Correction des systèmes linéaires continus asservis

UV Automatique
Cours 6
Correction des systèmes linéaires
continus asservis
ASI 3
Automatique
1
Contenu
! Introduction
" Problématique de l'asservissement
! Différentes méthodes de correction
" Correction série, correction parallèle
" Correction par anticipation
! Eléments du cahier de charges
! Synthèse des correcteurs série usuels
" Correcteur proportionnel P
" Correcteurs I, PI, retard de phase
" Correcteurs PD, avance de phase
" Correcteur PID
Automatique
2
Introduction (1)
! Problématique de l'asservissement
" Caractéristiques du système piloté (entité non modifiable)
d
u
Ha(s)
Actionneur
y
H(s)
Système
G(s)
Capteur
#
ys #
#
#
#
système mal amorti
système lent
système peu précis
système présentant une tendance
à la dérive
cas extrême : système instable
" Objectif de l'asservissement
# Amener
le système à suivre un comportement fixé par un
cahier de charges
# Comment faire ? Utiliser un dispositif complémentaire : le
correcteur en boucle fermée
Automatique
3
Introduction (2)
! Problématique de l'asservissement
Système à commander
Comportement désiré
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
Entrée
Sortie
0.4
0.2
0
Consigne
Sortie
0.4
0.2
0
10
20
30
40
$ Réponse oscillatoire
$ Réponse mal amortie
$ Ecart avec l'entrée en
régime établi
50
0
0
2
4
6
8
10
$ Réponse oscillatoire
$ Réponse bien amortie
$ Erreur statique nulle
Pour corriger le comportement du système : un correcteur
Automatique
4
Méthodes de correction (1)
d
! Correction série
F(s)
Correcteur
yc
+-
ε
u
C(s)
y
++
H(s)
Ha(s)
ys
G(s)
Rôle du correcteur : élaborer le signal de commande
u approprié à partir du signal d'erreur ε
d
! Correction parallèle
yc
+-
ε
+-
u
F(s)
H(s)
Ha(s)
++
ys
C(s)
y
Automatique
G(s)
5
Méthodes de correction (2)
d
! Correction série-parallèle
F(s)
yc
+-
ε
C1(s)
+-
u
H(s)
Ha(s)
++
ys
C2(s)
y
G(s)
! Correction par anticipation
Wd (s)
Wc(s)
yc
+-
ε
C(s)
F(s)
−
+
−
u
H(s)
Ha(s)
y
Automatique
d
++
ys
G(s)
6
Méthodes de correction (3)
! Remarques
% La correction série est la plus couramment utilisée
% Pour la correction série, le schéma d'asservissement est
transformé en un asservissement à retour unitaire
d
F(s)
yc
+-
ε
C(s)
u
H BONC ( s ) = H ( s )G ( s )
H (s) = H a (s) H s (s)
H BOC ( s ) = C ( s ) H ( s )G ( s )
H BOC ( s )
H BF ( s ) =
1 + H BOC ( s )
Automatique
Ha(s)
H(s)
ys
+
+
G(s)
y
Y ( s ) = G ( s )Ys ( s )
En général, G (s ) = λ
avec λ une constante
y et yc sont alors de
même nature
7
Exigences de l'asservissement (1)
! Cahier de charges
Les exigences sont exprimées sous la forme d'un cahier de
charges. La synthèse du correcteur doit permettre de satisfaire
au mieux ces exigences.
! Elements du cahier de charges
1. Stabilité
#
On analyse la stabilité par les critères de Routh et de Nyquist
2. Marges de stabilité
#
Si marges de stabilité faibles ⇒ système proche de l'instabilité
en BF, réponse oscillatoire mal amortie, fort dépassement
#
On règlera les marges de stabilité aux valeurs satisfaisantes
suivantes : mϕ ≥ 45°, m g ≥ 10dB
Automatique
8
Exigences de l'asservissement (2)
! Eléments du cahier de charges
3. Forme de la réponse indicielle en BF
#
Apériodique (HBF doit avoir des pôles réels)
# Oscillatoire (HBF doit avoir des pôles complexes conjugués)
4. Précision en régime permanent
Pour avoir une bonne précision, deux solutions :
# augmenter
# introduire
le gain en basses fréquences du système non bouclé
des intégrateurs (si nécessaire)
Mais, risque de rendre le système instable en BF!!
5. Rapidité
Pour augmenter la rapidité du système en BF, il faut élargir sa
bande passante en BF.
Augmenter la BP en BF ⇔ augmenter la pulsation de coupure à
0dB ωco de HBOC(s) = C(s)H(s)G(s)
Automatique
9
Exigences de l'asservissement (3)
Système du 1er ordre en BF
Système du 2e ordre en BF
G (dB)
G (dB)
HBOC(s)
0dB
Pente −1
ωco
HBF(s)
Bande
passante
en BF
ωlog
ωc, BF
t m f c, BF ≈ 0.35
Automatique
2π
0dB
Pente −2
HBF(s)
ωlog
ωn, BF
Relation temps de montée-BP
f c, BF =
HBOC(s)
BP en BF
ωc, BF ≈ ωc 0
ωc, BF
Pente −1
1
ω
=
, c , BF
TBF
ω n, BF = ωn,0 1 + K 0 ≈ ωc 0
Pour
0.2 < ξ BF < 0.8
On a
2 < ωn, BF t m < 4
10
Correcteurs série usuels
Il y a des correcteurs qui modifient le gain du système en BO
(précision), d'autres qui agissent sur la marge de phase
(stabilité, rapidité).
! Correcteurs qui modifient le gain
" Correcteur proportionnel (P)
" Correcteur intégral (I)
" Correcteurs proportionnel-intégral (PI), à retard de phase
! Correcteurs qui modifient la marge de phase
" Correcteur proportionnel dérivé (PD)
" Correcteur à avance de phase
! Correcteur réalisant les deux actions
" Correcteur proportionnel-intégral-dérivateur (PID)
Automatique
11
Correcteur proportionnel P (1)
! Correcteur P
Le correcteur est un gain Kc : C ( s ) = K c
Commande du système : u (t ) = K c ε (t )
! Effets du correcteur
# Modification du gain du système en BO
# Si Kc > 1 (amplification)
% amélioration de la précision du système en BF
# Si Kc < 1 (atténuation)
% diminution de la précision du système en BF
Le correcteur P ne permet pas de régler indépendamment
la rapidité, la précision et les marges de stabilité
Automatique
En effet … ⇒
12
Correcteur proportionnel P (2)
# Si Kc > 1
! Effets du correcteur
HBOC(s)
60
40
20
% translation du diagramme de gain
Amplitude (dB)
de Bode vers le haut
Kc >1
Kc=1
Kc <1
ωc0
0
ωc0
% augmentation de ωco ⇒
ωc0
augmentation de la rapidité
-20
% diminution de la marge de phase
-40
-60
(dégradation de la stabilité en BF)
-80
-100
-2
10
-1
10
0
10
0
1
2
10
10
3
10
% translation du diagramme de gain
Phase (°)
-20
de Bode vers le bas
-40
% diminution de ωco ⇒ diminution
-60
-80
de la rapidité
-100
-120
% Augmentation de la marge de
mϕ
-140
mϕ
-160
-180
-2
10
# Si Kc < 1
-1
10
Automatique
0
10
phase (amélioration stabilité)
mϕ
1
10
2
10
3
10
13
Correcteur intégral I (1)
! FT du correcteur
Commande du système
1
C ( s) =
Ti s
u (t ) =
Ti : constante d'intégration
1 t
∫0 ε (τ )dτ
Ti
! Effets en fréquentiel du correcteur
100
H B O C (s)
-1
50
0
0
H B O N C (s)
ω c0
-1
-9 0
ω c0
-2
Phase (°)
0
Amplitude (dB)
H B O N C (s)
H B O C (s)
mϕ
-2
-1 8 0
-5 0
mϕ
-3
-1 0 0
-2 7 0
-1 5 0
-2
10
10
-1
10
0
10
1
10
2
Augmentation des pentes
de +20dB/décade
Automatique
10
3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
Translation du diagramme
de phase de 90° vers le bas
14
Correcteur intégral I (2)
! Effets du correcteur
" Introduction d'un intégrateur ⇒ amélioration précision
# annulation
de l'erreur statique, diminution de l'erreur de
vitesse (si le système non corrigé est de classe 0)
# rejet
asymptotique des perturbations constantes
" Diminution de la pulsation de coupure à 0dB ωco
#
diminution de la rapidité du système en BF
#
l'effet intégrateur provoque un ralentissement du système
" Réduction de la marge de phase ⇒ dégradation de la
stabilité voire instabilité
Le correcteur I n'améliore que la précision ;
les autres performances sont dégradées
Automatique
15
Correcteur PI (1)
! FT du correcteur
PI : combinaison des correcteurs P et I
Correcteur utilisé en industrie
Kc
1 + Ti s
C ( s) = K c +
= Kc
Ti s
Ti s
Plus Ti est grande, plus l'action intégrale est faible
Commande du système
Kc t
u (t ) = K cε (t ) +
∫0 ε (τ ) dτ
Ti
PI
u
ε
I
t
Automatique
P
t
16
Correcteur PI (2)
! Réponse fréquentielle
50
! Effets du correcteurs
% Introduction d'un intégrateur
% Gain en basses fréquences
Amplitude (dB)
Kc=1
40
(ω<<1/Ti) infini ⇒ erreur statique
nulle (système de classe 0)
30
20
−1
% Le gain du système corrigé ne
10
0
-2
10
10
-1
0
-20
1
Ti
0
10
1
10
2
Ti
(⇒ rapidité) non modifiée
Phase (°)
% La phase du système corrigé
-40
n'est modifiée qu'en basses
fréquences (au contraire de I)
-60
-80
-100
-2
10
Automatique
sera pas modifié en hautes
1
fréquences si << ωc 0 ⇒ ωco
% La marge de phase n'est pas
10
-1
1
Ti
10
1
10
2
modifiée si
1
<< ωc 0
Ti
17
Correcteur à "retard de phase" (1)
! FT du correcteur
C ( s) = K c
1 + Ts
1 + bTs
avec b > 1
En pratique, on choisit Kc= b
Le correcteur à retard de phase est une forme approchée du
correcteur PI. Il réalise une action intégrale (augmentation du
gain en basses fréquences) sans introduire d'intégrateur
! Contraintes pouvant être satisfaites
% Erreur permanente imposée
% Marge de phase imposée
% Rapidité imposée
Automatique
18
Correcteur à "retard de phase" (2)
! Réponse fréquentielle du correcteur
20 log10 b
Amplitude (dB)
0
% Introduction d'un déphasage
15
négatif d'où le nom de
correcteur à retard de phase
−1
10
% Déphasage minimum
5
0
0 -2
10
-1
10
0
-30
1
bT
1
T
2
10
3
10
ϕ c,min = arcsin 1 − b rad
ϕ c,min < 0
1+ b
% Pulsation correspondante
Phase (°)
ϕ c,min
ωc,min = 1
T b
-90 -2
10
Automatique
-1
10
1
bT
1
bT
1
T
2
10
3
10
19
Correcteur à "retard de phase" (3)
! Effets du correcteur
% Augmentation du gain en basses fréquences de 20log10b
⇒ effet intégral ⇒ diminution de l'erreur statique en BF
(système de classe 0 en BO)
% Diminution de la bande passante à 0dB ωco ⇒ système
moins rapide en BF (augmentation de tm ou de tr,5%)
! Eléments de réglage du correcteur
% Introduire dans le correcteur un gain K'c qu'on calcule pour
avoir la marge de phase désirée
% Calculer Kc=b pour obtenir la précision imposée
% Choisir la constante de temps T telle que
1
1
<< ωc 0 ( ≤ 0.1ωc 0 )
T
T
pour ne pas modifier la marge de phase et les performances
dynamiques
Automatique
20
Correcteur proportionnel dérivé PD (1)
! FT du correcteur
PD : combinaison des correcteurs P et D
C ( s ) = K c (1 + Td s )
Td : constante de dérivation
Plus Td est grande, plus l'action dérivée est importante
Commande du système
dε (t )
u (t ) = K cε (t ) + K cTd
dt
ε
t
Automatique
u
D
PD
P
La commande est proportionnelle à l'erreur et à la
variation de l'erreur (dérivée)
t
21
Correcteur PD (2)
! Effets du correcteurs
! Réponse fréquentielle
% Avance de phase maximale de
Amplitude (dB)
50
90° pour ω>>10/Td ⇒ amélioration
de la stabilité (marge de phase)
40
K c=1
30
10
0 -2
10
90
% Augmentation de la pulsation ωco ⇒
+1
20
amélioration de la rapidité (tr,5% , tm↓)
0
10
-1
1
Td
10
1
10
2
Phase (°)
% Amplification en hautes fréquences
(pour ω > 1/Td) ⇒ élargissement de
la BP du système en BF ⇒
sensibilité aux bruits
% Diminution de l'erreur permanente
60
! Réglages
30
0 -2
10
10
Automatique
-1
1
Td
10
1
10
2
% Régler Kc pour avoir ωco imposé
% Régler Td pour avoir mϕ imposée
% Vérifier a posteriori ωco et mϕ
22
Correcteur à avance de phase (1)
! FT du correcteur
C ( s) = K c
1 + aTs
1 + Ts
avec a > 1
Le correcteur à avance de phase est une forme approchée
du correcteur PD qui est physiquement irréalisable (condition
de causalité non vérifiée)
! Contraintes pouvant être satisfaites
" Augmentation de la marge de phase (comme l'indique le
nom du correcteur)
" Augmentation de la bande passante (augmentation de la
rapidité càd diminution de tr)
" Erreurs en régime permanent imposées
Automatique
23
Correcteur à avance de phase (2)
! Réponse fréquentielle du correcteur
20 log10 a
Amplitude (dB)
20
0
Kc=1
15
% Introduction d'un déphasage
10
positif d'où le nom de
correcteur à avance de phase
5
% Avance de phase maximale
+1
0
0 -2
10
(la cloche)
-1
10
90
1
aT
1
T
2
10
3
10
ϕ c,max = arcsin a − 1 rad
ϕ c,max > 0
Phase (°)
ϕc,max
a +1
% Pulsation correspondante
30
ωc,max = 1
T a
0 -2
10
Automatique
-1
10
1
1
aT T a
1
T
2
10
3
10
24
Correcteur à avance de phase (3)
! Effets du correcteur
% Augmentation de la marge de stabilité ⇒ effet dérivateur
% Augmentation de la bande passante à 0dB ωco ⇒ système
plus rapide en BF (diminution de tm ou de tr,5%)
% Sensibilité aux bruits à cause de l'élargissement de la BP
! Eléments de réglage du correcteur
%
a −1
ϕ
arcsin
=
Calculer a pour avoir l'avance de phase c,max
désirée
a +1
% Calculer T de façon à placer la cloche à la pulsation ωco désirée
càd ωc,max =
1
T a
= ωc0
% Le gain fréquentiel est augmenté de 20log10a à partir de ω=10/T.
Ceci décale la pulsation ωco du système corrigé en BO
% Calculer Kc pour ramener ωco à la bonne valeur
Automatique
25
Correcteur à avance de phase (4)
H BONC ( s ) =
100
K
s (1 + τs )
C (s) = K c
1 + aTs
1 + Ts
100
Amplitude (dB)
50
0
50
C
50
HBONC
10
-1
10
ωc 0
0
HBOC
10
2
-50
10
3
Phase (°)
-100 -2
10
-1
10
ϕc,max
0
10
1
10
2
10
3
10
Phase (°)
-80
0
-100
-50
-120
-100
-140
mϕ
-150
-200 -2
10
Amplitude (dB)
0
-50
-100 -2
10
H BOC ( s ) = H BONC ( s )C ( s )
-160
-1
10
Automatique
0
10
ωc0
2
10
3
10
-180 -2
10
mϕ
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
26
Correcteur PID théorique (1)
! FT du correcteur
PID : combinaison des correcteurs P, I et D


TiTd s 2 + Ti s + 1
1
C ( s ) = K c 1 +
+ Td s  = K c
Ti s
 Ti s

Ti : constante
d'intégration
Td : constante
de dérivation
Commande du système
Kc t
dε (t )
u (t ) = K cε (t ) +
∫0 ε (τ )dτ + K cTd
Ti
dt
Factorisation de C(s)
%
T1 + T2 = Ti
(1 + T1s )(1 + T2 s )
Si Ti > 4Td , C ( s ) = K c
avec 
Ti s
T1 T2 = Ti Td
Zéros réels
% Si Ti < 4Td ,
Automatique
T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
C (s) = K c
Ti s
avec
Zéros complexes conjugués
2ξ T = Ti
 2
T = Ti Td
ξ <1
27
Correcteur PID théorique (2)
! Réponse fréquentielle
40
! Effets du correcteurs
% Avance de phase en hautes
Amplitude (dB)
fréquences
30
% Amplification en hautes
+1
20
10
−1
0 -2
10
fréquences
0
1
T1
0
10
1
T2
2
10
3
10
100
Phase (°)
0
-50
1
T1
Automatique
% Gain infini en basses fréquences
% Retard de phase en basses
fréquences
Effet PI en basses
fréquences
% Fréquences moyennes : peu
d'influence du correcteur
50
-100 -2
10
Effet PD en hautes
fréquences
0
10
1
T2
2
10
3
10
28
Correcteur PID (1)
! Caractéristiques du PID
" Correcteur utilisé industriellement avec les caractéristiques
#
Bp : bande proportionnelle BP = 100
#
Taux de répétition par minute τ r = 60
#
Constante de temps de dérivation Td
Kc
Ti
" Le PID théorique est physiquement irréalisable
! PID réel : PID théorique filtré
Le PID théorique a l'inconvénient du PD càd une amplification en
hautes fréquences ⇒ sensibilité aux bruits. Pour éviter cela, on
introduit un filtre passe-bas en hautes fréquences


1


2
1
1 +
+ Td s 

 avec
T
s
1
T
s
d

i

ou C ( s ) = K c 1 +
+
C (s) = K c 
 Ti s 1 + Td  N≥10
 Td 
1 + 

N
N


Automatique
29
Correcteur PID (2)
! Réponse fréquentielle PID réel
20
0
Amplitude (dB)


1
1 +
+ Td s 
Ti s


C (s) = K c
 Td 
1 + 
N

1
15
+1
10
5
0 -2
10
100
−1
0
1
T1
3
1
T2
10
Td
10
1
T2
10
Td
10
Filtrage des hautes
fréquences
Phase (°)
50
0
-50
-100 -2
10
1
T
Automatique 1
0
10
3
30
Stratégie de synthèse des correcteurs
1. Analyse du système (identification,
performances
dynamiques,
réponse fréquentielle)
2. Analyse du cahier de charges
(traduction en termes d'erreur, de
rapidité, de marge de phase, de
pulsation ωco)
3. Choix de la structure du correcteur
compte tenu du cahier des charges
et des caractéristiques du système
4. Calcul
des
correcteur
paramètres
du
5. Vérification des performances du
système corrigé. Si le cahier des
charges n'est pas satisfait, retour à
3
6. Réalisation de l'asservissement et
tests
Automatique
Correcteurs
Avantages
Simplicité
P
Meilleure
précision
Simplicité
PI
Erreur
statique nulle
Amélioration
Avance de
stabilité et
phase
rapidité
PID
Inconvénients
Risque
d'instabilité si
Kc >> 1
Système
parfois lent en
BF
Sensibilité du
système aux
bruits
Très utilisé en
industrie
Réglage des
paramètres
Action PI + PD plus difficile
31