.,
.<
Alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites ( AD ) et ( EF ) sont parallèles.
Exercice 7 : statistique, moyenne pondérée, pourcentage
Voici les effectifs et les salaires des employés d’une Petite et Moyenne Entreprise ( PME ).
catégorie
Ouvrier simple
Ouvrier qualifié
Cadre moyen
Cadre supérieur Dirigeant
Effectif
50
25
15
10
2
Salaire en euros 950
1300
1700
3500
8000
1. Quel est l’effectif total de cette entreprise ?
2. Calculer le salaire moyen arrondi à l’unité.
3. Quel est le pourcentage, arrondi à l’unité, des employés qui gagnent moins de 1500 € ?
4. Les dirigeants décident une augmentation de 8% du montant du salaire d’un ouvrier simple. Calculer le
nouveau salaire de cet employé.
/
Correction de l’exercice 7:
1. 50 + 25 + 15 +10 +2 = 102 donc l’effectif total de cette PME est égal à 102.
2. Il faut calculer une moyenne pondérée :
/ =/ : /
>
: /
?
:
>/
: 3
≈ 1534 donc le salaire moyen, arrondi à l’unité, est
égal à 1534 €.
3.
@AA@BCDA
@AA@BCDACECFG
× 100 =
/ : /
?/
=
× 100 ≈ 74
donc environ 74% des salariés de cette PME gagnent moins de 1500 €.
4. Un ouvrier simple gagne 950 € .
950 + 950 ×
3
= 1026
donc après une augmentation de 8% de son salaire un ouvrier simple gagnera 1026 €.
Exercice 8 : aire et volume
Rappel : HIJKFLDM@
FDK@M@GFNFO@ PFQC@QK
>
ABCDEFGH est un cube d’arête AB = 12 cm.
I est le milieu du segment [AB].
J est le milieu du segment [AE].
K est le milieu du segment [AD].
1. Calculer l’aire du triangle AIK.
2. Calculer le volume de la pyramide AIKJ de base AKI.
3. Quelle fraction du volume du cube représente le volume de la pyramide AIKJ ? Ecrire le résultat sous forme
d’une fraction de numérateur 1.
4. Tracer le patron de la pyramide AIKJ .
Correction de l’exercice 8 :
1. AIK est un triangle rectangle en A donc :
Aire AIK =
,R ,S
=
; ;
= 18 cm²
2. On considère que la pyramide AIJK a pour base le triangle AIK et pour hauteur AJ. On en déduit que :
Volume AIKJ =
FDK@,RS ,T
>
=
3 ;
>
= 36 cm3
Le volume de la pyramide AIJK est égal à 36 cm3 .
3. Volume cube = AB3 = 12 3 = 1728 cm3 .
UEGQL@IJKFLDM@
UEGQL@BQN@
2
=
>;
? 3
=
!3
donc le volume de la pyramide représente
!3
du volume du cube.