Licence `a distance Chapitre V: Intégration numérique

Licence à distance
Chapitre V: Intégration numérique
M. Granger
Table des matières
1 Introduction
1
2 Interpolation de Lagrange
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Evaluation de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Interpolation aux points de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4
3 Approximation polynomiale
3.1 Meilleure approximation quadratique et polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . .
3.2 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Quelques exemples classiques de polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
8
4 Généralités sur l’intégration numérique
8
5 Opérateur d’intégration approchés.
5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Evaluation de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
6 Exemple 1 : opérateur de Newton-Cotes.
6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
13
7 O.I.A. de Gauss
7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
16
8 Opérateurs composites
8.1 Complément sur la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
18
1
Introduction
Soit f : [a, b] −→ R une application continue. On s’intéresse dans ce chapitre à différentes méthodes
permettant d’évaluer numériquement l’intégrale :
Z b
f (t)dt
a
Le principe est de remplacer cette intégrale par une somme finie Σ(f ) dépendant de f :
f → Σ(f ) =
n
X
i=0
wi f (xi )
et
PnΣ est appelé opérateur d’intégration approchée. L’objectif est de rendre la différence |Σ(f ) −
i=0 wi f (xi )|, expression de l’erreur inhérente à la méthode utilisée soit aussi petite que possible.
Ce problème sera abordé à partir de la section 4. Nous allons étudier dans un premier temps la
question suivante : Comment approximer la fonction f par une fonction polynomiale P . Cette étude
sera un outil pour l’évaluation des intégrales parce que les intégrales des fonctions polynomiales sont
aisées à évaluer.
Notons Pn , l’espace vectoriel (de dimension ≤ n + 1) des polynômes de degré ≤ n. Citons trois
problèmes :
1. Interpolation. Trouver P ∈ Pn tel que P (xi ) = f (xi ), pour une suite finie xi de points de [a, b].
2. Approximation uniforme. Trouver Pn de degré n réalisant le minimum dans Pn de la norme
du sup :
kf − Pn k∞ = sup |f (x) − Pn (x)|
t∈[a,b]
appelé polynôme de meilleure approximation uniforme.
3. Approximation quadratique. Trouver Pn de degré n réalisant le minimum dans Pn de la
norme L2 :
s
Z b
kf − Pn k2 =
(f (x) − Pn (x))2 dx
a
ou plus généralement de la norme L2 associé à une densité continue positive w(x), qu’on appellera
aussi fonction de poids :
s
Z b
kf − P kw =
(f (x) − P (x))2 w(x)dx
a
Un tel polynôme est appelé polynôme de meilleure approximation quadratique de degré n.
On étudiera uniquement les premier et le troisième problèmes, en raison de leur lien avec l’intégration
numérique .
2
Interpolation de Lagrange
2.1
On se fixe dans l’intervalle [a, b], n points x0 , · · · , xn appelé aussi noeuds de l’interpolation, et une
fonction continue f . On note fi = f (xi ). Le résultat qui suit ne dépend que des valeurs de f aux
points xi .
Théorème 1 .- Pour tout choix de n + 1 noeuds xi , et toute f , il existe un unique polynôme Pn ∈ Pn
tel que
∀i ∈ {1, · · · , n}, P (xi ) = f (xi )
Démonstration.-
Cherchons le polynôme sous la forme suivante
P = a0 + a1 x + · · · + an xn .
Il s’agit donc de résoudre le système d’équations :
n
X
k=0
ak xkj = f (xj )
qui est un système linéaire de n+1 équations aux n+1 inconnues a0 , · · · , an . La matrice de ce système
est la matrice carrée :


1 x0 · · ·
xn0
 .. ..
.. 
 . .
. 


j


M =  1 xi · · · xi

 .. ..
.. 
 . .
. 
1 xn · · ·
xnn
Comme det(M ) = Πi<j (xj − xi ) 6= 0 (déterminant de Vandermonde), ce système est de Cramer, ce
qui établit l’existence et l’unicicité d’une solution, donc d’un polynôme d’interpolation P ∈ Pn . L’application linéaire ev : Pn −→ Rn+1 définie par ev(P ) = (P (x0 ), . . . , P (xn )) est injective. En
effet si P ∈ ker(ev), P est nul car c’est un polynôme de degré ≤ n possédant n + 1 racines x0 , · · · , xn .
Ainsi ev est linéaire injective entre espaces de même dimension donc est un isomorphisme. Ceci donne
une démonstration alternative plus abstraite du théorème 1.
Expression du polynôme d’interpolation en fonction de f et des xi .
On note Ln,i la solution du problème correspondant au second membre ei = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0).
C’est un polynôme Ln,i tel que Ln,i (xj ) = 0 pour i 6= j, donc il est de la forme c.Πj6=i (x − xj ). Ensuite
l’égalité Ln,i (xi ) = 1, détermine c :
Ln,i (x) = Πj6=i (x − xj )/(xi − xj ) =
(x − x0 ) · · · (x\
− xi ) · · · (x − xn )
(xi − x1 ) · · · (x\
i − xi ) · · · (xi − xn )
Par linéarité de ev on en déduit l’expression du polynôme d’interpolation général :
Pn (x) =
n
X
f (xi )Ln,i =
i=0
n
X
i=0
f (xi )
(x − x0 ) · · · (x\
− xi ) · · · (x − xn )
\
(xi − x1 ) · · · (xi − xi ) · · · (xi − xn )
Au passage on déduit de ce calcul et du théorème sur l’interpolation le résultat suivant :
Proposition 1 La famille des polynômes {Ln,0 , · · · , Ln,n } est une base de l’espace vectoriel Pn .
En effet c’est l’image réciproque par l’isomorphisme ev de la base canonique de Rn+1
Remarques 1) Cette base n’est pas très appropriée pour mener par exemple des calculs par
récurrence sur le nombre de points. Pour pallier à ce défaut, il existe une méthode d’évaluation appelée
méthode des différences divisées, fondée sur la construction d’une base échelonnée. Nous n’en parlons
pas dans ce cours.
2) Posons πn+1 (x) = Πni=0 (x−xi ). On obtient alors l’expression suivante pour les Ln,i et Pn , simple
remodelage de la formule précédente :
n
Ln,i =
X
πn+1 (x)
πn+1 (x)
, Pn (x) =
f (xi ) 0
0
πn+1 (xi )(x − xi )
πn+1 (xi )(x − xi )
i=0
2.2
Evaluation de l’erreur
Ici on ne s’intéresse pas aux f( xi ) seulement, mais à la différence f − Pn en tout point sous une
hypothèse de régularité sur f .
Théorème 2 Supposons que f soit de classe C n+1 sur l’intervalle [a, b]. Alors quel que soit x ∈ [a, b],
il existe ξx ∈]a, b[ tel que
1
f (x) − Pn (x) =
πn+1 (x)f (n+1 (ξx )
(n + 1)!
L’ordre des quantificateurs est important et la notation ξx = ξ est là pour rappeler que ξ dépend
du point x.
Signalons aussi qu’on obtient en fait en examinant la démonstration l’encadrement plus précis :
ξ ∈]min({x, x0 , · · · , xn }), max({x, x0 , · · · , xn })[
Lemme 1 .- Soit g ∈ C p ([a, b], R), admettant p + 1 zéros deux à deux distincts α0 < · · · < αp . Alors
il existe ξ ∈]α0 , αp [ tel que g (p) (ξ) = 0.
Démonstration du lemme.- C’est une récurrence fondée sur le théorème de Rolle qui sera donnée
en exercice. Démonstration du théorème Si x = xi , l’énoncé à démontrer est immédiat puisque tout ξ convient.
On suppose désormais que pour tout i, on a x 6= xi . Notons Pn+1 le polynôme d’interpolation de f
aux n + 2 points x, x0 , · · · , xn . En particulier on a les égalités :
f (x) − Pn (x) = Pn+1 (x) − Pn (x) et f (xi ) − Pn (xi ) = Pn+1 (xi ) − Pn (xi ) = 0, pour i = 0, · · · , n
Comme Pn+1 − Pn est de degré n + 1, la connaissance de ses n + 1 racines xi donne une égalité :
Pn+1 (u) − Pn (u) = c.πn+1 (u) où c ∈ R
Posons alors g(u) = f (u)−Pn+1 (u) = f (u)−Pn (u)−c.πn+1 (u). On a g(x) = 0, g(x0 ) = 0, · · · , g(xn ) =
0, donc d’après le lemme de Rolle généralisé, il existe ξ dans l’intervalle indiqué tel que : g (n+1) (ξ) = 0.
(n+1)
En tenant compte du fait que Pn
= 0 on obtient l’équation suivante dont on pourra tirer c en
fonction de ξ :
(n+1)
f (n+1) (ξ) = c.πn+1 = c.(n + 1)!
Donc Pn+1 (u) − Pn (u) =
f (n+1) (ξ)
(n+1)! .πn+1 (u),
d’où en u = x
f (x) − Pn (x) =
f (n+1) (ξ)
.πn+1 (x)
(n + 1)!
Corollaire 3 kf − Pn k∞ ≤
kπn+1 k∞
(n+1) k
∞
(n+1)! .kf
L’efficacité de cette majoration dépend donc de la norme kπn+1 k∞ .
Il existe des choix des points xi qui s’avèrent meilleurs que le choix xi = a + i b−a
n de point
équidistants. Dans la sous-section suivante nous traitons un exemple :
2.3
Interpolation aux points de Tchebychev
Proposition-définition 1 .1) Il existe un unique polynôme de degré n noté Tn , tel que pour tout u ∈ [−1, 1] :
Tn (u) = cos(nArccos(u)).
2) Les polynômes Tn satisfont aux relations de récurrence
Tn+1 + Tn−1 = 2XTn .
3) Le polynômes
1
T
2n−1 n
est un polynôme unitaire de Pn dont la norme du sup sur [−1, 1] est
Définition 1 .- Le polynôme Tn est appelé le nième polynôme de Tchebychev
1
.
2n−1
Démonstration de la proposition.- La condition sur Tn revient à la suivante : ∀θ ∈ R, Tn (cos θ) =
cos nθ.
Nous allons raisonner par récurrence. Le cas n = 1 est clair avec T1 = X.
Par l’hypothèse de récurrence, cos nθ = Tn (cos θ) et cos(n − 1)θ = Tn−1 (cos θ), et d’après la formule
trigonométrique bien connue cos(n + 1)θ + cos(n − 1)θ = 2cosθcosnθ :
cos(n + 1)θ = −Tn−1 (cos θ) + 2 cos θTn (cos θ)
ce qui établit en même temps l’assertion demandée et la relation de récurrence. L’unicité de Tn est
garantie par le fait que c’est un polynôme et qu’on en connaı̂t une infinité de valeurs (tous les Tn (u)
pour |u| ≤ 1).
Par récurrence sur n on trouve immédiatement degTn = n. Soit cn le coefficient dominant de Tn . On
a c1 = 1 et par la formule de récurrence cn est aussi le coefficient dominant de 2XTn−1 , ce qui montre
que cn = 2cn−1 . Par récurrence on trouve comme annoncé cn = 2n−1 .
Enfin kTn k∞ = supθ∈R | cos(nθ)| = 1, puisque la norme kTn k∞ est prise sur [−1, 1], donc coincide
avec la borne supérieure des |Tn (cos θ)|. Lemme 2 .- Les zéros de Tn+1 , sont les n + 1 points de [−1, 1], rangés par ordre décroissant, ui =
2i+1
cos 2n+2
π.
(2i+1)π
En effet Tn+1 (ui ) = cos(n + 1) (2i+1)π
= 0 et comme Tn+1 est de degré n + 1, ce sont
2n+2 = cos
2
là tous ses zéros.
Considérons l’interpolation de Lagrange aux points ui , ou sur leurs images par une similitude de
[−1, 1] vers un intervalle [a, b] quelconque. Cette interpolation est plus avantageuse du point de vue de
la formule de majoration de l’erreur que, par exemple l’interpolation en des points équidistants. Voici
un élément à l’appui de cette affirmation :
Proposition 2 .- Pour l’interpolation aux point de Tchebychev on a l’évaluation suivante :
b − a n+1
kπn+1 k∞ = 2.
4
Démonstration.- Traitons d’abord le cas [a, b] = [−1, 1]. Alors 21n Tn+1 , et (πn+1 )[−1,1] sont égaux
car ils sont unitaires avec les même zéros, tous simples. Donc kπn+1 k∞ = k 21n Tn+1 k∞ = 21n , ce qui est
l’égalité à démontrer dans le cas b − a = 2.
En général on considère le changement de paramètre affine :
[−1, 1] −→
[a, b]
a+b
u
−→ x = 2 + b−a
2 .u
Ainsi dans [a, b] on effectue l’interpolation aux points xi =
(?)
πn+1 (x) = Πni=0 (x − xi ) = Πni=0
a+b
2
+
b−a
2 .ui
et on obtient la formule :
b−a
b − a n+1
(u − ui ) = (
)
(πn+1 )[−1,1] (u),
2
2
où on a pris soin de distinguer par la notation (πn+1 )[−1,1] le polynôme unitaire s’annulant aux noeuds
relatifs à l’intervalle standard, de celui que nous étudions sur l’intervalle [a, b]. Le résultat annoncé se
déduit de la formule (?) :
b − a n+1 1
b − a n+1
kπn+1 k = (
)
= 2(
)
.
n
2
2
4
On démontre, et nous l’admettrons, que dans le cas de points équidistants, la norme kπn+1 k∞ est
n+1
proportionnelle à b−a
. La majoration de l’erreur dans l’interpolation de Lagrange aux points de
e
Tchebycheff est donc meilleure par un facteur ( 4e )n .
Phénomène de Runge : Considérons le polynôme d’interpolation Pn de f : [a, b] → R en des
points équidistants xi = a + i b−a
n , i = 0, . . . , n. Il n’est pas vrai en général que Pn (x) converge partout
vers f (x). On peut expérimenter cela pour la fonction
x2
1
+a
sur [−1, +1] pour diverses valeurs de a. Une étude théorique de ce phénomène dépasse le cadre de ce
cours.
3
Approximation polynomiale
3.1
Meilleure approximation quadratique et polynômes orthogonaux
On considère sur C([a, b], R), le produit scalaire défini par :
Z b
< f, g >=
w(x)f (x)g(x)dx
a
avec w(x) > 0 intégrable.
Théorème 4 . Quel que soit n, il existe un unique polynôme Pn ∈ Pn tel que :
∀P ∈ Pn , kf − Pn kw ≤ kf − P kw
Démonstration.- L’existence de Pn est vraie dans le contexte plus général d’une norme arbitraire
sur C([a, b], R) ne provenant pas forcément d’un produit scalaire.
L’espace Pn est un espace vectoriel de dimension finie dans lequel les compacts sont les fermés
bornés, et sur lequel toutes les normes sont équivalentes. L’ensemble K = {P ∈ Pn , kf − P k ≤ kf k},
est donc compact et non vide car il contient le polynôme nul. Le fonction continue P → kf − P k,
atteint son minimum en un point Pn ∈ K et, par la définition même de K, kf − Pn k ≤ kf k et ce
minimum est absolu.
Examinons maintenant l’unicité. On se donne Pn , une solution du problème et P un élément
quelconque de Pn écrit sous la forme P = Pn + Q. Quelque soit t ∈ R, on peut écrire :
kf − (Pn + tQ)k2w = kf − Pn k2w + 2t < f − Pn , Q > +t2 kQk2w
L’inégalité kf − (Pn + tQ)k2w ≥ kf − Pn k2w , donne alors
∀t ∈ R, 2t < f − Pn , Q > +t2 kQk2w ≥ 0,
ce qui impose la relation d’orthogonalité < f − Pn , Q >= 0, et on en déduit que
kf − P k2w = kf − Pn k2w + kQk2 ≥ kf − Pn k2w
avec égalité si et seulement si Q = 0, c’est à dire comme annoncé P = Pn . Cette démonstration a consisté en fait à montrer que Pn est dans C([a, b], R), le projeté orthogonal
de f sur Pn .
Recherche du polynôme Pn , comme solution d’un système linéaire.
On vient de voir que Pn est l’unique P dans Pn , tel que f − Pn soit orthogonal à l’espace Pn , ou
ce qui revient au même à tous les monômes xj pour j = 1, · · ·, n.
D’ou en notant P =
P
ai xi , le système linéaire aux inconnues ai .
n
X
ai < xi , xj >w =< f, xi >w .
i=0
Les coefficients de la matrice du système sont les produits scalaires < xi , xj >w .
Exemple : Si w = 1, on trouve la matrice Hn des 1/(i +j) dite matrice de Hilbert

1 1/2 1/3 1/4
 1/2 1/3 1/4 1/5 

Elle est particulièrement mal conditionnée. Pour H4 = 
 1/3 1/4 1/5 1/6 , on trouve déjà
1/4 1/5 1/6 1/7
que cond2 (H4 ) est de l’ordre de 15000. Et cond(H8 ), est de l’ordre de 1010 !
Cette observation justifie le fait qu’on utilise plutôt les polynômes orthogonaux pour calculer le
polynôme de meilleure approximation quadratique.
Un exemple quand même qui sera détaillé en exercice : ex sur [0, 1], avec n = 1. On trouve le
polynôme a + bx où a = 4e − 10 ' 0, 87313 et b = 6.(3 − e) ' 1, 69030
Remarque (hors programme) :Quand l’intervalle est un compact [a, b], on a le résultat de convergence kf − Pn kw → 0. C’est une conséquence directe du résultat suivant que nous admettons : Toute
fonction f continue sur un intervalle [a, b] fermé et borné est la limite uniforme d’une suite de fonctions
polynomiales Bn (f ) de degrés n, les polynômes de Bernstein. En effet on en déduit la majoration :
Z b
Z b
w(t)(f (t) − Bn (f )(t))dt ≤
w(t)dt · kf − Bn (f )k∞
kf − Pn kw ≤ kf − Bn (f )kw =
a
a
3.2
Polynômes orthogonaux
Théorème 5 et définition.- Il existe une unique suite de polynômes unitaires (Pn )n∈N tels que degPn =
n, et quels que soient m, n, avec m 6= n, < Pm , Pn >w = 0.
Cette suite est appelée suite des polynômes orthogonaux pour le poids w.
Avant de commencer la démonstration voici le lien avec la section précédente : Soit P ∈ Pn
le polynôme de degré n réalisant la meilleure approximation quadratique de f ∈ C([a, b], R). On
décompose P sur la base des polynômes orthogonaux :
P =
n
X
λi Pi
i=O
Comme P est l’unique élément de Pn tel que f − P est orthogonal à Pn , on a, pour tout i,
< f − P, Pi >= 0. Les coefficients λi sont donc déterminés par les équations :
Z b
w(x)f (x)Pi (x)dx =< f, Pi >=< P, Pi >= λi kPi k2w
a
Démonstration.- Il s’agit simplement de la méthode d’orthogonalisation de Schmidt.
On contruit les Pn par récurrence sur n, en partant de P0 = 1, et en cherchant Pn , sous la forme
n
Pn = x −
n−1
X
λ i Pi
i=0
ce qui est légitimé par le fait que {P0 , · · ·, Pn−1 } est une base (échelonnée ) de Pn−1 . La condition
d’orthogonalité < Pn , Pk >= 0, pour k = 0, · · ·, n−1, donne immédiatement une détermination unique
des coefficients de Pn sur cette base :
λi =
< xn , Pk >w
kPk k2w
Dans cet énoncé la condition d’être unitaire n’est faite que pour assurer l’unicité. On pourra
considérer, d’autre suites Qn de polynômes de degrés échelonnées, et deux à deux orthogonaux. Par
l’unicité des Pn les Qn sont constants à un facteur multiplicatif près, soit Qn = an (Qn ).Pn . Dans
l’exercice 5 où sont présentés des polynômes deux à deux orthogonaux mais NON unitaires, il faudra
jouer avec les coefficients dominants pour se ramener à la situation du cours.
Dans ce qui suit nous allons résumer les principales propriétés des polynômes orthogonaux dans
deux résultats et ensuite nous donnerons des exemples classiques.
Théorème 6 .- Les polynômes Pn vérifient une relation de récurrence :
Pn = (x − λn )Pn−1 − µn Pn−2
avec
λn =
< x.Pn−1 , Pn−1 >
kPn−1 k2w
µn =
kPn−1 k2w
kPn−2 k2w
Démonstration. Il s’agit de deux observations :
1) Puisque xPn−1 est unitaire de degré n, il admet sur la base des Pk une décomposition du type :
xPn−1 = Pn +
n−1
X
αi Pi
i=0
et les coordonnées αi sont données par un calcul de produit scalaire
< xPn−1 , Pi >= αi kPi k2w
2) Par définition du produit scalaire on a < xPn−1 , Pi >=< Pn−1 , xPi > et ceci est nul par un
argument de degré dès que i + 1 = deg(x.Pi ) < n − 1, donc αi = 0 pour i ≤ n − 3.
Pour conclure, il reste à voir que < x.Pn−1 , Pn−2 >=< Pn−1 , x.Pn−2 >= kPn−1 k2w .
.On a par ailleurs déjà repéré la propriété suivante sur les polynômes de tchebycheff :
Théorème 7 .- Le polynôme Pn pour le poids w sur l’intervalle I a n zéros distincts dans I.
Démonstration.- On note à priori x1 , · · ·, xk , les zéros distincts de Pn situés dans l’intervalle [a, b],
de multiplicités respectives mi avec m1 + · · · + mk ≤ n. Il existe donc R ∈ R[X] unitaire sans racine
dans I = [a, b] tel que :
P = Πki=1 (x − xi )mi R.
On définit de façon unique i ∈ {0, 1} par la condition :”mi +i est pair”. Considérons alors le polynôme
Q = Πki=1 (x−xi )i . On constate que Pn Q = Πki=1 (x−xi )mi +i R, est de signe constant sur I. On a donc
< Pn , Q >6= 0, ce qui impose degQ = n, puisque Pn est orthogonal à Pn−1 . La condition condition
degQ = n équivaut au fait que Pn = Q et que Pn a n zéros simples situés dans [a, b], comme on le voit
en observant la définition même de Q. .
3.2.1
Quelques exemples classiques de polynômes orthogonaux
Les propriété de ces exemples feront l’objet d’exercices plus détaillés :
– Polynômes de Legendre. On prend w = 1 sur [−1, 1]. On trouve aisément pour commencer
P0 = 1, P1 = x. On montrera en exercice qu’ils sont proportionnels aux polynômes non unitaires :
Pn (x) =
On trouve γn =
1
2n+1
1
[(x2 − 1)n ](n)
2n n!
= kPn k2w , Pn (1) = 1, et la relation de récurrence :
(n + 1)Pn+1 − (2n + 1)xPn = nPn−1
– Polynômes de Tchebychef
Lemme 3 . Les polynômes Tn (x), tels que Tn (cosθ) = cosnθ, sont orthogonaux relativement au
poids w(x) = √ 1 2 sur [−1, 1]
(1−x )
En effet par le changement de variables x = cosθ, avec θ ∈ [0, π]
Z
1
−1
0
Z
1
p
Tn (x)Tm (x)dx =
(1 − x2 )
cosnθcosmθ(−dθ) = 0 si m 6= n
π
– Polynômes de Hermitte ]a, b[=] − ∞, +∞[ et w = e−x
– Polynômes de Laguerre ]a, b[=]0, +∞[ et w = e−x
4
2
Généralités sur l’intégration numérique
On considère une fonction pouvant s’écrire x −→ w(x)f (x), avec w définie continue strictement
positive et intégrable sur ]a, b[, et f : [a, b] → R continue.
On appelle opérateur d’intégration noté Iw , l’application définie sur f ∈ C([a, b], R) :
Z
Iw : f −→ Iw (f ) =
b
w(x)f (x)dx.
a
On cherche à approcher Iw (f ) par des opérateurs associés à des familles de points {x0 , · · ·, xn }, et
à des familles de réels appelés poids.
Définition 2 .- On appelle opérateur d’intégration approché (ou O.I.A. en abrégé) associé aux xi et
à la famille de poids wi l’application de C([a, b], R) vers R
Σn : f −→
n
X
wi f (xi ).
i=0
L’opérateur Σn est dit de rang n.
Définition 3 .- On dit que Σn est exact sur le sous espace E de C([a, b], R) si
∀f ∈ E, Σn (f ) = Iw (f )
En général on recherche l’exactitude sur les polynômes.
Définition 4 On dit que Σn est d’ordre d’exactitude au moins p, s’il est exact sur l’espace Pp des
polynômes de degré ≤ p.
L’exactitude sur Pp équivaut par linéarité à l’ensemble fini des p + 1 conditions suivantes :
∀k ∈ {0, · · ·, p}, Iw (xk ) = Σn (xk )
ou pour être plus explicite :
b
Z
xk w(x)dx =
X
wi xki pour k = 0, · · ·, p.
a
Dire que Σn est d’ordre d’exactitude p, se traduit alors simplement par la condition supplémentaire :
Iw (xp+1 ) 6= Σn (xp+1 ).
Attention : Ne pas confondre le rang n avec l’ordre d’exactitude p. En effet, si dans tous les cas
intéressant p est au moins égal à n, comme le montre le paragraphe suivant, on peut avoir p > n.
Cette situation correspond même à des O.I.A. plus efficaces.
5
Opérateur d’intégration approchés.
5.1
L’idée première est de remplacer f par le polynôme d’interpolation Ln (f ) aux points considérés.
P
\i )···(x−xn )
Rappelons que Ln (f ) =
f (xi )Ln,i , où Ln,i (x) = (x−x0 )···(x−x
. L’opérateur obtenu s’écrit
\
(xi −x1 )···(xi −xi )···(xi −xn )
donc :
Z
Σn (f ) =
b
Z
b
w(x)Ln (f )(x)dx =
a
n
X
w(x)(
f (xi )Ln,i (x))dx
a
Ce qui donne bien une formule Σn (f ) =
Pn
i=0
i=0 f (xi )wi
avec les poids wi =
Rb
a
w(x)Ln,i (x)dx . Ces
poids sont complètement caractérisés par la donnée des points xi . (On pourrait donc en alourdissant les
notations, écrire cet O.I.A f −→ Σn,{x0 ,···,xn } (f )). On appelle un tel O.I.A, un O.I.A. par interpolation.
Proposition 3 Soit Σn un O.I.A. de rang n. Il y a équivalence entre les deux propriétés suivantes :
1) Σn est un O.I.A. par interpolation.
2) Σn est exact sur Pn (=exact d’ordre au moins n).
Démonstration.- En effet si Σn est un O.I.A. par interpolation et P ∈ Pn , on a Ln (P ) = P , évident
selon la définition de Ln . Il est donc clair que :
Iw (P ) = Iw (Ln (P )) = Σn (P )
la première égalité étant triviale et la deuxième la définition de Σn .
Réciproquement soit Σn un O.I.A. de rang n et de poids wi , tel que ∀P ∈ Pn , Iw (P ) = Σn (P ), on
obtient en appliquant cette égalité à Ln,i et en tenant compte de Ln,i (xj ) = δi,j
Iw (Ln,i ) = Σn (Ln,i ) =
n
X
wj Ln,i (xj ) = wi
j=0
ce qui détermine complètement les poids de l’O.I.A., qui sont donc ceux de l’O.I.A. par interpolation.
P
Le résultat précédent montre que la considération d’O.I.A.
wi f (xi ) pour des poids différents est
de faible interêt et nous ne considèrerons plus dans la suite que des O.I.A. d’interpolation.
Remarque sur la zéro-exactitude : Le fait que l’opérateur
Pn soit exact sur P0 , c’est à dire en pratique
sur la fonction 1, se traduit par la relation b − a =
i=0 wi . Il est naturel d’écrire l’O.I.A. (b −
P
P
a) w̃i f (xi ), avec ni=0 w̃i = 1. Les w̃i , sont les coefficients normalisés de somme 1, correspondant
à un intervalle de longueur 1. En effet la formule de changement de variable
Z 1
Z b
w(a + t(b − a))f (a + t(b − a))dt
w(x)f (x)dx = (b − a)
Iw (f ) =
0
a
implique aussitôt le résultat suivant :
P
Lemme 4 .- L’ O.I.A. par interpolation aux point ti sur [0, 1], noté
w̃i g(ti ), et l’O.I.A. sur [a, b],
dont les noeuds lui correspondent par affinité (i.e. xi = a + ti (b − a)), sont liés par le relation entre
les poids : wi = (b − a)w̃i .
5.2
Evaluation de l’erreur
L’erreur de méthode, sur l’évaluation de l’intégrale de f est l’erreur commise lorsqu’on remplace
l’intégrale par l’O.I.A., c’est à dire :
En (f ) = Iw (f ) − Σn (f )
Dans les cas d’un O.I.A. d’interpolation on est aussi amené à considérer l’erreur commise en
remplaçant f par son polynôme d’interpolation. Il s’agit de la fonction de x ∈ [a, b] définie par
En (f )(x) = f (x) − Ln (f )(x)
Le lien entre ces deux notions est le suivant : l’erreur En (f ) sur l’intégrale est la valeur de l’opérateur
d’intégration Iw appliqué à la fonction En (f ) :
Z
En (f ) = Iw (f ) − Σn (f ) =
b
Z
w(x)f (x)dx −
a
b
Z
w(x)Ln (f )(x)dx =
a
b
w(x)En (f )(x)dx
a
Rappelons l’évaluation de l’erreur d’interpolation : Si f est de classe C n+1 , il existe ξx ∈ [a, b], tel que
n+1 (ξ )
x
où πn+1 (x) = Πni=0 (x − xi ). On a donc
En (f )(x) = πn+1 (x) f (n+1)!
Z b
f n+1 (ξx )
w(x)πn+1 (x)
En (f ) =
dx
(n + 1)!
a
formule de maniement délicat à cause du signe de πn+1 .
Voici une méthode utile pour traiter le problème de l’erreur
Théorème 8 Théorème de Peano.Soit Σn un O.I.A. de rang n et d’ordre p ≥ n. On se donne une fonction f de classe C p+1 . Alors
l’erreur est donnée par la formule
Z b
En (f ) =
Gp (t)f (n+1) (t)dt
a
où Gp est le noyau de Peano, fonction de t définie par Gp (t) = En (
(x−t)p+
p! ).
Explication : On désigne par a+ = max(0, a), la ”partie positive” du réel a. Dans la définition
du noyau de Peano, t est un paramètre et Gm (t) est donc l’erreur de méthode sur l’intégrale de la
(x−t)p
fonction x −→ p! + . L’intégrale est bien sur prise par rapport à la variable x et t est un paramètre
et tout naturellement l’erreur Gm (t)en dépend. Explicitement cela donne :
Z b
n
X
(x − t)p+
(xi − t)p+
Gm (t) =
w(x)
dx −
wi
p!
p!
a
i=0
Noter que
Rb
a
w(x)
(x−t)p+
p!
dx =
Rb
t
w(x)
(x−t)p
p!
dx, puisque (x − t)p+ = 0 si a ≤ x ≤ t.
Démonstration du Théorème de Peano.p
X
(x − a)k
f (x) =
k!
k=0
On applique la em formule de Taylor avec reste intégral
f
(k)
1
(a) +
p!
Z
x
(x − t)n f (p+1) (t)dt,
a
D’après l’hypothèse l’O.I.A. est exact sur la partie polynomiale de degré p du deuxième membre d’où,
par linéarité de En , l’égalité
Z
1 x
En (f ) = En (x −→
(x − t)p f (p+1) (t)dt).
p! a
De façon plus explicite cela donne, après avoir remarqué que
x
Z
(x − t)n f (p+1) (t)dt =
Z
avec (x − t)p+ =
(x − t)p+ f (p+1) (t)dt,
a
a
b
(x − t)p si t ≤ x
0
si x ≤ t
Z
b
1
En (f ) =
(
a p!
Z bhZ
=
a
b
Z
a
(x −
t)p+ f (p+1) (t)dt)w(x)dx
−
a
b
n
X
i=0
1
wi
p!
Z
x
(xi − t)p+ f (p+1) (t)dt
(1)
a
n
i
X 1
1
(x − t)p+ )w(x)dx −
wi (xi − t)p+ f (p+1) (t)dt
p!
p!
(2)
i=0
La deuxième ligne est obtenue en appliquant le théorème de Fubini etheni regroupant les deux termes
sous une seule intégrale en t. On reconnaı̂t alors dans l’expression entre . le noyau de Peano annoncé.
6
Exemple 1 : opérateur de Newton-Cotes.
6.1
Cet exemple consiste à appliquer ce qui précède au cas d’une subdivision équidistante, avec w(x) =
1. On pose donc
a = x0 < x0 + h < x0 + 2h· · · < xi = x0 + ih < · · · < xn = b
avec h =
b−a
n .
Ceci donne l’opérateur de Newton-Cotes d’ordre n :
N Cn (f ) =
X
Z
wi f (x0 + ih), où wi =
a
b
Πnj=0,j6=i
x − xj
xi − xj
Les coefficients normalisés, qui correspondent au cas a = 0 et b = 1 sont :
Z n
1 n
t−j
w̃i =
Πj=0,j6=i
.
i−j
0 n
On peut dresser un tableau des valeurs obtenues en écrivant les numérateurs et dénominateurs
A
entiers de w̃i = Dn,i
n
n Dn
An,0 An,1 An,2 An,3
An,4
An,5 An,6 An,7 An,8
1
2
1
1
2
6
1
4
1
3
8
1
3
3
1
4
90
7
32
12
32
7
5 288
19
75
50
50
75
19
6 840
41
216
27
272
27
216
41
7 17280 751 3577 1323 2989
2989
1323 3577 751
8 28350 989 5888 −928 10496 −4540 10496 −928 5888 989
Les exemples les plus simples sont et les plus utilisés sont la formule des trapèzes
N C1 (f ) = (b − a).
f (a) + f (b)
2
et la formule de Simpson
1
4 a+b
1
N C2 (f ) = (b − a).( f (a) + f (
) + f (b)).
6
6
2
6
L’exemple suivant permet de mesurer la très bonne efficacité de la formule de Simpson, avec
f (x) = ex , [a, b] = [0, 1] et des calculs à 10−5 près :
Z
1
ex dx = e − 1 ' 1, 71828
0
1
1
1+e
f (0) + f (1) =
' 1, 85914 (Trapèzes)
2
2
2
√
f (0) + 4f (1/2) + f (1)
1+ e+e
=
' 1, 71886 (Simpson)
6
6
Remarques sur l’ordre
On peut montrer que N C2q et N C2q+1 , sont tous les deux d’ordre exactement 2q + 1. Voir la feuille
de TD. Ceci explique que en dehors de la formule des trapèzes on n’utilise guère que les N C de rang
impair.
Remarques sur la convergence
1) Il n’est pas vrai en général que lim N Cn (f ) = Iw (f ).
n→∞
2) Il est plus avantageux de subdiviser l’intervalle [a, b], en un grand nombre de petits intervalles à
chacun desquels on applique un opérateur N C. On obtient ainsi pour n = 1, 2 les méthodes classiques
des trapèzes et de Simpson “composites”. Nous traitons la première dans la section suivante.
6.2
Méthode des trapèzes
Généralités sur les opérateurs composites
Pour le calcul approché d’intégrales la meilleure stratégie est de découper [a, b] en intervalles égaux
a = a0 < a1 < · · · < am = b et d’appliquer à chaque intervalle un opérateurs intégral approché d’ordre
peu élevé. On pose :
Z b
m−1
X Z ai+1
f (x)dx =
f (x)dx
a
i=0
ai
et on applique à chaque intervalle [ai , ai+1 ], un O.I.A. d’ordre q fixé en prenant dans [ai , ai+1 ] des
points xi,j , j = 0, · · ·, q.
Définition 5 .- Un opérateur intégral approché de la forme
Σ(f ) =
m−1
X
(
q
X
wi,j f (xi,j ))
i=0 j=0
est appelé un opérateur composite de type (m, q).
Nous allons terminer cette section avec l’ exemple le plus courant et la majoration d’erreur :
Exemple : Méthode des trapèzes
Il s’agit d’un opérateur de type (m, 1), fondé dans chaque intervalle sur la formule des trapèzes
N C1 . L’erreur Ri sur la ième intégrale est donc donnée par
Z ai+1
h
f (x)dx = (f (ai ) + f (ai+1 )) + Ri
2
ai
On suppose les ai équirépartis, c’est à dire ai = a+ih, h = b−a
m . On obtient la formule des trapèzes,
avec R somme des restes élémentaires Ri :
Z b
m−1
b − a f (a) X
f (b)
f (x)dx =
(
+
f (a + ih) +
) + R.
m
2
2
a
i=1
Proposition 4 .- Lorsque f est au moins de classe C 2 , on a la majoration suivante
R≤M
(b − a)3
12m2
où M = supξ∈[a,b] |f ”(ξ)|.
Démonstration.-
Traitons d’abord le cas m = 1 :
Z b
Z b
f (x)dx − N C1 (f ) =
(f (x) − P1 (x))dx
a
a
x−a
où P1 (x) = −f (a) b−x
b−a + f (b) b−a est le polynôme d’interpolation de f aux points a et b. Selon le
théorème 2 sur l’évaluation de l’erreur dans l’interpolation de Lagrange, on a la majoration suivante
de la fonction intégrée :
(x − a)(x − b)
(b − x) · (x − a)
f ”(ξx )| ≤ M
.
2
2
donc la majoration de l’erreur sur l’intégrale :
Z b
Z
M (b − a)3
M b
|R| = |
f (x)dx − N C1 (f )| ≤
(b − x) · (x − a)dx =
.
2 a
12
a
|f (x) − P1 (x)| = |
N.B. Faire l’exercice de calcul consistant à contrôler la dernière égalité. Remarquer que le fait que
(b − x) · (x − a) ≥ 0 sur l’intervalle [a, b] joue un rôle important.
b−a
Cas général : il suffit dans la formule précédente de remplacer la longueur
R ai+1 b − a, par h = m
longueur de chaque intervalle [ai , ai+1 ], ce qui donne pour l’évaluation de ai f (x)dx, la majoration
d’erreur :
M (b − a)3
|Ri | ≤
12m3
L’erreur R, est le cumul des erreur Ri , sur m intervalles donc a bien la forme annoncée.
Remarque : Dans le cas de l’opérateur composite fondé sur la formule de Simpson, on trouverait
(b−a)5
(4) (ξ)| avec une convergence plus rapide en 1/m4 au
la majoration : R ≤ M2880m
4 , où M = supξ∈[a,b] |f
2
lieu de 1/m .
Le calcul est plus compliqué et le plus comode est de passer par les noyaux de Peano (hors programme).
7
O.I.A. de Gauss
On a vu que quel que soit le choix de {xi ∈ [a, b], i = 1· · ·n}, un O.I.A. d’interpolation est exact
de rang n.
On peut améliorer ce résultat : on cherche des noeuds xi particuliers en vue d’obtenir un ordre
d’exactitude m > n aussi élevé que possible. On montre qu’on peut obtenir un ordre d’exactitude égal
à 2n + 1, en choisissant pour noeuds les racines du polynôme orthogonal de degré n + 1 associé au
même poids w que celui qui intervient dans l’intégrale qu’on cherche à approcher.
J’ai choisi de laisser ce sujet hors programme. Disponible sur demande pour les étudiants interessés.
7.1
On a vu que quel que soit le choix de {xi ∈ [a, b], i = 1· · ·n}, un O.I.A. d’interpolation est exact
de rang n.
Dans ce qui suit on se propose d’améliorer ce résultat : on va chercher des noeuds xi particuliers
en vue d’obtenir un ordre d’exactitude m > n aussi élevé que possible.
exemple
R1
A priori on peut rendre 0 f (x)dx ∼ w0 f (x0 ) + w1 f (x1 ) exact sur P3 au lieu de P1 . Pour cela il
suffit de résoudre le système :

w0 + w1 = 1



w0 x0 + w1 x1 = 1/2
 w0 x20 + w1 x21 = 1/3


w0 x30 + w1 x31 = 1/4
Un calcul élémentaire donne la solution unique
√
√
3−1
3+1
w0 = w1 = 1/2, et x0 = √ , x1 = x0 = √
2 3
2 3
Il est en fait plus commode de résoudre en passant par affinité à un O.I.A. sur [−1, 1]. On trouve
x0 = − √13 , x1 = √13
Exemple
Z 1
1
ex dx = e − ' 2, 3504
e
−1
Σ2 (ex ) = e
√1
3
+e
− √1
3
' 2, 3427
A nombre égal de point d’interpollation, le résultat est nettement meilleur que par l’opérateur N C1
de la formule des trapèzes.
Proposition-définition 2 .- Etant donné w(x), intégrable sur [a, b], il existe un unique opérateur
d’interpolation de rang n et exact à l’ordre 2n + 1 associé au poids w. On l’appelle opérateur de Gauss
de rang n associé à w. Les points xi correspondants sont les zéros du (n + 1)ième polynôme orthogonal
associé à w. Si f est de classe C n+2 , l’erreur est donnée par la formule,
∃ξ ∈ [a, b], En (f ) = cn f (2n+2) (ξ), cn =
1
(2n + 2)!
Z
a
b
w(x)[πn+1 (x)]2
Démonstration On raisonnera à priori avec des points xi (les inconnues du problème) arbitraires
et l’opérateur d’interpolation qui leur est associé. On note comme d’habitude,
πn+1 (x) = Πni=0 (x − xi ) ∈ Pn+1
Pour P ∈ Pp , avec p ≥ n + 1, on effectue la division euclidienne par πn+1 et il vient P = Qπn+1 + Rn
avec Q ∈ Pp−n−1 , et R ∈ Pn .
Par l’exactitude d’ordre au moins n de tout O.I.A.
Pn d’interpolation, Σn (R) = Iw (R), et comme
pour tout i, πn+1 (xi ) = 0, on a aussi Σn (Qπn+1 ) = i=0 wi Q(xi )πn+1 (xi ) = 0.
Ainsi la condition d’exactitude sur P , Σn (P ) = Iw (P ) est équivalente en raison de la linéarité des
opérateurs Σn et Iw à
Σn (R) = Iw (Qπn+1 ) + Iw (R)
et il reste en définitive : Iw (Qπn+1 ) = 0, c’est à dire,
b
Z
w(x)Q(x)πn+1 (x)dx = 0
a
Comme réaliser l’exactitude sur Pp revient à écrire cette équation pout tout Q ∈ Pp−n−1 , on voit que
cela revient à demander que πn+1 , soit orthogonal à Pp−n−1 pour le produit scalaire <, >w . Comme
l’orthogonalité de πn+1 à lui-même est exclue, on en déduit que la meilleure possibilité est de choisir
pour πn+1 le (n+1)ième polynôme orthogonal (unitaire), et qu’on obtient ainsi l’exactitude sur P2n+1 .
2 ) 6=
Remarquons que l’ordre d’exactitude est exactement 2n + 1, car évidemment 0 = Σn (πn+1
2
Iw (πn+1 ) > 0 7.2
Quelques exemples
On recense ici les O.I.A associés aux familles de polynômes orthogonaux les plus courantes. Remarquons, dans les deux derniers exemples que la théorie s’adapte facilement, pour opérer sur des
2
intégrales généralisées et fournir par exemple des formules exactes pour les intégrales de e−x P (x) ou
e−x P (x) dans le cas où P est un polynôme de degré ≤ 2n + 1.
Dans chaque cas écrire les 3 ou 4 premiers opérateurs en exercice.
– O.I.A. de Gauss-Legendre
Z 1
n
X
f (x)dx ∼
wi f (xi )
−1
i=0
où les xi sont les zéros des polynômes de Legendre
– O.I.A. de Gauss-Tchebycheff
Z
1
−1
n
X
1
√
f (x)dx ∼
wi f (xi )
1 − x2
i=0
où les xi sont les zéros des polynômes de Tchebycheff i.e. xi = cos(θi ) et cos(nθi ) = 0.
– O.I.A. de Gauss-Laguerre
Z +∞
n
X
−x
e f (x)dx ∼
wi f (xi )
0
i=0
les xi zéros des polynômes de Laguerre
– O.I.A. de Hermite
Z +∞
n
X
2
e−x f (x)dx ∼
wi f (xi )
−∞
les xi zéros des polynômes de Hermitte.
i=0
8
Opérateurs composites
On a déjà vu que l’opérateur N Cn ne donne pas forcément de bons résultat pour n grand. La
suite peut même diverger pour une fonction f fixée. Pour le calcul approché d’intégrales la meilleure
stratégie est de découper [a, b] en intervalles égaux a = a0 < a1 < · · · < am = b et d’appliquer à
chaque intervalle un opérateurs intégral approché d’ordre peu élevé. On pose :
b
Z
f (x)dx =
m−1
X Z ai+1
a
i=0
f (x)dx
ai
et on applique à chaque intervalle [ai , ai+1 ], un O.I.A. d’ordre q fixé en prenant dans [ai , ai+1 ] des
points xi,j , j = 0, · · ·, q.
Définition 6 .- Un opérateur intégral approché de la forme
Σ(f ) =
m−1
X
(
s
X
wi,j f (xi,j ))
i=0 i=0
est appelé un opérateur composite de type (m, q). Il est de rang mq.
Nous allons terminer ce chapitre avec les deux exemples les plus courants et les majoration d’erreurs :
Exemple 1 : Méthode des trapèzes
Il s’agit d’un opérateur de type (m, 1), fondé dans chaque intervalle sur la formule des trapèzes
N C1 . L’erreur Ri sur la ième intégrale est donc donnée par
Z ai+1
h
f (x)dx = (f (ai ) + f (ai+1 )) + Ri
2
ai
On supose les ai équirépartis, c’est à dire ai = a + ih, h =
avec R somme des restes élémentaires Ri :
b
Z
a
b−a
m .
On obtient la formule des trapèzes,
m−1
b − a f (a) X
f (b)
f (x)dx =
(
+
f (a + ih) +
) + R.
m
2
2
i=1
Le reste peut étre évalué en utilisant le noyau de Peano et on trouve :
Exercice Lorsque f est au moins de classe C 2 ,
∃ξ ∈ [a, b], R = −
(b − a)3
f ”(ξ)
12m2
Exemple 2 : Méthode de Simpson.- C’est un O.I.A. composite obtenu en appliquant la formule
de Simpson de coefficients normalisés (1/6, 4/6, 1/6), sur chacun des m intervalles [a2i , a2i+2 ], tirés
d’une subdivision en 2n intervalles par les points
ai = a + ih, i = 0, · · ·, 2m − 1, h =
On écrit donc
Z
a2i+2
f (x)dx =
a2i
b−a
.
2m
2h
[f (a2i ) + 4f (a2i+1 ) + f (a2i+2 )] + Ri
6
puis
Z
b
f (x)dx =
a
m−1
m−1
i=1
i=0
X
X
b−a
(f (a) + 2
f (a2i ) + 4
f (a2i+1 ) + f (b)) + R
6m
et on trouve en appliquant encore la méthode de Peano
∃ξ ∈ [a, b], R = −
(b − a)5 (4)
f (ξ)
2880m4
lorsque f est de classe C 4 .
Dans ces deux exemples on constate la convergence de la méthode par rapport au pas de la
subdivision i.e. quand m tend vers +∞, pour les fonctions assez régulières.
Remarques sur la convergence
Est il vrai que lim N Cn (f ) = Iw (f ) ?
n→∞
Il n’en est rien en général. Voici un exemple qui montre que les choses ne vont pas toujours aussi
bien qu’avec ex :
Z
4
−4
dx
= 2Arctan(4) ' 2, 65164
1 + x2
mais les valeurs trouvées avec N C2i pour i valant respectivement 1, 2, 3, 4, 5, sont à 10−3 près :
5, 490; 2, 278; 3, 329; 1, 941; 3596
On sera donc plutôt amené à subdiviser l’intervalle [a, b], en un grand nombre de petits intervalles
et à appliquer à chacun d’eux les N C. On obtient pour chaque NC la méthode du même nom : méthode
des trapèzes, ou méthode de Simpson. Voir le paragraphe suivant sur les opérateurs composites.
Au delà on n’utilise guère que N C4 (Boole-Villarceau), ou N C6 (Wedde-Hardy.)
8.1
Complément sur la convergence
On se donne pour chaque n une famille de points {xn,i , i = 0, · · ·, n} et les poids {wn,i , i = 0, · · ·, n}
associés à la suite correspondante d’O.I.A. par interpolation,
Σn (f ) =
n
X
wn,i f (xn,i )
i=0
On s’intéresse au comportement de Σn (f ) lorsque n croı̂t, et aussi à l’influence d’une petite perturbation de f sur la suite des Σn (f ).
Définition 7 On dit que la suite des Σn est stable, s’il existe un constante K > 0 telle que pour toute
fonction : [a, b] −→ R, on a
Σn () < K.max{(xn,i ), i = 0, · · ·, n}
Définition 8 On dit que la suite des Σn est convergente, si pour toute fonction f ∈ C([a, b], R), on a
lim Σn (f ) = Iw (f )
n→+∞
On admettra le résultat suivant :
Théorème 9 La suite Σn est convergente ssi elle est convergente sur l’ensemble R[X].
La proposition suivante est de démonstration immédiate :
Proposition 5 La suite Σn est stable si et seulement si il existe K > 0 tel que
∀n
n
X
i=0
|wi,n | ≤ K
Une conséquence immédiate est la suivante : Soit Σn une suite d’O.I.A. d’interpolation de rang n.
Alors si tous les poids sont positif les Σn sont convergents. En effet, on a alors :
X
X
|wn,i | =
wn,i = b − a
et comme Σn est exact sur Pn on en déduit le résultat.
Remarquons toutefois que la suite des opérateurs de Newton-Cotes ne remplit pas ces conditions,
à cause des changements de signe. On peut montrer qu’elle n’est pas stable.