Analyse Numérique et Simulation des Plasmas - LATMOS

Simulation numérique des plasmas
UVSQ / OMP-PEL
Master Optique, Matière et Plasmas
Analyse Numérique et Simulation des
Plasmas
version 1.0
Auteur :
Ronan Modolo
Université de Versailles
Saint-Quentin
LATMOS
[email protected]
Co-Auteur :
Guillaume Aulanier
Observatoire de Paris-Meudon
LESIA
[email protected]
Co-Auteur :
Sebastien Hess
LATMOS
[email protected]
8 janvier 2013
Ronan Modolo, Guillaume Aulanier, Sebastien Hess
1
2012-2013
Table des matières
1 Introduction
4
2 Quelques généralités sur les modèles utilisés en physique des plasmas
2.1 Notions fondamentales de physique des plasmas pour les modèles et les simulations
2.2 Les équations de la magnétohydrodynamique (MHD) idéale . . . . . . . . . . . . .
2.3 Le modèle hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Les modèles cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Les hypothèses implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Neutralité du plasma, ne = ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 L’approximation de Darwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 La masse des électrons, me = 0 comme mi << 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Equilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ et dJ/dt
~
2.5.5 J~ × B
sont négligés dans la loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . .
~ · p̄¯ = ∇p
~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.6 Pression isotrope ∇
~ + ~u×B~ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.7 Loi d’Ohm généralisée : J~ = σ(E
c
2.5.8 Les effets de rayons de Larmor finis peuvent être ignorés . . . . . . . . . . .
2.5.9 Résumé des hypothèses implicites pour chaque modèle . . . . . . . . . . . .
3 Les
3.1
3.2
3.3
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
6
6
7
7
8
9
9
9
9
9
10
10
10
11
11
modèles et quelques méthodes numériques
13
Unités, normalisations et équations sans dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Les modèles Magnétohydrodynamique (MHD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.1 Modèles MHD Hall et résistif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.2 Modèles MHD multi-espèces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.3 Modèles multi-fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Les modèles cinétiques (PIC et hybride) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.1 Obtention des équations de mouvement et caractérisation des particules numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.1.1 Moment d’ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4.1.2 Moment d’ordre 1 (en x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4.1.3 Moment d’ordre 1 (en v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4.2 Intégration des équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4.2.1 Schéma aux différences finies décentrées . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.2.1.1 Analyse de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.2.2 Schéma Saute-Mouton (Leapfrog) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.2.2.1 Analyse de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2.3 Méthode Implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2.4 Schéma de Boris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.2.4.1 Implémentation du schéma de Boris . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2.5 Schémas de Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.3 Pondération des particules et des forces : relation entre les quantités sur les
points de grille et les particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2
Simulation numérique des plasmas
UVSQ / OMP-PEL
3.4.4
3.4.3.1 Pondération d’ordre 0 . . . . . . . . . . .
3.4.3.2 Pondération d’ordre 1 . . . . . . . . . . .
3.4.3.3 Caclul des champs ou des forces s’exercant
Intégration des équations de champs . . . . . . . .
3.4.4.1 Champ électrique dans les codes PIC . . .
3.4.4.2 Champ électrique des les modèles hybrides
Ronan Modolo, Guillaume Aulanier, Sebastien Hess
3
. .
. .
sur
. .
. .
. .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
une macroparticule .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
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.
.
.
.
.
23
24
24
25
25
25
2012-2013
Chapitre 1
Introduction
Il y a principalement trois approches pour étudier un phénomène physique, quelque soit le domaine
d’application. Les problèmes peuvent être abordés de manière : 1) Expérimentale/observationnelle, 2)
théorique et 3) à partir de modélisations et simulations numériques. Chaque approche a ses avantages
et inconvénients. L’approche expérimentale/observationnelle permet d’avoir des mesures in situ ou à
distance ou bien basé sur des expériences de laboratoire. C’est l’un des moyens les plus réalistes qui
permet de comprendre le phénomène étudié. Cependant, il y a de vrais inconvénients à cette approche
telles que : le coût des équipements et des opérations, les difficultés de mesures, l’interprétations des
données et le manque de couverture spatiale et temporelle. L’approche théorique est certainement
l’approche la plus ”propre” puisqu’elle donne des informations générales sous une forme analytique.
Cependant, nous sommes limités à des géométries simples et des problèmes de physique, chimie,...
qui sont la plupart du temps linéaires. La troisième approche, modélisation/simulation, est l’objet
de ce cours. Il est indispensable de se rappeler qu’aucune des trois approches n’est capable de décrire
complètement tous les aspects du problème. Elles sont complémentaires et toutes les approches sont
nécessaires pour comprendre le phénomène étudié.
La nature complexe des phénomènes rencontrés en physique des plasmas a engendré un fort intérêt
pour les simulations numériques et a joué un rôle important dans les développements théoriques. Par
ailleurs, les simulations numériques sont également devenues des outils efficaces pour donner un
aperçu relativement précis des phénomènes physiques dans différents domaines d’application, que
ce soit des plasmas de laboratoire, des plasmas de fusion ou des plasmas naturels. Les simulations
numériques sont basées sur des méthodes mathématiques. Avant de poursuivre, clarifions quelques
problèmes récurrents de nomenclature. Les termes” modèle” et ”simulation” sont fréquemment mals
utilisés, et échangés, dans la littérature. Il y a une vraie différence. Un modèle est défini comme
une représentation d’un phénomène physique que l’on cherche à comprendre, prédire ou contrôler
son comportement. Cela peut consister en des équations physiques qui représentent un processus
physique ou un modèle empirique de données. Le principe d’un modèle est de remplacer un système
complexe en un objet ou opérateur simple reproduisant les aspects ou comportements principaux de
l’original (ex : modèle réduit, maquette, modèle mathématique ou numérique, modèle de pensée ou
raisonnement). La simulation est l’utilisation numérique de ce modèle. Typiquement une simulation
est un programme qui représente la transcription numérique d’un ou plusieurs modèle et qui est
exécuté sur un (ou plusieurs) ordinateur(s). Pour comprendre et résoudre un problème avec l’approche
modélisation/simulation il est donc nécessaire d’avoir à l’esprit les différentes étapes qui mènent à
une représentation du phénomène physique étudié. Ces étapes sont représentées sur la figure 1.1.
Pour comprendre un phénomène physique au moyen de simulations numériques, il est nécessaire
de construire un modèle mathématique permettant la représentation du phénomène physique. Ces
modèles utilisent très souvent des systèmes d’équations aux dérivées partielles non-linéaires dont on
ne connait pas de solutions analytiques en général. Il faut alors résoudre le problème numérique en
transformant les équations continues de la physique en un problème discret sur un domaine de calcul.
les différentes étapes pour modéliser un système complexe sont :
– Recherche d’un modèle mathématique représentant la physique. C’est la mise en équation.
4
Résoudre un problème numérique: quelques
étapes
Simulation numérique des plasmas
UVSQ / OMP-PEL
Problème
Physique
Modèle
Mathématique
( )
dv q
= v× B
dt m
Simulation
Exécution du
programme et
discussion des
résultats
Programmation
Écriture des
scripts
Discrétisation
(
d vi
q
= i vi × B
dt
mi
)
Méthode
numérique de
résolution
Ex:
Méthode
prédicteurcorrecteur
- Institut
OMP- schématique
présentation des options
de la spécialitéétapes menant30/11/2011
Figure 1.1 – représentation
des différentes
à la résolution
d’un problème
d’Optique Graduate School
UE
:
«
Analyse
numérique
et
simulations
des
plasmas
»
physique par une approche de simulation numérique.
– Elaboration d’un maillage. Segmentation spatiale et/ou temporelle du domaine physique. Discrétisations des équations de la physique.
– Résolution des équations discretes. Détermination des méthodes numériques utilisés pour résoudre le système d’équations.
– Transcription informatique et programmation des méthodes numériques.
– Simulation numérique et exploitation des résultats.
Ce cours a pour principal objectif de donner une introduction à la simulation numérique dans
les domaines de la physique des plasmas. Nous présentons les concepts fondamentaux des principaux
modèles mathématiques et numériques utilisés en physique des plasmas. L’un des objectifs de ce
cours est également de comprendre les différents aspects et nous essaierons d’intervenir sur chacune
de ces étapes. Nous n’avons pas pour pour ambition de former des ”experts” en simulation numérique
en quelques heures mais plutôt de donner un avant goût au travail de modélisation et de simulation.
Différentes descriptions mathématiques sont abordées pendant ce cours. Un accent particulier
sur les hypothèses simplificatrices est rappelé afin d’identifier le régime de validité du modèle et par
conséquent des résultats de la simulation numérique obtenus.
Ces notes de cours s’appuie sur des lectures et réflexions personnelles ainsi que sur les ouvrages
suivant :
– Plasma Physics via Computer Simulation, Series in Plasma Physics, C.K. Birdsall and A.B
Langdon, Taylor & Francis Group, 2005, ISBN :0-7503-1025-1
– The Hybrid Multiscale Simulation Technology : A intoduction with Astrophysical and Laboratory Plasmas, A. Lipatov, Springer-Verlag new-York, ISBN 3-540-41734-6
Ronan Modolo, Guillaume Aulanier, Sebastien Hess
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2012-2013
Chapitre 2
Quelques généralités sur les modèles
utilisés en physique des plasmas
Les simulations en physique des plasmas peuvent se répartir en deux grandes classes suivant les
descriptions fluides et cinétiques. Les simulations adoptant une approche fluide consistent à résoudre
les équations de la magnétohydrodynamique (MHD), en supposant des coefficients moyens de transport. Les simulations cinétiques, ie adoptant une approche cinétique, s’appuient sur des modèles plus
détaillés en invoquant des interactions particulaires au moyen des champs électromagnétiques. Cela
peut être réalisé soit en résolvant numériquement les équations cinétiques (eg équations de Vlasov
ou de Fokker-Planck), ou des simulations ”particulaires”. Les simulations hybrides sont considérées
comme une approche intermédiaire, les ions ont une description cinétique tandis que les électrons
sont traités comme un fluide.
Chaque approche a ses hypothèses implicites, région d ’applicabilité, avantages et inconvénients.
Par ailleurs plusieurs méthodes numériques peuvent être utilisées pour chacune des approches, chacune avec leur propres hypothèses, avantages et inconvénients.
2.1
Notions fondamentales de physique des plasmas pour
les modèles et les simulations
La physique des plasmas est l’étude des gaz ionisés de basse densité. Le nombre d’ions doit être
suffisamment important pour que la force à longue distance de Coulomb soit un facteur dans la
détermination des propriétés statistiques du plasma, mais suffisamment faible pour que la force due
aux ions voisins soit plus faible que la force à longue de distance de Coulomb exercé par plusieurs
ions distants. Le mouvement d’une particule chargée individuelle est gouverné par l’équation du
mouvement :
~
d~v
~ + ~v × B )
(2.1)
m = q(E
dt
c
~ et B
~ sont les champs électrique et
où m est la masse de la particule, q sa charge, ~v sa vitesse et E
magnétique dans lequel la particule se déplace. La position dun ion est donnée par :
d~x
= ~v
dt
(2.2)
Le mouvement des particules crée des courants qui affectent les champs par le biais des équations
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Simulation numérique des plasmas
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de Maxwell :
~ ·B
~ = 0
∇
~ ·D
~ = 4πρc
∇
~
~ ×H
~ = 4π J~ + 1 ∂ D
∇
c
c ∂t
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
L’interaction entre le mouvement des particules chargées et les champs amènent à de nombreux effets
non-linéaires tels que des instabilités ou des ondes qui sont au coeur de la physique des plasmas.
Résoudre 2.1-2.2 pour chaque électron et ion est très contraignant. Si les contraintes spatiales
et temporelles sont incompatibles avec les échelles caractéristiques du plasma et le processus étudié
n’est pas gouverné par des effets cinétiques, il est possible de réduire la complexité du problème en se
concentrant sur les comportements collectifs ou les propriétés macroscopiques. Il est de ce fait possible
de simplifier le modèle en abandonant la description du comportement de chaque espèce chargée. La
procédure habituelle pour réduire la complexité du modèle consiste à substituer l’équation de Vlasov
de l’espèce ”s” par une hierarchie d’équation d’évolution des moments de la fonction de distribution
intégré sur l’espace des vitessex. La hierarchie des équations de moments est tronquée à un ordre
avec une équation de fermeture qui relie le dernier moment retenu aux moments d’ordres inférieurs.
Quand cette procédure de réduction est appliqué à toutes les espèces du plasma nous obtenons un
modèle fluide. Le modèle le plus simple est le modèle de la magnétohydrodynamique (MHD) idéal.
2.2
Les équations de la magnétohydrodynamique (MHD)
idéale
Dans l’approche MHD le plasma est décrit par un jeu d’équations fluides qui représentent la
conservation de la masse, de la quantité de mouvement et l’énergie ainsi que l’évolution du champ
magnétique. Dans la forme conservative les équations de la MHD s’écrivent :
Continuité :
Quantité de mouvement :
Energie/pression :
Induction :
∂ρ ~
+ ∇ · (ρ~u) = 0
∂t
~
∂ρ~u ~
J~ × B
~
+ ∇ · (ρ~u~u) =
− ∇p
∂t
c
∂e ~
~ · ~u
+ ∇ · (e~u) = −p∇
∂t
2
~
∂B
~ × (~u × B)
~ + c ∆B
~
=∇
∂t
4πσ
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
où ρ est la densité de masse du fluide, ~u est la vitesse du fluide, p est la pression thermique du
plasma, e est la densité d’énergie interne, c est la célérité de la lumière et σ la conductivité du plasma.
La pression thermique du plasma est reliée à la densité d’énergie interne du plasma par : p = (γ −1)e,
γ étant l’indice polytropique.
2.3
Le modèle hybride
L’approche hybride est une approche intermédiaire entre les approches fluides et cinétiques. L’approche hybride est adoptée quand la masse des électrons peut être ignorée. Plus généralement, l’approche hybride consiste en une description fluide des électrons et une description cinétique des ions.
On peut toutefois trouver des modèles hybrides avec une masse finie pour les électrons mais ces modèles ne sont pas décrit ici. Les modèles hybrides résolvent les équations de mouvement pour chaque
Ronan Modolo, Guillaume Aulanier, Sebastien Hess
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2012-2013
Simulation numérique des plasmas
UVSQ / OMP-PEL
particule :
d~
vj
dt
dx~j
dt
~
qj ~ v~j × B
~
(E +
− η J)
mj
c
=
= v~j
(2.11)
(2.12)
où J~ est la densité de courant total, η la résistivité et l’indice j précise la particule numérique
considérée. Le champ électrique est donné par :
~ =
E
1
~ × B)
~ ×B
~ − 1 J~i × B
~ − 1 ∇(n
~ e Te ) + η J~
(∇
Aπne e
ne ec
ne e
(2.13)
où Ji est la densité de courant ionique, ne la densité des électrons et e la charge d’un électron.
L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit :
~ ×B
~ = 4π/c(J~i + J~e )
∇
(2.14)
où J~e est la densité de courant des électrons. L’équation de Maxwell-Faraday 2.6 est également
utilisé pour obtenir le champ magnétique. Les électrons étant traités comme un fluide il est donc
nécessaire de fermer le système avec une équation de fermeture. Il n’est pas rare que les électrons
soient supposés adiabatique (pρ−γ = constante) ou qu’une équation sur la température électronique
soit résolue en utilisant :
∂Te
~ e + 3 Te ∇
~ · u~e = 2 η J~2
+ u~e · ∇T
∂t
2
3ne
(2.15)
Te est la température des électrons tandis que u~e est la vitesse des électrons.
2.4
Les modèles cinétiques
Il existe différents modèles cinétiques qui permettent de résoudre l’équation de Vlasov. Le jeu
d’équations de Vlasov-Maxwell pour un plasma sans collision est le suivant :
Une équation pour la fonction de distribution fα des particules d’espèces α.
∂
qα ~
∂
∂
~ ·
+ ~v ·
+
(E + ~v × B)
fα = 0
(2.16)
∂t
∂~x Mα
∂~v
Les équations de Maxwell résolues sont les lois de Maxwell-Faraday
−
~
1 ∂B
~ ×E
~
=∇
c ∂t
(2.17)
de Maxwell-Ampère :
~
~ ×B
~ = 4π J~ + 1 ∂ E
∇
c
c ∂t
de Maxwell-Gauss et la conservation du flux magnétique :
~ ·E
~ = 4πρ
∇
~ ·B
~ = 0
∇
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Dans le cas de collisions entre atomes et espèces chargées, l’équation de Boltzmann sur la fonction de distribution doit être utilisée. La structure de l’équation de Vlasov est hyperbolique et nous
pouvons utiliser des méthodes numériques développées pour la dynamique des fluides. Comme les
équations de Maxwell sont linéaires, il est possible d’utiliser des algorithmes standards pour trouver
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leurs solutions. Cependant la plupart du temps nous ne pouvons pas trouver une solution appropriée
aux phénomènes complètement cinétiques et tri-dimensionnels même avec les super-ordinateurs actuels ou les super-ordinateurs massivement parallèles. Une voix alternative pour modifier l’équation
de Vlasov est d’utiliser des particules, des marqueurs, des centres-guides,... qui vont représenter la
fonction de distribution. Il est de ce fait nécessaire de développer des méthodes numériques appropriées et étudier les effets de pas de temps fini, de grille, de bruit.
La plupart des simulations numériques résolvant l’équation de Vlasov ont une représentation
lagrangienne. Les trajectoires d’un grand nombre de particules sont calculées, et les distributions de
ces particules sont utilisés pour calculer les densités de charge et de courant. Il est également possible
de résoudre l’équation de Vlasov de manière directe en utilisant une représentation eulérienne. Pour
résoudre l’équation de Vlasov de manière directe, il existe différente approches, i.e. des méthodes de
Transformée Fourier-Fourier et Fourier-Hermite, des méthodes de schéma séparé Fourier-Eulerien,
des méthodes aux différences finies. Il existe d’autres approches dites particulaires (PIC, particle-InCell ). C’est sur ces dernières que nous axerons notre attention au cours de cet enseignement. Parmi
les méthodes particulaires, il existe également de nombreuses variantes, les méthodes δf , les centres
guides, les gyro-cinétiques, les modèles particules-champ...Nous nous concentrerons sur les modèles
complètement particulaires PIC.
2.5
Les hypothèses implicites
Différentes hypothèses sont faites dans chaque modèle.
2.5.1
Neutralité du plasma, ne = ni
Par conséquent, le courant de déplacement est ignoré dans l’équation de Maxwell-Ampère 2.5.
Cette hypothèse est valide tant que nous regardons des échelles qui sont plus grandes que la longueur
de Debye λD . Cette hypothèse est infirmée quand la résolution de la grille est plus petite que la
~ · J~ = 0, et enlève un bon nombre d’instabilités
longueur de Debye. Cela implique également que ∇
electrostatiques.
2.5.2
L’approximation de Darwin
L’approximation sépare le champ électrique en une partie longitudinale E~L et une partie solénoı̈~ × E~L = ~0 et ∇
~ · E~T = 0 et ∂ E~T ∂t est négligé dans l’équation de Maxwell-Ampère
dale E~T . Alors ∇
2.5. Cela permet d’ignorer les ondes de lumières.
2.5.3
La masse des électrons, me = 0 comme mi << 1
En combinant cela avec l’hypothèse de neutralité cela signifie que la densité de masse du plasma
est juste la densité des ions multipliée par la masse des ions, ρm = ni mi . La fréquence plasma des
électrons (4πne e2 /me )1/2 et la gyrofréquence des électrons (eB/me c) ont des dénominateurs nuls et
donc supprimés des calculs. Les modes hautes fréquences ne sont plus décrits, tel que les ondes de
sifflement électronique. En utilisant ces deux hypothèses il n’y a plus de mécanisme physique qui
décrit le comportement du système aux petites échelles. L’échelle viable est la longueur inertielle des
ions c/ωpi . Il y a donc une limite sur la dimension miminum des cellules que l’on peut utiliser. Il
faut que la taille minimum de la grille soit au moins un ordre de grandeur au dessus de la longueur
inertielle des électrons c/ωpe .
2.5.4
Equilibre thermodynamique
Cette hypothèse dit que les composantes du gaz/plasma ne sont pas loin de l’équilibre thermodynamique, i.e. à chaque localisation spatiale la fonction de distribution est Maxwellienne. Cette
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hypothèse est utilisée quand on dérive les équations fluides à partir de la mécanique statistique.
C’est nécessaire pour obtenir un jeu d’équations de transport. Cela suppose qu’il y a suffisamment
de collisions dans le gaz pour que cette hypothèse soit valide. Cela limite l’utilisation de l’approche
fluide.
2.5.5
~ et dJ/dt
~
J~ × B
sont négligés dans la loi d’Ohm
Avec ces hypothèses seuls les phénomènes basse fréquence et les grandes échelles spatiales (comparés à la longueur de Debye) sont peuvent ètre étduiés :
ω
1 1 dJ~
∼
<< 1
~
ωp
|J| ωp dt
(2.21)
~
~
J~ × B
B2
~u × B
∼
<< ne
c
L
c
(2.22)
et
~ est pris en compte dans le terme Hall. Le terme Hall permet
Il y a des fois où le terme J~ × B
l’existence du champ ambipolaire. Quand c’est le cas, le champ magnétique n’est plus lié à l’écoulement plasma. La symétrie des équations MHD est rompue de telle sorte que l’écoulement magnétisé
autour d’un obstacle ne produit pas de structure ou écoulement symétrique. Le terme Hall affecte
le mouvement les ions et les électrons aux échelles de longueurs comparables à la longueur inertielle
des ions : L c/ωpi . Inclure le terme Hall permet d’ajouter de nouveaux modes dans le système.
2.5.6
~ · p̄¯ = ∇p
~
Pression isotrope ∇
Cette hypothèse est valide tant que le plasma est collisionnel, avec des interactions inter-particule
fréquentes. Cela peut également être valide lorsque l’activité des ondes reproduit les collisions des
particules. Cette hypothèse simplifie grandement le système et est souvent appliqué lorsque le système
est presque sans collisions. Cette approximation n’est pas valide pour les simulations qui modélisent
des fonctions de distribution non-Maxwelliennes.
2.5.7
~ + ~u×B~ )
Loi d’Ohm généralisée : J~ = σ(E
c
C’est le résultat des hypothèses 2.5.3-2.5.5 et est valide pour les échelles suivantes. Soit L l’échelle
de longueur des variations spatiales des paramètres plasmas et U~0 la vitesse caractéristique du plasma.
Alors l’approche MHD et sa loi d’Ohm généralisée sont possibles sous les conditions suivantes :
1. Si
2. Si
3. Si
2 ~
Lωpe
U0
ωce c2
1 alors
~ B
~
J×
nec
peut êre négligé.
2 ~
L2 ωpe
U0
me ∂ J~
1 alors ne
2 ∂t
c2 c2
LU0 ωce U~0
~ e
1 alors ∇p
κTe /me c2
peut êre négligé.
peut êre négligé.
La loi d’Ohm peut encore se simplifier si la conductivité du plasma est très grande. Cette hypothèse
~
0
est valable tant que le nombre de Reynolds magnétique RM = 4πσLU
1 alors 4πσJ peut être négligé.
c2
La loi d’Ohm généralisée peut s’écrire :
~
~
~ + U ×B =0
E
c
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10
(2.23)
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Simulation numérique des plasmas
UVSQ / OMP-PEL
2.5.8
Les effets de rayons de Larmor finis peuvent être ignorés
Retenir les effets de rayons de giration amènent à des termes extra-diagonaux dans le tenseur de
pression. Cela viole la condition de pression isotropique. La condition sous laquelle cette hypothèse
est valable est :
Lω
p ci
1
(2.24)
κTi /mi
où ωci , Ti et mi représente la fréquence cyclotron des ions, température et masse. Ces conditions
impliquent que les propriétés plasmas varient seulement suivant des échelles spatiales et de temps
très grandes.
Si les échelles de temps ne sont pas lentes un nouveau jeu d’équations et d’hypothèses est nécessaire
~ ∇B,
~ etc... sont petits comparés aux termes
pour décrire le plasma. Les termes de gradient tels que ∇p,
~ Pour un plasma dans un champ magnétique déterminé par une approche MHD, en
tels que p et B.
plus de la contrainte L λD , on a :
r 2
1
L
1
(2.25)
L
T ωci
où rL est le rayon de giration et T est l’échelle de temps. Donc pour que l’approche MHD soit
valide, les échelles de longueurs qui nous intéresse doivent être plus grandes que les rayons de girations
et la longueur de Debye. En plus, les échelles de temps que nous pouvons étudier doivent être plus
grandes que la période cyclotron des ions. Quand ces conditions sont vérifiées les effets liés aux rayons
de giration peuvent être négligés. La théorie MHD a été modifié pour prendre en compte des effets
de rayons de giration, elle est connue sous le nom de la MHD à rayon de Larmor fini. C’est valable
pour les conditions suivantes :
r 2
1
L
1
(2.26)
T ωci
L
La MHD à rayon de Larmor fini diffère de la MHD idéal par deux aspects. Le premier est que
le champ électrique utilisé dans la loi d’Ohm comprend le terme Hall et inclut un terme de gradient
électronique. Le second est que le terme de pression ionique n’est plus un scalaire mais est modifié
de telle sorte que c’est un tenseur avec des termes extra-diagonaux.
2.5.9
Résumé des hypothèses implicites pour chaque modèle
Les hypothèses implicites qui s’appliquent aux différentes grande familles sont résumées dans la
table 2.1. Il est clair que les modèles complètement cinétiques sont ceux avec le moins d’hypothèses
suivent ensuite la formulation hybride. L’absence d’hypothèses pour les modèles cinétiques permet
l’étude du plasma sur un grand jeu de paramètre mais est restreint à une description locale comme
nous l’avons précédemment rappelé. Les modèles cinétiques et hybrides sont bien adaptés pour décrire
un plasma non-collisionel. Par ailleurs les hypothèses formulées par la MHD sont mieux adaptées pour
les plasmas collisionels et les descriptions globales (spatiales et temporelles).
Ronan Modolo, Guillaume Aulanier, Sebastien Hess
11
2012-2013
Simulation numérique des plasmas
UVSQ / OMP-PEL
Modèles
Hypothèses
2.5.1 2.5.2 2.5.3
2.5.4
2.5.5
X
2.5.6 2.5.7 2.5.8
Cinétique
Hybride (ion)
X
X
MHD
X
X
X
MHD Hall
X
X
X
X
X
MHD Hall multi-fluides
X
X
X
X
X
X
X
X
Table 2.1 – Les hypothèses implicites pour chaque modèle.
Ronan Modolo, Guillaume Aulanier, Sebastien Hess
12
2012-2013
Chapitre 3
Les modèles et quelques méthodes
numériques
Dans ce chapitre nous examinons quelques différences entre modèles et des schémas numériques.
3.1
Unités, normalisations et équations sans dimension
Les équations des différents modèles sont écrites avec les unités du Système International. En fait,
pour les simulations, il est commode de normaliser ces équations et de travailler avec des équations
adimensionnées. Dans les simulations, les grandeurs adimensionnées xm du modèle sont reliées aux
valeurs physiques par l’intermédiaire d’une unité de référence x0 par : xm = x/x0 . Nous choisissons
comme unités de références certains paramètres physiques de références. On notera le sous-indice ”m”
la variable adimensionnée dans le modèle de simulation e par le sous-indice ”0” l’unité de référence.
Si l’on prend comme exemple les modèles cinétiques ou hybride, on notera m0 , q0 et n0 les masse,
charge et densité de références. Le champ magnétique de référence B0 correspond à la valeur du
champ magnétique dans le plasma incident non perturbé. Le système d’unités doit être cohérent avec
le système d’équations. Par exemple, l’équation 2.12 dans les simulations s’écrit
v0 t0
dx~m
= v~m
dtm
x0
(3.1)
L’unité de temps t0 est l’inverse de la gyropulsation de l’ion majoritaire (t0 = m0 /(q0 B0 )), la vitesse
√
de référence est la vitesse d’Alfvèn (v0 = B0 / µ0 n0 m0 , où µ0 est la perméabilité du vide) et l’unité
de longueur de référence est la longueur inertielle des ions (x0 = c/ωp0 ). Notons que v0 t0 /x0 = 1.
Un autre exemple pour la loi d’Ohm de la MHD idéal
v0 B0
E~m = −v~m × B~m
E0
(3.2)
où E0 = v0 B0 est l’unité de référence. Il est donc nécessaire de réécrire l’ensemble des équations en
variables adimensionnées pour obtenir le système adimensionné.
3.2
Discrétisation
Les grandeurs physiques sont définies en un nombre fini (”discret”) de points appelés ”noeuds”.
L’ensemble des noeuds et des segments reliant un point à ses voisins constituent le maillage (spatial)
de la simulation. Les noeuds peuvent être espacés les uns des autres de façon plus ou moins arbitraire,
définissant un réseau de noeuds dont la géométrie peut être complexe. Le maillage est caractérisé
par la (les) distance(s) ∆x (et ∆y, ∆z si le modèle est à 2 ou 3 dimensions) entre les noeuds (dans
chacune des directions). L’évolution temporelle est également discrétisée en une succession de petits
13
Simulation numérique des plasmas
UVSQ / OMP-PEL
intervalles de temps ∆t. Le choix des noeuds et des instants pour lesquels on définit les valeurs des
grandeurs physiques constitue un échantillonage du système physique étudié.
Le pas de temps et le pas spatial sont contraints par la condition de Courant-Friedrichs-Levy
(CFL) ; ∆t < (∆x/Vmax ) où Vmax est la vitesse maximale de propagation d’une perturbation dans
le système, ce peut être une vitesse matérielle ou la vitesse de phase d’une onde ; cela revient à dire
que le pas de temps doit être suffisamment petit pour que l’information ne se propage pas sur plus
d’une cellule. D’autre part, l’estimation du pas de temps doit correspondre à une fraction de l’inverse
des fréquences caractéristiques du milieu. Les temps caractéristiques les plus courts, qui déterminent
le pas de temps ∆t, sont essentiellement la gyropériode de l’ion le plus léger, i.e. généralement H + ,
Tc,s = 2πms /qs B et le temps caractéristique de dispersion des ondes dans le milieu (Td ∼ µ0 ρc /k 2 B).
Ce temps est généralement plus court que les périodes cyclotroniques des ions. Il est essentiel de
subdiviser le pas de temps en une séquence de sous-pas de temps plus petits pour faire évoluer le
champ magnétique. Le nombre de particules physiques est trop important pour qu’une particule
physique soit modélisée par une particule numérique, même dans un plasma raréfié.
Pour les modèles particulaires ou hybride, des macroparticules qui représentent chacune un grand
nombre de particules physiques identiques ayant la même vitesse (une sorte de nuage de particules) est
utilisé. Le poids statistique attribué à une macroparticule est égal au nombre de particules physiques
qu’elle représente. L’inconvénient de cette description est l’existence de fluctuations statistiques de
la densité beaucoup plus grandes que les fluctuations thermiques existant dans un plasma réel. Mais
un autre avantage est la possibilité de d’ecrire plusieurs espèces dans la simulation et en particulier
des espèces minoritaires avec une statistique acceptable.
3.3
Les modèles Magnétohydrodynamique (MHD)
Les modèles MHD sont l’extension de la dynamique des fluides aux fluides électriquement conducteurs tels que les plasmas, avec la description des forces électromagnétiques. Les équations correspondantes de la MHD décrivent l’évolution des quantités macroscopiques telles que la densité, le
champ magnétique et la pression de l’écoulement plasma. Les modèles MHD sont particulièrement
intéressants quand le mouvement exact d’une simple particule n’est pas nécessaire dans l’étude du
phénomène considéré. La forme basique des équations adimensionnées de la MHD est la suivante (le
sous-indice est désormais enlevé) :
∂ρ ~
~) =
+ ∇ · (ρU
∂t
~
∂ρU
~ · (ρU
~U
~) =
+∇
∂t
∂e ~
~) =
+ ∇ · (eU
∂t
~
∂B
=
∂t
Equation de continuité
Conservation de la quantité de mouvement
Conservation de l’énergie
Equation d’induction
0
(3.3)
~ − ∇p
~
J~ × B
(3.4)
~ ·U
~
−p∇
(3.5)
~ ×E
~
−∇
(3.6)
Les notations utilisées sont les mêmes que celles du chapitre 2. L’équation de fermeture de ce
système exprime la pression thermique en fonction de la densité d’énergie interne p = (γ − 1)e avec
γ est l’indice adiabatique.
3.3.1
Modèles MHD Hall et résistif
Les modèles MHD diffèrent par la forme de la loi d’Ohm utilisée et le traitement des différentes
espèces ioniques. La loi d’Ohm relie la vitesse d’ensemble au champ électrique. La forme générale de
la loi d’Ohm s’écrit :
~ ~
~ = −U
~ ×B
~ + J × B − 1 ∇p
~ e + η J~
E
(3.7)
ene
ene
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14
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~
cette expression inclue différents termes tels que le terme Hall (J~ × B/(en
e )), le gradient de pression électronique et un terme résistif. En fonction du phénomène étudié, il possible de simplifier
~ = −U
~ × B.
~
l’expression de la loi d’Ohm pour revenir à l’expression fondamentale de la MHD idéal E
Ces équations forment un jeu complet d’équations aux dérivées partielles qui décrivent le fluide
et les champs. Strictement parlement ce genre d’approche est valable quand :
– Les composantes du gaz ne sont pas loin de l’équilibre thermodynamique local.
– Le plasma est décrit par une fonction de distribution Maxwellienne.
– Le flux de chaleur n’est pas important.
– la neutralité de charge est valable.
– Les composantes hautes-fréquences du champ électrique peuvent être négligées.
Quand le système prend on compte à la fois des neutres et du plasma et que ce gaz est partiellement
ionisé, les collisions entre les ions et les neutres peuvent jouer un rôle important. Il existe généralement
deux types de collisions : les collisions élastiques et inélastiques. Les collisions inélastiques peuvent
résulter de réactions d’échange de charge. Ces collisions peuvent être prises en comptes dans les
modèles en incluant des termes de source dans les membres de droites des équations 3.3-3.6. L’ajout
ces termes dans les membres de droites mènent au modèles de la MHD avec source.
Les modèles de MHD résistive est obtenu en incluant un terme résistif dans la loi d ’Ohm.
La forme résistive est nécessaire pour décrire les effets de diffusions magnétique liés aux collisions.
Tous les codes numériques produisent de la résitivité, généralement suffisamment pour induire de la
reconnexion magnétique. La résistivité dissipe l’énergie électromagnétique du plasma dans le système.
Cette dissipation d’énergie peut chauffer le plasma. Par conséquent un terme de chaleur résistif est
typiquement inclue dans l’équation de pression.
L’implémentation du terme Hall permet aux ions et aux électrons de se déplacer à différentes
vitesses. Les lignes de champ magnétiques sont gelées avec les électrons, mais lorsque le courant est
suffisamment important, la condition de ”champ gelé” est rompue. Strictement parlant, le modèle
MHD Hall est toujours limité par son approche fluide du plasma mais il prend en compte plus de
physique que la MHD idéal ou résistive. L’effet Hall devient important quand l’épaisseur de peau est
comparable au gradient de l’échelle de grandeur. L’introduction du terme Hall introduit également
des ondes de sifflements et ondes de dérives Hall dans la simulation.
3.3.2
Modèles MHD multi-espèces
Les modèles de MHD idéals sont des modèles a une seule espèce. Quand le plasma est composé
de différents espèces, les modèles MHD multi-espèces sont généralement utilisés. Dans le cadre des
modèles multi-espèces, la densité de masse de plusieurs espèces ioniques peuvent être suivies, menant à
autant d’équation de continuité qu’il y a des d’espèces, mais une seule équation pour la conservation
de la quantité de mouvement et une seule équation pour la conservation d’énergie sont résolues,
comme tous les ions sont supposés avoir la même vitesse et la même température.
3.3.3
Modèles multi-fluides
Les modèles multi-fluides diffèrent significativement de la MHD, qui est une approche a un seul
fluide. Ce formalsime inclut plusieurs populations d’ions avec des vitesses et des températures propres
à chaque espèce. Cela sous-entend que les ions et les électrons n’ont pas la même vitesse, et par
conséquent, certain modèles multi-fluides, ceux avec un fluide représentant les électrons, ont le terme
Hall automatiquement inclu et ont accès aux effets d’épaisseur de peau ionique. Le terme du gradient
de pression électronique peut également être ajouté. La dynamique de chacune des composantes
du plasma est décrit par les équations de conservation de masse, de quantité de mouvement et de
pression, donné par :
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∂ρα ~
+ ∇ · u~α = 0
∂t
∂ u~α
~ + u~α × B)
~ − ∇p
~ α
ρα
= qα nα (E
∂t
∂pα
~ · (pα u~α ) + (γ − 1)u~α · ∇p
~ α
= −γ ∇
∂t
(3.8)
(3.9)
(3.10)
ainsi que l’équation d’induction 3.6 où le sous-indice α indique l’éspèce qui constitue le plasma. Les
électrons sont donc modélisés par un fluide qui est supposé suffisamment mobile le long des lignes
de champ magnétique pour qu’ils soient considérés comme stationnaire ou animé d’un mouvement
de dérive global. Cette hypothèse supprime les ondes plasmas de hautes fréquences et impose que
l’équation de la conservation de la quantité de mouvement électrique se réduise à
~
~ + u~e × B
~ − ∇pe = 0
E
ρe
3.4
3.4.1
(3.11)
Les modèles cinétiques (PIC et hybride)
Obtention des équations de mouvement et caractérisation des particules numériques
Dans la formulation mathématique des méthodes PIC, on suppose que la fonction de distribution
du plasma est donnée par la superposition de plusieurs éléments :
X
fs (~x, ~v , t) =
fp (~x, ~v , t)
(3.12)
p
chaque élément représente un nombre de particules physiques qui sont proche dans l’espace des
phases. Dans les modèles particulaires, les particules numériques ont une représentation spécifique
pour leur fonction de distribution propre. Cette repésentation a un nombre de paramètres libres qui,
au cours de l’évolution en temps, vont déterminer la solution numérique de l’équation de Vlasov. Il est
coutume d’utiliser deux paramètres libres qui détermineront les propriétés de vitesse et de position
des particules physiques représentées par la particule numérique. On peut donc écrire :
fp (~x, ~v , t) = Np Sx (~x − x~p (t))Sv (~v − v~p (t))
(3.13)
où Np est le nombre de particules physiques représentées par la particule numérique, x~p et v~p sont
la position et vitesse de la particule numérique et ~x et ~v sont les positions et vitesses des particules
physiques à l’intérieur de la particule numérique. Sx et Sv sont les facteurs de forme pour les positions
et les vitesses. Dans la suite de ce sous-chapitre nous travaillerons à une dimension pour simplifier
l’écriture et les calculs.
La géométrie des particules numériques, que l’on appelera également macro-particule, est déterminé par le facteur de forme Sx . Le facteur de forme le plus simple que l’on puisse utiliser est la
fonction Dirac Sx (x − xp ) = δ(x − xp ), signifiant que toutes les particules physiques (Np ) représentées
par la macroparticule ont la même position x = xp , correspondant à la position de la macroparticule. La plupart du temps la géométrie d’une macroparticule est celle d’une fonction créneau comme
indiqué sur la figure 3.1-a. Les particules physiques, repésentées par des points rouge dans la figure
3.1-a, sont réparties uniformément dans la macroparticule. Sa formulation mathématique est :


 1
xp − ∆x/2 < x < xp + ∆x/2
∆x
sx (x − xp ) =
(3.14)

 0
ailleurs
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16
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a)
b)
Figure 3.1 – Une représentation possibles des facteurs de forme Sx (a) et Sv (b) des macroparticules.
Toutefois il est possible d’utiliser des facteurs de forme plus complexe et vérifiant
Z +∞
Sx (x − xp (t))dx = 1
(3.15)
−∞
Pour le facteur de forme sur la vitesse, une fonction Dirac est souvent utilisée.
Sv (v − vp (t)) = δ(v − vp (t))
(3.16)
Cela implique donc que toutes les particules physiques représentées par la macroparticule ont la
même vitesse vp .
Les équations régissant le mouvement de ces particules numériques sont issues des premiers moment de l’équation de Vlasov. Les méthodes particulaires supposent donc que la fonction de distribution du plasma est représentée discrètement par une assemblée de macroparticules 3.12. L’équation
de Vlasov peut être satisfaite pour chaque élément (macroparticule). Toutefois les champs électrique
et magnétique sont des champs globaux déterminés à partir de l’ensemble des macroparticules. Pour
simplifier les calculs on suppose que l’on se trouve en l’absence de champ magnétique (mais le raisonnement est applicable en présence d’un champ magnétique).
L’équation de Vlasov 1D pour une macroparticule s’écrit :
∂fp qE ∂fp
∂fp
+v
+
=0
∂t
∂x
m ∂v
3.4.1.1
(3.17)
Moment d’ordre 0
On moyenne l’équation de Vlasov sur l’espace des positions et des vitesses. (< ... >=
On a donc :
∂ < fp >
∂fp
qE ∂fp
+<v
>+<
>= 0
∂t
∂x
m ∂v
Pour le premier terme, on a
Z Z
< fp >=
Np Sx (x − xp)Sv (v − vp )dxdv = Np
RR
...dvdx).
(3.18)
(3.19)
Pour le deuxième terme, on sépare les integrations suivant x et v. L’intégrale suivant x devient :
Z +inf ty
∂fp
dx = fp (x → +∞) − fp (x → −∞) = 0
(3.20)
−inf ty ∂x
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17
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R +∞
Cette propriété découle de l’aspect fini des dimensions de la partiucles. De la même manière −∞ fp dv =
0, ce qui a pour cause d’annuler le troisième terme.
Au final nous obtenons :
dNp
=0
(3.21)
dt
Cette propriété traduit le fait que le nombre de particules physiques représentées par une macroparticule ne varie pas au cours du temps.
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3.4.1.2
Moment d’ordre 1 (en x)
Le moment d’ordre 1 en x se déduit en multipliant l’équation de Vlasov par x et en intégrant sur
l’espace des vitesses et des positions. On a donc :
∂fp
qEx ∂fp
∂ < xfp >
+ < vx
>+<
>= 0
∂t
∂x
m ∂v
(3.22)
R +∞
où le troisième terme pour les mêmes raisons que prédemment et avec < xfp >= Np −∞ Sv (v −
R +∞
vp )dv −∞ xSx (x − xp )dx = Np xp .
R
Par ailleurs le second terme revient à caluler x∂fp /∂xdx en utilisant une intégration par partie.
On trouve donc :
∂fp
< vx
>= − < fp v >= −Np vp
(3.23)
∂x
Soit
dxp
= vp
(3.24)
dt
On retrouve l’équation de mouvement régissant la position des particules.
3.4.1.3
Moment d’ordre 1 (en v)
Le moment d’ordre 1 en v se déduit en multipliant l’équation de Vlasov par v et en intégrant sur
l’espace des vitesses et des positions. On a donc :
∂fp
qEv ∂fp
∂ < vfp >
+ < v2
>+<
>= 0
∂t
∂x
m ∂v
(3.25)
Le premier terme a déjà été calculé (< vfp >= Np vp ), le second terme est nul (cf 3.4.1.1) et le
troisième terme, en utilisant une intégration par partie, a pour expression :
<
qEv ∂fp
qE
>= − Np
m ∂v
m
(3.26)
On obtient ainsi l”equation déterminant l’accélération de la particule :
qE
dvp
=
dt
m
3.4.2
(3.27)
Intégration des équations du mouvement
Les méthodes particulaires cherchent donc à intégrer les équations du mouvement. Il est indispensable que ces méthodes soient rapides, présentent peu d’opérations et nécessitent le moins d’enregistrement possible. Il faut donc résoudre les équations 3.24-3.41. Pour simplifier les calculs nous
~ = ~0). Nous cherchons donc à décrire le
nous placons dans un premier dans un cas particulier (~v × B
mouvement parallèle à une ligne de champ magnétique. L’équation 3.41 se résume, en 1D, à
dv
q
= E
dt
m
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18
(3.28)
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3.4.2.1
Schéma aux différences finies décentrées
Il s’agit de remplacer les dérivées par une approximation du premier ordre faisant intervenir
des quantités qui sont connues. Ces méthodes permettent de construire la solution au cours du
temps en partant d’un point de départ (condition intiale). Par la suite, on utilisera la notation
v n+1 = v(t = (n + 1)∆t). On a donc
v n+1 − v n
qE
dv
−→
=
dt
∆t
m
dx
xn+1 − xn
−→
= vn
dt
∆t
(3.29)
(3.30)
(3.31)
Il s’agit d’une méthode simple mais peu précise comme l’illustre l’exemple ci-dessous. On considère
un oscillateur harmonique. L’équivalence plasma est celui d’un électron oscillant autour d’un ion à
la fréquence plasma. On a donc l’équation
d2 x
= −ω02 x
2
dt
(3.32)
Pour l’équivalence plasma le champ électrique a pour expression E = −ω02 mq x.
3.4.2.1.1 Analyse de l’erreur L’approche standard c’est de supposer que la solution varie d’un
pas de temps à un autre par un facteur d’amplification linéaire g. On peut donc écrire :
xn+1 = gxn v n+1 = gv n
(3.33)
que l’on reporte dans les équations 3.24-3.41 avec l’approximation des dérivées numériques ci-dessus.
On obtient le système d’équations :
gv n − v n
= −ω02 xn
∆t
gxn − xn
= vn
∆t
(3.34)
(3.35)
On peut mettre le système sous forme matricielle.

 
(g − 1)
 v 
0

  =  
−∆t (g − 1) xn
0
ω02 ∆t

n

(3.36)
Ce système admet des solutions si g = 1 ± iω0 ∆t. L’amplitude de l’erreur kgk2 > 1 la méthode
n’est donc pas stable. Cette méthode n’est pas satisfaisante.
3.4.2.2
Schéma Saute-Mouton (Leapfrog)
Les différences finies décentrées accumulent l’erreur, il est nécessaire de recentrer le schéma en
temps. Le schéma saute-mouton consiste à évaluer les positions et vitesses à des temps différents (un
demi-pas de temps de décalage) et permet ainsi d’utiliser l’une de ces quantités pour intégrer l’autre
équation. Ce schéma est synthétiser sur la figure 3.2.
Ronan Modolo, Guillaume Aulanier, Sebastien Hess
19
2012-2013
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Figure 3.2 – Schéma itératif de la méthode Saute-Mouton.
3.4.2.2.1 Analyse de l’erreur En effectuant le même traitement que celui effectué dans la partie
précédente, nous pouvons réécrire le système d’équation pour la méthode saute-mouton :
 
 

n
1/2
−1/2
2
) ω0 ∆t  v 
0
(g − g
(3.37)
  =  

−1/2
n
0
−g
∆t
(g − 1) x
p
Le système admet des solutions si g = 1 − ω02 ∆2 /2 ± ω0 ∆t/2 ω02 ∆t2 − 4. Le système est stable
si les termes sous la racine sont négatifs, soit
q
g = 1 − ω02 ∆2 /2 ± iω0 ∆t 1 − ω02 ∆t2 /4
(3.38)
La condition sur les termes sous la racine exprime donc une inégalité :
∆t <
2
ω0
(3.39)
~ = ~0. Que se
Jusqu’à présent nous avons intégré les équations du mouvement dans le cas où ~v × B
passe-t-il en présence d’un champ magnétique. Nous savons que la présence d’un champ magnétique
~ La première
fait tourner les particules chargées autour des lignes de champ, imposé par le terme ~v × B.
~ combiné à un schéma
idée serait d’utiliser un schéma décentré avant pour le calcul du terme ~v × B
saute-mouton pour le calcul faisant intervenir le champ électrique. Tout comme dans le cas précédent,
cette solution n’est pas satisfaisante car les particules gagnent de l’énergie au cours du temps avec
ces méthodes et n’ont plus une trajectoire circulaire dans le plan perpendiculaire à B.
3.4.2.3
Méthode Implicite
Au lieu de calculer v n+1/2 à partir de v n−1/2 dans le second membre de l’équation sur la vitesse,
on va moyenné la vitesse pour obtenir une estimation au temps ”n”. Soit :
v n+1/2 − v n−1/2
q n
=
(v × B + E)
∆t
m
q v n+1/2 − v n−1/2
=
(
× B + E)
m
2
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20
(3.40)
(3.41)
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Figure 3.3 – Construction géométrique de la rotation à l’aide du schéma de Boris.
Il est possible de réécrire le système sous la forme matricielle :
q
(I − R)v n+1/2 = ∆tE + Rv n−1/2
(3.42)
m


Bz −By 
 0




avec R = B1 −Bz
et = q∆t
=)ωc ∆t/2, d’où
0
Bx 
2m




By −Bx
0
q
v n+1/2 = (I − R)−1 ∆tE + (I − R)−1 Rv n−1/2
(3.43)
m
Il est possible de calculer cette expression et son implémentation montre que l’énergie de la
particule est conservée et que le rayon de giration de la particule est correct.
Cependant cette méthode nécessite un grand nombre de calculs et donc d’opérations et de ce
fait décroit la performance du modèle de simulation. Cette méthode n’est donc pas complètmeent
satisfaisante.
3.4.2.4
Schéma de Boris
On cherche à résoudre l’équation 3.41. Il est possible d’éliminer le champ électrique en définissant :
v n−1/2 = v − −
qE ∆t
qE ∆t n+1/2
v
= v+ +
m 2
m 2
(3.44)
En substituant ces définitions dans l’équation originiale on obtient une rotation pure :
v+ − v−
q +
=
(v + v − ) × B
∆t
2m
On vérifie que l’angle de rotation θ est proche de ωc ∆t =
D’après la figure 3.3 on a
qB
∆t.
m
θ
|v + − v − |
q∆t
∆t
tan( ) = +
=
B = ωc
−
2
|v + v |
2m
2
On obtient donc une rotation de
qB ∆t
(ωc ∆t)2
∼ ωc ∆t(1 −
θ = 2arctan
+ ...)
m 2
12
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21
(3.45)
(3.46)
(3.47)
2012-2013
Simulation numérique des plasmas
UVSQ / OMP-PEL
Figure 3.4 – Représentation schématique de la construction du schéma de Boris
3.4.2.4.1 Implémentation du schéma de Boris En portant attention au signe de la rotation
nous trouvons que
θ
qB
qB∆t
tan
=−
∆t ∼ −tan
(3.48)
2
2m
2m
~
qB
~
On pose ~t = −~btan( 2θ ) = 2m
∆t, où ~b est un vecteur unitaire porté par B.
On effectue la rotation en deux étapes :
~ et à v~− et qui correspond à une rotation de θ/2 de
1. On crée un vecteur v~0 perpendiculaire à B
v~− .
v~0 = v~− + v~− × ~t
(3.49)
On remarque par ailleurs que v~0 est perpendiculaire à v~+ − v~− .
2. Du fait de cette dernière propriété, on peut écrire
v~+ − v~− = v~0 × ~s
(3.50)
où ~s est parallèle à ~b. Par ailleurs on cherche à déterminer ~s de telle sorte que l’on conserve
2~t
~
l’énergie |v + |2 = |v − |2 . On trouve que ~s = 1+t
2 = −bsinθ
En résumé, nous devons construire les vecteurs suivant, en accord avec la figure 3.4 :
v~0 = v~− + v~− × ~t
v~+ = v~0 + v~0 × ~s
3.4.2.5
(3.51)
(3.52)
Schémas de Runge Kutta
Il existe d’autres méthodes numériques pour intégrer les équations de mouvement, en particulier
les schémas de Runge-Kutta.
De manière générale les équations aux dérivées ordinaires de la forme y 0 = f (x, y) peuvent être
résolues par des schémas aux différences finies itératifs en temps :
y(xn+1 ) = y(xn ) + hΦ(xn , y(xn ), h)
(3.53)
où h est le pas d’intégration et Φ est une fonction associée à la méthode choisie. Si Φ(xn , yn , h) =
f (xn , yn ), on retrouve le schéma d’Euler.
Si Φ(xn , yn , h) = 21 [f (xn , yn ) + f (xn + h, yn + h ∗ f (xn , yn )))], nous obtenons la méthode de RungeKutta d’ordre 2, également appelé méthode de Heun.
pour un système de deux équations aux dérivées ordinaires couplées :
dx
= f (x, v)
dt
dv
= g(x, v)
dt
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22
(3.54)
(3.55)
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Simulation numérique des plasmas
UVSQ / OMP-PEL
Figure 3.5 – Repésentation schématique de la répartition des poids des macro-particules sur les
points de grilles pour la méthode NGP
Figure 3.6 – Représentation schématique du facteur de pondération et de l’affectation de la densit{e
aux points de grille pour la méthode NGP
Nous obtenons le schéma :
3.4.3
∆t
[2vn + ∆tg(xn , vn )]
2
∆t
= vn +
[g(xn , vn ) + g(xn + ∆tvn , vn + ∆tg(xn , vn ))]
2
xn+1 = xn +
(3.56)
vn+1
(3.57)
Pondération des particules et des forces : relation entre les quantités sur les points de grille et les particules
Il est nécessaire de calculer la densité et les courants sur les points de grilles à partir des positions
et vitesses des macroparticules et également de calculer les forces, connues sur les points de grilles,
qui s’exercent sur les particules. Il est préférable d’utiliser la même méthode de pondération pour les
calculs de densité et de courant et les forces agissant sur les particules.
3.4.3.1
Pondération d’ordre 0
On compte le nombre de macroparticules qui se trouvent à ±∆x/2 du jieme point de grille et on
lui affecte ce nombre (N (j)) comme le montre la figure 3.5). la densité du point de grille est donc
(j)
nj = N∆x
. cette méthode est appelé NGP (Nearest grid Point).
Par ailleurs lorsque la macroparticule se déplace dans la jieme cellule (avec la nomenclature définissant les bords de la cellule j telle que x = xj ± δx
), la densité au point de grille augementera de
2
Np soudainement (Figure 3.6). La simulation est relativement bruitée avec cette méthode.
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23
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UVSQ / OMP-PEL
Figure 3.7 – Repésentation schématique de la répartition des poids des macro-particules sur les
points de grilles pour la méthode CIC
Figure 3.8 – Représentation schématique du facteur de pondération et de l’affectation de la densit{e
aux points de grille pour la méthode CIC
3.4.3.2
Pondération d’ordre 1
La méthode de pondération d’ordre va permetttre de lisser les fluctuations de densité et de champ,
permettant de réduire le bruit. Cela nécessite toutefois plus d’opérations et donc de temps de calcul.
Les particules sont vues comme des particules de tailles finies formant un nuage de particules
physiques réparti uniformément (Figure 3.7). Cette méthode de pondération est appelé CIC (Cloud
In Cell).
La charge qc d’une macroparticule va contribuer au point de grille j avec le poids :
xj+1 − xi
∆x − (xi − xj )
= qc
(3.58)
qj = qc
δx
∆t
xj et xj+1 étant les position des points de grille et xi la position de la macroparticule. L’attribution
de la densité sur les points de grille sera similaire à celle présentée par la figure 3.8.
Il est possible de prendre des fonctions de formes plus complexes au prix de plus de calculs. De
manière générale on a :
X
ρ(xj ) =
qi W (xi − xj )
(3.59)
i
3.4.3.3
Caclul des champs ou des forces s’exercant sur une macroparticule
De manière similaire aux paragraphes précédents la détermination des forces aux positions des
particules numériques s’effectuent par les mêmes méthodes. Par exemple, le champ éclectrique déterminé à la position de la macroparticule xi s’écrit en fonction du champ électrique Ej connu au point
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de grille xj et Ej+1 connu au point de grille xj+1 . On a donc pour la méthode CIC :
xj+1 − xi
xi − xj
E(xi ) =
Ej +
Ej+1
∆x
∆x
3.4.4
Intégration des équations de champs
3.4.4.1
Champ électrique dans les codes PIC
(3.60)
Les densités de charge et de courant étant désormais connus aux points de grille, il est possible de
faire évoluer en temps les champs électromagnétiques à partir des équations de Maxwell. Pour plus
de simplicité on va s’intéresser à des problèmes d’électrostatiques et à une dimension. On a donc
~
~ ×E
~ = − ∂B ∼ 0
∇
∂t
Nous avons donc les équations différentielles à résoudre
~ = −∇Φ
~
E
~ ·E
~ = ρ
∇
0
En combinant ces équations, on obtient l’équation de Poisson.
(3.61)
(3.62)
(3.63)
∇2 Φ = −ρ/0
(3.64)
Pour résoudre cette équation il est possible d’utiliser les différence finies, soit
ρj
Φj−1 − 2Φj + Φj+1
=−
2
∆x
0
Ces équations nécessitent donc deux informations sur les conditions aux limites.
Pour les systèmes périodiques, il est possible d’utiliser les transformées de Fourier
ρ(x) −→ ρ(k)
Φ(x) −→ Φ(k)
(3.65)
(3.66)
(3.67)
Il est ainsi possible de réécrire l’équation de Poisson dans le domaine de Fourier
ρ(k)
0 k 2
Φ(k) =
(3.68)
On peut donc suivre le schéma suivant :
ρ(x) −→ ρ(k) −→
Φ(k) −→−1 Φ(x) −→ E(x)
2
FFT
3.4.4.2
/k
FFT
∇Φ
(3.69)
Champ électrique des les modèles hybrides
Les équations à résoudre sont 2.13 et 2.17. Il est possible de résoudre l’équation de MaxwellFaraday avec une méthode prédicteur-correcteur.
1. Etape du prédicteur : On estime le champ magnétique au temps n + 1/2.
B n+1/2 − B n
= −∇ × E n
∆t/2
(3.70)
2. Etape du correcteur : on utilise l’information du champ magnétique au temps n + 1/2, ie la
prédiction, pour évaluer le champ électrique au temps n + 1/2
E n+1/2 = E(ρn+1/2 , J n+1/2 , B n+1/2 )
(3.71)
Pui on utilise cette évaluation du champ électrique pour intégrer le champ magnétique au temps
n + 1.
B n+1 − B n
= −∇ × E n+1/2
(3.72)
∆t
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