Polyèdres réguliers et solides de Platon

Transcription

Polyèdres réguliers et solides de
Platon
Regular Polyhedra and Platonic Solids
La séquence a pour objectif de faire émerger par les élèves les 5 solides
de Platon à partir de la notion de polyèdre régulier, puis de prouver
qu’il n’en existe que 5. Elle s’appuie d’une part sur l’expérience
pratique par les élèves, sur une vidéo américaine d’autre part. La
manipulation matérielle crée en classe une démarche d’investigation et
engendre un débat scientifique entre pairs de validation ou
d’invalidation des constructions proposées au regard de la définition de polyèdre régulier. La
production finale peut prendre plusieurs formes : compte rendu écrit individuel, poster de
groupe, exposé oral. Cette séquence pédagogique montre la multitude des cheminements
possibles pour conceptualiser ces solides. Elle met en valeur la créativité dans l’expression
personnelle des élèves en l’absence de consignes intermédiaires.
This lesson plan aims at making the five Platonic solids emerge from the definition of a regular
polyhedron and eventually at proving that there are only five of these solids. Student work is
based firstly on practical experiment using thin cardboard polygons and secondly on an
American short film. Experimenting on actual polygons creates a genuine situation of scientific
investigation. It ignites a peer to peer debate to decide whether the suggested constructions are
valid with respect to the definition of a regular polyhedron or not. The final student work can
be a written report, a team poster or an oral presentation. Student reports and posters show the
numerous ways of reasoning these solids can possibly emerge from. Assigning a sole and
unique task with no intermediate questions allows the students to show their personal
understanding of the subject with creativity.
Langue :
Anglais
Classe(s) :
Seconde
Durée indicative :
8 heures
Rédacteurs
Odile Jenvrin, LGT Institut Lemonnier, Caen |
Animateur IREM (Institut de Recherche sur
l'Enseignement des Mathématiques), Université
de Caen
Contexte
Taille du groupe : 10 à 30
Volume horaire DNL et LV :
●
●
2 heures/semaine en DNL,
pas d’heure de LV attribuée en plus pour la section européenne.
Modalités hebdomadaires : 2 heures/semaine de DNL en classe entière, réparties sur 2
créneaux horaires séparés dans la semaine.
Matériels et types de salles disponibles/nécessaires :
●
●
Un ordinateur et un vidéoprojecteur pour visionner la vidéo,
Des polygones réguliers en bristol en grande quantité et de la pâte type blue tack.
Source : www.emilangues.education.fr/ressources-pedagogiques/sequences/disciplines-non-linguistiques/poly-dres-r-guliers-et-solides-de-pl
1
Références au programme
Développer la vision dans l’espace des élèves, fournir des configurations conduisant à des
problèmes aptes à mobiliser d’autres champs des mathématiques ou de la physique, décrire un
algorithme en langage naturel dans le champ de la géométrie.
Niveaux de compétence en langue
Expression orale en
continu : B1
Expression orale en
interaction : B1
Compréhension de l'écrit
: B2
Expression écrite : Compréhension de l'oral :
B1
B2
Compétences disciplinaires
- une démarche d’investigation scientifique en géométrie dans l’espace par l’expérience
pratique ;
- une démarche des élèves d’autovalidation ou d’invalidation de leurs propositions au regard
d’une définition donnée ;
- la familiarisation avec le cube et le tétraèdre dans une visée implicite de sections par un plan
pour les futurs élèves de première S ;
- la démarche par petits groupes permet d’avoir des compétences différentes et
complémentaires dans la classe : les groupes qui ne verront que les 5 solides, ceux qui verront
la preuve de l’unicité des 5 solides réguliers et convexes, ceux qui verront la dualité, ceux qui
conjectureront la formule d’Euler.
Fiche analytique
Dimensions culturelle/interculturelle/interdisciplinaire
-
dans l’Antiquité grecque, les symboles associés à ces solides ;
Kepler et l’astronomie ;
ouverture vers la chimie et la biologie (structures de molécules, de virus).
Prérequis
Disciplinaires : Aucun
Linguistiques : A2-B1
Activité(s) langagière(s) dominante(s) travaillée(s) au cours de la séquence
- Expression orale en interaction de niveau A2-B1 : créer une situation de débat au moment de
la validation ou non des exemples proposés ;
- Compréhension écrite de niveau B2 : mémoriser la définition de polyèdre régulier, comme
entrainement à la phonologie de l’anglais et par imprégnation, se familiariser avec une structure
grammaticale de phrase complexe en anglais fréquente en sciences ;
- Compréhension orale de niveau B2-C1 : vidéo américaine ;
- Production écrite de niveau B1-B2 : compte rendu écrit individuel ;
- Production écrite de niveau A2-B1 : posters par équipe ;
- Expression orale en continu de niveau A2-B1 : exposé en classe ;
- Expression orale en interaction de niveau A2-B1 : questions à la suite de l’exposé.
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Évaluation
Proposition d'évaluation
Compétences évaluées
Compétences disciplinaires :
Écrire un compte rendu sur une démarche expérimentale et exprimer des conjectures, des
exemples et aussi des essais abandonnés (difficile à écrire en 2nde).
Fichiers :
- feuille de consignes pour le compte rendu écrit ;
- grille d’évaluation lors de la correction ;
- compte rendu d’élève de niveaux différents.
Compétences linguistiques :
Écrire un texte libre incluant des croquis et une démarche scientifique
Fichier : « Frequent mistakes » après correction du compte rendu écrit.
Modalités de l'évaluation
Individuelle/groupe :
●
●
●
Individuelle pour le compte rendu écrit,
En groupe pour la réalisation d’un poster,
En groupe pour la réalisation de l’exposé.
Épreuve pratique :
●
Exposé de 5 minutes en groupe
Type de support :
●
●
Poster réalisé par le groupe et les solides construits en classe
Fichier : grille d’évaluation des posters
Ouverture et approfondissement
Approfondissement
Sitographie
●
●
Math is fun, approche géométrique simple et patrons à imprimer :
http://www.mathsisfun.com/geometry/dodecahedron.html
YouTube, présentation de la dualité entre les solides de Platon (suite de la vidéo) :
http://www.youtube.com/watch?v=Ye24b3ebHcw
Bibliographie
●
●
Mathematical Recreations and Essays, Rouse Ball and Coxeter, pages 130-136, Dover
publications, 1987, 428 pages. Un ouvrage de référence sur les paradoxes mathématiques
exploitables dans les énigmes et jeux.
Alex’s Adventures in Numberland, Alex Bellos, pages 92-94, Bloomsburry, 2010, 445 pages.
Un ouvrage récent et de niveau de langue adapté au lycée.
3
Ouverture internationale et interdisciplinarité
Interdisciplinarité
Ce sujet de géométrie est issu de l’Antiquité grecque : il comporte de nombreuses extensions
culturelles possibles qui peuvent être étudiées par des textes en cours LV, par exemple la vie de
Platon, le symbolisme des cinq éléments associé à ces solides dans l’Antiquité grecque.
Séances
Séance n° 1/8
Séance 1
Matériel nécessaire
Travail en classe entière
Tableau et cahiers
Éventuellement, un livre de mathématiques britannique pour des élèves de leur âge, à faire
feuilleter
Objectifs
Objectifs disciplinaires
Passer de la géométrie en dimension 2 à la géométrie en dimension 3, la notion de dimension
est intuitive
Compétences visées
Passer d’exemples de géométrie plane (dimension 2, intuitivement) à des exemples de
géométrie dans l’espace (dimension 3, intuitivement)
S’approprier la définition de polyèdre régulier pour l’expérimenter matériellement ensuite
Activité(s) langagière(s) dominante(s) travaillée(s) dans la séance
Compréhension écrite niveau B2
Expression orale en interaction niveau B1
Phonologie des termes scientifiques
Vocabulaire de base
Formes grammaticales fréquentes dans les définitions en mathématiques, à mémoriser
Exploitation pédagogique
Démarche pédagogique
Formuler la définition d’un polygone régulier
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Comprendre la définition d’un polyèdre régulier
Énoncer des exemples connus de polygones et polyèdres
Décider si ces exemples sont réguliers ou non, expliquer
Remarques et compléments :
Faire mémoriser à voix haute la définition issue d’un livre de mathématiques britannique
Faire circuler le livre dans la classe rend naturelle l’effort d’une prononciation correcte
Fichier d’un exemple de début de cours : student’s work sheet
Séance n° 2/8
Séance 2
Travail en groupes de 5 élèves
Des polygones réguliers découpés en carton bristol en grandes quantités et de la pâte à fixe,
type blue tack (matériel fait maison, peu onéreux et réutilisable chaque année)
Une grande boite (papier A3) pour stocker les constructions des élèves pour la séance suivante
Objectifs
Mettre la définition à l’épreuve d’une expérimentation matérielle, faire émerger des nouveaux
solides
Démarche d’investigation expérimentale entre pairs
Poursuivre l’appropriation de la définition en la faisant répéter individuellement pendant la
marche du travail de groupe en classe
Expression orale en interaction de niveau A2 ou B1
Acquérir la prononciation des termes scientifiques en faisant répéter la définition à chaque élève
pendant la marche du travail de groupe en classe
Avec l’assortiment de triangles, carrés, pentagones, hexagones, et la pâte à fixe, fabriquer des
polyèdres réguliers différents
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Expérimenter au-delà des habituels cube et pyramide à base triangulaire
Valider ou invalider entre pairs les constructions proposées au regard de la définition proposée
Débat scientifique
Remarques ou compléments :
La composition des groupes d’élèves est réalisée par l’enseignant, en vue de mélanger les
qualités de communication orale, de réflexion scientifique, de spontanéité ou prise de recul par
rapport à l’objet, d’aptitudes d’expression linguistique.
Séance n° 3/8
Séance 3
(travail en groupes de 5 élèves)
Les constructions réalisées à la séance précédente par chaque groupe
Objectifs
Mettre la définition à l’épreuve sur des solides non réguliers, faire émerger des nouveaux
solides réguliers et non réguliers, faire émerger des patrons pour les solides réguliers.
Poursuite du débat scientifique entre pairs
Mettre en échec par l’expérience la recherche d’un 6e solide régulier ou d’un polyèdre régulier
à faces hexagonales
Éventuellement discussion sur le solide convexe ou non selon les réactions
Poursuite de travail individuel sur la prononciation des mots scientifiques
Inventer de nouveaux solides réguliers (en général émergence de l’icosaèdre et de l’octaèdre)
Poser les noms des cinq solides émergents
Écraser les constructions sur la table pour en déduire un ou plusieurs patrons
Remarques ou compléments :
Les démarches pour faire émerger l’icosaèdre et l’octaèdre varient selon les élèves et les
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groupes. Ces chemins intellectuels différents selon les personnes sont particulièrement
intéressants à observer en classe. Ils ne peuvent apparaitre qu’en l’absence de consigne autre
que celle de fabriquer un polyèdre régulier à partir du matériel fourni.
Séance n° 4/8
Séance 4
(travail en groupes de 5 élèves)
Patrons à imprimer (par exemple sur le site :
http://www.mathsisfun.com/geometry/dodecahedron.html )
Des photocopies de patrons de solides à découper et coller
Une grande boite pour stocker sur place
Objectifs
Fabriquer des jeux de 5 solides de Platon en nombre suffisant pour la classe
Toucher matériellement de la géométrie dans l’espace
Transcrire ces solides en un croquis sur le papier
Vivre une expérience de recherche scientifique collective
Étant donné la présence du matériel prêt à être pris dans ses mains, tout élève peut simplement
expérimenter l’idée que ces objets lui inspirent.
Expression orale en interaction de niveau B2 : argumentation scientifique avec les termes
appropriés
Découper et coller les patrons pour fabriquer les 5 solides
Réaliser des croquis de ces solides
Si le temps manque, le découpage peut être demandé à la maison à raison de 3 solides par
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élèves.
Utiliser des feuilles de couleurs vives différentes rend ce sujet attractif aux élèves.
Cette étape est une étape de synthèse matérielle et d’expression scientifique pour chaque élève,
à ne pas sous-estimer sous ses apparences de bricolages.
Il s’avère utile pour la suite de disposer dans la classe d’une quantité importante de jeux
complets de 5 solides : les élèves expérimentent ensuite naturellement leurs idées, faisant
émerger librement des propriétés intéressantes et hors consignes de ces objets.
Séance n° 5/8
Séance 5
Travail en classe entière avec un ordinateur sur vidéoprojecteur
Documents et supports
Support documentaire
Vidéo "Platonic Solid Rock" à visionner du début à 5 min 45 s sur le site YouTube :
http://www.youtube.com/watch?v=Ye24b3ebHcw
Objectifs
Reformuler les découvertes de l’expérimentation
Prendre du recul en percevant un algorithme de construction de ces solides
Prouver l’existence des solides de Platon comme polyèdres (convexes)
Prouver qu’il n’existe que 5 solides
Expression orale en interaction de niveau B2
Appropriation linguistique complète du texte de la vidéo
Créer une mémoire auditive sur un texte comprenant beaucoup de vocabulaire et de tournures
grammaticales scientifiques
Visionner la vidéo une fois
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Restituer à l’oral et collectivement ce message
Compléter cette restitution orale après le 2e passage de la vidéo
Il est essentiel de travailler avec le professeur d’anglais pour exploiter cette vidéo de façon
pertinente
Lorsque le temps manque, on peut donner immédiatement la transcription écrite du script
Fichier de la transcription complète : Annexe 4
Séance n° 6/8
Séance 6
Travail individuel sur le temps de la classe
Croquis réalisés dans le cahier lors des expériences
Une feuille de consignes : fichier Annexe 5
Quelques magazines scientifiques comme Science et Vie Junior, des équivalents en anglais, à
feuilleter pour un exemple visuel de la tâche finale demandée
Objectifs
Faire la synthèse de connaissances nouvelles acquises par l’expérience du vécu personnel (par
opposition à celle du cours reçu de la parole du professeur au tableau)
Écrire des mathématiques comme une rédaction (introduction, développement, conclusion), en
l’absence totale de calcul numérique
Expression écrite de niveau A2 à B2
Rédiger un compte rendu écrit libre et individuel incluant texte et croquis à la façon d’un article
de magazine de vulgarisation scientifique
Rassembler dans un seul texte ce que l’élève a retenu des expériences
Réinvestir vocabulaire et tournures grammaticales fournis par la vidéo pour satisfaire une liste
d’éléments incontournables demandés dans les consignes
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Cette étape est plus aisée si elle est accompagnée en classe par la parole du professeur pour
permettre à l’élève de démarrer sa production.
Elle est de nature difficile et nécessite du temps en classe : rares sont les élèves qui peuvent le
faire seuls chez eux.
L’élève demande à tenir dans ses mains les solides en papier pour les décrire par des mots et par
des croquis.
La réalisation de ce compte rendu procure à chaque élève une sensation de réussite personnelle
après un effort qu’il peut.
Il faut souvent au moins 2 heures de rédaction individuelle et accompagnée en classe pour
que chaque élève s’approprie les consignes. Il finit cette rédaction seul à la maison ensuite.
Séance n° 7/8
Séance 7
Au CDI, matériel pour réaliser un poster
Une feuille de consignes : annexe 6
Objectifs
Présenter sur un poster les 5 solides de Platon
Présenter sur un poster la preuve qu’il n’existe que 5 polyèdres réguliers
Expression écrite de niveau A2-B1
On peut passer à un autre thème après le compte rendu écrit et revenir plus tard dans l’année à
ces productions de poster et d’exposé
Décrire des objets par leurs propriétés géométriques et une démarche systématique
Démontrer un résultat mathématique
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Séance n° 8/8
Séance 8
Le poster réalisé par chaque groupe
Une feuille de consignes incluant les critères d’évaluation : annexe 6
Objectifs
Décrire des objets par leurs propriétés géométriques et une démarche systématique
Démontrer un résultat mathématique
Expression orale en continu de niveau B1-B2
Expression orale en interaction de niveau A2-B1
Sensibiliser à l’écueil de l’écrit oralisé, au moment des répétitions devant le professeur
Préparer un exposé oral de 6 minutes au cours duquel chaque membre du groupe prend la
parole
Répéter son exposé à titre individuel, puis de façon coordonnée dans l’équipe devant le
professeur
Se tenir prêt à répondre à une question formulée par un auditeur dans l’assistance
La réalisation de ce poster procure aux élèves une réussite qu’ils peuvent montrer
matériellement à l’extérieur du cours par l’affichage dans les couloirs par exemple.
L’expérience de la prise de parole en public et en langue étrangère est souvent un vécu
important. Il est valorisant d’avoir à ce moment des auditeurs extérieurs comme d’autres
professeurs, le CPE… ou de les filmer.
Documents et ressources
Annexe 1 : boite de solides de Platon
●
Box_of_platonic_solids2.JPG
11
Annexe 2 : photo de mains sur polygone en bristol
●
Building_a_regular_polyhedra2.JPG
Annexe 3 : student's worksheet
●
Regular20Polyhedra_support20eleve.pdf
Annexe 4 : script de la vidéo, Platonic Solid Rock
●
Script.pdf
Annexe 5 : instructions for the written report
●
Instructions20for20the20written20report.pdf
Annexe 6 : instruction for the oral presentation
●
Poster20and20oral20presentation20on20a20given20subject.pdf
12

Polyèdres réguliers et solides de Platon

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