Glättungen von Abbildungen 3-dimensionaler

Pacific Journal of
Mathematics
GLÄTTUNGEN VON ABBILDUNGEN 3-DIMENSIONALER
MANNIGFALTIGKEITEN
H ARALD B OEHME
Vol. 61, No. 1
November 1975
PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS
Vol. 61, No. 1, 1975
GLATTUNGEN VON ABBILDUNGEN 3-DIMENSIONALER
MANNIGFALTIGKEITEN
HARALD
BOEHME
Let N and M be compact 3-dimensional manifolds, /: N->M
a map. Furthermore let given a Heegaard splitting for M,
which certainly exists if M is closed, and then it is a pair
(V, W), where V, Ware handlebodies (possibly non orientable)
with M = F u W, Vf) W = dV = dW. It will be shown, that
/ can be deformed into a normal form with respect to the
Heegaard splitting of M: either / has the absolute degree
0, or / is homo topic to a map g with the property that
Q I Q^iV) is a covering map.
Einen ersten Spezialfall des hier vorgefiihrten Resultats erhielt
E. Moise im Zusammenhang mit der Poincareschen Vermutung [6],
[7]. In seinem Theorem ist die Aussage enthalten, daβ eine
3
Abbildung der 3-Sphare f: S —>M mit grad / = 1 homotop ist zu
ι
einer Abbildung g, wobei g \ g~~ { V) ein Homoomorphismus und V
ein Henkelkδrper zu einer gegebenen Heegaard-Zerlegung von M ist
(das gleiche gilt auch fur W. Haken [2]). Dieses Ergebnis wurde
von F. Waldhausen wesentlich verscharft und zugleich auf beliebige
Abbildungen von geschlossenen, orientierbaren 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten mit grad / = 1 ausgedehnt [9].
Nach diesen Arbeiten entstand die Frage, ob sich auch fiir
Abbildungen mit beliebigem Abbildungsgrad eine Normalform linden
laβt. Dies ist tatsachlich der Fall, und ergibt sich aus einer
Verallgemeinerung der alten Methode von H. Kneser zur Glattung
von Flachenabbildungen [4], [5]. Er ging dabei von simplizialen
Abbildungen aus und betrachtete die Urbilder der einzelnen Simplexe.
Es ist klar, daβ diese fur die Codimensionen 0 und 1 nicht sehr
kompliziert sein kδnnen; die entscheidenden Singularitaten sind
"Falten", d.h. zwei benachbarte 2-Simplexe werden auf eins abgebildet. Eine solche Falte verschwindet durch eine einfache Deformation der gemeinsamen Grundseite, jedoch muβ H. Kneser dazu
noch geeignete simpliziale Unterteilungen angeben. Die adaquate
Beschreibung der geometrischen Idee gelingt erst in der semilinearen
Kategorie. Dazu werden die Simplexe durch Henkel ersetzt und
die Glattungen iiber den 0- und 1-Henkeln durchgefϋhrt, welche
zusammen einen Henkelkδrper V bilden. Fur eine Abbildung 3dimensionaler Mannigfaltigkeiten f:N—+M ist nach Beseitigung der
Falten f\f~1(V)
schon eine Uberlagerung auf alien wesentlichen
Komponenten. Das Problem, diese Komponenten durch eine Defor45
46
HARALD BOEHME
mation von / zu vereinigen, kann gelost werden, falls V von einer
Heegaard-Zerlegung von M kommt.
0* Notation* Es wird in der semilinearen Kategorie gearbeitet.
Alle vorkommenden Mannigfaltigkeiten sind kompakt.
Regulare
Umgebungen sind klein gegenϋber alien anderen Objekten in der
Mannigf altigkeit. Ein ^-Element En ist homδomorph dem ^-Simplex.
Sei M eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Sei J eine Mannigfaltigkeit in M, nicht notwendig zusammenhangend, Jf]dM= dJ, codim J= q. Eine Umgebung V(J) in M ist
prismatisch, wenn sie sich mit einem Bϋndel J x Eq ϋber J identiίizieren laBt, so daB J = J x xQf xQ e E\ und (J x Eq) ΠdM = dJ x Eq.
Sei Γ ein zusammenhangender Graph in ¥ , ΓΠdM = 0 . Eine
regulare Umgebung V(Γ) in M ist ein Henkelkorper in M. Er
besteht aus einer prismatischen Umgebung V(Γ°) in M (Γ° ist die
Menge der Ecken von Γ), das sind 3-Elemente h°lf •• ,ΛJ, und aus
einer prismatischen Umgebung V((Γ - F(Γ°))~) in (M - F(Γ°))~,
das sind 3-Elemente h\y •••, AJ. Dabei ist /^r ein r-Henkel, und es
ergibt sich insgesamt eine Henkelzerlegung von V(Γ), siehe [3].
1* Faltenreduktiotu Seien N und M 3-dimensionale Mannigf altigkeiten, sei /: (N, dN) —> (M, dM) eine Abbildung.
DEFINITION. Sei J eine Mannigfaltigkeit in M, Jf)dM — dJ. f
ist transversal bzgl. J, wenn es eine prismatische Umgebung V(J)
in M gibt, so daB f~ι{V{J))
ein Biindel ist, und / jede Faser
homoomorph auf eine Faser von V(J) abbildet.
DEFINITION. Sei Γ ein Graph in M, ΓndM = 0 . / i s t transversal bzgl. Γ, wenn gilt:
(1) / ist transversal bzgl. Γ°; die zugehδrige prismatische
Umgebung sei V(Γ°).
(2) Die von / induzierte Abbildung
(N ist transversal bzgl. (Γ -
F(Γ0))~.
ι
Sei / transversal bzgl. Γ, dann ist f~ {Γ*) eine Menge von
ι
Ecken in N, ihre Anzahl sei α(/, Γ°), und f~~ (Γ) ist ein 1-dimensionaler Komplex in JV, die Anzahl der Komponenten sei /9(/, Γ).
Das Tupel (^, β) in lexicographischer Ordnung miBt die Kompliziertheit von / bzgl. Γ.
Sei A eine Komponente von /"'CO, sei # = A[\f~\Γ).
Es gilt
genau einer der folgenden Falle:
GLATTUNGEN VON ABBILDUNGEN
47
(1) A0 Φ 0 ; A wird dann als Graph bezeichnet, wobei Λ° die
Menge der Ecken ist.
(2) A0 = 0 ; in diesem Fall ist A ein Zyklus.
1.1. Seien N und M 3-dimensionale
Mannigfaltigkeiten,
sei Γ ein zusammenhangender
Graph in M, ΓΓidM= 0 .
Sei
f: (N, dN)—+(M, dM) eine Abbildung, dann gibt es eine zu f homotope
Abbildung g, so daβ gilt:
(1) g ist transversal bzgl. Γ.
(2) Fur jede Komponente Λ von g~ι(Γ), die ein Graph ist,
ist g\A:A^*Γ
eine Uberlagerung.
LEMMA
Beweis. (1) Nach einer Homotopie analog [8, 1.1] ist /
transversal bzgl. Γ\ die weitere Transversalitat lafit sich ebenso
erreichen. Die entstehende Abbildung sei g, und die zugehδrige
regulare Umgebung V(Γ) habe die Henkelzerlegung
V(Γ) = JJΛSUIJ A}
(2) Sei A eine Komponente von g~ι(Γ), die ein Graph ist. Um
g I A zu einer Uberlagerung zu machen, genugt es, wenn fur jede
Kante I von Λ mit g(l) = k, k ist eine Kante von Γ, die induzierte
Abbildung (V, dV) — (kf, dk') den Grad ± 1 hat, wobei
(
s
Ir
I I h°
ιv
\Jj il>i
Eine Kante I von A, die das nicht erfϋllt, ist eine Falte von g iiber
& ([4], Γ entspricht dem dualen 1-Gerϋst dort).
Sei I eine Falte, seien Ui9 i = 1, 2, Komponenten von g^djl^ M),
sei U3 eine Komponente von g^QU^ih)), so daβ U = U i = i ^ U Uz eine
regulare Umgebung von I ist. Es gibt eine Homotopie von g rel
g^iUi^iM), deren Abbildungen transversal bzgl. Γ sind, g^iΓ) fest
lassen, und die selben zugehorigen Umgebungen haben, so daβ
g(V) = p , Pedk'.
Sei ferner Pedh\, dann induziert jetzt g die
Abbildung g\ U:(U, dU)-+ (hi, dhl). Da P$g(dU),
gibt es eine
γ
Homotopie von g\ U rel 3Ϊ7, so daβ g(U)czdhl.
Danach hat g~ (Γ*)
genau zwei Ecken weniger. Die Transversalitat von g bzgl. Γ wird
wieder hergestellt, ohne g"1^0) zu andern, fΐir die neue Kompliziertheit
f
gilt dann a = a — 2. Nach endlich vielen Schritten sind alle Palten
beseitigt.
2*
Abbildungen ύber Heegaard-Zerlegungen*
DEFINITION.
Sei M eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Eine
48
HARALD BOEHME
Heegaard-Zerlegung
von M ist ein geordnetes Paar von Untermannigfaltigkeiten (F, W), so daβ M = FU W, FfΊ W = dV = d_W,
d_ W ist eine Komponente von d W, und es gilt:
(1) V ist ein Henkelkδrper in M.
(2) W hat eine Henkelzerlegung
W = d_Wx
IU\JhlU\Jh*
l9
J
k l
1
d_W = d_Wx 0.
Das Geschlecht der Heegaard-Zerlegung ist das Geschlecht von F.
Sei dM = 0 , dann besitzt M sicher eine Heegaard-Zerlegung,
und PΓ ist ebenfalls ein Henkelkorper in M.
SATZ 2.1. Seien N und M 3-dimensional
Mannigfaltigkeiten,
sei (V, W) eine Heegaard-Zerlegung von M, der en Geschlecht ^ 1
ist, ferner sei Γ ein Graph in M und V eine regulare Umgebung
von Γ. Sei f: (JV, 3JV) —• (M, dM) eine Abbildung, dann gibt es eine
zu f homotope Abbildung g, so daβ entweder (a) oder (b) gilt.
(a) a(g,n
=0
(b) g I g^iV): g^iV) —> V ist eine Uberlagerung.
Beweis. Zunachst wird / in eine Abbildung g deformiert, fur
die (1.1) bzgl. Γ gilt. Es kann angenommen werden, daβ V eine
Umgebung von Γ zur Transversalitat von g ist, und V habe die
E
Henkelzerlegung V = U U Ml) UJ=i k)
s folgt Pall (b), wenn g-\Γ)
ein zusammenhangender Graph ist.
Sei a(g, Γ°) Φ 0, dann gibt es eine Komponente Λγ von g^iΓ),
die ein Graph ist, und g\Λι\ Λ1—*Γ ist eine Uberlagerung. Sei Λ
eine weitere Komponente von g'^Γ),
Λ2 ist ein Graph oder ein2
Zyklus. Im ersten Fall hat Λ2 das Geschlecht Ξ> 1, also gibt es in
Λ2 eine nicht zerlegende Kante l2. Im zweiten Pall sei Λ2 = l2 Sei
k die Kante von Γ mit g(l2)(zk, und sei h\ der zugehδrige 1-Henkel
von V. Sei Q2e l2 f] g~ι{h^)9 g(Q2) = P, ferner seien Q lfl , •• ,Q 1 , Λ die
r
Punkte in ^i mit g(Q1>P) = P, p = 1,
, n. Sei P edh\ in der Faser
iiber P, Q[ p bzw. Q2 seien Punkte in der Faser ϋber QltPbzw. Q2 mit
g(QίJ = g(Qd = P '
1
2.2. Es gibt eine Homotopie von g rel g~ (V)f wonach
in g^iW) ein Weg w von Q[)P nach Q2 existiert, pe{lt « ,^}, so
daβ die von g induzierte Abbildung (w, dw)—+(W, P') nullhomotop
ist.
LEMMA
Beweis. In g~ι{W) gibt es einen Weg w von Q[Λ nach Q2.
Durch eine Homotopie von g rel g'^V)
laBt sich g(w) aus (JΓ=i M
GLATTUNGEN VON ABBILDUNGEN
49
und Ufc=i hi herausdriicken, es ist dann g(w)a{d_W x I) — (d_Wx 1).
Nach einer weiteren Homotopie von g rel g~ι(V) ist g transversal bzgl.
{{d_W x 1) — 3W)~9 und g~1(d_W x /) ist eine Untermannigfaltigkeit
in N, welche w enthalt.
In d_ W sei das System c19
, cm von einfachen Kurven eine
kanonische Zerschneidung mit dem gemeinsamen Punkt c0, ferner
sei Ci — CiXl,
i = 0,
, m.
Nach weiteren Homotopien ist
g\g~~ι{d_Wx I) transversal bzgl. Cθ9 •••, Cm, d.h.
(1) 91 g~ι(d~W x I) ist transversal bzgl. Co; die zugehδrige
prismatische Umgebung sei Z70
(2) Die von g induzierte Abbildung
βΓHίtf-JF x I) - Uo)~)
> ((3. W x l ) - C7o)-
ist transversal bzgl. (C t — Uo)~, . , (C m — Z70)~.
Sei Fi = g~ι({Ci — U<>)~), i = 1,
, m, dies ist eine Flache in
^ ( ( ( δ . T F x /) — C/o)~)> nicht notwendig zusammenhangend. In allgemeiner Lage ist auch w in g~1(((d_W x I) — Uo)~), und w trifft
die Flachen Flf'
-,Fm transversal.
Von Q[tl ausgehend werde
zunachst Ft getroffen, dieser erste Teilweg sei wt. g(wλ) zeichnet
eine Seite von Cx aus, und damit auch von cx. Zu dieser Seite laflt
sich P' mit d durch einen Weg in d_W verbinden, ohne daβ die
kanonische Zerschneidung sonst getroffen wird. Die Liftung da von
ergibt einen Wegw 0 in g'^d^W) von Q[Λ nach i*\. Der ΨegwQ\J w1
wird leicht von g~1(d_W) abgehoben, es entsteht ein Weg'M;' mit
w' Π Ft = dw't i = 1, und w' Π Ft = 0 sonst.
Aus der Konstruktion folgt, daβ die von g induzierte Abbildung
(w', dw')—>(d_W x I, Q nullhomotop ist. Ohne die Situation sonst
zu andern gibt es eine Homotopie von g\g~ι(d_Wx
I), deren Abbildungen transversal bzgl. Co, •••, Cm sind, so daβ g(w')c.I, wobei I
eine Faser der zugehδrigen prismatischen Umgebung von (CΊ — ί70)""
ist. Dann laβt sich g so deformieren, daβ in Fx eine regulare
f
Umgebung von dw durch einen Kreisring ersetzt wird, der in einer
regularen Umgebung von wf liegt und w U wf nicht trifft (dies ist
die Umkehrung zu [8, S. 507 u.]). Das nunmehr freie Ende von w'
bei g'^d^W) wird mit einem Punkt Q[\ aus g~\d_W) verbunden.
In d_W gibt es einen Weg von g{Q"J nach P'f der die kanonische
Zerschneidung sonst nicht trifft. Die Liftung davon ergibt einen
Weg w" in g~1(d_W) von Q"Λ nach Q[tP, pe {1,
, n}. In ^ wird w1
durch w' U w" ersetzt, der neue Weg trifft Fl9
, Fm in einem Punkt
weniger. Schlieβlich ist w Π Ft = 0 , und damit g(w) Π Ct = 0 ,
ί = 1, . . . , m .
Sei w der Weg aus (2.2), es gibt dann eine Homotopie von g
ι
rel g" (V) so daβ g(w) = P ' . In einer Faser von h} wird P durch
50
HARALD BOEHME
einen einfachen Weg mit Pr verbunden, in den Fasern iiber QltP bzw.
Q2 sind die Urbilder dazu Wege nach Q[>p bzw. Q'2, insgesamt entsteht
ein einfacher Weg w von QltP nach Q2. Nun laBt sich g so deforι
mieren, daβ in g~ (Γ) eine regulare Umgebung von dw durch zwei
Wege langs w ersetzt wird, g wieder transversal bzgl. Γ ist, und
x
alle anderen Objekte fest bleiben. Danach hat g~ (Γ) eine Komponente weniger, fur die neue Kompliziertheit gilt a' = a, β' = β — 1.
Es ist nun (1.1) erfϋllt, oder die Beseitigung von Falten ergibt
a" < a. Die Abbildung ist also so lange zu vereinfachen, bis die
Behauptung von (2.1) gilt.
KOROLLAR 2.3 Seίen N und M geschlossene 3-dimensionale
Mannigfaltigkeiten, sei (V, W) eine Heegaard-Zerlegung von M,
deren Gechlecht i> 1 ist. Sei f:N—>M eine Abbildung, dann gibt
es eine zu f homotope Abbildung g, so daβ entweder (a) oder (b)
gilt.
(a) g(N) c K2; K2 ist ein 2-dimensionaler Komplex in M.
(b) In N gibt es Untermannigfaltigkeiten X, Y, X Π Y = 0,
so daβ g \ X: X—> V, g \ Y: Y—> W Uberlagerungen sind und
g(N-(Xu
Γ))"c37.
Beweis. Seien Γ bzw, Γ1 Graphen in M, so daβ V bzw. W
regulare Umgebungen da von sind. Sei W1 eine regulare Umgebung
von Λ in W, es ist dann (W - Wd" = dW x I, dW = dW x 0, und
damit (Wlf dW x I) eine Heegaard-Zerlegung von W. Nach (2.1)
gibt es eine zu f homotope Abbildung g, fiir die entweder (a) oder
(b) gilt.
(a)
g(N)<z\JUh)UW
(b) g I g~ι(V): g~ι{V) —> V ist eine ίlberlagerung.
Im Fall (a) laBt sich g(N) auf einen Komplex K2 retrahieren.
Im Fall (b) wird (2.1) wieder fiir die Abbildung g\g~ι{W):g~1{W)->W
angewandt, dabei kann die Homotopie natϋrlich auf dem Rand
konstant gewahlt werden. Es entsteht eine zn f homotope Abbildung
g19 fiir die entweder (at) oder (bj gilt.
(bj g^ I gT'iW,): gϊι{Wx) -> W, ist eine Uberlagerung.
2
Im Fall (aj laBt sich wieder g^N) auf einen Komplex K
l
retrahieren. Im Fall (bj sei X = grHV), Ύ = gτ (W1), damit ist
g^N—(X\J Y))~~czdW x I. Es gibt eine zur Identitat homotope
Abbildung p: (Wl9 dW x I) -> (W,dV), wobei p \ W,\ W,-+ W ein
Homoomorphismus ist und p \ d W x I die Projektion auf 3 W ~ d V.
Mit g — pg1 folgt die Behauptung (b).
GLATTUNGEN VON ABBILDUNGEN
51
BEMERKUNG. In (2.1) sei A der Absolutgrad von /. Sei z e Γ°,
dann gibt es eine zu / homotope Abbildung g, so daβ g transversal
bzgl. z ist, und g~ι(z) genau A Komponenten hat [1], Im Beweis
von (2.1) kann sich. diese Anzahl hochstens durch Faltenreduktion
verringern, was aber nicht mbglich ist. Danach ergibt sich Pall
(a) genau dann, wenn A = 0, und im Fall (b) ist A die Blatterzahl
von g\g~ι(V).
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Received July 25, 1974.
FREIE UNIVERSITIT BERLIN-WEST
PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS
EDITORS
University of California
Los Angeles, California 90024
J. DUGUNDJI
Department of Mathematics
University of Southern California
Los Angeles, California 90007
R. A.
D. GlLBARG AND J. MlLGRAM
RICHARD A R E N S (Managing Editor)
BEAUMONT
University of Washington
Seattle, Washington 98105
Stanford University
Stanford, California 94305
ASSOCIATE EDITORS
E. F. BECKENBACH
B. H. NEUMANN
F. WOLF
K. YOSHIDA
SUPPORTING INSTITUTIONS
UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA
CALIFORNIA INSTITUTE OF TECHNOLOGY
UNIVERSITY OF CALIFORNIA
MONTANA STATE UNIVERSITY
UNIVERSITY OF NEVADA
NEW MEXICO STATE UNIVERSITY
OREGON STATE UNIVERSITY
UNIVERSITY OF OREGON
OSAKA UNIVERSITY
UNIVERSITY OF SOUTHERN CALIFORNIA
STANFORD UNIVERSITY
UNIVERSITY OF TOKYO
UNIVERSITY OF UTAH
WASHINGTON STATE UNIVERSITY
UNIVERSITY OF WASHINGTON
*
*
*
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
NAVAL WEAPONS CENTER
Printed in Japan by International Academic Printing Co., Ltd., Tokyo, Japan
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Vol. 61, No. 1
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1
7
17
21
29
45
53
59
71
87
103
117
121
129
143
151
153
161
173
183
191
209
219
225
235
241
259
263
275
283
289
295