Amélioration des performances des systèmes asservis

Amélioration des performances des
systèmes asservis
Fichier : 2_SLCI_Amelioration
1. Introduction
On déduit les performances d’un système asservi à partir de sa fonction de transfert. Ces
performances sont plus ou moins satisfaisantes pour un usage donné. On essaie donc de
les améliorer en fonction du cahier des charges à satisfaire.
Rappelons les caractéristiques importantes :
• La stabilité : c’est la plus importante. A une consigne bornée, la réponse doit
être bornée. Le système peut être soumis à différentes perturbations, il faut donc
garantir des marges de phase et de gain suffisantes.
• La rapidité : elle caractérise la facilité du système à suivre des variations
rapides de la consigne. Elle est essentiellement liée à la bande passante du
système.
• La précision : elle est donnée par la valeur de l’erreur, une fois le régime
transitoire passé.
2. Principe d’amélioration des performances
Prenons l’exemple d’un système du
troisième ordre dont le lieu de transfert
est représenté dans le plan de Nyquist :
1
H(p) =
(1 + 0, 22p + p2 ) (1 + 3p )
Ce système (1) est stable mais peu
précis, son gain est faible.
La stabilité se déduit de la position du
lieu de transfert vis à vis du point
critique (-1,0).
Augmentation du gain
Une première correction consiste à
augmenter le gain. Dans l’exemple cicontre, le gain a été multiplié par 2. Le
nouveau système (2) est plus précis
mais instable.
2
H(p) =
(1 + 0, 22p + p2 ) (1 + 3p )
Pour augmenter la précision, il faudrait augmenter le gain en basse fréquence sans
approcher le point critique dans les hautes fréquences. On peut utiliser soit une action
dérivée, soit une action intégrale.
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Correction des SLCI
Action dérivée :
On part du lieu (2) et, pour une même
fréquence, on garde la même amplitude
mais on avance la phase dans la zone
critique (hautes fréquences). On obtient
le lieu (4). C’est ce qu’on appelle la
compensation par avance de phase ou
encore l’action dérivée.
Action intégrale :
On part du lieu (1) et on augmente le
gain uniquement aux basses fréquences.
Conclusion
L’augmentation du gain entraîne une augmentation de la précision et de la rapidité mais
diminue la stabilité.
L’action dérivée à avance de phase permet, à précision égale, de rendre le système plus
stable.
L’action intégrale à retard de phase permet, à stabilité égale, de rendre le système plus
précis.
3. Correction des systèmes
De façon générale, ces corrections se réalisent en introduisant un correcteur dans la
chaîne directe. Ce correcteur est placé en sortie de comparateur afin de travailler sur des
signaux peu énergétiques.
Correcteur
E(p) +
C(p)
Ampli
Système
K
H(p)
Cap(p)
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S(p)
Correction des SLCI
3.1. Action proportionnelle
3.1.1.
Influence du gain K
E(p) +
Ampli
Système
K
H(p)
S(p)
Cap(p)
K
1 + ...
L’action du gain intervient sur trois caractéristiques :
• La stabilité
• La rapidité
• La précision
Le gain optimum, pour une application donnée, sera un compromis entre la stabilité et
les autres performances.
• Si K est faible, la stabilité est bonne mais l’asservissement est peu rapide et peu
précis.
• Si K est élevé, l’asservissement est plus rapide et plus précis risque d’être
instable.
FBO (p) =
3.1.2.
Réglage du gain
Le réglage du gain peut se faire à partir du diagramme de Bode mais aussi à partir du
diagramme de Black. Dans les deux cas, une variation du gain se traduit par une
translation verticale :
• du diagramme de Gain dans le cas de Bode
• du lieu de transfert dans le cas de Black.
Cette translation est ascendante dans le cas d’un gain positif.
3.1.2.1.
Réglage à partir du diagramme de Bode.
1
Exemple : Soit FTBO (p) = K
p (1 + 0,1p )(1 + 0, 2p )
On a vu précédemment qu’il était souhaitable d’obtenir en BO une marge de gain de 12
dB et une marge de phase de 45°.
Dans le cas où K = 1, on obtient les diagrammes de Bode suivants :
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Correction des SLCI
• Détermination du gain pour obtenir une marge de phase de 45°.
Soit ω45 la valeur de la pulsation pour laquelle la marge de phase est de 45°.
En résolution graphique, il suffit de rechercher le point d’intersection de la courbe de
phase et de la droite ϕ = -135°. On remonte sur le diagramme de gain et on en déduit la
valeur du gain pour cette pulsation. Soit G45 la valeur de ce gain.
Il suffit maintenant de remonter la courbe de gain de G45 dB pour que la marge de
phase soit de 45°. Donc :
20Log K = G 45
⇒
⇒
Log K =
K = 10
G 45
20
G 45
20
AN
G45 = 11dB
⇒
11
K = 10 20 = 3,548
• Réglage de la marge de gain.
On souhaite une marge de gain MGdB =12dB
On recherche ω12, la pulsation pour laquelle la courbe de phase coupe la droite des
-180°. Et on regarde sur la courbe la valeur du gain G.
Il suffit de déplacer la courbe de gain pour que la valeur de G soit égale à -12 dB
G + 20LogK = -12
Dans notre exemple on lit, sur le diagramme, G = -24dB
−24 + 20LogK = −12
⇒
20LogK = −12 + 24 = 12
⇒
12
K = 10 20 = 3,98
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Correction des SLCI
3.1.2.2.
Réglage à partir du diagramme de Black
Dans le plan de Black, une variation de gain se traduit par une translation du lieu de
transfert dans le sens du gain : translation verticale ascendante pour les gains positifs.
Une marge de phase de 45° représente un facteur de surtension de 2,3 dB en boucle
fermée. Cette surtension est matérialisée par le contour de Hall dans le diagramme de
Black.
1
Reprenons l’exemple précédent : H(p) =
p (1 + 0,1p )(1 + 0, 2p )
Pour trouver le gain désiré, il suffit de translater le lieu de transfert de H(jω), suivant
une verticale jusqu’à sa tangence avec le contour de Hall.
La valeur de la translation exprimée en dB permet de déduire le gain K. On trouve
évidemment aussi une translation de 11 dB ce qui correspond à un gain K de 3,55.
3.2. Action dérivée
But : Modifier le comportement du système aux alentours de la pulsation critique soit
pour stabiliser un système ne possédant pas assez de marge de phase, soit pour pouvoir
augmenter le gain (donc la rapidité) sans déstabiliser le système.
Soit un système caractérisé par la fonction de transfert suivante en BO :
1
H(p) =
p ( 2p + 1)( 0, 2p + 1)
Ce système présente une marge de phase de 35°. On souhaite obtenir une marge de
phase de 50°.
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Correction des SLCI
Utilisons un correcteur de type : C(p) = K (1 + τp ) .
Si l’on soumet une entrée E(p) à ce correcteur, on obtient en sortie :
S(p) = K (1 + τp ) E(p)
Soit :
de(t)
dt
où Ke(t) représente une action proportiennelle et
s(t) = K.e(t) + K.τ.
de(t)
représente une action dérivée.
dt
Posons K = 1 pour ce qui suit :
GdB
Pour K = 1, Ce correcteur 20 dB
n’apporte aucun gain aux basses
fréquences mais une avance de
+3dB
1
phase de 45° pour ω =
et
0dB
τ
jusqu’à 90° pour les hautes
fréquences
mais
avec
l’inconvénient d’un très grand
gain.
ϕ°
K.τ.
90°
45°
0°
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+20dB/décade
Pente +1
ω
1/τ
10/τ
ω
Correction des SLCI
Correcteur à avance de phase :
1 + τp
C(p) = K
a <1
1 + aτp
Pour ce qui suit, posons K = 1.
L’intérêt de ce correcteur est de limiter le gain dans les hautes fréquences.
GdB
0dB
ω
1/τ
1/aτ
ϕ°
90°
45°
0°
ω
Fonctionnement de ce correcteur :
En basse fréquence, il ne modifie pas le lieu primitif. En très haute fréquence, il apporte
simplement un gain sans déphasage.
On choisit τ et a de façon que le correcteur agisse au voisinage de ω0dB en prenant
−1
τ ≈ ω0dB
Résultat de la correction dans Bode
GdB
Corrigé
ω
ω
ϕ°
Non corrigé
Mϕ=35°
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Mϕ=50°
Correction des SLCI
Résultat de la correction dans le diagramme de Black.
GdB
Non
corrigé
corrigé
ϕ°
0dB
-135°
-180°
-135°
-90°
-45°
3.3. Action intégrale
3.3.1.
Correcteur Proportionnel Intégral (PI)
But : ajouter du gain en basse fréquence sans modifier le degré de stabilité.
Le plus simple serait d’introduire un
intégrateur pur qui donnerait un gain
infini aux basses fréquences ce qui
entraînerait une erreur de position
nulle. Malheureusement ce correcteur
introduirait une phase de 90° à toutes
les fréquences ce qui aurait pour effet
de déstabiliser le système.
-90°
On utilise donc un correcteur de type :

1 
C(p) = K 1 +
 qui introduit bien
 τ.p 
un gain infini aux basses fréquence et
ne modifie pas la phase à la fréquence
critique.
1
τ
-90°
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Correction des SLCI
Pour ce qui suit posons K = 1.
Si l’on soumet une entrée E(p) à ce correcteur, on obtient en sortie :

1 
S(p) = 1 +
 E(p)
 τ.p 
Soit :
1
e(t).dt
τ∫
où e(t) représente une action proportiennelle et
s(t) = e(t) +
1
e(t).dt représente une action intégrale.
τ∫
C’est un correcteur à action proportionnelle intégrale noté P.I.
3.3.2.
Placement du correcteur PI
Le rôle essentiel est d’annuler l’erreur statique de position sans altérer les performances
initiales.
• Si le système ne possède pas de réserve de marge de phase (Mϕ ≈ 45°), il faut
placer le correcteur PI à une décade en avant de ωc de façon à ne pas ajouter de
phase.
• Si le système à une marge de phase suffisante (Mϕ > 45°), on peut placer le
correcteur PI plus près de ωc.
15
Exemple : H(p) =
(1 + 0, 01p )(1 + 0,1p )
ϕ°
GdB
Gain
0°
Phase
ωc
0dB
-135°
Mϕ=48°
La marge de phase est limite, 48° pour ωc = 110°.
On va donc placer la pulsation de cassure du correcteur PI une décade en avant de ωc.
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Correction des SLCI
ωC = 110
⇒
⇒
⇒
ωcor = 11
1
= 0, 09
11

1 
C(p) = 1 +

 0, 09p 
τcor =
Résultat dans Bode
ϕ°
GdB
Gain corrigé
Gain
0°
Phase
ωc
0dB
-135°
Phase corrigée
Mϕ=48°
Résultat dans Black
GdB
Co
rrig
é
rigé
Non cor
ϕ°
0dB
-180°
3.3.3.
-135°
-90°
-45°
Correcteur à retard de phase
Dans certaines applications, on peut avoir besoin de filtrer (passe-bas) seulement sur
une certaine fréquence. On utilise alors un correcteur à retarde de phase.
1 + τp
C(p) = K
avec b > 1
1 + bτp
Pour ce qui suit, nous avons pris K = 1.
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Correction des SLCI
GdB
0dB
ϕ°
0°
ϕmin
1
bτ
1
τ
3.4. Action Intégrale et Dérivée (correcteur P.I.D)
Le correcteur « dérivé » et le correcteur « intégral » concernant des domaines de
fréquences différents, il peut être judicieux d’associer ces deux correcteurs en un seul.
On obtient alors un correcteur P.I.D : Proportionnel, Intégral, Dérivé.

1 
C(p) = K (1 + τd .p ) 1 +

 τi .p 


1
Si τi >> τd ⇒ C(p) ≈ K 1+
+ τd .p 
 τi .p

Diagrammes de Bode d’un PID
Action intégrale
Action dérivée
Phase
0°
0dB
in
Ga
Action proportionnelle
1
τi
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ω
1
τd
Correction des SLCI
4. Réalisation des correcteurs
4.1. Réseau correcteur à avance de phase
R1
R2
Ve
Vs
C1
C(p) =
R2 ( R1.C1.p + 1) )
Vs(p)
=
Ve(p) R2 ( R1.C1.p + 1) + 1
R2
1 + R1.C1.p
R1 + R2 1 + R1.R2.C1.p
R1 + R2
 1 + τ.p 
= K

 1 + a.τ.p 
=
R2
R1 + R2
τ = R1.C1
K=a=
4.2. Réseau correcteur à retard de phase
R1
C2
Ve
Vs
R2
1+
C(p) =
1
C2.p
Vs(p)
R2.C2.p + 1
=
=
Ve(p) R1 + R2 + 1
( R1 + R2 ) C2.p + 1
C2.p
 1 + τ.p 
1 + R2.C2.p
= K

R1 + R2
 1 + b.τ.p 
1+
R2.C2.p
R2
R1 + R2
>1
τ = R2.C2
K =1
b=
R2
=
Correction des SLCI, page 12/13
Correction des SLCI
4.3. Réseau PID
4.3.1.
série
R1
R2
R3
C3
C1
Ve
C(p) = −
4.3.2.
Vs
+
R3 R3.C3.p + 1
R1.C1.p + 1
.
.
R1.R2
R1 + R3 R3.C3.p
C1.p + 1
R1 + R2
Parallèle
C(p) = K p +
1
+ τd .p
τi .p
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