Sujet Liban 2004 Bac S Correction

Durée : 4 heures
Baccalauréat S juin 2004
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1
4 points
Commun à tous les candidats
Le personnel d’un très grand hôpital est reparti en trois catégories: les
médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou
technique).
12 % des personnels sont des médecins et 71 % sont des soignants.
67 % des médecins sont des hommes et 92 % des soignants sont des femmes.
On donnera une valeur approchée de tous les résultats à 10−4 près.
1. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital.
a. Quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante?
b. Quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin?
c. On sait que 80 % du personnel est féminin. Calculer la probabilité d’interroger une femme AT. En déduire la probabilité d’interroger une femme sachant
que la personne interrogée fait partie du personnel AT.
2. Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus
égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable
aléatoire uniformément répartie sur [0 ; 1].
On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. Quelle est
la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise
entre 15 min et 20 min?
3. Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui
travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaı̂t pas
la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40 noms de la liste (en raison
de la taille de la population, on considère qu’il s’agit de 40 tirages successifs
indépendants avec remise).
Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement
soient reçus par des médecins?
Exercice 2
5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
→
→
Le plan complexe est rapporté au repère (O, −
u, −
v ). On prendra pour unité
graphique 2 cm.
1. Résoudre dans C l’équation
(z − 2i) z 2 − 2z + 2 = 0.
Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle (justifier
les réponses).
2. Soient A et B les points d’affixes respectives A = 1 + i et zB = 2i.
z − 2i
À tout complexe z différent de A on associe le complexe z =
.
z−1−i
a. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que z soit imaginaire pur.
Montrer que B ∈ (E).
Déterminer et construire l’ensemble (E).
b. Soit (F ) l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z | = 1.
Déterminer et construire (F ).
Baccalauréat Liban
1
3 5
π
3. Soit R la rotation de centre Ω
;
et d’angle .
2 2
2
,
image
de
B
par
R
et l’affixe du point I ,
a. Calculer l’affixe du
point
B
1 3
image par R du point I
;
.
2 2
b. Quelles sont les images de (E) et (F ) par R?
Exercice 2
5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
→
→
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O, −
u, −
v ). On
prendra 1 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d’affixes
respectives
zA = 2 + i, zB = 1 + 2i, zC = 6 + 3i, zD = −1 + 6i.
1. Représenter les points A, B, C et D.
2. Montrer qu’il existe une similitude directe f telle que f (A) = B et f (C) =
D.
Montrer que cette similitude est une rotation, et préciser ses éléments caractéristiques.
3. Soit J le point d’affixe 3 + 5i.
π
Montrer que la rotation R de centre J et d’angle − transforme A en D et C
2
en B.
4. On appelle I le point d’affixe 1 + i, M et N les milieux respectifs de segments
[AC] et [BD].
Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du
quadrilatère IMJN.
5. On considère les points P et Q tels que les quadrilatères IAP B et ICQD sont
des carrés directs.
a. Calculer les affixes zP et zQ des points P et Q.
−
IQ
IP
→ −
→ −
→ −
→
et
ainsi qu’une mesure des angles IA, IP et IC, IQ .
b. Déterminer
IA IC
En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe g telle que
g(A) = P et g(C)= Q.
c. En déduire que J est l’image de M par g. Que peut-on en déduire pour
J?
Exercice 3
4 points
Commun à tous les candidats
1. Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x.
a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à
k,
kk
kn
.
n!
k!
b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k,
n
xn
x
kk
× .
n!
k
k!
c. Montrer que
xn
= 0.
n→+∞ n!
2. a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2,
lim
nn−1
1.
n!
Baccalauréat Liban
2
(on pourra écrire
nn−1
comme un produit de n − 1 facteurs supérieurs ou égaux
n!
à 1).
b. En déduire que
nn
= +∞.
n→+∞ n!
lim
Exercice 4
Commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur R par
7 points
f (x) = x + ln 4 +
ex
2
,
+1
et (C) sa représentation graphique dans un repère du plan.
1. Déterminer la limite de f en +∞, et sa limite en −∞.
2. Calculer, pour tout réel x, f (x) + f (−x).
Que peut-on en déduire pour le point A(0 ; 1 + ln 4)?
3. Étudier le sens de variations de la fonction f et dresser son tableau de variations.
4. a. Justifier que, pour tout réel m, l’équation f (x) = m admet une solution
unique dans R.
b. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−1 de la solution a de l’équation
f (x) = 3.
Justifier la réponse.
c. Pour quelle valeur de m le nombre −a est-il la solution de l’équation
f (x) = m?
2ex
.
5. a. Montrer que pour tout réel x, f (x) = x + 2 + ln 4 − x
e +1
b. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x + ln 4 et la droite (∆ )
d’équation y = x + 2 + ln 4 sont des asymptotes de la courbe (C).
Étudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote (∆).
6. On considère un réel positif α. α
Que représente l’intégrale : I(α) =
b. Montrer que I(α) = 2 ln
0
α
[f (x) − x − ln 4] dx?
2e
. (On pourra utiliser le résultat de la
eα + 1
question 5. a.).
c. Calculer α pour que I(α) = 1, puis donner une valeur approchée de α à
10−1 près.
Baccalauréat Liban
3
http://www.maths-express.com
Baccalauréat S: Liban 2004 Correction
Exercice 1: Commun à tous les candidats
1. On note M , S , AT et F les événements respectifs:
M : ”Choisir un médecin”
S: ”Choisir un soignant”
AT : ”Choisir un AT”
F : ”Choisir une femme”
D’après l’énoncé, on a donc :
P (M ) = 0, 12 , P (S) = 0, 71 , P (AT ) = 1 − P (M ) − P (S) = 0, 17 ,
PM (F ) = 1 − PM (F ) = 1 − 0, 67 = 0, 33
PS (F ) = 0, 92
(a) P (F ∩ S) = PS (F ) × P (S) = 0, 71 × 0, 92 = 0, 6532
(b) P (F ∩ M ) = PM (F ) × P (M ) = 0, 33 × 0, 12 = 0, 0396
(c) M , S et AT forment une partition sur l’ensemble du personnel de l’hôpital, donc, d’après la Loi des
Probabilités Totales:
P (F ) = P (F ∩ M ) + P (F ∩ S) + P (F ∩ AT ).
On sait que P (F ) = 0, 8 d’où
P (F ∩ AT ) = 0, 8 − 0, 0396 − 0, 6532 = 0, 1072
D’où
0, 1072
P (F ∩ AT
=
= 0, 63058
PAT (F ) =
P (AT )
0, 17
2. Probabilité =
5
60
= 0, 0833
3. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de courriers reçus par des médecins.
On précise dans le texte que les choix des 40 personnes sont indépendants, et avec remise.
Donc, X suit la loi Binomiale de paramètres n = 40 , p = 0, 12.
D’où,
k
P (X = k) = C40
× (0, 12)k × (0, 88)40−k
En particulier,
10
P (X = 10) = C40
× (1, 12)10 × (0, 88)30 = 0, 01133
1
http://www.maths-express.com
Baccalauréat S: Liban 2004 Correction
Exercice 2: Candidats n’ayant pas suivi la spécialité
1. (z − 2i)(z 2 − 2z + 2) = 0 si et seulement si z = 2i ou z 2 − 2z + 2 = 0
z 2 − 2z + 2 = 0 si et seulement si z = 1 + i ou z = 1 − i.
D’où les solutions de l’équations:
z1 = 2i z2 = 1 + i z3 = 1 − i
√ π
√
π
π
z1 = 2ei 2 z2 = 2ei 4 z3 = 2e−i 4
2. z 0 =
z − 2i
z−1−i
(a) B a pour affixe 2i, donc l’affixe de l’image B 0 de B est 0, donc B ∈ (E)
z 0 est imaginaire pur si et seulement si Arg(z 0 ) = π2 à π près ou z 0 = 0.
−−→ −−→
Pour M 6= B et M 6= A, on a : Arg(z 0 ) = (AM ; BM )
Donc, Arg(z 0 ) = π2 à π près si et seulement si AM B rectangle en M
D’où, (E) est le cercle de diamètre [AB], sans le point A.
Le centre de ce cercle est le point I d’affixe ZI = 12 + i 23 .
√
Son rayon est R =
2
2
(b) |z 0 | = 1 si et seulement si |z − 2i| = |z − 1 − i| et z =
6 1+i
On adonc |z 0 | = 1 si et seulement si AM = BM et M 6= A.
(F ) est donc la médiatrice du segment [AB]
3. R = rotation de centre Ω( 23 ; 52 ) et d’angle
π
2.
(a) La forme complexe des R est :
z 0 = (z −
3
5
3
5
−i )×i+ +i
2
2
2
2
D’où l’affixe de R(B) est 2 + i.
5
3
L’affixe de R(I) est : + i
2
2
√
(b) L’image de (E) est le cercle de centre I et de rayon 22 sans le point R(A) qui a pour affixe 3 + 2i.
L’image de (F ) est la droite passant par R(I) et parallèle à (AB).
2
http://www.maths-express.com
Baccalauréat S: Liban 2004 Correction
Exercice 3: Commun à tous les candidats
1. x ≥ 0 , k ∈ IN avec k > x.
(a) Pn est la propriété
kk
kn
≤
n!
k!
Pk est vraie!
kn
kk
≤
n!
k!
k n+1
kn
k
kn
n ≥ k > 0 et
=
×
≤
car k < (n + 1)
(n + 1)!
n!
(n + 1)
n!
k n+1
kk
D’où, d’après l’hypothèse de récurrence :
≤
(n + 1)!
k!
D’où la conclusion par récurrence.
Hypothèse de Récurrence Pn :
kn
kk
kn
kk
≤
et x ≥ 0 , donc xn ×
≤ xn ×
n!
k!
n!
k!
x n k k
xn
Ce qui donne bien
≤
×
n!
n
k!
x
x
(c) k est fixé et k > x ≥ 0. Donc | | < 1 donc lim | |n = 0.
n→+∞ k
k
(b)
xn
=0
n→+∞ n!
D’où, d’après l’inégalité précédente (Théorème des ”gendarmes”...), lim
nn−1
n × n × n··· × n
n
n
n
n
=
= ×
×
× ··· ×
n!
n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 2
n n−1 n−2
2
n
Or, n ≥ 2, donc pour tout m ∈ {2; 3; · · · ; n} , m ≥ 1.
n
n
n
n
Donc ×
×
× ··· × ≥ 1
n n−1 n−2
2
D’où la concluion.
nn
(b) On en déduit alors que pour tout n ≥ 2,
≥n
n!
n
n
= +∞
D’où lim
n→+∞ n!
2. (a)
3