BTS du Groupement A Révisions de Mathématiques

Révisions de Mathématiques pour le BTS du Groupement A
R-GrA-00.tex
BTS du Groupement A
Révisions de Mathématiques
♣ ♥♠
♦
La connaissance du cours est une condition absolument nécessaire, mais non
suffisante, de réussite à l’épreuve de l’examen.
Les mathématiques ne peuvent se maı̂triser que par un entraı̂nement régulier,
et donc par la recherche de nombreux exercices.
N’oubliez pas que c’est par l’hésitation, les erreurs et même l’échec que vous
progresserez.
Voici un recueil de sujets récents proposés aux divers BTS, et classé par
thèmes destiné à mener à bien vos révisions.
Pendant l’épreuve
F Lisez entièrement l’énoncé d’un problème.
Vous pourrez ainsi détecter les questions que vous pensez savoir traiter ou celles qui sont
indépendantes.
Une règle absolue : Faites d’abord ce que vous savez faire.
F Vérifiez vos calculs et la cohérence de vos résultats.
– Une expression au carrée ne peut être négative
– Le sens de variation d’une fonction doit être en accord avec l’étude aux bornes du
domaine
F Si votre résultat semble absurde ne le laissez pas ainsi.
– Les correcteurs
√ sont des êtres fragiles, ne les agressez pas par des résultats du type
cos(x) = 3, 4 = −2, ou une probabilité P (A) > 1
– Signalez dans votre copie que votre résultat est absurde, et ajoutez que vous ne parvenez
pas à détecter l’erreur. Vous y gagnerez peut-être des circonstances atténuantes
F Respectez toujours les notations et les unités du sujet.
Ne remplacez pas t par x, i par j, les minuscules par des majuscules ou inversement.
Si vous devez utiliser une variable supplémentaire ou un autre symbole, définissez les
clairement et veillez à ce qu’il ne puisse y avoir de confusion dans la suite du problème.
Une règle : Pour les graphiques respectez les consignes du sujet.
F Soignez la présentation et la rédaction.
Ecrivez bien, formez bien vos chiffres, encadrez ou soulignez vos résultats, présentez correctement vos courbes en n’oubliant pas l’origine ni les vecteurs unitaires sur les axes.
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Révisions de Mathématiques pour le BTS du Groupement A
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Table des matières
Nombres Complexes
3
Fonctions Numériques
6
Intégration
8
Équations Différentielles
10
Transformée de Laplace
12
Séries de Fourier
14
Probabilités
16
Lois de Probabilité
17
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Révisions de Mathématiques pour le BTS du Groupement A
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Première partie
Nombres Complexes
BTS-Electronique-1986
À tout nombre complexe z différent de 8, on associe le nombre complexe Z défini par :
Z=
z (z − 6)
z−8
1)
Quels sont les complexes z pour lesquels Z = 10 ?
2)
On désigne par j le complexe d’argument
π
et de module 1.
2
a)
Quel est l’ensemble E des points m d’affixe z = 8 + 4 ejθ lorsque le nombre réel θ
décrit l’intervalle [−π, π] ?
b) Lorsque m décrit E, quel est l’ensemble des points M d’affixe Z ?
On représentera les deux ensembles de points mis en évidence.
BTS-Electronique-1990
En électronique on utilise la fonction T de la pulsation ω définie sur ]0 ; +∞[ par :
T (ω) =
K
R + j Lω −
1
Cω
π
– j est le complexe de module 1 et d’argument
2
– K est une constante complexe
– R, L et C sont des constantes réelles strictement positives
1
1
On pose h(ω) =
Lω − Cω
où ω ∈]0 ; +∞[
R
K
1
Dans ces conditions,
T (ω) =
R 1 + j h(ω)
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Révisions de Mathématiques pour le BTS du Groupement A
1)
R-GrA-00.tex
Étudier les variations de h.
Déterminer en fonction de L et C, la valeur de ω qui annule h.
2) On se propose d’étudier l’ensemble (E) du plan complexe, décrit par le point d’affixe
T (ω) quand ω parcourt ]0 ; +∞[
a)
Représenter dans le plan complexe, l’ensemble ∆ des points d’affixe 1 + j h(ω)
b)
En utilisant les propriétés de l’inversion complexe, en déduire l’ensemble Γ des points
1
1 + j h(ω)
d’affixe
c)
Préciser la nature de l’ensemble (E).
d)
Avec les données numériques fournies à la fin du texte de l’exercice, représenter
graphiquement l’ensemble (E) lorsque α = 0 et colorier la partie de (E) correspondant aux
valeurs de la fréquence f comprise entre 50 Hz et 100 Hz.
π
À l’aide de ces résultats, traiter le cas où α =
6
ω
Données numériques : La fréquence f =
st exprimée en Hertz.
2π
L = 0, 05 ;
C = 20 ;
R = 50 ;
K = 200 ejα
Pour les représentation graphiques, le choix du repère et des unités physiques est laissé à
l’initiative du candidat.
BTS-Electronique
On considère un filtre où C désigne la capacité d’un condensateur exprimée en Farad, R1
est un résistor de 10 kΩ et R2 la valeur d’un résistor exprimée en Ohm.
Le but de l’exercice consiste à ajuster les valeurs de C et de R2 pour obtenir un filtre dont
les propriétés sont fixées (avec R1 =10 kΩ).
La fonction de transfert, en régime harmonique, de ce filtre peut s’écrire :
T (ω) = α
1+iaω
1+ibω
où α =
R2
R1 + R2
;
a = R1 C
et i désigne le complexe de module 1 et d’argument
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;
b=αa ;
ω ∈]0; +∞[
π
2
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Partie A
1)
Montrer que, pour tout ω > 0,
T (ω) = α +
1−α
1
1−i
bω
a)
Dans le plan P muni d’un repère orthonormal, l’ensemble des points m d’affixe
1
est noté ∆.
z =1−i
bω
Déterminer cet ensemble ∆ quand ω varie dans ]0; +∞[, b étant fixé strictement positif.
On utilisera le point h d’affixe 1 pour définir ∆.
(
C → C
1
et la transformation
z
ponctuelle associée F de P privé de O dans P , qui à m d’affixe z associe M d’affixe f (z).
Dans le plan P on note C l’ensemble des points M images des points m de ∆ par la
transformation ponctuelle F .
Décrire une construction géométrique de M à partir d’un point m pris sur ∆.
On notera l’invariance du point h d’affixe 1 et on rappelle que : 0 < α < 1
b)
Soit la fonction
f:
z 7→ f (z) = α + (1 − α)
c) Montrer à partir de cette construction que lorsque m décrit ∆, M décrit une Partie
(que l’on précisera) d’un cercle dont on définira le diamètre porté par l’axe des abscisses.
1
Faire une figure pour α = , l’unité graphique étant de 12 cm.
2
i πh
2) Soit θ un argument de T (ω) élément de 0,
2
Déterminer géométriquement le point N de C pour lequel θ est maximum.
On note A(ω) la valeur
maximale de cet argument exprimée en radians.
Calculer sin A(ω) .
Partie B
π
Dans cette partie, on se propose de calculer les valeurs de R2 et de C de sorte que A(ω) =
6
pour une fréquence f = 1 kHz.
On rappelle que ω = 2πf ,
ω en rd s−1
f en Hz.
1)
De A(ω) =
π
, déduire la valeur correspondante de α, et celle de R2
6
On rappelle que R1 =10 kΩ.
2
a)
En admettant que α = , faire une nouvelle figure et construire le point n de ∆
3
dont l’image par F est le point N en lequel θ est maximum.
2)
b)
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Calculer la distance h n, et en déduire la valeur de b correspondante puis celle de C.
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Deuxième partie
Fonctions Numériques
BTS-Electronique-1985
(
t 7→ f (0) = 0
Soit la fonction numérique f définie sur R par
t 7→ f (t) = (t2 + t) e1/t
Soit C sa courbe dans un repère orthonormé (unité : 2 cm)
1)
si t 6= 0
Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
2)
Déterminer les limites de f en +∞ et −∞.
En utilisant un développement à l’ordre 3 de e1/t montrer que la courbe Γ représentative
3
est une asymptote à la courbe C.
de la fonction t 7→ t2 + 2t +
2
3)
Étudier les variations de f .
Tracer la courbe C et la courbe Γ dans le même repère.
BTS-Fonderie sur modèle-1989
On considère les fonctions f et g définies sur R+∗ par :
x 7→ f (x) = ln(x) +
2
1
− 2
x x
et
x 7→ g(x) = ln(x)
Cf et Cg désignent les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormé, d’unité graphique 2 cm.
1)
Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition, et établir son
tableau de variation.
2)
Déterminer la limite de f (x) − g(x) lorsque x tend vers +∞
Interpréter graphiquement ce résultat. Étudier la position de Cf par rapport à Cg .
3)
Construire dans le même repère les courbes Cf et Cg .
4)
Calculer l’aire, en cm2 , du domaine plan E ensemble des points M de coordonnées (x, y)
telles que : 1 6 x 6 e et g(x) 6 y 6 f (x)
5)
On souhaite résoudre l’équation :
x2 ln(x) + 2x − 1 = 0
Déterminer graphiquement le nombre de solutions de cette équation.
Donner une valeur approchée à 10−1 près par excès de la solution.
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BTS-Electronique-1989
Décharge d’un condensateur de capacité C dans un circuit comprenant une résistance R et
une inductance L.
On admet que la charge q du condensateur est une fonction du temps deux fois dérivable,
qui vérifie à tout instant t de l’intervalle [0; +∞[, l’équation différentielle :
L q 00 (t) + R q 0 (t) +
1)
On donne
L = 10 H,
C = 0, 2 F,
1
q(t) = 0
C
R = 22, 5 Ω
Déterminer la solution q de l’équation (1) telle que :
(1)
(q en coulombs).
q(0) = 1
et
q 0 (0) =
13
4
a)
Etudier la fonction g définie sur [0; +∞[ par : t 7→ g(t) = −2 e−2t + 3 e−t/4
On montrera en particulier que la dérivée g 0 s’annule pour un nombre réel α et un seul dont
on donnera une valeur exacte.
On déterminera ensuite une valeur approchée à 10−2 près de α et de g(α).
2)
b) Déterminer des valeurs approchées à 10−2 près de g(1), g(2), g(4), g(8), g(16).
On présentera les résultats sous forme de tableau.
c) Construire la courbe représentative C de g dans un repère orthonormé.
Préciser la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
3)
Utiliser l’étude précédente pour déterminer une valeur approchée à 0,5 seconde près de
l’instant où la charge q du condensateur est devenue inférieure à 0,2 coulombs.
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Troisième partie
Intégration
BTS-Constructions Métalliques-1987
Z
On se propose de calculer :
4
I=
2
−t3 − t2 + 5t + 7
dt
t3 + 3t2 + t − 5
1)
Résoudre l’équation t3 + 3t2 + t − 5 = 0 dans R et justifier l’existence de I.
2)
Trouver des réels a, b, c et d tels que pour tout t élément de l’intervalle [2, 4] on ait :
−t3 − t2 + 5t + 7
at + b
c
= 2
+
+d
3
2
t + 3t + t − 5
t + 4t + 5 t − 1
Z
3)
Calculer :
4
I1 =
2
Z
4)
Calculer :
I2 =
2
5)
t2
1
dt
+ 4t + 5
t2
t+2
dt
+ 4t + 5
4
Calculer I.
BTS-Fonderie En Moules Métalliques-1987
Z
1)
Calculer l’intégrale suivante :
I=
1
2)
Utiliser le changement de variable : t =
Z
ln(5)
J=
ln(2)
2
t2
√
2
dt
−4
ex − 1 pour en déduire :
ex
√
dt
(ex + 3) ex − 1
BTS-Conception de produits industriels-1988
Z
Calculer la valeur exacte de l’intégrale suivante :
I=
0
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1
t
dt
2t+1
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BTS-Constructions métalliques-1988
On veut calculer simultanément les trois intégrales suivantes :
Z
π
2
Z
4
cos (t) dt
A=
;
B=
0
1)
2)
π
2
Z
4
sin (t) dt
;
C=
0
π
2
2 sin2 (t) cos2 (t) dt
0
Calculer A − B et A + B + C
Montrer que :
cos4 (t) + sin4 (t) − 6 sin2 (t) cos2 (t) = cos(4t)
En déduire la valeur de A + B − 3C, puis celles de A, de B et de C.
BTS-Mise en œuvre des plastiques-1989
√
Z
Calculer l’intégrale :
3
I=
1
1
ln(1 + t2 ) dt
t3
BTS-Industrie du bois-1989
Calculer les intégrales définies suivantes :
Z
I=
0
1 2
t − 5t + 9
dt
t2 − 5t + 6
Z
;
J=
π
2
cos(t) ln 1 + cos(t) dt
0
BTS-Electronique
Calculer les intégrales définies suivantes :
Z 1
Z π
t2 + 3
A=
dt
;
B=
cos(2t)e−3t dt
(t
+
2)(t
−
3)
0
0
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Z
;
C=
π
(2t + 1)e−t dt
0
♣ ♥♠
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Quatrième partie
Équations Différentielles
BTS-Maintenance-1989
En physique l’étude d’un mouvement amorti conduit à l’équation différentielle :
x00 + 2x0 + 2x = 0
dans laquelle x est une fonction inconnue de la variable t.
1)
(E)
Résoudre cette équation sur R.
2)
Trouver la solution particulière de cette équation prenant la valeur 0 pour t = 0 et dont
la dérivée prend la valeur 1 pour t = 0.
3)
Soit f la fonction numérique, telle que, pour tout élément t de l’intervalle [0; π]
t 7→ x = f (t) = e−t sin(t)
Etudier les variations de f .
En déduire sa représentation graphique C dans le plan rapporté à un repère orthogonal
où l’unité graphique vaut 2 cm sur l’axe (t0 Ot) des abscisses et 10 cm sur l’axe (x0 Ox) des
ordonnées.
4)
On se propose de calculer, en cm2 , une valeur approchée par défaut à 1 mm2 près de
l’aire du domaine plan délimité par la courbe C et l’axe des abscisses.
A cette fin deux méthodes sont proposées :
Z
a)
π
f (t) dt
Déterminer
au moyen de deux intégrations par partie successives.
0
b)
En utilisant l’équation différentielle (E) écrite sous la forme :
Déterminer une primitive F de fZsur [0; π].
π
En déduire l’expression de
f (t) dt
1
x = − (x0 + 2x)0
2
à l’aide de F .
0
c)
Déterminer une valeur approchée de l’aire considérée à 1 mm2 près par défaut.
BTS-Construction Métallique-1990
Soit l’équation différentielle (E) :
x00 − 2x0 + 5x = et sin(2t)
1)
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Résoudre l’équation différentielle
x00 − 2x0 + 5x = 0
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Révisions de Mathématiques pour le BTS du Groupement A
2)
R-GrA-00.tex
Déterminer les solutions particulières de (E) de la forme :
x = et (A cos(2t) + B sin(2t))
où A et B désignent deux nombres réels.
3)
En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).
Remarque
On peut aussi déterminer les solutions particulières de (E) en passant sous forme complexe.
BTS-Équipement Technique-Énergie-1990
La charge d’un condensateur dans un circuit électrique est une fonction Q du temps t,
définie sur l’intervalle [0, +∞[
Dans certaines conditions, le système d’unités étant bien choisi, cette fonction vérifie l’équation
différentielle (E) :
Q00 (t) + 2Q0 (t) + 2Q(t) = 0
pour t > 0
dans laquelle Q0 et Q00 sont les fonctions dérivées première et seconde de la fonction Q.
1)
Déterminer toutes les solutions de l’équation (E).
À l’instant t = 0, instant où l’on ferme l’interrupteur, la charge du condensateur vérifie les
conditions : Q(0) = 1 et Q0 (0) = 0
En déduire que l’expression de la charge du condensateur est :
√
Q(t) = 2 e−t cos(t − π4 )
2)
Étude des variations de la charge Q(t) sur [0, 2π]
a)
Quelle est la limite de Q(t) lorsque t tend vers +∞ ?
b) Déterminer les instants pour lesquels la charge est nulle.
Soit Γ la courbe représentative de la fonction Q.
c)
Construire l’arc de Γ correspondant à l’intervalle [0, 2π] dans le plan rapporté à
un repère orthogonal d’unité graphique : 8 cm représentent π unité en abscisse et 20 cm
représentent une unité en ordonnée.
3)
Déterminer en utilisant l’équation différentielle (E) les primitives de la fonction Q.
En déduire que la primitive F de Q, qui s’annule pour t = 0 est définie par :
F (t) = 1 − e−t cos(t)
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pour t > 0
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Cinquième partie
Transformée de Laplace
BTS-Contrôle industriel-1988
π
On désigne par j le nombre complexe de module 1 et dont un argument est .
2
(
U(t) = 0 si t < 0
La fonction U apparaissant dans cet exercice est définie par : U :
U(t) = 1 si t > 0
Le circuit électrique considéré dans cet exercice a pour signal d’entrée une tension, et pour
signal de sortie une intensité i(t).
L’équation différentielle régissant ce circuit est :
di
i
de
d2 i
L 2 +P + =
dt
dt C
dt
On suppose que si t < 0,
e(t) = 0
(1)
et
i(t) = 0

 e(t) = 0
i(0) = 0
On suppose en outre, qu’à l’instant initial on a :

 di (0) = 0
dt
1)
Appliquer la transformation de Laplace à l’équation différentielle (1).
E les transformées respectives des fonctions i et e).
En déduire la fonction de transfert H du système, définie par :
(On notera I et
I(p) = H(p) × E(p)
2)
(2)
On suppose dans toute la suite de l’exercice, que :
L = 1 henry
R = 10 ohms
et
C = 4000 microfarads
p
Vérifier que l’on a alors :
H(p) =
(p + 5)2 + 152
−1
−1
Déterminer L (H)
(L désignant la transformée de Laplace inverse)
3)
Dans cette question on a :
e(t) = U(t − 1) − U(t − 3)
a)
Représenter le signal e(t)
b)
Calculer E(p) puis, en utilisant (2), déterminer I(p).
c)
Déterminer i(t).
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Révisions de Mathématiques pour le BTS du Groupement A
4)
R-GrA-00.tex
On alimente le circuit par une tension sinusoı̈dale de pulsation ω positive.
Le gain r(ω) du système est alors égal au module du nombre complexe H(jω).
a)
Calculer r(ω).
b)
Étudier les variations de la fonction numérique f définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :
f (u) = u2 − 400 +
62500
u2
(on ne demande pas de tracer la courbe représentative de f )
c) Quelle relation a-t-on entre r(ω) et f (ω) ?
Pour quelle valeur de ω, le gain atteint-il son maximum ?
d)
Déterminer la limite de r(ω) lorsque ω tend vers +∞
e)
Le tableau ci-dessous donne les valeurs approchées de r(ω)
ω
r(ω)
ω
r(ω)
ω
r(ω)
0
0
7
π
2
0,065
7π
0,069
1
π
2
0,0063
4π
0,08
15
π
2
0,061
π
0,013
9
π
2
0,094
8π
0,055
3
π
2
0,020
5π
0,0999
17
π
2
0,05
2π
0,029
11
π
2
0,096
9π
0,046
5
π
2
0,039
6π
0,087
19
π
2
0,042
3π
0,05
13
π
2
0,077
10π
0,04
Utiliser ces valeurs pour construire sans étude supplémentaire, l’arc correspondant de la
courbe d’équation polaire : ρ = r(ω)
BTS-Electronique-1985
En utilisant la transformée de Laplace résoudre :

dy1


= −y1 + 3 y2


dt





dy1
=
2 y2

dt







 dy1 = 2 y1 +
y2 − y3
dt
♣ ♥♠
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13 / 18
avec

y1 (0) = 1





y2 (0) = −1





y3 (0) = 0
♣ ♥♠
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Révisions de Mathématiques pour le BTS du Groupement A
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Sixième partie
Séries de Fourier
BTS-Electronique-1986
Soit la fonction f de R dans R, paire, périodique de période 4 définie par :
f (t) = 1 pour 0 6 t < 1
f (t) = t pour 0 6 1 < 2
Z
1)
2
Calculer :
Z
f (t) dt
−2
2
f 2 (t) dt
et
−2
En déduire la valeur moyenne et la valeur efficace de la fonction f .
2)
Déterminer le développement en série de Fourier de f .
BTS-Assistance technique d’ingénieur-1988
Les constructeurs de pompes affirment :
«le débit est plus régulier si le nombre p de pistons est impair»
On se propose de vérifier cette affirmation dansles deux cas particuliers p = 3 et p = 4.
f (t) = sin(t) pour 0 6 t < π
Soit f la fonction de période 2π définie par :
f (t) = 0
pour π 6 1 < 2π
Cette fonction décrit le débit d’un cylindre (un cylindre ne débite que pendant la phase de
refoulement).
1)
Étude du cas p = 3
Les débits q1 , q2 , q3 des trois cylindres sont respectivement donnés par :
4π
2π
;
q3 (t) = f t +
q1 (t) = f (t)
;
q2 (t) = f t +
3
3
Le débit de la pompe est :
Q3 = q1 + q2 + q3
a) Représenter graphiquement q1 sur l’intervalle [−2π; +2π]
En déduire les représentations, sur le même intervalle, de q2 et q3
b)
c)
Montrer que :
Montrer que :
Q3 (t) = Q3
2π
t+
3

π
π

Q
(t)
=
sin
t
+
pour 0 6 t <
3


3
3


 Q3 (t) = sin(t)
♣ ♥♠
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14 / 18
pour
2π
π
61<
3
3
♣ ♥♠
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Révisions de Mathématiques pour le BTS du Groupement A
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d)
Donner l’allure de la courbe représentative
de
Q3 sur l’intervalle [−2π; +2π].
π 2π
, Q3
Préciser les valeurs de Q3(0), Q3
3
3
2)
Étude du cas
p=4
π
3π
Le débit de la pompe est : Q4 (t) = f (t) + f t +
+ f (t + π) + f t +
2
2
π
π
Montrer que Q4 a pour période et montrer que, pour 0 6 t 6 on a :
2
2
√
π
Q4 (t) = 2 sin t +
4
π Préciser les valeurs de Q4 (0) et de Q4
et donner l’allure de la courbe représentative
4
de Q4 sur l’intervalle [−2π; +2π].
3)
Étude du taux d’irrégularité du débit Par définition le taux d’irrégularité Ωp est
donné par :
Qp maximum − Qp minimum
Ωp =
Qp moyen
a) Calculer le débit moyen q commun d’un cylindre (c’est-à-dire la valeur moyenne de
la fonction f , sur l’intervalle [0; 2π]).
En déduire le débit moyen Qp dans les cas p = 3 et p = 4.
b)
4)
En utilisant les résultats de 1) et 2), calculer Ω3 et Ω4 et vérifier que Ω4 > Ω3 .
Étude du cas p = 4
à l’aide des séries de Fourier
a)
Calculer les coefficients de Fourier a0 , a1 , b1 , an , bn de f .
b)
Il résulte de la question précédente que :
+∞ 2X
1
1 1
f (t) = + sin(t) −
cos(2k t)
π 2
π k=1 4k 2 − 1
Ecrire les développements en série de Fourier de :
π
f t+
2
c)
;
f (t + π)
;
f
3π
t+
2
En déduire que :
+∞ 4
8X
1
Q4 (t) = −
cos(4p t)
π π p=1 16p2 − 1
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Septième partie
Probabilités
BTS-Architecture-1988
Un enfant a dans sa poche dix pièces de monnaie : quatre pièces de 1 F, quatre pièces
de 0,50 F, deux pièces de 0,20 F
Pour régler un achat de 3,70 F, il tire de sa poche, au hasard, cinq pièces. (On suppose que
tous les groupes de cinq pièces ont la même probabilité d’être tiré).
1)
Quelle est la probabilité pour qu’il obtienne ainsi exactement la somme de 3,70 F ?
2)
Quelle est la probabilité pour qu’il obtienne un somme suffisante pour payer son achat ?
BTS-Fonderie sur modèle-1988
Deux pour cent des pièces fabriquées dans un atelier étant défectueuses, on décide de les
contrôler.
Le procédé de contrôle est tel que :
– Si la pièce est bonne : elle est acceptée avec une probabilité de 0,96.
– Si la pièce est défectueuse : elle est refusée avec une probabilité de 0,98.
1)
On considère les deux événements disjoints suivants : E1 et E2
– E1 est l’événement : «la pièce est défectueuse et la pièce est acceptée»
– E2 est l’événement : «la pièce est bonne et la pièce est refusée»
Il y a donc une erreur de contrôle si l’un ou l’autre de ces événements se produit.
a)
Calculer la probabilité de l’événement E1
b)
Calculer la probabilité de l’événement E2
c)
Calculer la probabilité pour qu’il y ait erreur de contrôle.
2)
Calculer la probabilité pour que la pièce soit bonne sachant qu’elle a été refusée.
BTS-Archictecture-1989
Une urne contient dix boules blanches et sept boules noires. On extrait simultanément
deux boules de l’urne. On suppose les boules indiscernables au toucher et donc les tirages sont
équiprobables.
1)
Quelle est la probabilité pour que ces deux boules soient de couleurs différentes ?
2)
Quelle est la probabilité pour que les deux soient blanches ?
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Huitième partie
Lois de Probabilité
BTS-Assistance technique d’ingénieur-1988
Une entreprise fabrique des boulons dont le diamètre suit une loi de Laplace-Gauss de
moyenne 6 mm, et d’écart type 0,1 mm.
On considère qu’un boulon est défectueux si son diamètre est inférieur à 5,80 mm ou
supérieur à 6,25 mm.
Calculer la probabilité exprimée en pourcentage pour qu’un boulon soit défectueux.
BTS-Industries Graphiques-1988
Une usine produit des articles dont 3% présentent des défauts.
En vue du contrôle de qualité, on constitue au hasard un échantillon de 120 articles.
1)
A quelle loi de probabilité obéit la distribution des objets défectueux ?
Justifier que l’on peut approcher cette loi par une loi de Poisson ; quel en est le paramètre ?
2)
Calculer alors la probabilité (4 décimales) pour que l’échantillon contienne :
a)
au moins un article défectueux.
b)
au plus trois articles défectueux.
BTS-Conception de produits industriels-1989
Dans un atelier fonctionnent 12 machines ; chacune d’elle a la probabilité 0,036 de se trouver
en panne un jour donné.
1)
On appelle A l’événement : «3 machines au moins se trouvent en panne un jour donné»
Calculer à 10−5 près la probabilité p1 = P (A).
On prendra par la suite p1 = 0, 008.
2)
Cet atelier fonctionne 250 jours par an. On appelle X la variable aléatoire égale au
nombre de jours dans l’année où se produit l’événement A.
Calculer à 10−3 près, en utilisant une approximation par la loi de Poisson de la loi suivie
par X, une valeur approchée de la probabilité p2 = P (X > 3).
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BTS-Industries papetières-1991
Une usine fabrique des pièces en grande série en deux phases indépendantes. La première
phase est susceptible de faire apparaı̂tre un défaut A (2% des cas) et la deuxième un défaut B
(10% des cas).
1)
Calculer les probabilités pour qu’une même pièce tirée au hasard :
a)
présente les deux défauts.
b)
ne présente aucun des deux défauts.
c)
présente un et un seul des deux défauts.
2)
On prélève n = 300 pièces dans le stock
a) On s’intéresse à la variable aléatoire X égale au nombre de pièces de cet échantillon
présentant le défaut A.
Donner la loi de probabilité de X.
En déterminer l’espérance mathématique et l’écart type.
b) On admet que X suit une loi de Poisson.
Justifier cet ajustement.
Quel est le paramètre de cette loi de Poisson ?
Quelle est la probabilité pour que parmi les 300 pièces il y en ait 10 qui présentent le défaut
A?
BTS-Maintenance-1988
1)
Un sac contient 100 billes : 36 sont rouges les autres sont bleues. Une épreuve consiste
à tirer 50 fois de suite une bille au hasard dans ce sac, à constater sa couleur et à la remettre
dans le sac avant le tirage de la boule suivante. Soit X la variable aléatoire associant à chaque
épreuve le nombre de boules rouges tirées.
Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance mathématique et sa variance.
Calculer la probabilité pour que X = 2.
2)
On suppose que la loi X peut être approchée par une loi normale de moyenne 18 et
d’écart type 3,394.
Calculer à l’aide de cette approximation les valeurs numériques approchées des probabilités
P (X > 22) et P (X 6 20).
En déduire également une valeur approchée de P (|X − 18| 6 2).
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