brevet blanc 1 bis correc - Collège Bienvenu

Janvier 2011
Diplôme National du Brevet
Brevet Blanc n°1
MATHÉMATIQUES
Série Collège
DURÉE DE L'ÉPREUVE : 2 h 00
L’usage de la calculatrice est autorisé
Le candidat remettra sa copie, accompagnée des documents fournis en annexe,
au surveillant à la fin de l’épreuve.
Nature de l’épreuve : écrite
Durée de l’épreuve : 2 heures
Coefficient : 2
Notation sur 40 points
I - Activités numériques
12 points
II - Activités géométriques
12 points
III - Problème
12 points
Qualité de rédaction et présentation
4 points
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
Le sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5.
Brevet Blanc n°1 – Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin
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Activités numériques : ( 12 points )
Exercice 1 :
1. Déterminer le PGCD de 186 et 155 en détaillant la méthode utilisée.
a
186
155
b
155
31
r
31
0
D'après l'algorithme d'Euclide,
pgcd( 186 ; 155 ) = 31
2. Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats.
3. Les colis sont constitués ainsi :
• Le nombre de pralines est le même dans chaque colis.
• Le nombre de chocolats est le même dans chaque colis.
• Tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés.
a. Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser ?
Le nombre de colis doit diviser le nombre de pralines et le nombre de chocolats et doit être le plus grand
possible. C'est donc pgcd( 186 ; 155 ) soit 31 colis.
b. Combien y aura-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis ?
186 = 6 il y aura donc 6 chocolats par colis et 155 = 5 donc 5 pralines par colis.
31
31
Exercice 2 : On propose deux programmes de calcul :
Programme A
Programme B
– Choisir un nombre
– Multiplier ce nombre par 3
– Ajouter 7
– Choisir un nombre
– Multiplier ce nombre par 5
– Retrancher 4
– Multiplier par 2
1. On choisit 3 comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est 22.
( 3 × 5 – 4 ) × 2 = 22
2. On choisit (−2) comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ?
–2 × 3 + 7 = 1
3. a. Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit (−2) ?
9
On cherche x tel que 3x + 7 = –2 x = – = –3
3
b. Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 0 ?
On cherche x tel que ( 5x – 4 ) × 2 = 0 5x – 4 = 0 x = 4 = 0,8
5
4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.
On cherche x tel que 3x + 7 = 2( 5x – 4 ) 3x + 7 = 10x – 8 –7x = –15 x = 15
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Exercice 3 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.). Aucune justification n’est demandée. Pour
chacune des questions, une seule réponse est exacte.
Réponse A
Quelle expression est égale à 6 si on
choisit la valeur x = –1 ?
Le développement de
( x + 3 )( 2x + 4 ) – 2( 5x + 6 ) est :
La factorisation de 9x2 – 16 est :
Le périmètre d'un carré d'aire 25 cm2
est :
750 × 350 =
250 + 250 =
Soustraire 3 à un nombre ou le
diviser par 3 donne le même résultat.
Quel est ce nombre ?
La fonction f définie par
f(x) = –2x + 3 est représentée par une
droite qui coupe l'axe des ordonnées
en :
Réponse B
2
Réponse C
2
6( x + 1 )
5x + 1
2x2
2x2 + 20x + 24
2x2 + 24
( 3x – 4 )2
( 3x + 4 )( 3x – 4 )
( 3x + 4 )2
100 cm
20 cm
6,25 cm
1050
21100
2150
450
2100
251
4,5
0
6
A( 1,5 ; 0 )
B( 0 ; 3 )
C( 0 ; 2 )
–3x
Activités géométriques : ( 12 points )
Exercice 1 :
La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur. L’unité de longueur est le centimètre.
Dans le triangle ABC, on inscrit un rectangle EFGH où H est sur [AB], G sur [AC],
E et F sur [BC].
Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hauteur issue de A.
(AL) coupe [GH] en K.
On donne BC = 14 cm, AL = 6 cm et AK = x cm
où x désigne un nombre positif.
PARTIE 1
Dans cette partie, on se place dans le cas particulier ou BL = 4,8 cm et x = 1 cm.
1. Construire la figure en vraie grandeur.
2. Calculer l’aire en cm2 du triangle BLA. a( BLA ) = 1 × BL × AL = 1 × 4,8 × 6 = 14,4 cm2
2
2
3. On souhaite justifier que les droites (HG) et (BC) sont parallèles. Parmi les propriétés suivantes, choisir et
recopier sur votre feuille celle(s) qui permette(nt) cette justification.
a. Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
b. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.
c. Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.
d. La réciproque du théorème de Thalès.
4. Calculer la longueur HK.
Les droites (BH) et (LK) sont sécantes en A. De plus, les droites (HK) et (BL) sont parallèles donc d'après le
théorème de Thalès : AH = AK = HK soit AH = 1 = HK d'où HK = 1 × 4,8 = 0,8 cm
AB AL BL
AB 6 4,8
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PARTIE 2
Dans cette partie, on se place dans le cas général où BL et x ne sont pas connus.
1. Exprimer la longueur KL en fonction de x. KL = AL – AK = 6 – x
2. On déplace le point K sur le segment [AL]. L’utilisation d’un tableur a permis
d’obtenir les longueurs KL et HG pour différentes valeurs de x.
x
0,6
1,5
1,8
2,1
4,2
KL
5,4
4,5
4,2
3,9
1,8
HG
1,4
3,5
4,2
4,9
9,8
4,5
1,5
10,5
5,1
0,9
11,9
Sans aucune justification, répondre aux questions suivantes :
a. Quelles sont les longueurs KL et HG pour x égal à 4,5 cm? KL = 1,5 cm et HG = 10,5 cm
b. Pour quelle valeur de x a-t-on l’égalité KL = HG? Pour x = 1,8
3. Dans ce cas, que peut-on dire du quadrilatère EFGH? EFGH est alors un rectangle ayant deux côtés consécutifs
de même longueur. C'est donc un carré.
Exercice 2 : À l’intérieur d'une maison, un menuisier étudie une plaque
de bois dessinée ci-contre :
La figure n’est pas aux bonnes dimensions.
Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par A, il a nommé D
le point d’intersection de cette perpendiculaire avec [EC].
Il a également tracé [AC].
Il a mesuré AB = 115 cm , BC = 80 cm, DC = 100 cm, ED=20 cm,
AC = 140 cm et AF=28 cm.
1. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
Dans ABC, le plus grand côté est AC.
AC2 = 1402 = 19600 et AB2 + BC2 = 1152 + 802 = 19625.
donc AC2 ≠ AB2 + BC2 or si le triangle avait été rectangle, l'égalité
aurait été vérifiée d'après le théorème de Pythagore donc ABC n'est
pas rectangle.

2. Déterminer la mesure de l’angle ACD .


Dans ADC rectangle en D, cos ACD = DC soit cos ACD = 100. A l'aide de la calculatrice et de la touche cos–1,
AC
140

on obtient : ACD ≈ 44,4 °
3. Les droites (AD) et (FE) sont-elles parallèles ? Justifier.
Les points F, A, C d'une part et E, D, C d'autre part sont alignés dans le même ordre.
CA = 140 = 140 = 5 et CD = 100 = 100 = 5 donc CA = CD
CF 140 + 28 168 6 CE 100 + 20 120 6
CF CE
D'après la réciproque du théorème de Thalès, (AD) // (FE)
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Problèmes : ( 12 points )
Les deux parties sont indépendantes. Le document 2 présenté en annexe est à rendre avec la copie.
PARTIE 1
M. Dubois réfléchit à son déménagement. Il a fait réaliser deux devis :
1. L’entreprise A lui a communiqué le graphique présenté en annexe ( document 2 ).
Celui-ci représente le coût du déménagement en fonction du volume à transporter.
a. Quel serait le coût pour un volume de 20 m3 ? 600 €
b. Le coût est-il proportionnel au volume transporté ? Justifier. Oui car le coût est représenté par une droite
passant par l'origine du repère.
c. Soit g la fonction qui à x, volume à déménager en m3, associe le coût du déménagement
avec cette entreprise. Exprimer g (x) en fonction de x.
g est une fonction linéaire donc g(x) a une écriture de la forme g(x) = a x .
On sait que g(20) = 600 donc a × 20 = 600 soit a = 600 = 30 d'où g(x) = 30x
20
2. L’entreprise B lui a communiqué une formule : f (x) = 10x +800 où x est le
volume ( en m3 ) à transporter et f (x) le prix à payer (en € ).
a. Calculer f (80). Que signifie le résultat obtenu ? f(80) = 1600 ce qui signifie que pour 80 m3 , l'entreprise
B demande 1600 €
b. Déterminer par le calcul l’antécédent de 3 500 par la fonction f .
On résout l'équation f(x) = 3500 10x + 800 = 3500 10x = 2700 x = 2700 = 270.
10
Donc l'antécédent de 3500 par f est 270
c. Représenter graphiquement la fonction f sur le graphique présenté en annexe ( document 2 ).
f est une fonction affine donc elle est représentée par une droite.
Pour x = 0, f(0) = 800 donc A( 0 ; 800 )
Pour x = 80, f(80) = 1600 donc B( 80 ; 1600 )
3. M. Dubois estime à 60 m3 le volume de son déménagement. Quelle société a-t-il intérêt à choisir ?
Vous justifierez graphiquement votre réponse en laissant vos tracés apparents.
D'après le graphique, pour 60 m3, il paierait 1800 € avec la société A et 1400 € avec la société B. Il a donc
intérêt à choisir la société B.
4. A partir de quel volume M. Dubois a-t-il intérêt à choisir la société B ? Graphiquement, la société B est plus
intéressante à partir de 40 m3.
PARTIE 2
1. Pour aller visiter le chantier de sa future maison, situé à 442 km de son actuel domicile, M. Dubois part de chez
lui à 10 h 00 du matin. Il roule 2 h 30 min, fait une pause de 80 minutes, puis roule à nouveau 1 h 45 min avant
d’arriver au chantier. A quelle heure arrive-t-il au chantier ? Justifier la réponse.
80 min 1 h 20 min
2 h 30 min + 1 h 20 min = 3 h 50 min
3 h 50 min + 1 h 45 min = 4 h 95 min = 5 h 35 min . M. Dubois arrive donc à 15 h 35 min
2. Le camion des déménageurs a mis 6 h 30 pour réaliser ce trajet. A quelle vitesse, en moyenne, a-t-il roulé ?
v = 442 = 68 km/h
6,5
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ANNEXE – Document 2 à rendre avec la copie
Société B
×B
×
A
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