Projektthemen zu Fallstudien der Mathematischen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum für Mathematik
Prof. Dr. Ulrich Bauer, Zi Ye
WS2015/2016
Datum: 12.2.2016; aktualisiert 7.3.2016
Projektthemen zu Fallstudien der
Mathematischen Modellbildung
(3 Modellierung mit Graphen)
1
Enumeration von Alkan-Isomeren
Die On-Line Encyclopedia of Integer Sequences nennt drei verschiedene Ansätze,
um die Anzahl der Isomere eines Alkans mit gegebener Anzahl von C-Atomen
(OEIS A000602) zu bestimmen:
• Über das (Bi)zentrum eines Baumes (nach Cayley [1]; OEIS A000200,
A000022)
• Über das (Bi)zentroid eines Baumes (nach Polyá [2]; OEIS A010372, A010373)
• Über Otters Zählformel für Bäume (nach Read [3, 4]; OEIS A000678,
A000599, A000598)
Beschreiben Sie diese drei Ansätze, und verwenden Sie jeweils den Abzählsatz
von Polyá aus der Vorlesung, um die Folge der Isomeranzahlen (OEIS A000602)
mit jedem dieser Ansätze zu berechnen. Implementieren Sie Ihre Berechnungen,
beispielsweise in einem Computer-Algebra-System. Schreiben Sie außerdem Code, um für eine gegebene Anzahl von C-Atomen je einen Repräsentanten jedes Molekülmusters zu erzeugen und visuell darzustellen (mit Methoden wie
GraphPlot in Mathematica oder Software wie GraphViz).
2
Web-Ranking
Beschreiben Sie die Web-Ranking Verfahren HITS [5] und SALSA [6] und diskutieren Sie Unterschiede, Vor- und Nachteile zu PageRank (siehe auch [7, 8, 9].
Implementieren Sie die drei Verfahren. Vergleichen Sie die Vektoriteration mit
einer anderen geeigneten Methode zum Bestimmen des dominanten Eigenvektors (z.B. Gauß–Seidel-Iteration [10] oder Arnoldi-Iteration [11]).
Beschreiben Sie die drei gerichteten stochastischen Modelle (LCD, ACL, copying) des Web-Graphen aus [12] und ihre wichtigsten Eigenschaften, und implementieren Sie Code, um zufällige Graphen nach diesen Modellen zu erzeugen.
Vergleichen Sie einerseits die Modelle anhand der obigen Ranking-Verfahren und
andererseits die Ranking-Verfahren anhand der verschiedenen Modelle.
Literatur
[1]
E.M. Rains und N.J.A. Sloane. “On Cayley’s enumeration of alkanes (or
4-valent trees).” In: Journal of Integer Sequences 2 (1999), Art. 99.1.1.
url: http://eudml.org/doc/230307.
[2]
G. Pólya. “Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen
und chemische Verbindungen”. In: Acta Mathematica 68.1 (1937), S. 145–
254. issn: 1871-2509. doi: 10.1007/BF02546665.
[3]
Ronald C. Read. “The enumeration of acyclic chemical compounds”. In:
Chemical Applications of Graph Theory. Hrsg. von Alexandru T. Balaban.
Academic Press, Inc., 1976, S. 25–61. isbn: 978-0-120-76050-3.
[4]
Jean-Loup Faulon, Donald P. Visco und Diana Roe. “Enumerating Molecules”. In: Reviews in Computational Chemistry. John Wiley & Sons, Inc.,
2005, S. 209–286. isbn: 978-0-4717-2089-8. doi: 10.1002/0471720895.
ch3. eprint: http://prod.sandia.gov/techlib/access-control.cgi/
2004/040960.pdf.
[5]
Jon M. Kleinberg. “Authoritative Sources in a Hyperlinked Environment”.
In: J. ACM 46.5 (Sep. 1999), S. 604–632. issn: 0004-5411. doi: 10.1145/
324133.324140.
[6]
R. Lempel und S. Moran. “SALSA: The Stochastic Approach for Linkstructure Analysis”. In: ACM Trans. Inf. Syst. 19.2 (Apr. 2001), S. 131–
160. issn: 1046-8188. doi: 10.1145/382979.383041.
[7]
Amy N. Langville und Carl D. Meyer. “A Survey of Eigenvector Methods
for Web Information Retrieval”. In: SIAM Review 47.1 (2005), S. 135–161.
doi: 10.1137/S0036144503424786.
[8]
Amy N. Langville und Carl D. Meyer. Google’s PageRank and Beyond.
Princeton University Press, 2011. isbn: 978-1-4008-3032-9. url: http :
//proquest.tech.safaribooksonline.de/9780691152660.
[9]
Anthony Bonato. A Course on the Web Graph. Boston, MA, USA: American Mathematical Society, 2008. isbn: 978-0-821-84467-0.
[10]
Arvind Arasu u. a. “PageRank computation and the structure of the Web:
experiments and algorithms”. In: The Eleventh International WWW Conference. Mai 2002. url: http://wwwconference.org/www2002/CDROM/
poster/173.pdf.
[11]
H. G. Golub und C. Greif. “An Arnoldi-type algorithm for computing
page rank”. In: BIT Numerical Mathematics 46.4 (2006), S. 759–771. issn:
1572-9125. doi: 10.1007/s10543-006-0091-y.
[12]
Anthony Bonato. “A Survey of Models of the Web Graph”. In: Combinatorial and Algorithmic Aspects of Networking. Hrsg. von Alejandro LópezOrtiz und Angèle M. Hamel. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2005, S. 159–172. isbn: 978-3-540-31860-6. doi: 10.1007/11527954_
16.